第13章 三角形 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

综合与实践1确定平面图形的重心位置 1.(2,27)每个长方形的重心是对角线的交点，观察图 形，将Z形薄板拆分为3个长方形，长方形①（左上方横 条)：尺寸为长30cm(水平)，宽10cm(垂直)，重心坐标为 (-15,45),面积为30×10=300(cm);长方形②（中间竖 条)：尺寸为宽10cm(水平)，长40cm(垂直)，重心坐标为 (5,30),面积为10×40=400(cm);长方形③（右下方横 条)：尺寸为长30cm(水平)，宽10cm(垂直)，重心坐标为 (15,5),面积为30×10=300(cm).∴.总面积：300+ 400+300=1000(cm..重心的横坐标为 300×(-15)+400×5+300×15 1000 =2,纵坐标为 300×45+400×30+300X5=27..Z形薄板的重心坐标 1000 为(2,27). 2.(1)=.设△ABC边BC上的高为h.:AD是 △ABC的中线，：BD=CD.:Sam=号X BDXh,. 5m=×CDXh,Sam=5am:(22:点0 为△ABC的重心，∴.BE=AE,BD=CD,AF=CF. .S△YoE=S△0E,S△AaR=S△E,S△OF=S△oF,S△m= SAcm.∴.SAACE-S△AOE=SACE-S△OE,即S△A0c= S△c.同理可得SAC=S△OB,.S△C=S△Os= S△Ac.∴.2S△0n=2S△AOp=2SAOE..S△D=S△A0r SAoF=Stcon=SAAOE=S△op·∴.SA0c=2S△or· “品2《318如图①，造装40并廷长交优于 点F.:点O是△ABC的重心，∴.由(2)得BO:OD= 2:1,CO:OE=2:1.又BD=9,CE=12,.OD=3, B0=6,OE=4,C0=8.:BD⊥CE,S△c=2 B0X0D=3×6X8=245am=3×0Xp0=3× 1 1 6X4=12,SAmm=2XC0XD0=2X8X3=12, 1 1 Sam=2XE0XD0=2X4X3=6.由(2)得S△m0= S△40B=S△0C=24,∴.S△Ax=3S△c=72..S△ABm= 72-24-12-12-6=18.(4)如图②，直线MN即为所 求作. ① (第2题) 第十三章拔尖自主测评 1.C任意三根组合有2cm,4cm,5cm;2cm,4cm,9cm; 2 cm,4 cm,8 cm;2 cm,5 cm,9 cm;2 cm,5 cm,8 cm;2 cm, 9 cm,8 cm;4 cm,5 cm,9 cm;4 cm,5 cm,8 cm;4 cm,9 cm, 8cm:5cm,9cm,8cm十种情况.根据三角形的三边关系， 其中的2cm,4cm,5cm;2cm,9cm,8cm;4cm,5cm,8cm; 4cm,9cm,8cm;5cm,9cm,8cm能构成一个三角形 2.C由点在数轴上的位置，得AB=1-(-1)=2,BC= x一1，CD=7一x,由三角形三边关系，得 x-1+7-x>2①， 2十x一1>7一x②，其中不等式①恒成立，由不等式②， 2+7-x>x-1③， 得x>3,由不等式③，得x<5.∴.不等式组的解集是3< x5..x可能是4. 3C“AD是边BC的中线，BD=DC.:A5-2 BC=3 “0专：S-XABXDF=-XBDXAF, 1 1 DF BD 3 AE-AB4' 4.C如图，连接AD,过点C作CG⊥AB,垂足为G. :△ABC的面积为48，AB=AC=8,.2AB·CG=48 ∴.CG=12.DE⊥AB,DF⊥AC,△ABD的面积+ △ACD的面积=△ABC的面积，∴.AB·DE+AC·DF AB·CG.∴.DE+DF=CG=12.:DF=2DE, .DE=4. D C (第4题) 5.C如图，由题意，得∠5=180°-（∠1+∠2）=180° 2∠2，∠6=180°-（∠3+∠4）=180°-2∠3.∠a=70°， ∴.∠2+∠3=180°-∠a=110°.：∠3=180°-（∠5+ ∠6)，.∠3=180°-(180°-2∠2+180°-2∠3)= 2(∠2+∠3)-180°=2×110°-180°=220°-180°=40°. C (第5题) 6.B设∠DEF=x,∠EDF=y,则∠DFB=∠B=x+ y,∠BDF=180°-2x-2y,∠G=∠DEG=x+29°. :∠EFG=∠BFD,∴.∠G+∠FEG=∠B+∠BDF, .x+29°+29°=x+y+180°-2x-2y.∴.2x+y=122°. ∴.∠BDE=∠BDF+∠EDF=180°-2x-2y+y= 180°-2x-y=58°. 7.D若∠A为钝角，则90°<∠A<180°-30°，即90°< ∠A<150°；若∠A为锐角，则0°<∠APN<90°. :∠APN=∠0+∠A,.∠A+30<90°.