26.4 第二课时 实际问题与二次函数课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 26.4 第二课时 实际问题与二次函数 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 重点：解决商品销售过程中的最大利润问题. 难点：弄清商品销售问题中的数量关系． 复习导入 1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小值为____. 2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=-x2+100x. (1)二次函数y=-x2+100x的图象开口向___，有最___值，为_____； (2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人. (2,-7) 2 -7 下 大 2500 50 复习导入 3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 典例解析 题型1 实际问题 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ (1)当涨价销售时： ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 典例解析 题型1 实际问题 例1 (1)当涨价销售时： y=-10x2+100x+6000. 1.自变量x的取值范围如何确定？ 2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ （营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以） 故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 典例解析 题型1 实际问题 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ (2)当降价销售时： ②每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 6000 即：y=-18x2+60x+6000. 典例解析 题型1 实际问题 例1 (2)当降价销售时： 1.自变量x的取值范围如何确定？ 2.降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-18x2+60x+6000. (营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以) 故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元. 如何定价能使利润最大? 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. 探究新知 知识点1 实际问题 求解最大利润问题的一般步骤 1.建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 典例解析 题型1 实际问题 例2.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180.为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件. (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 解：(1)由题意可得w=(x-45-5)(-2x+180)=-2x2+280x-9000 (2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800 ∵ 销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件 ∴ 75≤x≤90∵ -2＜0，∴ 当75≤x≤90时，w随x的增大而减小 ∴ 当x=75时，有最大利润，最大利润为750元 典例解析 题型1 实际问题 例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同，商店规定售价在50～70元内.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为W元. （1）每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：(1)W=(x－30)(－2x + 160) =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∴当售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. 典例解析 题型1 实际问题 例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同，商店规定售价在50～70元内.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为W元. (1)W=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) （2）物价部门规定，该商品的销售单价不得超过a元，此时月销售的最大利润为1218元，则a的值是多少？ （2）解：当W最大= 1218时， －2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 ∴50≤x≤ a ∴a=51 针对训练 1.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ x y 5 16 O 7 解：（1）由图象可求y=-x2+20x-75， ∵-1<0，对称轴x=10， ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元. 针对训练 1.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ x y 5 16 O 7 （2）由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 针对训练 2.某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价为 16 万元。当每辆售价为 22 万元时，每月可销售 4 辆汽车。根据市场行情，现在决定进行降价销售。通过市场调查得到了每辆降价的费用 y1(万元)与月销售量 x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表： (1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1= . x − 2(x ≥ 4) 针对训练 （1）y1= x − 2(x ≥ 4) (2)每辆原售价为22万元，不考虑其他成本，降价后每月销售利润y＝(每辆原售价－y1－进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量x(x≥4)为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(2) y = (22 - x + 2 - 16) x =-x² + 8x，其中 x ≥ 4， ∴ y 与 x 成二次函数关系，且开口向下，其对称轴为 x = - = 8， ∴ 当 x = 8 时 y 有最大值为 - × 8² + 8 × 8 = 32（万元）． 答：月销售量为 8 辆时，销售利润最大，最大利润是 32 万元． 归纳总结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 作业布置 课堂作业:P55习题26.4的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $