1.3 专题特训二 添加辅助线构造全等三角形-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 专题特训二添加辅助线构造全等三角形 类型一直接连线法 1.如图，AB=DC,AC=DB,AC和DB相交于点E.求证：∠A=∠D. (第1题) 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在AB,AD上，AE=AF,CE=CF.求 证：CB=CD, B E (第2题) 类型二倍长线段法 3.如图，AD是△ABC的中线，点E,F分别在AB,AC上，且DE⊥DF,连接EF.求证：BE十 CF>EF. B D (第3题) 4.如图，在△ABC和△A'B'C'中，AM,A'M分别是边BC,BC'上的中线，AB=A'B',AC=A'C, AM=AM'.求证：△ABC≌△A'B'C. (第4题) 20 第1章三角形 类型三截长补短法 5.如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P为AD上一点，连接PB,PC.求证：AB-AC>PB一 PC. B D (第5题) 6.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O. (1)求∠AOC的度数. (2)求证：AE+CD=AC. (3)求证：OE=OD. D (第6题) 7.考回探宽题如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC,∠BDC=120°，以D为顶 点作一个60°角，角的两边分别交AB,AC于E,F两点，连接EF.试写出线段BE,CF和EF之 间的数量关系，并说明理由 (第7题) 类型四利用角平分线构造全等三角形法 8.如图，△ABC的面积为12cm2,AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P,连接PC,则△PBC的 面积为 () A.9 cm2 B.8 cm C.6 cm D.5 cm2 B (第8题) (第9题) 9.一题多解如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠C=90°，E是BC上一点，AE,DE分别平分 ∠BAD,∠CDA.若AB=12,DC=4,则AD的长为 () A.12 B.16 C.18 D.20 ●“答案与解析”见D13 21专题特训二添加辅助线构造全等三角形 AB=DC, 1.连接BC.在△ABC和△DCB中，AC=DB BC=CB, .'.△ABC≌△DCB(SSS)..∠A=∠D. AE-AF, 2.如图，连接AC.在△ACE和△ACF中，{CE=CF, AC=AC, ∴.△ACE2△ACF(SSS).∴.∠EAC=∠FAC.在△ACB 1∠B=∠D=90°， 和△ACD中， ∠BAC=∠DAC,.△ACB≌△ACD AC=AC, (AAS).∴.CB=CD. E (第2题) 3.如图，延长FD至点G,使得GD=DF,连接BG,EG. AD是△ABC的中线，.CD=BD.在△DFC和 DF=DG, △DGB中， ∠CDF=∠BDG,.∴.△DFC≌△DGB CD=BD (SAS).∴.CF=BG..DE⊥DF,..∠FDE=∠GDE= DF=DG, 90°.在△EDF和△EDG中， {∠FDE=∠GDE, DE-DE, .△EDF2△EDG(SAS).∴.EF=EG.在△BEG中， BE+BG>EG,.BE十CF>EF. D (第3题) 4.如图，延长AM到，点E,使得AM=ME,连接BE,延长 A'M到点E',使得A'M=ME,连接B'E'.AM是边 BC上的中线，∴.BM=CM.在△AMC和△EMB中， AM-EM, ∠AMC=∠EMB,∴.△AMC≌△EMB(SAS). CM=BM, .∠MAC=∠E,AC=EB.同理，可得∠E'=∠M'A'C', B'E'=A'C'..AC=A'C',.'.BE=B'E'..AE=2AM, A'E=2A'M,且AM=A'M',.AE=A'E.在△ABE D AE=A'E', 和△A'B'E中，{BE=B'E',∴△ABE≌△A'B'E AB=A'B', (SSS).∴.∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E'.又∠E= ∠MAC,∠E'=∠MA'C',∴.∠MAC=∠MA'C' ∴.∠BAM+∠MAC=∠B'A'M+∠MA'C',即 ∠BAC=∠B'A'C'.在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B', ∠BAC=∠B'A'C',∴.△ABC≌△A'B'C'(SAS). AC=AC, M 'M' C E E (第4题) 5.如图，在AB上截取AE,使得AE=AC,连接PE.在 AE=AC, △AEP和△ACP中，∠1=∠2，.△AEP≌△ACP AP=AP, (SAS).∴.PE=PC.在△PBE中，BE>PB-PE, ∴.AB-AE>PB-PC,即AB-AC>PB-PC. A B (第5题) 6.(1):在△ABC中，∠B=60°，∴.