12.2 第5课时 一次函数的简单应用——分段函数问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

第12章函数与一次函数 第5课时一次函数的简单应用一分段函数问题 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物的高度y(厘米)与观察时间 x(天)之间的函数关系如图所示，OABC,AB∥x轴，则第6天该植物的高度为 () A.10厘米 B.12厘米 C.6厘米 D.8厘米 ↑y/厘米」 ↑y/元 C 72 40- 023x/天 0 24x/千克 (第1题) (第2题) 2.[2026安庆桐城段考]购买荔枝所付金额y(元)与购买质量x(千克)之间的函数图象如图所示， 那么购买3千克荔枝需要付 元 3.教材42例5变式)某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取.居民每月应 缴水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示 (1)若用水量不超过10吨，则水费为 元/吨； (2)当用水量超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共缴水费65元，则该户居民8月共用水多少吨？ ↑y/元 26 0 1016x/吨 (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.舒精境学科融合[2025合肥期中]小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水 里做浮力实验，如图①所示，在此过程中，拉力F拉力(N)与石块下降的高度x(c)之间的关系如 图②所示（提示：当石块位于水面上方时F拉力=F重力，当石块入水后，F拉力=F重力一F浮力），则下 列说法正确的是 () A.当石块下降4cm时，石块在水里 ↑F拉为/N B.当6≤x≤10时，F拉力(N)与x(cm)之间的函 4 石块 B 数表达式为F动=一名+号 3.23 2.5 16 cm C.当石块下降8cm时，石块所受的浮力是1.25N 0246810121416x/cm D.当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离水 ② (第4题) 底号m 27 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 5.某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格为4元/千克，乙店的香蕉价格为5元/千克，一次购 买6千克以上，超过6千克部分的价格打7折.若购买香蕉20千克，则到 店购买更省钱 (填“甲”或“乙”). 6.甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时.在加工过程中，乙机器因故障停止工作，排 除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工.甲机器在加工过程中工作效率保持不 变.甲、乙两台机器加工零件的总数y(个)与甲加工时间x(小时)之间的函数图象为折线OA AB-BC,如图所示. (1)这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时 加工 个零件： (2)当3≤x≤6时，求y与x之间的函数表达式； (3)在整个加工过程中，当甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ ↑y/个 270 90B 50A 013 6x/小时 (第6题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的销 售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为 线段)，草莓的日销售量y(单位：千克)与上市时间x(单位：天)之间的函数关系如图 ①所示，草莓的销售价格（单位：元/千克）与上市时间x(单位：天)之间的函数关系如图② 所示. (1)观察图象可知，当0x11时，日销售量y与上市时间x之间的函数表达式为 ;当 11<x≤20时，日销售量y与上市时间x之间的函数表达式为 (2)求第11天的销售金额. (3)若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为15元/千克，马 叔叔到市场按照当日的价格元/千克将批发来的草莓全部销售完，他在销售的过程中，草莓总 质量损耗了2%，则马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚多少元？ ↑y/千克 ↑o/(元/千克) 30 90 0 父 20x/天 03 1620x/天 ① ② (第7题) 28 >“答案与解析”见P14易错警示 忽略分类讨论致错 经过y轴上定点的直线与x轴围成的面积问 题，要分直线与x轴的交，点在x轴的正半轴上和负 半轴上两种情况考虑，否则容易漏解 9.y=x十2或y=-x+3当k>0时，因为0≤x≤ 1,2≤y≤3，所以一次函数的图象过点(0,2)，(1,3). =,解得=1 所以 3=k+b, b=2. 所以y=x十2.当k<0 时，因为0≤x≤1,2≤y≤3，所以一次函数的图象过 一1所以 3=b,解得b=3 点0,3)，1,2).所以2=k+b, y=一x十3.综上所述，该一次函数的表达式为y x十2或y=一x十3. 10.(1)过点P作PE⊥y轴于点E.因为P(2,p), C(0,2),则OC=PE=2,所以S三角形P= 0c. 1 PE=号×2X2=2.所以S三r=S三 S三角无p=6-2=4.所以S三角彩M0=2OA·OC=4, 即2XOA×2=4.所以OA=4.所以点A的坐标是 (一4,0).设直线AP对应的函数表达式为y=kx十 1 -4k+b=0, b,则 解得 b=2, k=2'则直线AP对应的 b=2, 函数表达式为)y=2x十2.当x=2时，y=3,即力= 3.(2)因为S三角形M0P=S三角形P,所以OB=OA 4,则点B的坐标是(4,0).设直线BD对应的函数表 3 4m+n=0, 达式为y=m.x十n,则 解得 m一一2'则 2m+n=3, n=6 直线BD对应的品数表达式为y=一多+6， 11.