1.3 第3课时 用“角角边”判定两个三角形全等-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第3课时用“角角边”判定两个三角形全等 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，∠A=∠E,AC⊥BE,AB=EF,BE=26,CF=9,则AC的长为 () A.9 B.13 C.17 D.26 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，点B,F,C,E在同一条直线上（点F,C之间不能直接测量），点A,D在BE的异侧，测得 AB=DE,AB∥DE,ACDF.若BE=14m,BF=5m,则FC的长为 m 3.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的高，且AD,BE交于点F.若BF= AC,CD=3,BD=5,则线段AF的长为 4.如图，点E在△ABC的边AC上，AE=BC,BC∥AD,∠CED=∠BAD.求证：△ABC≌ △DEA. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.易错题如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BC=4,过点C作CD⊥AC,且CD=AC,则 △BCD的面积为 () A.4 B.6 C.7 D.8 D F D (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6.如图，∠C=∠D,AC=AD,有下列条件：①AB=AE;②BC=ED;③∠1=∠2；④∠B= ∠E.添加其中一个条件，一定能使△ABC2△AED的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.如图，AB⊥CD,AB=CD,E,F是AD上的两个点，CE⊥AD,BF⊥AD.若AD=a,BF=b, CE=c,则EF的长为 8.转化与化归思想如图，在同一平面内，直线L同侧有三个正方形A,B,C.若A,C的面积分别为25 和9，则涂色部分的总面积为 12 第1章三角形 9.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,交CB的延长线于点F. (1)求证：△ABC≌△ADE. (2)求∠FAE的度数. (3)求证：CD=2BF+DE. (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.如图，在△ABC中，D为BC的中点，△AEF的边EF过点C,且AE=EF, ABEF,AD平分∠BAE.若CE=2,AB=9,则CF的长为 11.已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,过点F作BD FGBC,交直线AB于点G (第10题) (1)如图①，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°.求证： ①△BDF≌△ADC. ②FG+DC=AD. (2)如图②，若∠ABC=135°，试探究FG,DC,AD之间的数量关系. ① ② (第11题) 》“答案与解析”见D6 13△BDC(SAS).∴.∠CDA=∠DCB.故③正确.在△ABC (AC-BD, 和△BAD中，∠ACB=∠BDA,∴.△ABC≌△BAD BC=AD, (SAS).∴.∠CBA=∠DAB.∠COD=∠AOB, ∠CDA=∠DCB,∴.易得∠CDA=∠DAB.∴.CD∥AB. 故④正确.综上所述，正确的有4个 8.4:CD LAB,.∠CDB=90°.∴.∠B+∠BCD= 90°.：∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，.∠ACD= ∠B.:EF⊥AC,∴.∠FEC=90°.∴∠FEC=∠ACB. :BC=3cm,CE=3cm,∴.BC=CE.在△ACB和△FEC ∠B=∠ECF, 中，了BC=CE, .∴.△ACB≌△FEC(ASA). ∠ACB=∠FEC, ∴.AC=FE.EF=7cm,∴.AC=7cm.AE=AC- CE,∴.AE=7-3=4(cm). 