26.4 第一课时 实际问题与二次函数课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 26.4 第一课时 实际问题与二次函数 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 重点：实际问题中变量之间的二次函数关系. 难点：解决图形中最大面积问题． 复习导入 问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 答：小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m． 典例解析 题型1 与x轴的交点 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 1.矩形面积公式是什么？ 2.如何用l表示另一边？ 3.面积S的函数关系式是什么？ l 30-l S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30). 典例解析 题型1 实际问题 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时，S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 变式训练 1.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ (2)我们可以设面积为S，如何设自变量？ (3)面积S的函数关系式是什么？ (1)变式1与例题有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 设垂直于墙的边长为x米 x x 60-2x 32 (4)如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 变式训练 1.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 32 (5)如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2. S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x(14≤x＜30) 变式训练 2.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x (1)变式2与变式1有什么异同？ (2)可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ (3)可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？ 解：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则 18 变式训练 2.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x 18 (4)当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确. (5)如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. (6)如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 探究新知 知识点1 实际问题 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 针对训练 1.二次函数y=-(x+1)2+2的最大值是( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.已知0≤x≤，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是( ) A.-6 B.2 C.- D.不能确定 A C 典例解析 题型1 实际问题 例2.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2． (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 解：(1)由题意解得： ； 典例解析 题型1 实际问题 例2.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2． (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 解：(2) ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S的最大值为． 典例解析 题型1 实际问题 例3.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动. (1)设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S最小，求出S最小值. 解:(1)∵ts后，PB=6-t，BQ=2t ∴S=S矩形ABCD-S△PBQ=6×12-×(6-t)×2t 即S=t2-6t+72=(t-3)2+63(0<t<6) (2)∵a=1>0 ∴当t=3时，S最小=63cm2. 典例解析 题型1 实际问题 例4.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为16m.求出y与x的关系式;当x等于多少时，窗户通过的光线最多?此时，窗户的面积S是多少? 解:∵4y+6x+πx=16 ∴y= ∴S=2xy+πx2=2x()+πx2=-3x2+8x ∵a=-3<0 ∴当x=-=m时，S光线最多==m2 典例解析 题型2 几何问题 例5 如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.点P为第一象限的抛物线上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交BC于点Q,设点P的横坐标为m. (1)如图1,当m为何值时,PQ有最大值? 解:(1)易得B(6,0),C(0,3).∴直线BC的解析式为y=-x+3. ∵点P的横坐标为m, ∴P(0<m<6),Q. ∴PQ=-m2+m+3-=-(m-3)2+. ∵-<0,0<m<6,∴当m=3时,PQ有最大值. 典例解析 题型2 几何问题 例5 如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.点P为第一象限的抛物线上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交BC于点Q,设点P的横坐标为m. (2)如图1,请问当m为何值时,△PCB的面积最大,求出最大面积; (2)由(1),得S△PCB=PQ·(xB-xC) =-(m-3)2+. ∴当m=3时,△PCB的面积最大,最大面积为. 典例解析 题型2 几何问题 例5 如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.点P为第一象限的抛物线上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交BC于点Q,设点P的横坐标为m. (3)如图2,过点P作PM⊥BC于点M,求PM的最大值. (3)∵S△PCB=BC·PM,BC==3, ∴当PM最大时,S△PCB最大, 由(2)知,S△PCB的最大值为,∴PM的最大值为==. 归纳总结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 作业布置 课堂作业:P55习题26.4的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $