3.1 第1课时 勾股定理的发现-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 第1课时勾股定理的发现 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，直线L上方有三个正方形A,B,C,若正方形A,C的面积分别是5和7，则正方形B的面 积为 () A.9 B.12 C.14 D.32 D D (第1题)》 (第3题) (第4题) 2.某直角三角形中一直角边的长为9，另两边的长为连续的自然数，则该直角三角形的周长为() A.121 B.120 C.90 D.100 3.教材89练习T2变式)如图，所有涂色的四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且 B,C,D三个正方形的面积分别为6,2,12，则正方形A的面积为 4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，以点A为圆心，AB长为半径 画弧，交最上方的网格线于点D,则CD的长为 5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12,BD=9.求AB与BC的长 D (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.易错题如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为腰作等腰直角三角形ABE,等腰直角 三角形BCF,等腰直角三角形ACD,其面积分别记为S1,S2,S3.若S1十S3一S2=10,则涂色部 分的面积为 () A.5 B.10 C.15 D.20 (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD,DE平分∠ADB交AB于点E.若 AC=6,BC=8,则AE的长是 () A.3 B.4 C.5 D.6 59 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 8.若一个直角三角形三边长的平方和为128，则斜边长为 A.6 B.7 C.8 D.9 9.舒向新定义题对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD的值为 D (第9题) (第10题) 10.如图，CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,AB=CB.若AB=8,CF= 2,则CD的长为 11.已知点C,请你按下列要求分别设计一个△ABC,使∠C=90°，AC=BC (1)在图①中作△ABC,使AB的长为无理数，AC,BC的长均为有理数. (2)在图②中作△ABC,使AB的长为有理数，AC,BC的长均为无理数. (3)在图③中作△ABC,使三边的长均为无理数， ① ② ③ (第11题) 12.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D,M为AC的中点，连接DM (1)若∠A=42°，求∠DCB的度数. (2)若BD=1,CD=3,求DM的长. B D (第12题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,动点P从点A出发，沿射线AC以 1cm/s的速度运动，连接BP,设运动时间为ts. (1)当△ABP为直角三角形时，求t的值. (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值， A2p→C (第13题) 60 >“答案与解析”见D349.9无理数为一2m,共1个，.x=1.整数为6,0， 共2个，y=2非负数为0.123,3141,6，号0 0.102,共6个，∴之=6..x十y+x=1+2十6=9. 10.62300把数据62329用四舍五人法精确到百位是 62300. 1.N:1<8<2,0<3-1<1.0<3-1 3 号·这个点是N 12.23.5=12.25,42=16,12.25<14<16,∴.3.5< √14<4.∴.1.5<√14-2<2..与√14-2最接近的整 数是2. 13.√2-1√1<2<√4，.1<2<2.∴.2<1+√2< 3.∴.[1+2]=2..{1+2}=1+2-2=2-1，即a= √2-1. 14.4047.a+1=20232+20242,.a+1=20232+ (2023+1)2=20232+20232+2×2023×1+1=2× 20232+2X2023+1..a=2×2023+2×2023..2a+ 1=2×(2×20232+2×2023)+1=4×20232+4× 2023+1=22×20232+2×4046+1=(2×2023)2+2× 4046+1=40462+2×4046+1=(4046+1)2=40472. 第3章 3.1勾股定理的探究 第1课时勾股定理的发现 1.B如图，：四边形A,B,C都是正方形，∴.∠DGE= ∠FHE=∠DEF=9O°，DE=EF.:∠DEG+∠EDG= 90°，∠FEH+∠DEG=90°，.∠EDG=∠FEH.在 (∠DGE=∠EHF, △DGE和△EHF中，∠EDG=∠FEH,,∴.△DGE≌ DE-EF, △EHF(AAS).∴.GE=HF.在Rt△DGE中，由勾股定 理，得DE=DG2十GE=DG2十FH2.·正方形A,C的 面积分别是5和7，.DG=5,FH=7..DE2=DG+ FH2=5+7=12,即正方形B的面积为12. (第1题) 2.C设另一直角边长为a,则斜边长为a+1.根据勾股定 理，得(a十1)2-a2=92,解得a=40..a十1=41.∴.直角 ∴.√2a+I=√40472=4047. 15.(1)x=5或x=-1.(2)x=-2. 16.(1):'实数x的两个不同的平方根分别为2a+1和 3-4a,∴.2a+1与3-4a互为相反数，即2a+1+3- 4a=0,解得a=2..x=(2a+1)2=52=25.实数y的 立方根为-a,∴.y=(一a)3=(-2)3=-8.∴.√x+2y= √25一16=√5=3.(2)根据题意，得 -3≥0， 解得 3-x≥0 x=3..y=8.x十3y=3十24=27.∴.x十3y的立方根 为27=3. 17.(1)3;√10-3.(2)：3<√13<4，.√13的整数 部分是3.