9.(1):CE⊥AB,AD⊥BC,∴.∠BEC=∠AEC= ∠ADB=∠ADC=9O°.，∠DHE=∠AEC+∠EAH= ∠ADC+∠BCE,.∠EAH=∠BCE.在△BEC和 [∠BEC=∠HEA, △HEA中，CE=AE, ∴.△BEC≌△HEA ∠BCE=∠HAE, (ASA).(2):△BEC≌△HEA,∴.BE=HE=7. CH=3,..AE=CE=CH+HE=3+7=10. 10.(1):∠CED=∠AEB,∴.∠CED+∠AED= ∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED.在△AEC和 ∠A=∠B, △BED中，AE=BE, ∴.△AEC≌△BED ∠AEC=∠BED, (ASA).(2)△AEC≌△BED,.∠C=∠EDB, CE=DE.∴.易得∠C=∠EDC.∴.∠EDB=∠EDC. .DE平分∠BDC. 11.3∠BCD=∠BAD,∠BFC=∠DFA,∴.∠B= ∠D.∠BCD=∠ACE,∴.易得∠BCA=∠DCE.在 ∠B=∠D, △ABC和△EDC中，BC=DC, .∴.△ABC≌ ∠BCA=∠DCE, △EDC(ASA)..AB=ED=3. 12.(1)AB=AF+BD.·BE⊥CD,∴.∠FEC=90°. .∠F+∠FCE=90°.∠BAC=90°，∴.∠FAB=90°. ∴.∠F+∠FBA=90°.∴.∠FBA=∠FCE.在△AFB和 ∠FAB=∠DAC=90°， △ADC中，AB=AC, ∴.△AFB≌△ADC ∠FBA=∠DCA, D (ASA)..∴.AF=AD.∴.AB=AD+BD=AF+BD (2)问题(1)中的结论不成立.如图①，当点D在AB的延 长线上时，同(1)，可得AF=AD,.AB=AD-BD= AF一BD.如图②，当点D在AB的反向延长线上时，同 (1),可得AF=AD,∴.AB=BD-AD=BD-AF B DE ① ② (第12题) 易错警示 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时，要了解条件中“动点”的真正含 义，需要画出符合题意的图形，不要受问题原有图形的 影响直接加以解答.因此，解题时我们要认真审题，在原 有思路的基础上让图形中的动，点真正动起来，寻求正确 的结论 第3课时用“角角边”判定两个三角形全等 1.CAC⊥BE,.∠ACB=∠ECF=90°.在△ABC 「∠A=∠E， 和△EFC中，∠ACB=∠ECF,∴.△ABC≌△EFC AB=EF, (AAS)..'AC=EC,BC=FC.BE=26,CF=9, ∴.AC=BE-BC=26-9=17. 2.4.AB∥DE,AC∥DF,∴.∠B=∠E,∠ACB= ∠B=∠E, ∠DFE.在△ABC和△DEF中，了∠ACB=∠DFE, AB-DE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS)..BC=EF.∴.BC-FC= EF-FC,BF=CE=5 m..'FC=BE-BF-CE=4 m. 3.2在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC 上的高，∴.∠ADC=∠BDF=∠AEB=90°.∴.∠DAC+ ∠C=90°，∠C+∠DBF=90°.∴.∠DAC=∠DBF.在 ∠ADC=∠BDF, △ADC和△BDF中，∠DAC=∠DBF,∴.△ADC≌ AC=BF, ABDF(AAS)..'CD=FD,AD=BD..CD=3,BD= 5,.∴.FD=3,AD=5.∴.AF=AD-FD=5-3=2. 4.:'BC∥AD,∴.∠DAC=∠C.∠CED=∠BAD, ∠CED=∠D+∠DAC,∠BAD=∠DAC+∠BAC, 6 ∠BAC=∠D. ∴.∠D=∠BAC.在△ABC和△DEA中，∠C=∠DAE, BC=EA, ∴.△ABC≌△DEA(AAS). 5.D如图，过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E. ∠ABC=90°，DE⊥BC,CD⊥AC,∴.∠E=∠ACD= 90°=∠ABC,∠A+∠ACB=90°.∴.∠DCE+∠ACB=90°. |∠ABC=∠E, ,∴.