第二单元 三角形的再认识【从课本到奥数】（知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共36题）-2026-2027学年北师大版新教材五年级数学上册举一反三系列

null2026-2027学年北师大版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元《三角形的再认识》【从课本到奥数】 (知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练共36题●原卷版) 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】… 。。。。。。。 【追溯课本-基础夯实能力检测】。……· 2 【奥数思维-课本提升知识拓展】.…· 6 【奥数拓展一】三角形的内角和.... 【奥数拓展二】用尺规画线段... 8 【奥数拓展三】三角形三边关系.· …9 【奥数拓展四】多边形的内角和.. 思维导图 知识梳理技巧点拨 探索三角形内角和 本单元核心要点 探索三角形三边关系 1.结论：三角形内角和等于180， ★探索并拿提三角形内角和等于 1,三角形任意两边之和大于第三边。 我们发理每个 实际上，三角形 180°. 用两根小棒积木能围成 我知道两点之间 三角形内角和 三个内角的和 ★认识三角形的底和高，能作出 三角形，则第三根小棒 线段最短，所以 都在180°左右。 就是180°。 三角形的高。 的长度要小于两根小 棒长度的和 2验证方法：量一量、剪一剪、拼一拼、折一折等。 ★探索三角形三边之间的关桑 ★理解三角形内角和的应用 2.怎样判断三条线段能围成三角形？ 任意两条较短线段的和大于第三条线段，就能围成三角 ★解决与三角形有关的简单问题 内角和( 内角和() 内角和( 内角和 3cm2+3>4,所以能 3.奇思妙想：不同三角形的内角和都一样，都是180 国成三形。 4cm eA 姓名 每个内角的度数 三内角的和 134 易错点拨： 179 测量要认真 136°■ 计算细心 第二单元 当两条较短线段的和等于第三条线段时， 不能围成三角形 王小而15° 因为此时三点在一条直线上 1412530 红1413630° 180 测量有误差 三角形的再认识 三角形的底和高) 1,认识：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，项点和垂足 探索内角和的奥秘 之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底 1,说一说：用尺规作三角形，能画出无数个不同的三角形。 顶点 2.淘气的作品 一个三角形有3条底 相应的也有3条高。 底（对边） 三角形是以线段为边围成的封闭图形，画“√”。 三角形内角和的应用 2.作高：用三角尺或直尺作出三角形指定底边上的高。 利用三角形内角和=180°解决问题 3.规律发现：不管是什么三角形，它的内角和是180 52% 5 45 、易错点拨 高一定要垂直于底边。并且要属在三角形内部或它的边上， 先准备一些 量出每个三角形 把四个内角拼在 ∠A= ∠c= ∠B= 的内角和都的是 一起，正好是一 本单元重点总结 三角形 180°. 个平角！ 解题技巧 ★高分新：动子一，梦动理解超 。把三角形内角和记成30 1.三角形内角和等于180° 种化思想：将复命同超转化为的问题 作高时直号没从项点件 2.三角形任查两边之和大于第三动 3.三角形的底和高是相对的，一个三角形有3条 青分夹讨论：因形情况多时，退一分析 电有3条高 小贴士多观察、勒思考、善动手，数学就会变得有趣又筒单！ ★验证修查：量一量、其一算，检查答案 4.灵活运月三角形内角和解决实际问题 图不范，致误判 第1页共11页 追溯课本 基础夯实能力检测 1.（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)请借助尺规判断下面四条线段中哪三条可以围成一个三角形？ ① ② ③ 4 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 2.(26-27五年级上广东深圳阶段检测)下面是四位同学探究六边形内角和的过程，不正确的是( 。 A 把六边形分成4个三角形，再将三角形内角和×4进行计算。 B. 把六边形分成2个三角形和1个四边形，再将2个三角形和1个四边形内角和相加。 C. 把六边形分成2个四边形，再将2个四边形内角和相加。 D. 把六边形分成6个三角形，再将三角形内角和×6进行计算。 3.(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)如图，魔术师遮住了一个三角形，其中一个角是60°。下面描 述不正确的是( )。 A.遮住的可能是一个锐角三角形 B.遮住的一定是一个锐角三角形 C.遮住的可能是一个直角三角形 D.遮住的不可能是等腰直角三角形 4.(26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测)下面能说明“三角形内角和是180°”的是( )。(填 序号) 第2页共11页 A途个八 3☑ ① ② ③ 5.