1.5 第1课时 等腰三角形的性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

90°，.AD>CD.故④错误.综上所述，正确的是①②③. 8.37°如图，连接CE,过点E作ER⊥AC于点R,交CD 于点Q,设AE交BC于点O.:DE是线段BC的垂直平 分线，.∠EDC=90°，CE=BE.∴.易得∠ECB= ∠EBD=25°.∴.∠DEB=∠CED=90°-25°=65. ER⊥AC,.∠QRC=∠QDE=90°..∠ACB+ ∠CQR=90°，∠EQD+∠QED=90°.：∠CQR= ∠EQD,∴.∠ACB=∠QED=28.:AE平分∠CAM, ER⊥AC,EF⊥AM,∴.ER=EF.在Rt△ERC和 Rt△EFB中，CE=BE,ER=EF,∴.Rt△ERC≌ Rt△EFB(HL).∴.∠ECR=∠EBF=∠ACB+∠ECD= 28°+25°=53°.：∠EFB=90°，.∠BEF=90° ∠EBF=90°-53°=37°.∴.∠REF=∠RED+∠DEB+ ∠BEF=28°+65°+37°=130°.∠ARE=∠AFE=90°， .∠CAM=360°-90°-90°-130°=50°.AE平分 ∠CAM,·∠CAE=2∠CAM=25°，·∠DOE= ∠CAE+∠ACB=25°+28°=53°..ED⊥BC, ∴.∠EDB=90°.∴.∠AED=90°-∠DOE=90°- 53°=37° 、E 0 M (第8题) 9.50°过点P作PN⊥BD于点N,PF⊥BA,交BA的 延长线于点F,PM⊥AC于点M.设∠PCD=x°.：CP平 分∠ACD,∴.∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN.:BP平 分∠ABC,∴.∠ABP=∠PBC,PF=PN.∴.PF=PM. ∴.AP平分∠CAF.∴.∠FAP=∠MAP.:∠BPC= 40°，.∠ABP=∠PBC=∠PCD一∠BPC=x一40° .∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40)-(x°- 40)=80°..∠CAF=100°.∴.∠FAP=∠MAP=50°， 即∠CAP=50°. 10.连接CO,过点O作OM⊥BC,ON LAC,OH⊥AB,垂 足分别为M,N,H.AE,BF是△ABC的角平分线， ∴.ON=OH,OM=OH.∴.OM=ON.在Rt△OEM和 (OE=OF, Rt△OFN中， .Rt△OEM≌Rt△OFN OM-ON, (HL).∴.∠EOM=∠FON.∴.易得∠EOF=∠MON= 180°-∠ACB.AE,BF是△ABC的角平分线，∴.易得 ∠AOB=90+2∠ACB.:∠AOB=∠EOF,.90+ D 2∠ACB=180-∠ACB.∠AcB=60 11.(1)如图，过点P作PC⊥OA于点C,PD⊥MN于点 D,PE⊥OB于点E.:'MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥ MN,∴.PC=PD.NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥ OB,.PD=PE..PC=PE.又PC⊥OA,PE⊥OB, ∴.OP平分∠AOB.(2).△PMN的面积是16，MN= 8MN·PD=16,即号×8PD=16.PD=4 ∴.PD=PC=PE=4.△OMN的面积是24，∴.四边形 MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+十 24=40..△POM的面积+△PON的面积=40..2OM· PC+20N·PE=40,即2OM·4+20N·4=40, ∴.OM十ON=20.∴.线段OM与ON的长度之和为20. M 0 E B (第11题) 12.(1)如图①，过点C作CF LAD,交AD的延长线于点 R.:△ADC的面积为14，AD=7,AD·CF=号× 7CF=14.∴.CF=4..CE=4,∴.CF=CE.又.CE AB,CF⊥AD,∴.点C在∠BAD的平分线上..AC是 ∠BAD的平分线.(2)如图②，在AB上截取AH= AD,连接CH.AB=13,.BH=AB-AH=AB- AD=13-7=6..'AB-AD=2BE,.'.2BE=6...BE= 3.∴.EH=BH一BE=6一3=3..EH=BE.CE⊥ AB,∴.CE是线段BH的垂直平分线.