∠A=∠DCE.在△ABC和△CED中，∠A=∠DCE, AC=CD, ∴.△ABC≌△CED(AAS).∴.BC=ED=4.∴.SAn 2BC·ED=2X4X4=8. (第5题) 易错警示 不能利用隐含的相等角构造全等三角形 解答图形中具有“双垂”条件的问题时，往往图形中 隐含相等的角，我们可以再作一条垂线，进而构造一对 全等的直角三角形，使得问题得以转化 6.B①：∠C=∠D,AC=AD,AB=AE,∴.△ABC≌ △AED不一定成立.故①不符合题意.②·BC=ED, ∠C=∠D,AC=AD,∴.△ABC≌△AED(SAS).故②符 合题意.③：'∠1=∠2，∴.∠1十∠EAB=∠2十∠EAB. ∴.∠CAB=∠DAE.又：'AC=AD,∠C=∠D,∴.△ABC≌ △AED(ASA).故③符合题意.④，∠B=∠E,∠C= ∠D,AC=AD,∴.△ABC≌△AED(AAS).故④符合题 意.综上所述，能使△ABC≌△AED的条件有3个. 7.c-a+b:AB⊥CD,CE⊥AD,∴.∠C+∠D=90°， ∠A+∠D=90°.∴.∠A=∠C.:CE⊥AD,BF⊥AD, ∴.∠AFB=∠CED=90.在△ABF和△CDE中， ∠AFB=∠CED, ∠A=∠C,.△ABF≌△CDE(AAS).∴.BF= AB-CD, DE=6,AF=CE=c..AE=AD-DE=a-6,..EF= AF-AE=c-(a-b)=c-a+b. 8.15如图，过点L作LM⊥FE交FE的延长线于点M, 交JI的延长线于点N,则∠EML=90°.，四边形A,B,C 都是正方形，且正方形A,C的面积分别为25,9，∴.EK= KI=EL=LI,∠EKI=∠EDR=∠IHG=∠DEF ∠HIJ=∠KEL=∠KIL=90°，DE=25,HI2=9. ∴.DE=EF=5,HI=IJ=3.:∠EDK=∠KHI= 180°-90°=90°，.∠DKE=90°-∠HKI=∠HIK.在 ∠EDK=∠KHI, △EDK和△KHI中，∠DKE=∠HIK,∴.△EDK≌ EK-KI, △KHI(AAS).∴.DK=HI=3,DE=HK=5.∴.S△K= Sam-是×5X3-号.：∠DEF-∠HU-90, ∴.∠DEM=180°-∠DEF=90°，∠HIN=180°- ∠HIJ=90°.∠KEL=∠KIL=90°，∴.∠MEL= ∠DEK=90°-∠KEM,∠NIL=∠HIK=90°-∠KIN. 易知EFL,IJ,.EFIJ.∴.∠EML=∠N=90° ∠MEL=∠DEK, 在△EML和△EDK中，∠EML=∠EDK,∴.△EML≌ EL=EK, △EDK(AAS.ML=DK=3.·S△mL=，EF· L=5,同理可得，△LNI≌△KH(AAS.∴.LN KH=5.SA2Ⅱ·LN=2Sam十Sa○ 2· 15+5=15.、涂色部分的总面积为15. 2+2 C H G (第8题) 9.(1)∠BAD=∠CAE=90°，.∠BAC+∠CAD= 90°，∠CAD+∠DAE=90°.∴.∠BAC=∠DAE.在 AB=AD. △ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE,∴.△ABC≌ AC=AE, △ADE(SAS).(2),∠CAE=90°，AC=AE,∴.易得 ∠E=∠ECA=45°.由(1)，知△ABC≌△ADE, ∴.∠BCA=∠E=45°.AF⊥BC,∴.∠CFA=90°. ∴.∠CAF=45°.∴.∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+ 90°=135°.(3)如图，延长BF到点G,使得FG=FB,连 接AG.:AF⊥BG,.∠AFB=∠AFG=90°.在△AFB BF=GF, 和△AFG中，3∠AFB=∠AFG,.∴.△AFB≌△AFG AF=AF, (SAS).∴.AB=AG,∠ABF=∠G.:'△ABC≌△ADE, AB=AD,∴.AG=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED. ∴.∠ABF=∠CDA.∴.∠G=∠CDA.在△CGA和 ∠GCA=∠DCA=45°， △CDA中，∠G=∠CDA, .∴.△CGA≌△CDA AG-AD, (AAS)..CG=CD.