第五章一元一次方程（知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

第五章 一元一次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 方程 1.1 方程的定义 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 示例：设大水杯的单价为 元，则小水杯的单价为 元，根据”用买 个大水杯的钱可以买 个小水杯”列得方程 。 1.2 方程的解与解方程 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程，叫作解方程。 示例： 是方程 的解，因为当 时，左边 ，右边 ，方程左、右两边的值相等。 1.3 一元一次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程。 示例：、 是一元一次方程； 中未知数的最高次数是 ，不是一元一次方程。 注意：一元一次方程都可以化为标准形式 （其中 是未知数，， 是已知数，并且 ）。 2. 等式的性质 2.1 等式的基本事实 等式两边可以交换：如果 ，那么 。 相等关系可以传递：如果 ，，那么 。 2.2 等式的性质 等式的性质 1　等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果 ，那么 。 等式的性质 2　等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 的数，结果仍相等。如果 ，那么 ；如果 ，，那么 。 示例：利用等式的性质解方程 ，两边减 ，得 ；解方程 ，两边除以 ，得 。 注意：解以 为未知数的方程，就是把方程逐步转化为 （常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据。 3. 解一元一次方程 3.1 合并同类项 把方程中含 的项合并同类项，可以把方程化简为 的形式，再系数化为 求出解。 示例：解方程 ，合并同类项得 ，系数化为 ，得 。 3.2 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项。 示例：解方程 ，移项得 ，即把左边的 变号移到右边，把右边的 变号移到左边。 3.3 去括号 当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤。 示例：解方程 ，去括号得 。 3.4 去分母 方程中未知数的系数不是整数时，可以先化去分母，把未知数的系数化成整数，使计算更简便。 示例：解方程 ，各分母的最小公倍数是 ，方程两边都乘 ，得 。 注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数。 3.5 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 等。通过这些步骤，可以使以 为未知数的一元一次方程逐步转化为 的形式。这个过程主要依据等式的性质和运算律等。 示例：解方程 ：去分母得 ，去括号得 ，移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 得 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一元一次方程的解 一元一次方程 （）有且只有一个解 。 1.2 方程 的解的三种情况 关于 的方程 （， 为常数）：当 时，方程有唯一解 ；当 且 时，方程有无数个解（ 为任意数）；当 且 时，方程无解。 【使用提醒】含字母系数时，两边除以字母前必须先讨论它是否为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 由方程的解反求参数 把已知的解 代入原方程，得到关于参数的方程，再解出参数。如 是方程 的解，则 ，。 2.2 先化简再解方程 解方程前先观察、化简：去分母前能先合并的先合并，能约分的先约分，小数系数可先化整，再按一般步骤求解。如解 时，去分母后也可先合并同类项再移项， 即 ，得 ，。 2.3 列方程解应用题的一般步骤 审题找出相等关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验结果是否符合实际 → 作答。关键是抓住”表示同一个量的两个不同式子相等”“各部分量的和等于总量”等基本相等关系。这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。如”前年、去年、今年购买量之和为 “可据”三年总量”列 。 3. 解方程运算小技巧 技巧 要点 示例 移项变号 移项改变符号，不移项不变号 移项为 去分母 找各分母的最小公倍数，每一项都乘 两边乘 得 小数系数化整 两边同乘 的幂把小数变为整数 两边乘 得 系数化 方程两边同除以未知数的系数（不为 ） 两边除以 得 4. 