1.3.2 矩形的判定（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 1.3.2 矩形的判定 专项练习 ## 知识点梳理 矩形的判定一共有3种常用方法\(OA=OC，OB=OD\)做题一定要看清前提是**平行四边形**还是任意**四边形**： 1. **定义法**：有一个角是直角的**平行四边形**是矩形。 2. **判定定理1**：对角线相等的**平行四边形**是矩形。 3. **判定定理2**：有三个角是直角的**四边形**是矩形。 > 易错提醒 1. “对角线相等的四边形是矩形”是**假命题**\(OA=OC，OB=OD\)缺少前提平行四边形；对角线相等且互相平分的四边形才是矩形。 2. “有两个角是直角的四边形不一定是矩形”\(OA=OC，OB=OD\)可能是直角梯形。 ## 一\(AC、BD\)选择题（每题4分\(OA=OC，OB=OD\)共20分） 1. 下列条件中\(OA=OC，OB=OD\)能判定四边形是矩形的是（） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直平分 2. 在平行四边形$ABCD$中\(OA=OC，OB=OD\)添加一个条件\(OA=OC，OB=OD\)能判定它是矩形的是（） A. $\(AB=BC\)$ B. $\(AC=BD\)$ C. $AC\perp BD$ D. $\angle A+\angle C=180^\circ$ 3. 四边形$ABCD$中\(OA=OC，OB=OD\)$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ$\(OA=OC，OB=OD\)则四边形$ABCD$是（） A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形 4. 下列命题中\(OA=OC，OB=OD\)是假命题的是（） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 平行四边形$ABCD$对角线交于点$O$\(OA=OC，OB=OD\)不能判定它为矩形的是（） A. $\angle ABC=90^\circ$ B. $\(AC=BD\)$ C. $\(OA=OB\)$ D. $\(AB=AD\)$ ## 二\(AC、BD\)填空题（每题4分\(OA=OC，OB=OD\)共20分） 1. 有一个角是直角的________是矩形。 2. 对角线相等的________是矩形。 3. 有三个角是________的四边形是矩形。 4. 平行四边形$ABCD$\(OA=OC，OB=OD\)若对角线$\(AC=BD\)$\(OA=OC，OB=OD\)则四边形$ABCD$是________。 5. 四边形四个内角中\(OA=OC，OB=OD\)有三个内角为90°\(OA=OC，OB=OD\)这个四边形是________。 ## 三\(AC、BD\)解答题（共60分） 1.（18分）如图\(OA=OC，OB=OD\)在平行四边形$ABCD$中\(OA=OC，OB=OD\)$\angle ABC=90^\circ$。求证：平行四边形$ABCD$是矩形。 2.（20分）已知平行四边形$ABCD$\(OA=OC，OB=OD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$相交于点$O$\(OA=OC，OB=OD\)$\(AC=BD\)$。求证：四边形$ABCD$是矩形。 3.（22分）在四边形$ABCD$中\(OA=OC，OB=OD\)$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ$。求证：四边形$ABCD$是矩形。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：对角线互相平分说明是平行四边形\(OA=OC，OB=OD\)再加对角线相等\(OA=OC，OB=OD\)满足矩形判定。A仅为平行四边形；B\(AC、BD\)D是菱形条件。 2. B 解析：平行四边形加上对角线相等可判定矩形；A\(AC、BD\)C是菱形判定条件。 3. B 解析：有三个角是直角的四边形直接判定为矩形。 4. D 解析：只对角线相等\(OA=OC，OB=OD\)不能保证是平行四边形\(OA=OC，OB=OD\)不一定是矩形。 5. D 解析：$\(AB=AD\)$代表邻边相等\(OA=OC，OB=OD\)是菱形的判定条件。 ### 填空题 1. 平行四边形 2. 平行四边形 3. 直角 4. 矩形 5. 矩形 ### 解答题 1. 证明： ∵四边形$ABCD$是平行四边形\(OA=OC，OB=OD\) $\angle ABC=90^\circ$\(OA=OC，OB=OD\) ∴平行四边形$ABCD$是矩形（矩形的定义）。 2. 证明： ∵四边形$ABCD$是平行四边形\(OA=OC，OB=OD\) ∴$OA=OC\(OA=OC，OB=OD\)OB=OD$。 ∵$\(AC=BD\)$\(OA=OC，OB=OD\)∴$\(OA=OB\)=OC=OD$。 ∴$\angle BAD+\angle ADC=180^\circ$\(OA=OC，OB=OD\)$\(OA=OD\)$\(OA=OC，OB=OD\)$\(OB=OC\)$\(OA=OC，OB=OD\) 可证$\angle BAD=90^\circ$\(OA=OC，OB=OD\) ∴平行四边形$ABCD$是矩形。 另一种思路：平行四边形 + 对角线相等\(OA=OC，OB=OD\)直接用判定定理得矩形。 3. 证明： ∵$\angle A=\angle B=90^\circ$\(OA=OC，OB=OD\) ∴$\angle A+\angle B=180^\circ$\(OA=OC，OB=OD\)$\therefore AD\parallel BC$。 同理$\angle B=\angle C=90^\circ$\(OA=OC，OB=OD\)$\therefore AB\parallel DC$。 ∴四边形$ABCD$是平行四边形。 又∵$\angle A=90^\circ$\(OA=OC，OB=OD\) ∴平行四边形$ABCD$是矩形。 ## 易错小结 判定矩形两条思路： 思路①：先证**平行四边形**\(OA=OC，OB=OD\)再证一个内角为直角 或者 对角线相等； 思路②：直接证**四边形有三个直角**\(OA=OC，OB=OD\)不需要先证平行四边形。 做题重点看清题干给的是“四边形”还是“平行四边形”\(OA=OC，OB=OD\)这是考试高频丢分点。 