1.5 第3课时 等边三角形-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

AE十DE=AD十AE十BD+CE=AB十AC.'.③正确 现有条件无法证明BF=CF,∴.④不一定正确.综上所 述，一定正确的是①②③. 6.4设运动的时间为xs..AP=(20一3x)cm,AQ= 2xcm.当△APQ是以PQ为底边的等腰三角形时，AP= AQ,∴.20一3x=2x,解得x=4..运动的时间是4s. 7.(1)∠C=3∠B,∠C=75,.∠B=25° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.AD平分∠BAC ·∠BAD=号∠BAC=40.·∠ADE=∠BAD+ ∠B=65°.AE⊥BC,.∠AED=90..∠DAE= 90°-∠ADE=90°-65°=25°.(2)设∠B=a,则∠C= 3a,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4a.:AD平分 ∠BAC,∠BAD=2∠BAC=90°-2a.:DFLAD. ∴.∠ADF=90°.∴.∠AFD=90°-∠BAD=2a. :∠AFD=∠B+∠BDF,六∠BDF=Q=∠B. ∴BF=DF 一微专题·“角平分线十平行→等腰”模型 1.CAB∥CD,∴.∠F=∠BAF.AD∥BC, .∠DAF=∠AGB,∠EBC=∠AEB.:BE平分 ∠ABC,∴.∠EBC=∠ABE.∴.∠ABE=∠AEB. ∴.AB=AE,即△ABE是等腰三角形.：AF⊥BE, AB=AE,∴.∠BAF=∠DAF..∠BAF=∠DAF ∠AGB=∠F=∠CGF.∴.AB=BG,即△ABG是等腰 三角形；AD=DF,即△AFD是等腰三角形；CG=CF, 即△CGF是等腰三角形.∴.共有4个等腰三角形. 2.15,AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD=∠CAD. .DE∥AB,.∠BAD=∠ADE..∠CAD=∠ADE. .AE=DE=7..AC=AE+CE=7+8=15. 3.(1)EG∥AD,.∠G=∠BAD,∠AFG ∠CAD.AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD ∴∠G=∠AFG.∴.△AFG为等腰三角形. (2):AD平分∠BAC,∠BAC=82°，∴.∠BAD ∠CAD=号∠BAC=4R.:EG∥AD,∠EFC ∠CAD=41°.CE=EF,.∠C=∠EFC=41° ∴.∠B=180°-（∠BAC+∠C)=180°-(82°+ 41)=57°. 第3课时等边三角形 1.DAB=BC=8,∠A=60°，∴.△ABC是等边三角 形.∴.AC=AB=BC=8.∴.AB十BC+AC=8十8+8= 24,即△ABC的周长为24. 2.C△ABC是等边三角形，AB=8,∴.AB=BC= AC=8.BD是∠ABC的平分线，∴.AD=CD= CCE-CD.CE CE=8+4=12,即BE的长为12. 3.60°：△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC= 60°..'∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°， ∴.∠AOD=60°.又：OD=OA,∴.△AOD为等边三角 形.∴.AO=AD,∠OAD=60°，∠ADO=60°.∠BAO+ ∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，∴.∠BAO=∠CAD.在 AB=AC, △BAO和△CAD中，∠BAO=∠CAD,∴.△BAO≌ AO=AD, △CAD(SAS).∴.∠AOB=∠ADC=120°..∠BDC= ∠ADC-∠ADO=60°. 4.55°△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC= 60°.BC=BD,.AB=BD.∴.∠BAD=∠ADB=25 ∴.∠ABD=180°-25°-25°=130°.∴.∠CBD=130° 60=70.∠PCD=∠BDC=号(180°-∠CBD)=55 5.△ABC为等边三角形，∴.AB=CA,∠BAC= ∠ACB=60°.∴.∠EAB=∠DCA=120°.在△EAB和 (AE-CD. △DCA中，∠EAB=∠DCA,∴.△EAB≌△DCA AB=CA, (SAS).∴.BE=AD. 6.D由题可得，CA=CD,BA=BD,∴.CB是AD的垂 直平分线，即CE垂直平分AD.,CA=CD,∴.CE平分 ∠ACD.故A,B不符合题意.DB=AB,∴.△ABD是 等腰三角形.故C不符合题意.AD与AC不一定相等， ∴.△ACD不一定是等边三角形.故D符合题意 7.B如图，连接AC.△ABD是等边三角形，∴.AB= AD,∠BAD=∠ADB=60°..BC=CD,.∠CBD= ∠CDB=2∠DCE,AC垂直平分BD.∴.易得∠EAC= ∠BAD=30°.：AE=EC,.∠ACE=∠EAC=30 1 ∴.∠DEF=∠ACE+∠EAC=6O°.∴.易得△DEF为等 边三角形.∴.∠DFE=60°.：∠CDB=2∠DCE, ∴.∠CDF+∠DCE=∠DFE=60°，即2∠DCE+ ∠DCE=60°..∠DCE=20°. (第7题) 21 易错警示 不能运用等边三角形的性质解题 解答以等边三角形为背景的问题时，不能灵活运用 等边三角形的性质，忽视蕴含在其中的相等角、相等边， 而导致解题思路受限」 8.15如图，分别作边AB,CD,E℉的延长线和反向延长 线，使它们交于点G,H,P.:六边形ABCDEF的六个角 的度数都是120°，∴.六边形ABCDEF的每一个外角的度 数都是60°..易得△APF,△BGC,△DHE,△GHP都 是等边三角形.∴.PA=AF=PF,BG=GC=BC=3cm, DH=DE=EH=2 cm,PG=GH=PH..GH=3+3+ 2=8(cm)..AF=PA=PF=PG-AB-BG=8-1- 3=4(cm)..EF=PH-PF-EH=8-4-2=2(cm). ∴.这个六边形的周长是1十3+3+2+2十4=15(cm). A G C D (第8题) 9.(1)△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠B= ∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠B=∠EDC=60°，∠A ∠CED=60°.