∴.HC=BC.由(1) 可知，AC是∠BAD的平分线.∴.∠HAC=∠DAC.在 AH-AD. △HAC和△DAC中，∠HAC=∠DAC,∴.△HAC≌ AC=AC, ADAC(SAS)..HC=DC..'CD=BC. D E B H E B ① ② (第12题) 1.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D当105的角是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度 18 数为180°一105°=75°：当105的角是等腰三角形底角的外 角时，底角的度数为180°一105°=75°，则顶角的度数为 180°一75°-75°=30°.综上所述，这个三角形的顶角的度数 为30°或75° 2.BAB=AC,AD是△ABC的中线，.AD⊥BC ∴.∠ADC=90°.∠CAD=20°，∴.∠ACB=90° ∠CAD=70°.CE是△ABC的角平分线，.∠ACE= ∠BCE=7∠ACB=3. 3.70°BD⊥AC,AO=CO,∴.DA=DC,BA=BC. ·∠BDM=∠BDC=号∠ADC,∠ABD-∠CBD= 3∠ABC.:∠ADC+∠ABC=20,·∠BDA+ ∠ABD=2×20°=110°..∠DAB=180°-110°=70， 即∠DAB的度数为70°. 4.25等腰三角形ABC是“倍长三角形”，∴.AB= 2BC或BC=2AB.若AB=2BC=10,则△ABC三边分别 是10,10,5，符合题意，等腰三角形ABC的周长为10十 10+5=25:若BC=2AB=5,则AB=2.5,△ABC三边分 别是2.5,2.5,5.2.5+2.5=5，.此时不能构成三角 形，这种情况不存在.综上所述，等腰三角形ABC的周长 为25. 易错警示 不能利用新定义隐含的条件解决问题 解答这类新定义问题时，需要先阅读定义，正确理 解其蕴含的条件，再结合可能出现的情形分类讨论求得 结果 5.(1)如图，连接AE.:EF垂直平分AB,∴AE=BE BE=AC,.AE=AC.:D是EC的中点，.ADL BC.(2)设∠B=x.AE=BE,∴.∠BAE=∠B=x 由三角形的外角的性质，得∠AEC=2x.:'AE=AC, ∴.∠AEC=∠C=2x.在△ABC中，x+2x+75°=180°， 解得x=35°.∴.∠B=35°. B ED C (第5题) 6.D设∠BAC=a,.∠C+∠B=180°-a.:'DE是 AB的垂直平分线，∴.EA=EB..∠EAB=∠B.同理， ∠GAC=∠C...∠EAB+∠GAC=∠C+∠B=180° a.∴.∠EAG=∠BAC-(∠EAB+∠GAC)=a-(180° a)=40°...a=110°..∠BAC=110° 7.22如图，在AC上截取AE=AB,连接DE.AD平 分∠BAC,∠BAD=57°，∴.∠BAD=∠DAE=57, ∠BAC=2∠BAD=114°.又.AD=AD,.△ABD≌ △AED(SAS)..∠B=∠AED,BD=DE.又：AB+ BD=AC,AE十CE=AC,∴.CE=BD=DE.∴.∠C= ∠EDC..∠B=∠AED=2∠C.∴.∠B∠C=2:1. ∠B+∠C=180°-114°=66°，∴.∠C=22°. E B D C (第7题) 8.100°解法一：如图①，连接OB.,1,垂直平分AB, .OA=OB.∴.∠A=∠ABO.∴.∠AOB=180°-2∠ABO. l2垂直平分BC,∴.OC=OB.∴.∠C=∠CBO. ∴.∠COB=180°-2∠CBO.:∠AOB+∠BOC+ ∠A0C=360°，∴.∠AOC=360°-(180°-2∠CB0+ 180°-2∠ABO)=2(∠CBO+∠ABO)=2∠ABC=2X 50°=100°.解法二：如图②，连接OB,AC.:11垂直平 分AB,.OA=OB..∠BAO=∠ABO.l2垂直平分 BC,.OC=OB.∴.∠BCO=∠CBO..∠OCB+ ∠BAO=∠ABO+∠CBO=∠ABC.在△ACO中， ∠AOC=180°-（∠OAC+∠ACO)=180°-（∠BAC ∠OAB+∠ACB-∠BCO)=180°-∠BAC+∠OAB- ∠ACB+∠BCO=(180°-∠BAC-∠ACB)+(∠OAB+ ∠BCO)=2∠ABC=100°. ① ② (第8题) 9.(1)DE垂直平分AB,∴AE=BE.BF垂直平分 CE,..BE=BC..AE BC.(2)AE BE, ∴.∠A=∠ABE.∠BEC=∠A+∠ABE,∴.