·CG=CB十BF+FG=CB+ 2BF=DE+2BF,..CD=2BF+DE. D A (第9题) 10.5延长FE交AD的延长线于点H.:'AD平分 ∠BAE,.∠BAD=∠HAE.·AB∥FH,∴.∠H= ∠BAD.∴.∠H=∠HAE..易得AE=HE.AE= EF,EF=HE.D为BC的中点，∴DC=DB.在 ∠H=∠BAD, △HDC和△ADB中，∠HDC=∠ADB,∴.△HDC≌ DC=DB, △ADB(AAS).∴CH=BA.AB=9,.CH=HE+ CE=9.又：CE=2,.HE=7.∴.EF=7.∴CF=EF- CE=5. 11.(1)①由题意，可知∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴.∠BAD=∠ABC=45°..易得AD=BD.∠BEC= ∠ADC=90°，∴.∠CBE+∠C=∠DAC+∠C=90° ∴.∠CBE=∠DAC.又∠FDB=∠CDA=90°， ∴.△BDF≌△ADC(ASA).②△BDF≌△ADC, .DF=DC.GF∥BC,∴.∠AGF=∠ABC=45. .∠AGF=∠BAD.∴.易得FA=FG.∴.FG十DC= FA+DF=AD.(2).∠ABC=135°，∴.∠ABD=45. :∠BDA=90°，FG∥BC,∴.∠DAB=45°，∠G= ∠ABD=45°∴.易得BD=AD,FG=AF.,∠FAE十 ∠DFB=∠FAE+∠C=90°，∴.∠DFB=∠C.又 :∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD,∴.△BDF≌△ADC (AAS)..DF DC..FG AF=AD DF AD+DC. 第4课时用“边边边”判定两个三角形全等 1.B由尺规作图可知OM=OD=CN=CE,MD=NE. OM=CN, 在△OMD和△CNE中，OD=CE,∴.△OMD≌△CNE MD=NE, (SSS).∴.∠O=∠NCE.∴.CNOA.∴.依据是“SSS” (AC=BC, 2.C在△ACD和△BCE中，AD=BE,∴.△ACD≌ CD=CE, D △BCE(SSS)...∠D=∠E,∠ACD=∠BCE..∠ACB= ∠ECD.:'∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴.∠ACB= ∠ECD=50°.记AD与CE交于点F.:∠EFP= ∠DFC,∠D=∠E,∴.易得∠EPD=∠ECD=50. ∴.∠BPD=180°-50°=130°. (AE=AF, 3.SSS(或边边边)在△AED和△AFD中，DE=DF, AD-AD, ∴.△AED≌△AFD(SSS).∴.∠DAE=∠DAF..AD 平分∠BAC,即伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所 成的角..依据是“SSS” AE=AD, 4.35如图，连接AC.在△ACE和△ACD中，CE=CD, AC=AC, .△ACE≌△ACD(SSS).∴.∠AEC=∠D=75°. ∠ECD=-140°，∴.∠BCE=180°-∠ECD=180° 140°=40°..∴∠B=∠AEC-∠BCE=75°一40°=35°. B C D (第4题) (AB=CB. 5.在△ABE和△CBD中，AE=CD,∴.△ABE≌ BE=BD, △CBD(SSS).∴.∠A=∠C,∠ABE=∠CBD.∴.∠ABE- ∠CBE=∠CBD-∠CBE,即∠1=∠2.，∠AFC= ∠A+∠1=∠C+∠AEC,∠A=∠C,∴.∠1=∠AEC. ∴.∠AEC=∠2. (AB=AC, 6.D在△ABD和△ACD中，AD=AD,∴.△ABD≌ BD-CD. △ACD(SSS)..∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB= ∠ADC,则∠ADB=90°，即AD⊥BC.∴.①②③④都正 确，正确的个数为4， 易错警示 对问题自主获取的结论不全 解答这类结论开放性问题时，往往会出现结论获取 不全的现象.究其原因，对条件或图形中隐含的条件挖 掘不足，导致结论不全，如一组邻补角相等，则隐含两直 线互相垂直的关系 AB=CD, 7.C在△ABD和△CDB中，AD=CB,.△ABD≌ BD=DB, 8