1.3 第6课时 直角三角形全等的判定-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

拔尖持训· 数学（苏科版）八年级上 第6课时直角三角形全等的判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，AC⊥BE于点C,DF⊥BE于点F,且BC=EF,如果添上一个条件后，可以直接利用 “HL”来证明Rt△ABC≌Rt△DEF,那么这个条件是 () A.AC=DE B.AB-DE C.∠B=∠E D.∠D=∠A D D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°，则∠AEC= 0 3.如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC上的点，且CD=CA,DE⊥BC交AB于点E.若AB= 5cm,DE=2cm,则BE= cm. 4.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, AE=CF.求证：△ADE≌△CDF. B (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB=DC,BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.有下列条件：①∠B=∠C;②AB∥CD; ③BE=CF;④AF=DE.若选择其中一个就能判定△ABE≌△DCF,则这个条件可以是() A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6.易错题如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M,则图中 全等的直角三角形共有 () A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 7.如图，AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.若∠ABC=25°，则∠CAO的度数为 8.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若 ∠AFD=145°，则∠EDF的度数为 18 第1章三角形 9.如图，在△ABC中，AB=AC,直线l过点A,BM⊥直线l,CN⊥直线l,垂足分别为M,N,且 BM=AN.求证： (1)△AMB≌△CNA. (2)∠BAC=90°. M (第9题) 10.(1)如图①，A,E,F,C四点依次在同一条直线上，AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC, BF⊥AC,连接BD交AC于点G,AB=CD.求证：FG=EG. (2)如图②，A,F,E,C四点依次在同一条直线上，问题(1)中的其他条件不变，则(1)中的结论 是否仍成立？请说明理由. (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 11.在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1,AC=A1C1,高AD=A1D1,且AB>AC,A1B1> AC1,则∠ACB和∠A1C1B1的关系是 () A相等 B.互补 C.相等或互补 D.互余 12.考向探究题线段AB与CD相交于点E,AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C. (1)如图①，若AB=CD,试探究线段BE与CE的数量关系. (2)如图②，若AB=BD,∠BDE=22.5°，试探究线段DE与AC的数量关系. (第12题) >“答案与解析”见D11 19I∠CEF=∠ACB, ∠ABC=∠A.在△CFE和△ABC中，∠FCE=∠A, CF=AB, ∴.△CFE≌△ABC(AAS).∴.CE=AC=15cm.:'BC= 6cm,且BE=BC+CE,∴.3t=6十15，解得t-7.②如图 ②，点E从点B出发沿射线CB方向运动，则∠CEF= ∠ACB=∠BDC=90°，∠FCE=∠A=90°-∠ABC.同① 可得，△CFE≌△ABC(AAS).∴.CE=AC=15cm. BC=6cm,且BE=CE-BC,∴.3t=15-6,解得t=3. 综上所述，当CF=AB时，点E运动了7s或3s. ② (第10题) 11.:DF∥BC,∴.∠F=∠OGC.又：∠C=∠OGC, ∠B=∠E, ∴.∠F=∠C.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F, AC=DF, .△ABC≌△DEF(AAS)..BC=EF. 12.(1):ADBC,∴.∠ADC=∠ECF.·E是CD的 中点，∴.DE=EC.在△DAE和△CFE中， ∠ADE=∠FCE, DE=CE, ∴.△DAE≌△CFE(ASA).(2)由 N∠AED=∠FEC, (1),知△DAE≌△CFE,.AE=FE,AD=FC.AB= BC+AD,∴.AB=BC+CF,即AB=BF.在△ABE和 AB=FB, △FBE中，AE=FE,∴.△ABE≌△FBE(SSS). BE=BE, ∴.∠AEB=∠FEB=90°.∴.BE⊥AF. 第6课时直角三角形全等的判定 1.B添加“AB=DE”后，可以直接利用“HL”来证明 Rt△ABC≌Rt△DEF.,AC⊥BE,DF⊥BE,∴.∠ACB= ∠DFE=9O在Rt△ABC和R△DEF中，BC=EF, AB=DE. ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HI). 2.59.∠C=90°，DE⊥AB,∴.∠C=∠ADE=90°.在 R△ACE和R△ADE中，AC=AD, AE=AE, ·.Rt△ACE≌ R△ADE(HL,).·∠CAE=∠DAE=2∠CAB. ∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，.∠CAB=90°-28= 62∠ABC=90°-7∠CB=90-31=59 3.3如图，连接CE.·DE⊥BC,∠A=90°，.∠A= ∠CDE=90.在R△CAE和Rt△CDE中，CA-CD, CE=CE .Rt△CAE≌Rt△CDE(HL).∴.AE=DE=2cm .'AB=5 cm,.'BE=AB-AE=5-2=3(cm). E B D C (第3题) BD=BD, 4.