15.3 第1课时 等腰三角形的性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

9.(1)如图，△A,B,C1即为所求作.点A,B,,C1的坐标 分别为(0,4)，(2,2)，(1,1).(2)①当0<a≤3时，：点 P与点P,关于y轴对称，点P的坐标为（一a,0),∴.点 P,的坐标为(a,0).又点P,与点P2关于直线l对称， 设点P,的坐标为m,0).m=3,即m=6-a.点 2 P2的坐标为(6-a,0).∴.P,P2=6-a一a=6-2a.②当 a>3时，点P与点P,关于y轴对称，点P的坐标为 (一a,0),.点P1的坐标为(a,0).又点P1与点P2关 于直线1对称，设点P2的坐标为(m,0)."十=3，即n= 2 6-a..点P2的坐标为(6-a,0).∴.P,P2=a (6-a)=2a-6.综上所述，当0<a≤3时，P,P2=6-2a; 当a>3时，P,P2=2a-6.(3)当0<a≤3时，易得 PP2=PP,+P,P2=2a+6-2a=6.当a>3时，易得 PPz=PP,-P1P2=2a-(2a-6)=6.综上所述，PP2的 长不会随，点P位置的变化而变化， IM: (第9题) 15.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C.∠ACD=110°，∴.∠ACB=180°-110°=70°. :AB=AC,∴.∠B=∠ACB=70°.∴∠A=180°-70° 70°=40° 2.B如图，过点D作DH⊥AC于点H.'AB=AC, AD⊥BC于点D,∴.AD平分∠CAB.又：DE⊥AB于点 E,DE=1,∴.DE=DH=1.:'S△Ax=S△Ae+S△AB= AC.DH+7AB DE-7AC.BF..2DH-BF. .BF=2. C B D (第2题) 3.10或100°如图，以点A为圆心，AC长为半径作弧， 3 交射线BA于点D,D'.在△ABC中，∠ABC=40°， ∠BAC=80°，∴.∠ACB=180°-40°-80°=60°.由作图可 知，AC=-AD,∠A(CD=∠ADC=7×(180°-809 50°.∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°.由作 图可知，AC=AD',.∠ACD'=∠AD'C.:∠ACD'+ ∠AD'C=∠BAC=80°，∴.∠AD'C=40°.∴.∠BCD'= 180°-∠ABC-∠AD'C=180°-40°-40°=100°.综上所 述，∠BCD的度数为10°或100°. D' D B (第3题) 4.'BD=BC=BE,AB=AC,∴.∠C=∠ABC= ∠BDC,∠BDE=∠BED.∴.∠A=∠DBC.设∠A= ∠DBC=x.:AE=ED,∴.∠A=∠ADE=x ∴.∠BED=2∠A=2x.∴.∠BDE=∠BED=2x, ∠ADB=3x=∠DBC+∠C=x+∠C.∴.∠C=2x. ∴.∠ABC=∠C=2x.在△ABC中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°.∴.∠C=2x=72°. 5.B设∠BMC=x,∠ANC=y.:BC=BM, ∴.∠BCM=∠BMC=x.∴.∠B=180°-2x.AC= AN,.∠ACN=∠ANC=y.∴.∠A=180°-2y. :∠ACB=90°，∴.∠A+∠B=90°，即180°-2y+180° 2x=90°..x+y=135°.∴.∠BCM+∠ACN=135° ∴.∠MCN=∠BCM+∠ACN-∠ACB=135°-90°=45. 6.50°如图，连接CE.AB=AC,AD是边BC上的高， ∠BAC=40',BD=CD,∠ABC=2(180°-∠BAC)= 70,∠BAE-号∠BAC=20.:AD为BC的垂直平分 线.点E在AD上，BE=CE.又线段AC的垂直 平分线交AD于点E,交AC于点F,.AE=CE.∴AE= BE.∴.∠ABE=∠BAE=20°.∴.∠EBD=∠ABC- ∠ABE=50°. D (第6题) 7.9 思路导引 AC=AB AB=BD,∠ABD=90° 作垂直将三线合一 构造一线三直角模型 BE2BC-3,∠AEB=90° 作DF⊥CB的延长线 于点F △AEB≌△BFD BE=DF=3求得△BCD的面积 如图，过点A作AE LBC,垂足为E,过点D作DF⊥CB, 交CB的延长线于点F,.∠AEB=∠DFC=90°. ∴.∠DBF+∠BDF=90°.∠ABD=90°，∴.∠ABE+ ∠DBF=90°.∴.∠ABE=∠BDF.AB=AC,AE⊥ BC,.BE-2BC-3.:AB=BD,.△AEB≌△BFD (AAS.BE=DF=3..△CD的面积=号BC· D=2x6X8=9 E B F (第7题) 8.(1):AB=AC,∠BAC=100°，∴.∠ABC=∠ACB= 40°.：BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC=20° BD=AB,∴.∠ADB=∠DAB=80°.∴.∠CAD=20 ∴.∠CAD=∠DBC.(2)如图，延长AD到点E,使得 AE=BC,连接EC.:AB=AC,BD=AB,∴.BD=AC. 又：BC=AE,∠CAD=∠DBC,∴.△DBC≌△CAE. .CD=EC,∠BDC=∠ACE.∴.∠CDE=∠CED.设 ∠CDE=∠CED=a.:'∠ADB=80°，∴.∠BDE=100°. ∴.