∴.0°<∠A< 60°.综上所述，∠A的取值范围是0°<∠A<60或90°< ∠A<150°. 8.D∠ABC=n°，∴.∠BAC+∠BCA=180°- ∠ABC=180°一n°.：O是三个内角的平分线的交点， ·∠OBc=-∠ABC=,∠OCM-7∠BCM, ∠0AC=Z∠BAC.·.∠OAC+∠OCA-2(∠BAC+ ∠BCA)=7(180°-n)=90°-2m.·∠A0C-180 (∠04C+∠0cA)=180°-(90°-3n）=90+号m :∠ODC=∠A0C,.∠ODC=90+7n.·.∠BD0= 180-∠00c=180-(90+2r）=90°-2 :∠0=7∠B0D=180-∠BD0-∠0C=90 9.16根据三角形三边关系，得5+12>x,解得x<17; 5+x>12,解得x>7;12十x>5,解得x>-7,∴.x的取 值范围是7<x<17.又：x为整数，∴x的最大可能值 为16. 10.专：D是AC的中点，AD=2AC.:SA CBE S8. Saw)(Sm5aw)=Sm一5m=4令-号 11.10°在△ABC中，∠BAC:∠B:∠C=4:3:2, ∠BAC=180X号-80，∠B=180X号=60.：AD 是边BC上的高，∴.∠ADB=90°..∠BAD=90° ∠B=30.:AE平分∠BAC,.∠BAE=号∠BAC 40°..∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°. 方法归纳 三角形中的“角高模型” “角高模型”（∠C>∠B) 结论 ∠EAD=(∠C-∠B B ED C B h ∠EFM=2∠C-∠B) C EMD (FM⊥BC) M ∠F=(∠C-∠B) ED 12.25°或115°：'在三角形纸片ABC中，将三角形纸片 沿AD翻折，使点B落在点B处，∴.∠ADB'=∠ADB. B'D⊥BC,∴.∠BDB'=90°.①当点B'在BC下方时，如 图①，：∠ADB+∠ADB'+∠BDB'=360°， ∠ADB2×860-90)=135∠BAD=18n ∠B-∠ADB=25°.②当点B'在BC上方时，如图②， :∠ADB+∠ADB'-90,∠ADB=7×90=45 ∴.∠BAD=180°-∠B-∠ADB=115°.综上所述， ∠BAD的度数为25或115°. B D B B ① ② (第12题) 13.240°如图，在△BCM中，∠B+∠C+∠BMC= 180°，.∠BMC=180°-（∠B+∠C).∠AMN= ∠BMC,∴.∠AMN=180°-（∠B+∠C).在△DEN中， ∠D+∠E+∠DNE=180°，∴.∠DNE=180°-（∠D+ ∠E).:'∠ANM=∠DNE,∴.∠ANM=180°-（∠D+ ∠E).在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°， ∴.∠A+180°-（∠B+∠C)+180°-（∠D+∠E)= 180°..∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+180°.：∠A= 60°，.∠B+∠C+∠D+∠E=240°. (第13题) 14.①②③：AD平分∠EAC,∴.∠EAD=∠CAD. ∠EAC=∠ABC+∠ACB,∴.∠EAD+∠CAD= ∠ABC+∠ACB.·∠ABC=∠ACB,.∠EAD= ∠CAD=∠ABC=∠ACB..ADBC.∴.①正确.：BD 平分∠ABC,·∠ABD=2∠AC.:∠EAD= ∠ABD+∠ADB,且∠EAD=∠ABC=∠ACB, ·∠ACB=∠ACB+∠ADB.·.∠ACB=2∠ADB. ∴.②正确.'AD∥BC,.∠ADB=∠DBC=∠ABD, ∠ADC=∠DCF.:CD平分∠ACF,∴.∠DCF= 2∠ACF=(180-∠ACB)=90°-7∠ACB. ,∠ACB=2∠ADB,.∠ADC=90°-∠ADB=90° ∠ABD.∴.③正确.∠ACF=∠ABC+∠BAC, ∠DCF=∠DBC+∠BDC,∠ACF=2∠DCF,∠ABC= 2∠DBC,∴.2（∠DBC+∠BDC)=2∠DBC+∠BAC. ,∴.2∠BDC=∠BAC..∴.④不正确. 15.(1)∠B+∠C=90°，.∠BAC=90°.∠C= 60°，.∠B=∠BAD=30°..∠ADC=∠B+∠BAD= 60°.：FG⊥BC,.∠FGD=90°..∠DFG=30°. (2):AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°.：AE 4FPG,FG=号，AE=.AD是△ABC的中线， C-5.BC-10.SAMeCAF0X 4-2 16.(1)BD;PC;BD+P℃；PB+PC.(2)在△AMN中， AM+AN>MN.在△MPB中，MP+MB>BP.在 △NPC中，NP+NC>PC.