下一节：**1.4正方形的性质与判定**\(OA=OC，OB=OD\)要一次性出完整专项练习吗？或者单独拆分1.4.1正方形性质\(AC、BD\)1.4.2正方形判定两份？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 1.3.2矩形的判定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第一章 特殊平行四边形 素养目标 1.探索并证明矩形的判定定理，并能灵活运用判定定理进行证明和计算;（重点） 2.探索矩形判定条件的过程，以及合理、准确地运用判定定理解决问题。(难点) 素养目标 C B A O 几何语言：∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴BO= . 1.矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是 ； 定理2：矩形的对角线 . 直角 相等 2.直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于 . 斜边的一半 AC 情境导入 03 新知探究 类比菱形，矩形的定义也是判定矩形的一种方法。 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? A B C D 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 03 新知探究 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 03 新知探究 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 03 新知探究 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD。∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）。 03 新知讲解 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 ∠A=∠B=∠C=90° A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使 成为矩形，需添加的条件可 以是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.[教材P14“随堂练习”第1题变式] 如图，在四边形 中， ，是边的中点， 。求证：四边形 是矩形。 举一反三 10 证明：是边 的中点， ， 在和 中， ， 。 ， 举一反三 11 , ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是矩形。 返回 举一反三 03 新知讲解 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 是真命题吗? 03 新知讲解 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 03 新知讲解 已知：如图，在□ABCD中，AC ， DB是它的两条对角线， AC=DB。 求证：□ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB = DC, AB ∥ DC， 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC = ∠DCB 。 ∵AB∥DC，∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴∠ABC=∠DCB= ×180°=90°。 ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）。 A B D C O 03 新知讲解 提炼概念 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 新课探究 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB =OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4，∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8。 ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）。 03 新知讲解 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） 。 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB 2 + BC 2 =AC 2 , ∴BC= 。 ∴S□ABCD=AB·BC=4× = 。 03 新知讲解 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是 否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是( ) A A.测量四边形的三个角是否为直角 B.测量四边形的两组对边是否分别相等 C.测量四边形的对角线是否互相平分 D.测量四边形的其中一组邻边是否相等 返回 举一反三 20 4.如图，是射线上的一点，,平分交于点 ， 平分,于点。求证：四边形 是矩形。 举一反三 21 证明：平分,平分 ， , 。 , , ，即 。 ,平分 , ， 。 , , 四边形 是矩形。 返回 举一反三 22 知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形 5.如图，在中，对角线，相交于点。若 ，则当 的长为___时， 为矩形。 3 （第5题） 返回 举一反三 23 6.如图，的对角线，交于点， 是等边三角形， ，则 ( ) C （第6题） A. B. C. D.8 返回 举一反三 24 7.如图，在中，点，分别在边，上， ， 。请判断四边形 的形状，并说明理由。 举一反三 25 解：四边形 是矩形。 理由： 四边形 为平行四边形， ， 。 又 ， ，即 ， 四边形 为平行四边形。 又 ， 四边形 是矩形。 返回 举一反三 26 对角线相等的平行四边形是矩形. 课堂小结 矩形的性质与判定-第2课时 矩形的判定方法:定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $