1.3 专题特训三 全等三角形中的动态问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 专题特训三 全等三角形中的动态问题 类型一全等三角形中动点引起的分类讨论问题 1.如图，CA⊥AB,垂足为A,射线BM⊥AB,垂足为B,AB=15cm,AC=6cm.动点E从点A出 发以3c/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着点E运动而运动，始终保持 ED=CB.若点E的运动时间为ts(t>0),则当t= 时，△DEB与△BCA全等. M B AEB N MD C E N (第1题) (第2题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,顶点C在直线MN上，点P以3cm/s 的速度沿A→C→B向点B运动，同时点Q以5cm/s的速度从点B开始，在线段BC上往返运 动（即沿B→C→B→C→…运动），当点P到达点B时，点P,Q同时停止运动.过点P,Q分别 作直线MN的垂线，垂足分别为D,E.设两点的运动时间为ts,当△PCD与△QCE全等时，t 的值为 类型二利用全等三角形中的动点求线段长问题 3.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于点E,DH⊥AC于点H,且满足DE=DH,F 为AE的中点，G为直线AC上一动，点，满足DG=DF.若AE=4cm,则AG的长为cm (第3题) (第4题) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,AD平分∠CAB交BC于点D.若 E,F分别是AD,AC上的动点，则EF+CE的最小值为 类型三全等三角形中有关动点的综合问题 5.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD,垂足为E,交 直线AC于点P. (1)如图①，若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，试猜想AP,CD,BC之间的数量 关系，并说明理由， (2)如图②，若点D在线段BC上，试猜想AP,CD,BC之间的数量关系，并说明理由， P E ③ (第5题) 22 第1章三角形 6.在△ABC中，AB=AC,D是射线CB上一动点（不与点B,C重合），以AD为一边在AD的右 侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图①，当点D在线段CB上，且∠BAC=90时，∠DCE=. (2)设∠BAC=a,∠DCE=B. ①如图②，当点D在线段CB上，且∠BAC≠90°时，请探究α与3之间的数量关系并证明 ②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，请将图③补充完整，写出此时a与3之间的数量关 系并证明. D ② ⊙ (第6题) “答案与解析”见D14 23..△COD≌△COF(ASA)...CD=CF.又.AF=AE ∴.AC=AF+CF=AE+CD,即AE+CD=AC. (3)△AOE≌△AOF,△COD≌△COF,∴.OE=OF, OD=OF..∴.OE=OD 0 D (第6题) 7.EF=BE十CF.理由：如图，延长AB到点M,使得 BM=CF,连接MD.∠ABD+∠C=180°，∠ABD+ ∠MBD=180°，∴.∠MBD=∠C.在△BDM和△CDF BD=CD. 中，∠MBD=∠C,∴.△BDM≌△CDF(SAS).∴.DM= BM=CF. DF,∠BDM=∠CDF.I∠EDB+∠CDF=∠CDB- ∠EDF=120°-60°=60°，∴.∠EDM=∠EDB+ ∠BDM=6O°=∠EDF.在△DEM和△DEF中， DE-DE ∠EDM=∠EDF,∴.△DEM≌△DEF(SAS).∴.EM= DM=DF, EF.·EM=BE十BM=BE十CF,∴.EF=BE+CF E M--- D (第7题) 8.C如图，延长AP交BC于点D.BP平分∠ABD, .∠ABP=∠DBP.BP⊥AP,.∠BPA=∠BPD 90°.又BP=BP,.△BAP2△BDP(ASA).∴.AP= DP..△BAP的面积=△BDP的面积，△APC的面 积=△DPC的面积.△ABC的面积为12cm2, ∴.△PBC的面积=△BDP的面积+△DPC的面积= 2×△ABC的面积=号X12=6(cm). B D (第8题) 9.B解法一：如图①，过点E作EF⊥AD于点F,则 ∠AFE=∠DFE=90°.：'ABCD,∠C=90°，∴.∠B+ ∠C=180°.∴.∠B=90°.：AE,DE分别平分∠BAD, ∠CDA,'.∠BAE=∠FAE,∠CDE=∠FDE.在△ABE 和△AFE中，∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE, D AE=AE,∴.△ABE≌△AFE(AAS).∴.AB=AF=12. 同理可得△CDE≌△FDE(AAS).∴.CD=FD=4. ∴.AD=AF+FD=12+4=16.解法二：如图②，延长 AB,DE相交于点F.,AE,DE分别平分∠BAD, ∠CDA,.∠DAE=3∠BAD,∠ADE=2∠ADC. AB∥CD,.∠BAD+∠ADC=180°..∠DAE+ ∠ADE=号∠BAD+7∠ADC=90::.∠AED=90. 即∠AEF=∠AED=90°.在△AEF和△AED中， :∠AEF=∠AED=90°，AE=AE,∠FAE=∠DAE, ∴.△AEF≌△AED(ASA).∴.AF=AD,EF=ED. ·'AB∥CD,∴.∠F=∠EDC,∠FBE=∠C=90°.在 △BFE和△CDE中，∠FBE=∠C=90°，∠F= ∠EDC,EF=ED,∴.△BFE≌△CDE(AAS).