将三个不等式相加，得AM+ AN+MB+MP+PN+NC>MP +NP+PB+PC, AB+AC>PB+PC.(3)根据三角形的三边关系可得 BO+CO>BC,由(2)得BO+CO<AB+AC..'AB=5, AC=6,BC=7,∴.7<B0+CO<11. 17.(1)①70°；20.∠ABC=40°，∠C=70°，.在 △ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-70°= 70°.：EF∥BC,.∠EFB=∠FBC.:BD平分∠ABC, ·∠FB=号∠ABC=2D.·∠EFB=∠FBXC=2D ②∠BGE=90-∠A.墨由：∠BGE是△ECF是- 个外角，∴.∠BGE=∠EFG+∠FEG.:EF∥BC, ∴.∠C=∠DEF.∠ABC+∠C=180°-∠A, ∴.∠ABC+∠DEF=180°-∠A.BD平分∠ABC,EG 平分∠CEF∠CBD=2∠ABC,∠FEG=号∠DEE ·∠CBD+∠FBG=号∠ABC+2∠DEF=2XI80 ∠A)=9O-z∠A.:EF∥BC,.∠EFG=∠CBD, &∠EFG+∠FBG=90-2∠A.·∠GE=90 名∠A.2补全图形如图所示：你/仪C,:∠FEH ∠EHC.:GH是∠FEC的平分线，∴.∠FEH= ∠HEC.∠HEC=∠EHC.:∠EHC=180°∠C. 2 :BG平分∠ABC,∠GBC=2∠ABC.·∠BGE= ∠BHC-∠G0=80'2C-令 2 ∠ABC= 1-∠C-∠c-7A 2 E B (第17题) 18.(1)不变.MN⊥PQ,∴.∠AOB=90°.：∠AOB+ ∠BAO+∠ABO=180°，∴.∠BAO+∠ABO=90°.AE 平分∠BA0,BE平分∠ABO.∠BAE=∠BAO, ∠ABE=3∠AB0.:∠BAE+∠ABE=3∠BA0+ 3∠AB0=2(∠BA0+∠ABO=45.:∠BAE+ ∠ABE+∠AEB=180°，.∠AEB=180°-（∠BAE+ ∠ABE)=135°.(2)不变.∠ABO+∠BAO=90°， ∴.∠BAP+∠ABM=180°-∠BAO+180°-∠ABO= 180°+180°-（∠AB0+∠BAO)=360°-90°=270°. :AD,BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线， ·∠DAB=号∠BAP,∠A=∠ABM∠DAB+ ∠AC=2(∠BAP+∠ABM)=135.:∠DAB+ ∠ABC+∠ADC+∠BCD=360°，∴.∠ADC+∠BCD= 360°-135°=225°.：DE,CE分别是∠ADC和∠BCD的 平分线，·∠CDE=号∠ADC,∠DCE=3∠CD. ·∠CDE+∠DCE=号（∠ADC+∠BCD)=112.5 ∴.∠CED=180°-（∠CDE+∠DCE)=67.5°.(3）60 或72°.：AE平分∠BAO,AF平分∠OAG, ·∠EA0=号∠BA0,∠PA0=号∠0AG.:∠BA0+ ∠OAG=180,·∠EA0+∠FA0=?（∠BA0+ 1 ∠OAG)=90°，即∠EAF=90°.·'OE平分∠BOQ, ∴.∠BOQ=2∠EOQ.:∠EOQ=∠E+∠OAE, 第十四章 14.1全等三角形及其性质 1.CA.:'△ABD≌△CDB,∴.△ABD和△CDB的面 积相等，故本选项不符合题意.B.△ABD≌△CDB, ∴.△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意 C.△ABD≌△CDB,∴.∠A=∠C,∠ABD=∠CDB. ∴.∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD,故本选 项符合题意.D.△ABD≌△CDB,.AD=BC, ∠ADB=∠CBD.∴.AD∥BC,故本选项不符合题意. 2.C:△ABC≌△ADC,∴.∠BAC=∠DAC :∠BAE=70°，∴.∠BAC+∠DAC=180°+70°=250°. ·∠DAC=2×250'=125 3.30°△ADB≌△EDB≌△EDC,∴.∠A= ∠DEB=∠DEC,∠ADB=∠BDE=∠EDC.·'∠DEB+ ∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°， .∠DEC=90°，∠EDC=60°.∴.∠C=180°-∠DEC- ∠EDC=180°-90°-60°=30°. 4.(1)△ABC≌△DBE,∴.∠ABC=∠DBE ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,即∠ABD= ∠CBE.又：∠ABE=160°，∠DBC=30°，.∠CBE= 月×160°-30)=65.2)：AD=DC=3cm ∴.AC=6cm.△ABC≌△DBE,∴.BE=BC=4.5cm, DE=AC=6cm.∴.