(1)因为E(-2,5),F(-1,-3),所以xc= --号-1.即6（是小 2 (2)①设BC的中点为E.因为B(-1,-3),C(3 1D,所以xe=-)+3=1,ye=二31=-1，即 2 2 E(1,一1).设直线AE对应的函数表达式为y=kx十 5 4=-2k+b, b,则-1=k+b: 解得了 3, 所以边BC上的 5 中线所在直线AE对应的函数表达式为y=一3t十 2 3‘ ②设D(x,y),线段CD的中点为F.因为C (3,1),所以xp=3十x, 2一，yE—1之，即 F(,告).因为点F在①中所求的直线上，所 以义5·3十二，整理得y=5x一14 32 -3x-3 即点D所在直线对应的函数表达式为y=一。 14 x一31 第5课时一次函数的简单应用一分段函数问题 1.A当0<x≤2时，设y=kx,则2k=4,解得k= 2.所以当0<x≤2时，y=2x.因为OA∥BC,所以设 直线BC对应的函数表达式为y=2x十b.根据题意， 得2×3十b=4,解得b=一2.所以直线BC对应的函 数表达式为y=2x一2.当x=6时，y=2×6-2=10, 即第6天该植物的高度为10厘米. 2.56设直线AB对应的函数表达式为y=k.x十b, 将(2,40)，(4,72)代入，得 2k十b=40·解得 4k+b=72, =16, 所以直线AB对应的函数表达式为y= b=8. 16.x+8.当x=3时，y=16×3+8=56,即购买3千 克荔枝需要付56元. 3.(1)2.5.由题图可知，当用水量不超过10吨时， 水费为25÷10=2.5（元/吨）.(2)设当用水量超过 10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y= k.x+b.因为点(10,25)，(16,49)在该函数图象上，所 10k+b=25, 以 k=4，所以当用水量超过 解得 16k+b=49, b=-15. 10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y= 4x-15.(3)因为65>25，所以该户居民8月的用 水量超过10吨.将y=65代入y=4x-15,得4x 15=65,解得x=20.所以该户居民8月共用水 20吨. 4.D由题图可知，石块下降到6cm时，石块正好接 触水面，故A错误；当6≤x≤10时，设AB所在直线 对应的函数表达式为F拉力=kx十b(k≠0)，则 4=6k+b, /k、3 解得，25 8, 2.5=10k+b, 则F拉力=一 3 8x+ b 1 空，放B箱误：当石块下降8m,即x=8时， F=一意×8+约-只此时石块所受的浮方是 4坚-(N),故C错误：当弹资测力计的示数为 3N即y8时，音+货-8e用5则百共 E离水底16-号（em,放D正确 5.乙设购买香蕉x千克，付款金额为y元，则易知 甲、乙两店的付款金额关于购买香蕉质量的函数表达 式分别为甲商店：y=4x,乙商店：y= 5x,x≤6， 当x=20时，到甲店购买需付款 3.5.x+9,x>6. 4×20=80(元)，到乙店购买需付款3.5×20十9= 79(元).因为80>79，所以到乙店购买更省钱. 6. 思路导引 得零件总数 (1) 由AB段结合BC段求乙机器排除 故障后每小时加工的零件数 读 线段BC经过点 -(2 得所求函数表 象 (3,90),(6,270) 达式 分两种情 甲加工的零件数等于乙发 况讨论 生故障前加工的零件数 (3) 乙排除故障后两机器加工 的零件数相等 (1)270;20;40.这批零件一共有270个，甲机器每 小时加工零件(90一50)÷(3一1)=20（个），乙机器排 除故障后每小时加工零件(270-90一20×3)÷3 40(个). (2)设当3≤x≤6时，y与x之间的函数表达式为 y=kx+b,把B(3,90),C(6,270)代入，得 3k十b=90:解得 k=60, =-90. 故所求函数表达式为 6k十b=270, y=60.x-90(3≤x≤6).(3)设当甲加工x小时 时，甲与乙加工的零件个数相等.分两种情况讨论： ①当1<x<3时，则20x=50-20,解得x=1.5; ②当3<x<6时，则20x=50-20十40(x-3),解得 x=4.5.所以当甲加工1.5小时或4.5小时时，甲与 乙加工的零件个数相等 7.(1)y=x:y=一10x+200.当0≤x≤11时， 设y与x之间的函数表达式为y=k.x,则90=11k, 第得长则y-9当11<≤20时，设y与x 90 之间的函数表达式为y=k1x十b.由题意，得 11k1十b=90, 解得 k1=-10, 20k1+b=0, b=200, 则y=-10x+200. (2)由题图①可知，第11天草莓的日销售量为90千 克.由题图②可知，从第3天至第16天，销售价格与 上市时间为一次函数关系，设为心=k2x十b2,则 3k2+b2=30, 解得，一1， 所以0=-x+33 16k2+b2=17, {b2=33. (3≤x≤16).当x=11时，w=22,即第11天草莓的 销售价格为22元/千克.90×22=1980（元），即第 11天草莓的销售金额为1980元.(3)当x=15 时，y=-10×15+200=50,0=-15+33=18.因为 批发价为15元/千克，所以马叔叔需付款15×50= 750(元).在马叔叔销售的过程中，实际销售量为 50×(1一2%)=49（千克），所以当日销售金额为 18×49=882(元)，则当天的利润为882-750-20= 112(元).所以当天能赚112元 第6课时一次函数与一元一次 方程、一元一次不等式 1.C由图象可得，当x<一1时，kx十b<0,所以关 于x的不等式k.x十b<0的解集是x<一1.所以关于 x的不等式k(x-3)十b<0的解集是x-3<-1,即 x<2. 2.B在y=2x中，当y=2时，2x=2,解得x=1, 则A(1,2),所以当x=1时，y=kx十b=2x=2.所以 关于x的方程kx十b=2x的解为x=1. 3.4根据图象可知，在y=ax十b中，当x=4时， y=1,则关于x的方程a.x十b=1的解为x=4. 4.x<1由表格可得，当x=1时，y=0,y随x的 增大而减小，所以方程a.x十b=0的解是x=1.所以 关于x的不等式a.x十b>0的解集是x<1. 5. 思路导引 方程-号+30的解 图象与 x轴的交点 不等式-号3>0 读图 的解集 象 将y-3和y6 x的取值范围 代入表达式 函数y= 之x十3的图象如图所示.(1)如图，因为 3