5.3 实际问题与一元一次方程 知识清单 2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.3 实际问题与一元一次方程 知识清单 2026—2027 学年 七年级数学上册 人教版（2024） 5.3 实际问题与一元一次方程的知识地图 用一元一次方程解决实际问题 配套与工程 销售盈亏 球赛积分 分段计费与决策 配套比 / 工作量 售价、进价与利润 读积分表建模 临界点 + 分类讨论 基本过程：审 → 设 → 列 → 解 → 检 → 答 核心：抓住实际问题中的「相等关系」，把生活语言翻译成方程 一、复习目标与重难点 【学习目标】会用一元一次方程解决产品配套、工程、销售盈亏、球赛积分、分段计费与方案决策等实际问题；掌握“审、设、列、解、检、答”的基本过程，能抓住问题中的相等关系建模，并结合实际意义检验结果。 重点：分析数量关系、找出相等关系，列一元一次方程解决四类典型实际问题。 难点：配套比的理解（谁是谁的几倍）；工程问题把总工作量设为 1；销售盈亏中“利润率的基数”；方案决策中临界点的求法与分类讨论。 关键：先找相等关系再列方程；解出结果后必须回到实际情境检验（人数为正整数、场次合理等）。 列一元一次方程解应用题的一般步骤 ① 审 ② 设 ③ 列 ④ 解 ⑤ 检 ⑥ 答 读题、找相等关系 设未知数（直接或间接） 用含未知数的式子表示各量，列方程 解这个一元一次方程 检验是否符合实际意义 写出答案、带单位 二、产品配套问题与工程问题（5.3.1） 1. 配套问题 配套问题的关键是抓住配套比：题目说“1 个 A 配 b 个 B”，那么 A、B 的数量必须满足倍数关系。若按 a : b 配套，则 b × A 的总产量 = a × B 的总产量。 配套问题模型：1 个螺栓配 2 个螺母 设元 产量（每天） 配套关系 x 人做螺栓，(22 - x) 人做螺母 螺栓 1200x 个；螺母 2000(22 - x) 个 螺母数 = 2 × 螺栓数： 2000(22 - x) = 2 × 1200x 通用模板：两种零件按 a : b 配套，则 b × A 总产量 = a × B 总产量。 解题三步：① 从题中抓出“配套比”；② 设一份人数（或张数）为 x，另一份为总数减 x；③ 用总产量列方程。 常用手法：数据较多时用表格把“人数—每人产量—总产量”对齐整理，不易遗漏。 2. 工程问题 工程问题的基本关系：工作量 = 人均效率 × 人数 × 时间。通常把总工作量设为 1，则“一个人单位时间完成的工作量”（人均效率）就是 1 ÷ 总时间。若分几个阶段完成，则 各阶段工作量之和 = 总工作量。 工程问题模型：各阶段工作量之和 = 总工作量（设为 1） 阶段 人数 × 时间 完成的工作量 第一阶段（先做） x 人 × 4 h 第二阶段（增加 2 人） (x + 2) 人 × 8 h 列方程： + = 1，解得 x = 2（人）。 三、销售盈亏问题（5.3.2） 1. 相关概念与数量关系 先弄清进价（成本价）、标价（原价）、售价、利润、利润率、打折这几个概念，再记住它们之间的数量关系。 销售问题中的常用数量关系 利润 = 售价 - 进价 求一件商品赚了多少钱 利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% 利润占进价的百分比 售价 = 标价 × 折扣数 ÷ 10 打 x 折的售价 售价 = 进价 × (1 + 利润率) 已知进价和利润率求售价 概念提醒：利润率的基数是进价，不是售价、也不是标价；“打 x 折”表示按标价的 出售。 变形记忆：由“利润 = 售价 - 进价”与“售价 = 进价 × (1 + 利润率)”可推出所有变形。 2. 盈亏的判断 要判断“总的盈利还是亏损”，不能只看单件的盈利率，必须比较总售价与总进价（总成本）： 销售盈亏的判断：比较总售价与总进价 盈利 总售价 > 总进价 不盈不亏 总售价 = 总进价 亏损 总售价 < 总进价 经典模型：两件商品都以同样的价卖出，一件盈利 a%、另一件亏损 a%。因为两件进价不同（盈利那件进价低、亏损那件进价高）， 　　　　　　通常总的会亏损——盈利的绝对金额小于亏损的绝对金额。具体要算出两件进价再比较。 四、球赛积分问题（5.3.3） 1. 读表取信息 球赛积分表一般给出各队的场次、胜场、负场和总积分。表格里藏着一个“隐藏条件”：找一支全负（或全胜）的队，它的积分直接告诉我们“负一场（或胜一场）积几分”。 某次篮球联赛积分榜（部分） 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 2. 建立模型 先由“全负队”求出负一场的积分，再代入某个队的积分反推胜一场的积分；然后用含胜场数的式子表示总积分，就可列方程解决具体问题。 