∠BAC+∠ACB= 180°-∠B=180°-60°=120°.：AD平分∠BAC,CE平 分∠ACB,&∠0AC=∠0AB=∠BMC,∠0CD= ∠OCA= 2∠ACB.·在△OAC中，∠AOC=180°- (∠0AC+∠0CA)=180-3(∠BAC+∠ACB)= 18w-合×12w0=12w(2)∠A00=120. .∴.∠AOE=∠D0C=180°-∠A0C=180°-120°=60°. 如图，在AC上截取AF=AE,连接OF.在△AOE和 AE=AF, △AOF中， ∠OAE=∠OAF,∴.△AOE≌△AOF OA=OA, (SAS).∴.∠AOE=∠AOF=60°.∴.∠COF=∠AOC- ∠AOF=120°-60°=60°.又∠COD=60°，.∠COD= 1∠COD=∠COF, ∠COF.在△COD和△COF中，{OC=OC, I∠OCD=∠OCF, 6 ..△COD≌△COF(ASA)...CD=CF.又.AF=AE ∴.AC=AF+CF=AE+CD,即AE+CD=AC. (3)△AOE≌△AOF,△COD≌△COF,∴.OE=OF, OD=OF..∴.OE=OD 0 D (第6题) 7.EF=BE十CF.理由：如图，延长AB到点M,使得 BM=CF,连接MD.∠ABD+∠C=180°，∠ABD+ ∠MBD=180°，∴.∠MBD=∠C.在△BDM和△CDF BD=CD. 中，∠MBD=∠C,∴.△BDM≌△CDF(SAS).∴.DM= BM=CF. DF,∠BDM=∠CDF.I∠EDB+∠CDF=∠CDB- ∠EDF=120°-60°=60°，∴.∠EDM=∠EDB+ ∠BDM=6O°=∠EDF.在△DEM和△DEF中， DE-DE ∠EDM=∠EDF,∴.△DEM≌△DEF(SAS).∴.EM= DM=DF, EF.·EM=BE十BM=BE十CF,∴.EF=BE+CF E M--- D (第7题) 8.C如图，延长AP交BC于点D.BP平分∠ABD, .∠ABP=∠DBP.BP⊥AP,.∠BPA=∠BPD 90°.又BP=BP,.△BAP2△BDP(ASA).∴.AP= DP..△BAP的面积=△BDP的面积，△APC的面 积=△DPC的面积.△ABC的面积为12cm2, ∴.△PBC的面积=△BDP的面积+△DPC的面积= 2×△ABC的面积=号X12=6(cm). B D (第8题) 9.B解法一：如图①，过点E作EF⊥AD于点F,则 ∠AFE=∠DFE=90°.：'ABCD,∠C=90°，∴.∠B+ ∠C=180°.∴.∠B=90°.：AE,DE分别平分∠BAD, ∠CDA,'.∠BAE=∠FAE,∠CDE=∠FDE.在△ABE 和△AFE中，∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE, D AE=AE,∴.△ABE≌△AFE(AAS).∴.AB=AF=12. 同理可得△CDE≌△FDE(AAS).∴.CD=FD=4. ∴.AD=AF+FD=12+4=16.解法二：如图②，延长 AB,DE相交于点F.,AE,DE分别平分∠BAD, ∠CDA,.∠DAE=3∠BAD,∠ADE=2∠ADC. AB∥CD,.∠BAD+∠ADC=180°..∠DAE+ ∠ADE=号∠BAD+7∠ADC=90::.∠AED=90. 即∠AEF=∠AED=90°.在△AEF和△AED中， :∠AEF=∠AED=90°，AE=AE,∠FAE=∠DAE, ∴.△AEF≌△AED(ASA).∴.AF=AD,EF=ED. ·'AB∥CD,∴.∠F=∠EDC,∠FBE=∠C=90°.在 △BFE和△CDE中，∠FBE=∠C=90°，∠F= ∠EDC,EF=ED,∴.△BFE≌△CDE(AAS).∴.BF= CD=4...AD=AF=AB+BF=12+4=16. B ① ② (第9题) 专题特训三全等三角形中的动态问题 1.3或7或10由题意，得AE=3tcm.:'CA⊥AB, BM⊥AB,.∠CAB=∠DBE=90°.ED=CB,.∴.有 以下四种情况：当点E在线段AB上时，①若BE=AC,则 Rt△DEB≌Rt△BCA(HL).∴.BE=AB-AE=(15- 3t)cm..15-3t=6.∴.t=3.②若BE=AB,则 Rt△DEB≌Rt△CBA(HL).此时AE=O,即t=O(舍去). 当点E在线段AB的延长线上时，③若BE=AC,则 Rt△DEB≌Rt△BCA(HL).:'AE=AB+BE=15+6= 21(cm),∴.3t=21,解得t=7.④若BE=AB,则 Rt△DEB≌Rt△CBA(HL).:AE=AB+BE=15+ 15=30(cm),…∴.3t=30,解得t=10.∴.当t=3或7或10 时，△DEB与△BCA全等 21或子或5①当点P在AC上时，由题意，得 ∠ACB=∠QEC=∠CDP=90°，∴.∠DPC=90°- ∠PCD=∠QCE.若△PCD与△QCE全等，即△PCD≌ △CQE,则PC=CQ.∴.6-3t=8-5t或6-3t=5t-8. 4=1或4=子.②当点P在CB上时，∠PC= ∠QEC=90°，∠PCD=∠QCE.若△PCD与△QCE全等， 即△PCD≌△QCE,则PC=QC.∴.3t-6=5t-8或3t- 14