：EF⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠F=30. (2):∠F+∠FEC=∠ECD=60°，∴.∠F=∠FEC 30°.∴.CE=CF.∠EDC=∠ECD=∠DEC=60, ∴.△CED为等边三角形.∴.CE=CD=2..CF=2 .DF=CD十CF=2+2=4. 10.(1):'△ABC是等边三角形，∴.∠ABQ=∠CAP 60°，AB=CA.又点P,Q同时出发，且运动速度相同， (AB=CA, ∴.AP=BQ.在△ABQ和△CAP中，3∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, ∴.△ABQ≌△CAP(SAS.(2)不变.由(1)，知 △ABQ≌△CAP(SAS)..∠BAQ=∠ACP..·∠QMC= ∠ACP+∠MAC,,'.∠QMC=∠BAQ+∠MAC= ∠BAC=60°.(3)不变.由(1)，易得△ABQ≌△CAP (SAS)..∠BAQ=∠ACP.,∠QMC=∠BAQ+ ∠APM,∴.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC= 180°-60°=120°. 第4课时直角三角形的性质定理 1.C'CD是高，∴.∠CDB=90°.∴.∠B+∠DCB= 90°.∠ACB=90°，.∠A+∠B=90°.∴.∠DCB= D ∠A.故①正确.∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中 线，.AE=CE=2AB.∠A=∠ACE.:∠A- ∠DCB,∴.∠DCB=∠ACE.故②正确.∴.∠DCB+ ∠ECD=∠ACE+∠ECD.∴.∠BCE=∠ACD.故③正 确.∠BEC=∠A十∠ACE=2∠A,∠BCE=∠BCD+ ∠ECD=∠A十∠ECD.又：'∠A≠∠ECD,∴.∠BCE≠ ∠BEC.故④错误.∴.正确的有3个. 2.4如图，连接AE.AD=AB,E是BD的中点， .AE⊥BD..△ACE是直角三角形.F是AC的中 点，AC=8EF=2AC=4 B E D (第2题) 3.18.AD是△ABC的高，.∴.∠ADB=∠ADC=90°. :在Rt△ADB中，E是AB的中点，∴.DE=2AB.同理 可得，DF=2AC,:四边形A5DF的周长=AE+DE+ AF+DF=AB+AC=18 cm. 4.(1)如图，连接DF.:'AD是△ABC的边BC上的高， ·∠ADB=90,:F是AB的中点，DF=号AB= BF.DC=BF,.DC=DF.E是CF的中点， .DE⊥CF.(2)DC=DF,.∠DCF=∠DFC. ∴.∠FDB=∠DFC+∠DCF=2∠DCF.:DF=BF, ∴.∠FDB=∠B.∴.∠B=2∠BCF D (第4题) 5.B如图，连接CM,CN.:∠ACB=90°，AB=10, DE=4,M,N分别是DE,AB的中点.∴CN=号AB 5.CM=DE=2.当点C,M,N在同-条直线上时，MN 的长取最小值，.MN长的最小值为5一2=3. A E >B (第5题) 22第1章三角形 第3课时等边三角形 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.在△ABC中，已知AB=BC=8,∠A=60°，则△ABC的周长为 () A.8 B.16 C.20 D.24 2.如图，△ABC是等边三角形，AB=8,BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E,使得CE=CD, 则BE的长为 （) A.8 B.10 C.12 D.16 (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO的延长线上一点，且OD=OA,连接AD.若 ∠AOB=120°，则∠BDC= 4.如图，△ABC是等边三角形，BC=BD,∠BAD=25°，则∠BCD的度数为 5.如图，在等边三角形ABC中，D为BC的延长线上一点，E为CA的延长线上一点，且AE=CD. 求证：BE=AD. C (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆 心，AC长为半径画弧；两弧交于点D,连接AD,BD,CD,CB的延长线交AD于点E.下列结论 中，不一定成立的是 （) A.CE垂直平分AD B.CE平分∠ACD C.△ABD是等腰三角形 D.△ACD是等边三角形 (第6题) (第7题) 7.易错题如图，△ABD是等边三角形，BC=DC,点E在AD上，CE交BD于点F,AE=EC.若 ∠CBD=2∠DCE,则∠DCE的度数为 () A.40° B.20° C.30° D.15° 33 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 8.如图，六边形ABCDEF的六个角的度数都是120°，边长AB=1cm,BC=3cm, CD=3cm,DE=2cm,则这个六边形的周长是 cm. 9.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且DEAB,过点E 作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (第8题) (1)求∠F的度数， (2)若CD=2,求DF的长 B D (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.向探究题如图①，P,Q分别是等边三角形ABC的边AB,BC上的动点（端点除外），点P 从顶点A出发，运动到点B,点Q从顶点B同时出发，运动到点C,且它们的运动速度相同，连 接AQ,CP交于点M. (1)求证：△ABQ≌△CAP (2)当点P,Q分别在边AB,BC上运动时，∠QMC的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不 变，请求出它的度数 (3)如图②，若点P,Q在运动到点B,C后继续在射线AB,BC上运动，直线AQ,CP交于点 M,则∠QMC的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数. ② (第10题) 34 >“答案与解析”见D21