从积分表反推单位积分 看“钢铁”队：0 胜 14 负，积分 14 说明负一场积 14 ÷ 14 = 1（分） 看“前进”队：10 胜 4 负，积分 24 10 × 胜一场积分 + 4 × 1 = 24 解得：胜一场积分 = (24 - 4) ÷ 10 = 2（分） 胜一场积 2 分、负一场积 1 分 总积分模型：设一个队胜 m 场、负 (14 - m) 场，则总积分 = 2m + (14 - m) = m + 14。 思维发散：“某队胜场总积分能否等于负场总积分？”这类问题，先把胜场设为 x、用含 x 的式子表示两种积分，令它们相等解方程； 　　　　　若解出的 x 不是非负整数（或超出总场次范围），就说明这种情形不可能发生。 五、分段计费问题与方案决策问题（5.3.4） 1. 分段计费 分段计费的特点是：不同的数量范围（区间）对应不同的单价（或收费标准）。列代数式时要分区间写，特别留意区间的端点值该归入哪一段。 分段计费模型：两种通话计费方式 收费方式 月租费 通话费 费用代数式 方式一 20 元 0.15 元/min 20 + 0.15x 方式二 0 元 0.25 元/min 0.25x 求临界点：令 20 + 0.15x = 0.25x，解得 x = 200（min）。当通话 200 min 时两方式费用相等；低于 200 min 选方式二，高于 200 min 选方式一。 2. 方案决策 方案决策问题的通用思路：先把各方案的费用都用含未知数的代数式表示，再求出“费用相等”的临界点，最后以临界点为界分类讨论，选出最优方案。 方案决策：先求临界点，再分类讨论 ① 列代数式 ② 求临界点 把两种方案的费用分别用含 x 的式子表示 令两式相等，列一元一次方程，求出 x 的临界值 ③ 分类讨论（以临界点为界） 小于临界值时：哪个方案费用低？　大于临界值时：哪个方案费用低？　等于临界值时：两方案费用相同。 注意：临界点往往需要先判断是否落在自变量的实际取值范围内。 六、分层例题精讲 基础题（直接套用数量关系） 【例 1】（配套问题）某车间有 22 名工人，每人每天可生产 1200 个螺栓或 2000 个螺母。1 个螺栓配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓、螺母刚好配套，应安排多少人生产螺栓、多少人生产螺母？ 解：设安排 x 名工人生产螺栓，则 (22 - x) 名工人生产螺母。 每天生产螺栓 1200x 个，螺母 2000(22 - x) 个。 由“螺母数是螺栓数的 2 倍”列方程：2000(22 - x) = 2 × 1200x。 解得 44000 - 2000x = 2400x，即 4400x = 44000，x = 10；22 - x = 12。 答：安排 10 人生产螺栓、12 人生产螺母。 【例 2】（工程问题）整理一批图书，1 人整理需要 40 h 完成。现计划由一部分人先整理 4 h，再增加 2 人与他们一起整理 8 h，恰好完成。假设每人的工作效率相同，应先安排多少人整理？ 解：把总工作量设为 1，则人均效率为 。 设先安排 x 人整理 4 h，则后 8 h 有 (x + 2) 人。 列方程： + = 1，即 4x + 8x + 16 = 40。 解得 12x = 24，x = 2。 答：应先安排 2 人整理。 【例 3】（销售问题）一件商品的进价是 150 元，售价是 180 元，求这件商品的利润和利润率。 解：利润 = 售价 - 进价 = 180 - 150 = 30（元）。 利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% = 30 ÷ 150 × 100% = 20%。 答：利润率是 20%。 提升题（需要建模与判断） 【例 4】（销售盈亏）某商店以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%。卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？ 解：设盈利那件的进价为 x 元，由“进价 × (1 + 25%) = 售价”得 1.25x = 60，x = 48（元）。 设亏损那件的进价为 y 元，由“进价 × (1 - 25%) = 售价”得 0.75y = 60，y = 80（元）。 总进价 = 48 + 80 = 128（元），总售价 = 60 × 2 = 120（元）。 因为 120 < 128，所以总的亏损 8 元。 【例 5】（打折销售）某商品的标价是 400 元，按标价打八折销售仍可获利 60 元，求这件商品的进价。 解：售价 = 标价 × 折扣数 ÷ 10 = 400 × 8 ÷ 10 = 320（元）。 