△DCP与△BPE的周长之和=DC十 DP+PC+BP+PE+BE=(DP+PE)+(BP+PC)+ DC+BE=DE+BC+DC+BE=6+4.5+3+4.5= 18(cm). 5.B如图.△ABC≌△DEF,.∠B=∠E=60° ∠C=∠F=40°.：DFBC,∴.∠1=∠C..∠1=∠F, ∴.ACEF.∴.∠2=∠E=60°.∠BAC=180°-∠B ∠C=180°-60°-40°=80°，∴.∠BAD=∠BAC-∠2 80°-60°=20° ∠BOQ=∠ABO+∠BAO,∴.∠ABO=2∠E.在△AEF 中，有两个内角的度数比为3：2，∴.有4种情况.①若 ∠EAF:∠E=3:2,则∠E=60°，∠ABO=120°（不成 立).②若∠EAF:∠F=3:2,则∠F=60°，∠E=30°， ∠ABO=60°.③若∠F:∠E=3:2,则由∠F+∠E= 90°，可得∠E=36°，∠AB0=72°.④若∠E:∠F=3:2, 则由∠F+∠E=90°，可得∠E=54°，∠AB0=108(不成 立).综上所述，∠ABO的度数为60或72° 全等三角形 D B4 (第5题) 6.B:△AOB≌△ADC,∴.∠OAB=∠DAC. ∠OAD=∠OAB+∠BAD=Q,∴.∠BAC=∠OAD= a.BCOA,∴.∠O+∠OBC=180°，∠ABC=∠BAO. ∠O=90°，∴.∠OBC=90°.∴.∠ABC=∠BAO=90° B.∴.∠ACB=90°-B.在△ABC中，∠BAC+∠ABC+ ∠ACB=180°，.a十90°-B+90°-B=180°，解得a=2R. 7.180°如图，由三角形外角和可得，∠1+∠GAH+∠2+ ∠EBF+∠3+∠MCN=360°.这三个三角形全等，∴.易 得∠MCN+∠EBF+∠GAH=180°.∴.∠1+∠2+ ∠3=360°-180°=180°. 3 H A (第7题) 8.如图，设AE与DC交于点P.∠1：∠2：∠3=13： 3:2,∴.易得∠1=130°，∠2=30°，∠3=20°.△ABE≌ △ADC≌△ABC,∴.∠DCA=∠E=∠3=20°，∠EAB= ∠1=130°.∴.∠PAC=360°-2∠1=100°..∠EPD= ∠APC=180°-∠PAC-∠DCA=60°.∴.∠EOC= 180°-∠EPD-∠E=180°-60°-20°=100°. D A 2 B (第8题)第十三章三角形 第十三章拔尖自主测评 ○满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.现有2cm,4cm,5cm,9cm,8cm长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法有() A3种 B.4种 C.5种 D.6种 2.如图，数轴上点A,B,C,D对应的数分别为一1,1，x,7,点C在线段BD上且不与端点重合.若 线段AB,BC,CD能围成三角形，则x可能是 () A 二101 7 (第2题) A.2 B.3 C.4 D.5 3.转化写化归思想如图，在△ABC中，AD,AE分别是边BC的中线、高线，过点D作DF⊥AB于点 卫右授号测明E的值足 DF () A.2 B.2 C.4 4 D. 3 5 )4 B P N (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 4.如图，△ABC的面积为48，AB=AC=8,D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F.若DF=2DE,则DE的长为 () A.2 B.3 C.4 D.6 5.学科融合如图，两面镜子AB,BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3= ∠4，若∠a=70°，则∠3的度数是 () A.30 B.35 C.40° D.45 6.方程思想如图，在△ABC中，点D在BC上，点E,F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B= ∠DFB,∠G=∠DEG.若∠BEG=29°，则∠BDE的度数为 () A.619 B.58 C.65.5° D.59.5 7.分类讨论思想如图，P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°.若△AOP为钝角三角形， 则∠A的取值范围是 () A.0°<∠A<60 B.90°<∠A<180° C.0°<∠A<30°或90°<∠A<130 D.0°<∠A<60°或90°<∠A<150° 8.如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC=∠AOC, 交边BC于点D.