∠BEC= 2∠A.:BE=BC,∴.∠C=∠BEC.∴.∠C=2∠A.设 ∠A=x°，则∠C=2x°.AB=AC,.∠ABC=∠C= 2x°.∠A+∠ABC+∠C=180°，.x十2x十2x=180, 解得x=36.∴.∠A=36. 10.(1):AB=AC,∠BAC=100°，∴.∠ABC= ∠ACB=40°.：BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC= 20°.BD=AB,∴.∠ADB=∠DAB=80°.∴.∠CAD= 20°.∴.∠CAD=∠DBC.(2)如图，延长AD到点E,使 得AE=BC,连接EC.AB=AC,BD=AB,.BD= AC.又.BC=AE,∠CAD=∠DBC,'.△DBC≌△CAE 19 (SAS).∴.CD=EC,∠BDC=∠ACE..∠CDE= ∠CED.设∠CDE=∠CED=a.,∠ADB=80°， ∴.∠BDE=100°..∠BDC=∠ACE=100°+a.:在 △ACE中，20°+100°+a+a=180°，.a=30°. ,.∠BDC=130° 0 B C E (第10题) 11.D在△ABC中，AB=AC,∠ABC=a.∴.∠ACB= ∠ABC=a.由三角形内角和定理，得∠BAC=180° (∠ACB+∠ABC)=180°-2a.依题意，有以下三种情况： ①如图①，当点D在线段BC上时，：AC=CD ÷∠CAD=∠CDA=号(180-∠ACB)=90°-)a, :∠CDA=∠AC+∠BAD.90-2a=ata.0= 90°-.进项A不符合题意.@如图@，当点D在 BC的延长线上时，AC=CD,∴.∠CAD=∠CDA. :∠ACB=∠CAD+∠CDA=2∠CAD.∴.∠CAD ∠ACB=7&..∠BAD=∠BAC+∠CAD=180°- 1 2a十2=180°-2，即0=180-号4选项B不符合 题意.③如图③，当点D在CB的延长线上时，∠CAD= ∠BAC+∠BAD=180°-2a+6.·'AC=CD, ∴.∠CDA=∠CAD=180°-2a+0.∠ABC= 3 ∠BAD+∠CDA..a=0+180°-2a+0.0=2a- 90°.选项C不符合题意.选项D中的关系不可能存在， ∴.选项D符合题意. B ① ② ③ (第11题) 12.(1).CD⊥AD,..∠ADC=90°...∠ACD十∠A= 90°.，'CE平分∠BCD,∴.∠BCE=∠DCE.:AB= BC,.∠A=∠ACB..∠ACD+∠A=2∠ACB+ 2∠BCE=90°.∴.∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°. (2).FH⊥AC,.∠AHE=∠FHC=90°.由(1)，得 D ∠ACE=45°，.∠HEC=45°=∠ACE..HE=HC. CD⊥AB,.∠EDF=90°.∴.∠AHE=∠EDF :∠AEH=∠FED,∴.∠A=∠F.在△AHE和△FHC ∠A=∠F, 中，∠AHE=∠FHC,∴.△AHE≌△FHC(AAS). HE=HC, .'AE=FC. 第2课时等腰三角形的判定 1.D:∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°- 36=72°，∴.∠BDC=∠C.∴.BD=BC.∴.△BDC为等 腰三角形.，∠BDC=∠A+∠ABD,∠A=36°，∴.∠ABD= 36.∴.∠ABD=∠A..BD=AD.∴.△ABD为等腰三 角形.：∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，∴.∠ABC= ∠C.∴.AB=AC.∴△ABC为等腰三角形.∴.题图中的 等腰三角形共有3个. 2.110:∠A=∠BCA,∠ABC=100°，.∠A= ∠BCA=180°-ABC=40,BA=BC.:D为AC的中 点，∴.BD LAC.∴.∠BDC=90°.∠DCB是△DCE的 一个外角，∴.∠DCB=∠CDE+∠E=40°.·CD=CE, ∴.∠CDE=∠E=20°.∴.∠BDE=∠BDC+∠CDE= 110°. 3.(1)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°， ∴.∠ABC=∠ACB=72.BD是∠ABC的平分线， &∠ABD=号∠ABC=36.&∠ABD=∠BAD. .AD=BD.E是AB的中点，∴.DE⊥AB,AE=BE ∴EF是AB的垂直平分线.