常见考试模型 4.1 行程问题 公式：路程 速度 时间；相遇问题 ，追及问题 ；顺水速度 静水速度 水流速度，逆水速度 静水速度 水流速度。 限定：速度、时间均取正数，单位要统一。 示例：如船顺水 与逆水 的路程相等，水流速度为 ，设静水速度为 ，则 。 4.2 工程问题 公式：把工作总量看作 ，工作量 人均效率 人数 时间。 限定：人数为正整数，时间取正数。 示例：如整理一批图书 人需 完成，人均效率为 ， 人先做 、再增加 人做 ，则 。 4.3 配套问题 公式：按配套比例列方程，使配套的两类物品数量成比例（如” 个螺栓配 个螺母”则螺母数量 螺栓数量）。 限定：人数、件数须为正整数，结果要符合整数性。 示例：如 名工人生产螺栓和螺母，设生产螺栓 人，则 ，解得 。 4.4 销售盈亏问题 公式：利润 售价 进价；利润率 ；售价 进价 利润率。 限定：盈利或亏损按进价计算，结果须与实际相符。 示例：如进价 元的衣服盈利 后售价 元，则 ，解得 。 4.5 球赛积分问题 公式：总积分 每场得分 场数；先由特殊的一行求出每场得分，再设胜（负）场数列方程。 限定：场数须为非负整数，解出非整数应判定”不存在”。 示例：如胜一场 分、负一场 分，共 场，胜场积分等于负场积分时 ， 不是整数，故不存在。 4.6 方案选择问题 公式：分别列出两种方案的费用（或数量）表达式，令二者相等求分界值，再分段比较大小。 限定：自变量（如使用年数、页数）须为正数或非负整数。 示例：如 级空调费用 、 级空调费用 ，相等时 ， 时后者便宜， 时前者便宜。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断”一元一次方程”漏了系数不为 0 典例：若方程 是关于 的一元一次方程，求 的值。 错解：由 ，得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。一元一次方程的定义包含两个缺一不可的条件：只含一个未知数、未知数的次数都是 ，且含未知数的项的系数不为 。学生只盯着”次数”列式，忽略了 时含未知数的项消失、方程不再含未知数。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 。 易错点 2：移项时不变号 典例：解方程 。 错解：移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 得 。 正解：移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 得 。 原因：符号处理失误。移项的实质是利用等式的性质把某项从一边变号后移到另一边，学生移项时只移动位置、忘记变号。要牢记”移项必变号，不移项不变号”。 易错点 3：去分母时漏乘不含分母的项 典例：解方程 。 错解：两边乘 ，得 ，去括号得 ，移项合并得 ，。 正解：两边乘 ，得 ，去括号得 ，移项得 ，合并同类项得 ，。 原因：运算步骤遗漏。去分母的本质是方程两边每一项都乘最小公倍数，学生只给含分母的项乘了 ，漏乘了不含分母的项 。凡去分母都要”每一项”都乘，尤其注意单独的常数项和整式项。 易错点 4：去括号时括号前是负号或数字，漏变号、漏乘 典例：解方程 。 错解：去括号得 ，移项合并得 ，。 正解：去括号得 ，移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 得 。 原因：符号处理与分配律应用不完整。括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号；括号前是数字时，该数字要乘遍括号内每一项。学生漏掉”“中的”“和”“中的”“。 易错点 5：实际问题解出后不检验是否符合实际意义 典例：某次篮球联赛中，胜一场得 分，负一场得 分。一支球队共比赛 场，若设该队胜了 场，且要求胜场总积分等于负场总积分，求 。 错解：由 ，得 ，，所以该队胜了 场。 正解：由 ，得 。因为 （所胜的场数）的值必须是整数，而 不是整数、不符合实际，所以没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分。 原因：忽略隐含条件。用方程解决实际问题时，不仅要看解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。学生把”解出方程”当成终点，忽略了场数必须是整数这一约束。凡实际问题的解都要回到情境中检验（是否为正数、整数、符合范围）。 易错点 6：含字母系数方程两边除以字母，漏讨论它为 0 典例：解关于 的方程 。 错解：移项得 ，两边除以 ，得 。 正解：移项得 。当 时，；当 时， 不成立，方程无解。 原因：漏分类讨论。学生沿用”两边同除以系数”的习惯，默认 ，忽略了 时不能作除数。凡两边除以含字母的式子，都要先讨论该式子是否为 。 学科网（北京）股份有限公司 $