∠BDC=∠ACE=100°+a.:在△ACE中，20°+ 100°+a+a=180°，∴.a=30°..∠BDC=130°. D B E (第8题) 9.(1)DE=FB.理由：，△ACD,△BCE分别是以AC, BC为底边的等腰三角形，'.∠A=∠DCA,∠ECB= ZEBC,CE=BE,AD=CD.EF=AD,.EF=CD. '∠A=∠EBC,.∠A=∠ECB=∠DCA=∠EBC. .AD∥CE,DC∥BE.∴.∠ADC=∠DCE,∠DCE= CD=EF, ∠CEB.在△DCE和△FEB中，{∠DCE=∠FEB, CE=EB, .△DCE≌△FEB(SAS)..DE=FB.(2)∠BGE= 2∠GBC.理由：由(1)，可知∠A=∠ECB=∠CBE=a, △DCE≌△FEB.∴.∠DEC=∠GBE.:'∠GBE= ∠CBE-∠GBC=a-∠GBC,∴.∠DEC=a-∠GBC. :∠BGE+∠DEC+∠EFG=18O°，∠ECB+∠GBC+ ∠CFB=180°，∠EFG=∠CFB,.∴.∠BGE+∠DEC= ∠ECB+∠GBC.∴.∠BGE+a-∠GBC=a+∠GBC. ∴.∠BGE=2∠GBC. 第2课时等腰三角形的判定 1.C:∠ADB是△ADC的外角，∴.∠ADB=∠C+ ∠DAC.又'∠ADB=2∠C,∴.∠C=∠DAC.∴.△ACD 是等腰三角形.∴.AD=DC.'△ABD的周长=AB十 BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC,AB=5,BC=6, .△ABD的周长=5+6=11. 2.6:AB=AC,∠BAC=108°，.∠B=∠C=36°. .∴.△ABC是等腰三角形..∠BAC=108°，AD,AE三等 分∠BAC,∴.∠BAD=∠DAE=∠EAC=36. .∠DAC=∠BAE=72.∴.∠AEB=∠ADC=72 .BD=AD AE CE,AB BE AC CD. ∴.△ABE,△ADC,△ABD,△ADE,△AEC是等腰三角 形.∴.题图中共有等腰三角形6个 3.1∠A=∠ABE,∴.AE=BE.,CD平分∠BCE, 且CD⊥BE,∴.∠CDB=∠CDE=90°，∠BCD=∠ECD. :'∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，∠CED+∠CDE+ ∠ECD=180,.∠CBD=∠CED.∴.CB=CE=3. CDLBE,'.BD-ED-7 BE-TAE.AC-5. ∴.AE=AC-CE=2.∴.BE=AE=2..DE=1. 4.(1)在△ABC中，AC=BC,∠C=72°，.∠B= 1 ∠BAC=2(180°-∠C)=54°.：AD平分∠BAC交BC 1 于点D,∠BAD=2∠BAC=2.·AE⊥AD, ∴.∠DAE=90°.，∴.∠BAE=∠BAD十∠DAE=27°+拔尖特训·数学（人教版）八年级上 15.3 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025西藏中考]如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,D是BC延长线上的一点，∠ACD= 110°，则∠A的度数为 () A.70° B.55° C.40° D.35° 一D B (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=1,则 BF的长为 () A.1.8 B.2 C.2.2 D.2.4 3.分类时论思想如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧， 交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数为 4.方程思想如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，点E在AB上，BD=BC=BE,AE ED,求∠C的度数. A B (第4题》 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AN,BC=BM,则∠MCV的度数为 () (第5题) A.30° B.45° C.60° D.55 50 第十五章轴对称 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，AD是边BC上的高.线段AC的垂直平分线交AD 于点E,交AC于点F,连接BE,则∠EBD的度数为 (第6题) (第7题) 7.如图，AC=AB=BD,∠ABD=90°，BC=6,则△BCD的面积为 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BD平分∠ABC,且BD=AB,连接AD,DC. (1)求证：∠CAD=∠DBC. (2)求∠BDC的度数. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.舒考回探究题如图①，C为线段AB上一点，分别以AC,BC为底边，在AB的同侧作等腰三角 形ACD和等腰三角形BCE,且∠A=∠EBC.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接 BF,DE (1)判断DE与FB之间的数量关系，并说明理由 (2)如图②，若∠A=α，延长BF交DE于点G,探究∠BGE与∠GBC之间的数量关系，并说明 理由 ① ② (第9题) “答案与解析”见P31 51