∴.BF= CD=4...AD=AF=AB+BF=12+4=16. B ① ② (第9题) 专题特训三全等三角形中的动态问题 1.3或7或10由题意，得AE=3tcm.:'CA⊥AB, BM⊥AB,.∠CAB=∠DBE=90°.ED=CB,.∴.有 以下四种情况：当点E在线段AB上时，①若BE=AC,则 Rt△DEB≌Rt△BCA(HL).∴.BE=AB-AE=(15- 3t)cm..15-3t=6.∴.t=3.②若BE=AB,则 Rt△DEB≌Rt△CBA(HL).此时AE=O,即t=O(舍去). 当点E在线段AB的延长线上时，③若BE=AC,则 Rt△DEB≌Rt△BCA(HL).:'AE=AB+BE=15+6= 21(cm),∴.3t=21,解得t=7.④若BE=AB,则 Rt△DEB≌Rt△CBA(HL).:AE=AB+BE=15+ 15=30(cm),…∴.3t=30,解得t=10.∴.当t=3或7或10 时，△DEB与△BCA全等 21或子或5①当点P在AC上时，由题意，得 ∠ACB=∠QEC=∠CDP=90°，∴.∠DPC=90°- ∠PCD=∠QCE.若△PCD与△QCE全等，即△PCD≌ △CQE,则PC=CQ.∴.6-3t=8-5t或6-3t=5t-8. 4=1或4=子.②当点P在CB上时，∠PC= ∠QEC=90°，∠PCD=∠QCE.若△PCD与△QCE全等， 即△PCD≌△QCE,则PC=QC.∴.3t-6=5t-8或3t- 14 6=8-(61-16.∴1=1（含去）或：只综上所述t的值 为1或子或9 3.2或6AE=4cm,F为AE的中点，∴.AF=EF= 2cm.:DE⊥AB,DH⊥AC,∴.∠DEF=∠DHG=90°， 即△DEF和△DHG均为直角三角形.在Rt△DEF和 R△DHG中，DF=DG, DE=DH, ∴.Rt△DEF≌Rt△DHG (HL).∴.EF=HG=2cm.在Rt△ADE和Rt△ADH中， AD=AD:Rt△ADE≌R△ADH(H.·AE= DE=DH, AH=4cm.如图，当点G,在AH上时，AG=AH一 HG,=2cm;当点G2在AH的延长线上时，AG2=AH+ HG2=6cm.综上所述，AG的长为2cm或6cm. D (第3题) 44 如图，在AB上取点F',使得AF'=AF,过点C作 CH⊥AB,垂足为H.:AD平分∠CAB,∴.∠CAD= ∠BAD.又AE=AE,∴.△AEF≌△AEF'(SAS). EF-EF'ZACB-90SAM-AB CH- AC .CHAC-装：F+CE=EF+ AB EC,∴.当C,E,F'三点共线，且点F与点H重合时， EF+CE的值最小，最小值为器 B (第4题) 5.(1)BC=AP+CD.理由：∠ACB=90°，BE⊥AD, ∴.∠ACD=90°，∠D+∠DAC=90°，∠D+∠DBE= 90°.∴.∠DAC=∠DBE.在△ACD和△BCP中， ∠DAC=∠PBC, AC=BC, ∴.△ACD≌△BCP(ASA)..CD= ∠ACD=∠BCP, CP.BC=AC=CP AP,.BC=AP+CD. (2)AP=BC+CD.理由：：∠ACB=90°，BE⊥AD, .∴.∠BCP=90°，∠P+∠PAE=90°，∠P+∠PBC=90 ,'.∠PAE=∠PBC.同(1)可证△ACD≌△BCP(ASA). .CD=CP..AP=AC+CP,.'.AP=BC+CD D 6.(1)90.:∠BAC=∠DAE,即∠BAD+∠DAC= ∠DAC十∠CAE,∴.∠BAD=∠CAE.在△BAD和 AB=AC, △CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE AD-AE. (SAS).∴.∠B=∠ACE.∠BAC=90°，∴.∠B+ ∠ACB=90°.∴.∠DCE=∠ACE+∠ACB=90° (2)①a+B=180°.∠BAC=∠DAE,即∠BAD+ ∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴.∠BAD=∠CAE.在 AB=AC, △BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌ AD-AE, △CAE(SAS).∴.∠B=∠ACE.'∠BAC=a,∴.∠B+ ∠ACB=180°-a.∴.∠DCE=∠ACE+∠ACB=180° a=B.∴.a十B=180°.②补充图形如图所示，a=R. ∠DAE=∠BAC=a,即∠BAD+∠BAE=∠BAE+ ∠CAE,.∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS). AD=AE, ∴.∠ADB=∠AEC.'∠ADE+∠AED+a=180°， ∠CDE+∠CED+B=180°，∠CED=∠AEC+∠AED, ∴.a=B. D (第6题) 1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 1.A:点M在AP的垂直平分线上，点N在PC的垂 直平分线上，∴.AM=PM,PN=CN.∴.△BMN的周长 BM+PM+PN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+ BC=9. 2.C根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理，①若直 线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB,PA=PB, 符合性质定理，是正确的；②若PA=PB,EA=EB,则直 线PE垂直平分线段AB,符合逆定理，是正确的；③若 PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符 合逆定理，是正确的；④若EA=EB,则过点E的直线垂 直平分线段AB,不符合逆定理，是错误的.综上所述，正确 的有3个. 3.5点P在线段AB的垂直平分线上，∴.PA=PB.