若∠ABC=n°，则∠BOD的度数为 () A90+20 45+ C90°-m D.90° (第8题) 15 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.若三角形三边长分别为5,12，x,且x为整数，则x的最大可能值是 10.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE,D是AC的中点，△ABC,△ADF,△BEF 的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=8,则S△ADF一S△BF DE (第10题) (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 11.*如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE平分∠BAC.若∠BAC:∠B:∠C=4:3:2, 则∠DAE的度数为 12.如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,∠B=20°，D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD 翻折，使点B落在，点B'处，当B'D⊥BC时，∠BAD的度数为 13.小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°，则∠B+∠C十∠D+∠E的度数为 14.如图，∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角 ∠ACF.有以下结论：①AD/BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°-∠ABD;④∠BDC= ∠BAC.其中，正确的结论有 .（填序号) 三、解答题（共58分） 15.(12分)如图，∠B+∠C=90°，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高，F为AD上一点，过 点F作FG⊥BC于点G,且AE=4FG. (1)若∠B=∠BAD,∠C=60°，求∠DFG的度数 (2)若DC=5,FG=号，求△ABC的面积 6 DG (第15题) 16.(14分)如图①，由三角形两边的和大于第三边，得AB十AD> PD+CD> 将不等式左边、右边分别相加，得AB十AD+PD+CD> ,即AB+AC> (1)补全上面的步骤 (2)请你仿照上述方法，如图②，过点P作直线交AB,AC于M,N两，点.求证：AB+AC>PB+P℃. 16 第十三章三角形 (3)如图③，O是△ABC内一点，连接OB和OC.若AB=5,AC=6,BC=7,求BO十CO的取 值范围. ② (第16题) 17.(16分)在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,E是线段AC上的动点（不与点D重合）， 过点E作EF∥BC交射线BD于点F,∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G. (1)如图，点E在线段AD上运动. ①若∠ABC=40°，∠C=70°，则∠A的度数是 ,∠EFB的度数是 ②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由. (2)若点E在线段DC上运动，请在备用图中补全图形，并求出∠GE与∠A之间的数量关系. 备用图 (第17题) 18.(16分)直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运 动，且A,B两点均不与点O重合： (1)如图①，AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，点A,B在运动的过程中，∠AEB的 大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的度数. (2)如图②，AB与CD不平行，AD,BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE,CE分别是 ∠ADC和∠BCD的平分线，点A,B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发 生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠CED的度数 (3)如图③，延长BA至点G,∠BAO,∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及反向延长线相交 于点E,F.若在△AEF中，有两个内角的度数比为3：2，请直接写出∠ABO的度数. ② ⊙ (第18题) “答案与解析”见P8 17