∴.6+√13的整数部分是9，小数部分m=6十 W13-9=√/13-3.3<√/13<4，.-3>-13> 一4..3>6-√13>2..6-√13的整数部分是2，小数 部分n=6-√13-2=4-√13.∴.m十n=√13-3+4 W13=1.(3)4<√19<5，.12<8+√19<13. .8+√19的整数部分是12，小数部分是8十√19-12= √19-4.x是整数，且0<y<1,.x=12,y=√19 4.∴.|x-y|=112-(√19-4)川=|12-√19+4|= 16-√/19|=16-√19. 勾股定理 三角形的周长为9十40+41=90. 3.4·两个空白三角形均为直角三角形，且B,C,D三个 正方形的面积分别为6,2,12，∴.结合勾股定理可知，中间 涂色的正方形的面积为12一2=10.∴.正方形A的面积为 10-6=4. 43-√5如图，E为格点，连接AB,AD,AE,DE.由题 意可知，∠E=90°，AD=AB=3,AE=2,CE=3.在 Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=√AD?一AE= √32-22=√5，.CD=CE-DE=3-√5， (第4题) 5.:CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△CDB 中，由勾股定理，得BC2=CD2+BD2=122+92=225, ∴.BC=15.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD=AC2一 CD=202-122=256,∴.AD=16..AB=AD+DB= 16+9=25. 34 6.A在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2十BC=AC2 AB+号B2=7AC,即S,+S,=S.S,+ S,-S,=10,2S,=10.S,=5.S#e=7AE· AB=S=5. 易错警示 不能灵活运用勾股定理解题 解决这类问题时，往往会出现不能对条件中的面积 关系进行恰当变形导致错误.究其原因，是不能灵活运 用勾股定理，揭示图形中的几个直角三角形的面积之间 的内在联系，而使解题过程出现障碍或错误 7.C在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,∴.由勾 股定理，得AB=√AC+BC=√6+8=10.：AD= BD,DE平分∠ADB,.AE=EB=2AB=5. 8.C设该直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中c为 斜边长.由勾股定理，得α2十b2=c2.该直角三角形三边 长的平方和为128，.a2+b2+c2=128..2c2=128. .c2=64.∴.c=√64=8，即斜边长为8. 9.20:AC⊥BD,∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC= ∠COD=90°.由勾股定理，得AB2+CD2=AO2+BO2十 CO2+DO2,AD2+BC2=AO2 +DO2+BO2 +CO2, .AB2+CD2=AD2+BC2..'AD=2,BC=4,..AB2+ CD2=22+42=20. 10.10:CB⊥AD,AE⊥DC,∴.∠ABF=∠CBD= ∠AED=90°.∴.∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°. ∠A=∠C, ∴.∠A=∠C.在△ABF和△CBD中，AB=CB, ∠ABF=∠CBD, ∴.△ABF≌△CBD.∴.BF=BD..AB=CB=8,CF= 2,.BF=BC一CF=6..BD=6.在Rt△BCD中 CD2=BD2+BC2=62+82=100,∴.CD=10. 11.答案不唯一，如(1)如图①所示.(2)如图②所示. (3)如图③所示. B ⑦ ② ③ (第11题) 12.(①D:AB=AC,∠A=42∠ACB=∠B=号X (180°-42)=69°..CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC= 90°.，∴.∠DCB=90°一69°=21°.(2)设AB=AC=x,则 0 AD=x-1.在Rt△ADC中，AC2=CD2十AD2,..x2= 32+(x-1)2,解得x=5..AC=5.在Rt△ADC中，M为 AC的中点DM=合AC=25 13.(1):∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,AC2= AB2-BC2,∴.AC=4cm.①当∠APB为直角时，点P与 点C重合，AP=AC=4cm,∴.t=4.②当∠ABP为直角 时，AP=tcm,CP=(t-4)cm,BC=3cm.在Rt△BCP 中，BP2=BC+CP2,在Rt△BAP中，AB2+BP2=AP2, 子+[8+-40门=，解得1=华综上所述，当 △AB即为直角三角形时，：的值为4或竿 ,(2)①当 AP=AB时，t=5.②当AB=BP时，易得AP=2AC= 8cm,∴.t=8.③当PB=PA时，易得PB=PA=tcm, CP=(4-t)cm,BC=3cm.在Rt△BCP中，BP2=BC+ CP=十(4-，解得(=要综上所述，当 △ABP为等腰三角形时，4的值为5或8或得 第2课时勾股定理的证明 1.C①：大正方形的面积=小正方形的面积+直角三 角形的面积X4,2=(6-a)+b×4.c2=a+ b2-2ab+2ab=a2+b2.故①符合题意.②：大正方形的 面积=小正方形的面积十直角三角形的面积X4,'.(a十 b)2=7b×4十2.a2十b=c2.故②符合题意.③”大 正方形的面积=长方形的面积X2十两个较小正方形的面 积，∴.(a十b)2=a2十b2+2ab.∴不能证明勾股定理.故 ③不符合题意.综上所述，能用于证明勾股定理的是①②. 2.A直角三角形较短的直角边的长为√102一8=6， ,∴.正方形EFGH的面积=10×10一8×6÷2×4=100一 96=4. 3.答案不唯一，如c2十aba2十b2十ab如图，延长AB 交五边形的边于点C.该五边形的面积可以表示为一个大 正方形和两个直角三角形的面积之和；也可以表示为两个 较小正方形和两个直角三角形的面积之和，∴.S=c2十 abX2-cab-a+b+dbx2-aab. 1 C (第3题) 35