连接BD.在Rt△ABD和Rt△CBD中， AB=CB, ∴.Rt△ABD≌Rt△CBD(HL).∴.AD=CD.AE⊥ EF,CF⊥EF,∴.∠E=∠F=90°.在Rt△ADE和Rt△CDF AD=CD, 中，AE-CF, .Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 5.DBE⊥AD,CF⊥AD,AB=DC,∴.∠AEB= ∠DFC=90°.若选择①，可利用“AAS”判定△ABE≌ △DCF.若选择②，可得∠A=∠D,可利用“AAS”判 定△ABE≌△DCF.若选择③，可利用“HL”判定 Rt△ABE≌Rt△DCF.若选择④，可得AE=DF,可利用 “HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF.综上所述，可选择的条 件是①②③④， 6.D:DB⊥AC,CE⊥AB,∴.∠CDB=∠CEB= ∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△ADO和Rt△AEO中， OA=OA,:R△ADO2R△AEO(H,.∠DA0= OD=OE. ∠EAO,AD=AE.在△DOC和△EOB中， ∠ODC=∠OEB=90°， ROD=OE. ∴.△DOC≌△EOB(ASA). ∠DC=∠EOB, ∴.DC=EB,OC=OB..∴.DC+AD=EB+AE,即AC= AB=AC, AB.在△ABM和△ACM中，∠BAM=∠CAM, AM=AM, ∴.△ABM≌△ACM(SAS).∴.∠AMB=∠AMC=90°， OC=OB, BM=CM.在Rt△COM和Rt△BOM中， OM-OM, ∴.Rt△COM≌Rt△BOM(HIL).在△ADB和△AEC AD=AE, 中，3∠DAB=∠EAC,∴.△ADB≌△AEC(SAS).在 AB=AC, BC=CB, Rt△BCE和Rt△CBD中， .Rt△BCE≌ BE=CD, Rt△CBD(HL).综上所述，全等的直角三角形共有6对. 易错警示 不能找全图形中的全等三角形 解答这类问题时，往往会出现找不全图形中的全等 三角形的现象，究其原因，是不能挖掘题中隐含的边、角 相等关系，并将其作为条件再寻找全等三角形， 7.40°.∠C=∠D=90°，∴.△ACB和△BDA是直角 三角形.在R△ACB和R△BDA中，BC=AD, AB=BA, .Rt△ACB≌Rt△BDA(HL.∴.∠ABC=∠BAD= 25°.：∠BAC=90°-∠ABC=65°，.∠CAO= ∠BAC-∠BAD=40°. 8.55°.∠CFD+∠AFD=180°，∠AFD=145°， ∴.∠CFD=35°.DE⊥AB,DF⊥BC,.∠BED= BD=CF, ∠CDF=90°.在Rt△BDE和Rt△CFD中， BE=CD, .Rt△BDE≌Rt△CFD(HL.∴.∠BDE=∠CFD= 35°.∠EDF+∠BDE=180°-∠CDF=90°， .∴.∠EDF=55°. 9.(1):BM⊥直线l,CN⊥直线l,∴.∠AMB= (AB=CA, ∠CNA=90°.在Rt△AMB和Rt△CNA中， BM=AN, ∴.Rt△AMB≌Rt△CNA(HL).(2)由(1)，得 Rt△AMB≌Rt△CNA,∴.∠BAM=∠ACN..'∠CAN+ ∠ACN=90°，∴.∠CAN+∠BAM=90°.∴.∠BAC= 180°-90°=90. 10.(1).DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠DEC=∠BFA= 90°.，AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在 AB=CD, Rt△ABF和Rt△CDE中， .∴.Rt△ABF≌ AF=CE, Rt△CDE(HL).'.BF=DE.在△BFG和△DEG中， ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG,.△BFG≌2△DEG(AAS)..FG= BF=DE, EG.(2)结论仍成立.理由：AE=CF,∴.AE-EF= CF-EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中， (AB=CD, .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)..BF=DE. AF-CE, 同(1)，可证△BFG2△DEG(AAS),.∴.FG=EG. 11.C若△ABC和△A,B,C,如图①②所示，则易得 Rt△ACD≌Rt△AC,D1(HL),∴.∠ACB=∠AC,B1. 若△ABC和△A,B,C,如图①③所示，则易得Rt△ACD≌ Rt△A,C,D,(HL),∴.∠ACD=∠A,CD..∠ACB+ ∠A,C,B,=∠A,C,D,+∠A,C,B1=180°.综上所述， D ∠ACB和∠A,C1B,的关系是相等或互补 BC D ③ (第11题) 12.(1)连接AD.:'AC⊥CD,AB⊥BD,∴.∠C=∠B=90. CD=BA, 在Rt△ACD和Rt△DBA中， AD-DA, .Rt△ACD≌ Rt△DBA(HL).∴.AC=DB.在△ACE和△DBE中， ∠AEC=∠DEB, ∠C=∠B, ..△ACE≌△DBE(AAS). AC-DB, .'CE=BE. (2)思路导引 连接AD,延长AC,DB交于点F. AB⊥BD AB=BD AC⊥CD,AB⊥BD ∠ADB=∠BAD=45 ∠AEC=∠DEB ∠ADC=∠BDC=22.5 ∠CAB=∠BDE CD=CD AB=DB ∠ACD=∠FCD=90° ∠ABF=∠DBE=90° △ACD≌△FCD △ABF≌△DBE AC=FC AF=DE AF=2AC DE=2AC 连接AD,延长AC,DB交于点F.AC⊥CD,AB⊥BD, ∴.∠ACE=∠FCD=∠DBE=∠ABF=9O°. :∠AEC=∠BED,∴.∠CAE=∠BDE.:AB=BD, ∴.易得∠ADB=45..∠ADC=∠ADB-∠BDE= 22.5°.∴.∠ADC=∠FDC.在△ACD和△FCD中， ∠ACD=∠FCD, CD=CD, .△ACD≌△FCD(ASA)..∴.AC= I∠ADC=∠FDC, FC.∴.AF=2AC.在△ABF和△DBE中， ∠ABF=∠DBE, AB=DB, .∴.△ABF≌△DBE(ASA)..AF= I∠BAF=∠BDE, DE..'AF=2AC,.'.DE=2AC. 12