(2)，EF是AB的垂直平 分线，∴.AF=BF.∴.∠FAB=∠FBA=72°.∴.∠CAF= 72°-36°=36.∴.∠CFA=∠ACB-∠CAF=36. .∠CAF=∠CFA..△ACF为等腰三角形. 4.C当AD=AB时，∠ADB=∠ABD=40°.∴.∠A= 180°-∠ADB-∠ABD=180°-40°-40°=100°.当AD= BD时，∠A=∠ABD=40°.当AB=BD时，∠A= ∠ADB.:∠ABC=40°，∴.∠A=∠ADB= 180°-∠ABC_180°一40°=70.综上所述，∠A的度数为 2 2 40°或70°或100°时，△ABD为等腰三角形 5.A:DE∥BC,∴.∠DFB=∠FBC,∠EFC= ∠FCB.:BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分 线，.∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB.∴∠DBF= ∠DFB,∠EFC=∠ECF..△BDF和△CEF都是等腰 三角形，即BD=DF,FE=CE.∴.①正确.∴DE=DF十 FE=BD十CE..②正确.∴.△ADE的周长=AD十 20第1章三角形 1.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.若一个等腰三角形的一个外角为105°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 () A.30 B.30°或70 C.30°或70或75 D.30°或759 2.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°，则∠ACE的度 数是 () A.30° B.35 C.60° D.75 (第2题) (第3题) 3.如图，直线BD⊥AC,垂足为O,且AO=CO.若∠ADC十∠ABC=220°，则∠DAB的度数 为 4,易错题定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形被称为“倍长三角形”.若等 腰三角形ABC为“倍长三角形”，底边BC的长为5，则等腰三角形ABC的周长为 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点， BE=AC,连接AD. (1)求证：AD⊥BC. (2)若∠BAC=75°，求∠B的度数. (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC, BC于点F,G.若∠EAG=40°，则∠BAC的度数为 () A.140° B.130° C.120° D.110° (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AB+BD=AC.若∠BAD=57°，则∠C= 8.一题多解如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠B=50°，则∠AOC= 29 拔尖特训：数学（苏科版）八年级上 9.如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,交边AB于点D,交边AC于点E,BF垂直平 分CE,交AC于点F,连接BE. (1)求证：AE=BC (2)求∠A的度数. (第9题) 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BD平分∠ABC,且BD=AB,连接AD,DC. (1)求证：∠CAD=∠DBC. (2)求∠BDC的度数. (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.向探究题在△ABC中，D为直线BC上一点.若∠ABC=a,∠BAD=0,且AB=AC= CD,则0与α之间的关系式不可能为 () A0=0号0 k0=1s0-30 Cg-8a-90 n0=12w-3e 12.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC>90°，CD与直线AB垂直，垂足为D,∠BCD的平分线 CE交BD于点E,点H在线段AC上，HE的延长线与CD的延长线相交于点F. (1)求证：∠ACE=45°. (2)若FH⊥AC,求证：AE=FC. R (第12题) 30 >“答案与解析”见D18