设进价为 x 元，由“利润 = 售价 - 进价”得 320 - x = 60。 解得 x = 260。 答：这件商品的进价是 260 元。 【例 6】（球赛积分）某篮球联赛中，每队均比赛 14 场，胜一场积 2 分、负一场积 1 分。某队负了 5 场，求这个队的总积分。 解：该队共赛 14 场，负 5 场，则胜场数为 14 - 5 = 9（场）。 总积分 = 胜场积分 + 负场积分 = 2 × 9 + 1 × 5 = 18 + 5 = 23（分）。 答：这个队的总积分是 23 分。 拓展题（临界点与分类讨论） 【例 7】（方案决策）某通信公司有两种计费方式：方式一月租 20 元、每分钟通话 0.15 元；方式二无月租、每分钟通话 0.25 元。每月通话多少分钟时两种方式费用相等？通话时间在什么范围时选方式一更省钱？ 解：设每月通话 x min。方式一费用为 (20 + 0.15x) 元，方式二费用为 0.25x 元。 令两式相等：20 + 0.15x = 0.25x。 解得 20 = 0.1x，x = 200（min）。 所以通话 200 min 时两方式费用相等；当 x > 200 时，20 + 0.15x < 0.25x，选方式一更省钱。 答：通话 200 min 时费用相等；每月通话超过 200 min 时选方式一更省钱。 【例 8】（配套问题·变式）某车间有 68 名工人，每人每天可生产 8 个甲种部件或 5 个乙种部件。已知 2 个甲种部件和 3 个乙种部件配成一套，为使每天生产的部件刚好配套，应安排多少人生产甲种部件？ 解：设安排 x 人生产甲种部件，则 (68 - x) 人生产乙种部件。 “2 个甲配 3 个乙”，即甲的 3 倍 = 乙的 2 倍：3 × 8x = 2 × 5(68 - x)。 去括号得 24x = 680 - 10x，移项得 34x = 680，x = 20。 答：应安排 20 人生产甲种部件。 【例 9】（工程问题·变式）一项工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 8 天完成。若甲先做 3 天，再由甲、乙合作，还需多少天完成？ 解：把总工作量设为 1，则甲、乙的工作效率分别为 、。 设甲、乙还需合作 x 天完成。列方程： + ( + ) x = 1。 即 + = 1，两边乘 24 得 6 + 5x = 24，解得 x = 3.6。 答：甲、乙还需合作 3.6 天完成。 【例 10】（球赛积分·思维发散）在例 6 的联赛中（每队赛 14 场，胜一场积 2 分、负一场积 1 分），某队的胜场总积分能否等于它的负场总积分？ 解：设该队胜 x 场，则负 (14 - x) 场。 胜场总积分 2x，负场总积分 (14 - x)。令它们相等：2x = 14 - x。 解得 3x = 14，x = 。 因为场数必须是非负整数，而 不是整数，所以不存在这样的胜场数。 答：该队的胜场总积分不可能等于负场总积分。 七、方法总结与知识结构 5.3 的核心是“一类问题、一个套路”： 问题类型 核心相等关系 关键提示 配套问题 b × A 总产量 = a × B 总产量 先抓配套比，再设人数 工程问题 各阶段工作量之和 = 总工作量（设为 1） 工作量 = 人均效率 × 人数 × 时间 销售盈亏 总售价与总进价比较（利润 = 售价 - 进价） 利润率基数是进价；打折按标价算 球赛积分 胜场积分 + 负场积分 = 总积分 由全负队反推单位积分 分段计费 各区间费用分别列式后相加 注意区间端点归属 方案决策 两方案费用相等 → 求临界点 以临界点为界分类讨论 通法：不论哪种题型，都是“审题找相等关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 作答”。 检验：解出的结果要回到实际情境检验：人数、张数、场次必须是非负整数，费用、时间不能为负。 八、易错清单 1. 配套比弄反：如“1 个螺栓配 2 个螺母”，应列 “螺母数 = 2 × 螺栓数”，常写成 2 × 螺母数 = 螺栓数。记住“配几个就乘几”。 2. 工程问题忘记把总工作量设为 1：各部分工作量应是“效率 × 时间”的分数形式，直接用天数相加会出错。 3. 利润率用错基数：利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%，不是除以售价，也不是除以标价。 4. 打折理解有误：“打八折”= 标价 × 0.8 = 标价 × 8 ÷ 10；不要把“八折”当成“降 8 元”或“按 8% 出售”。 5. 球赛问题漏用“场次关系”：胜场 + 负场 = 总场次，用它把两个未知量统一成一个未知数。 6. 方案决策只算临界点就下结论：必须写出分类讨论，并检查临界点是否在自变量的实际取值范围内。 学科网（北京）股份有限公司 $