(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)一个等腰三角形的两条边长分别为5厘米和10厘米，若第三 条边长也是整厘米数，这个三角形的周长是( )厘米。 6.(26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测)一个三角形其中两个角分别是68°和80°，它的另一个角是 °；一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和6厘米，它的周长是 厘米。 7.(26-27四年级上·山东·单元测试)“纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围。五色罗裙风摆动，好将蝴 蝶斗春归。”清代诗人郑板桥在诗《怀潍县》中生动地描写了清明时节人们放风筝的情景。王叔叔做了一 个等腰三角形的风筝，它的一条边长是35厘米，另一条边长是70厘米，这个三角形风筝的周长是( 厘米：如果这个风筝的一个底角是30°，则顶角是( ）°。 8.(26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测)下面三组小棒中，哪一组的小棒能围成一个三角形？能的画 “√”，不能的画“X”。 1)7cm 7cm 14cm (28cm 6cm, 16cm 10cm 12cm 15cm (3) 0 0 9.(2026五年级上·辽宁·专题练习)锐角三角形的两个锐角的和一定小于90°。（)（判断对错） 10.(25-26四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)把一根细铁丝剪成如下的三段，这三段能围成一个三角形。 )(判断对错) 3厘米 ob 3厘米 6厘米 11. (26-27五年级上·陕西西安·阶段检测)如图，已知∠1=30°，∠2=110°。计算∠4和∠5的度数。 4 1 第3页共11页 12.(26-27五年级上·辽宁·单元复习)如图，已知∠A+∠B=105°，求∠1的度数。 13.(26-27五年级上·辽宁·单元复习)下图是由等腰三角形ABD(AB=AD)和等腰三角形ADC组成的大 三角形，已知∠1=60°，求∠2的度数。 B 14.(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)下面是四位同学探究四边形内角和的方法。 奇思： 妙想： 笑笑： D D 淘气： 180° 6.D 3609 5 B B B 3 C 180°×3-180° 180°×4-360° 180°×2=360° =360° =360° (1)上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说他或她的探究思路。 (2)请用你喜欢的方法探究下面五边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 第4页共11页 15.(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)游乐园有一块三角形花坛。奇奇用软尺测量了花坛三条边的 长度，并记录在本子上（如图）。妙妙看了一眼记录说：“你的测量有误。”为什么妙妙没有测量就知道 奇奇的测量有误呢？用文字或列算式的方式写出你的思考过程。（单位：米） 10 13 25 16.(26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测)为美化社区文化广场，工人师傅要制作一个等腰三角形宣传 牌的支架（如图），其中两条边分别长2.4米和1.2米。 宣传牌 (1)这个支架的第三条边长是多少米请说明理由。 (2)做这个支架一共需要多长的木条 (3)如果支架的项角是80度，它的两个底角分别是多少度这个三角形按角分类属于哪一类三角形（等腰三 角形的两个底角相等) 17.(26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测)六边形窗户是一种六边形造型的窗框设计，常见于中国古建 筑园林及现代创意装修中，既具有几何美感又蕴含吉祥寓意。你能用喜欢的方法探究六边形的内角和是多 少吗？（在图中画一画、算一算） 第5页共11页 18.(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)下图是帐篷撑杆的一部分，它由一个等边三角形ABC和一个 等腰三角形ACD组成。你能求出∠D的度数吗？ 19.(26-27五年级上·辽宁·周测)奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中 最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 20.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰 三角形。其中一个角是70度，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 奥数思维 课本提升知识拓展 【奥数拓展一】三角形的内角和 【典型例题】(2025四年级下·全国·专题练习)如下图，两个三角形都是等腰三角形，∠3=25°，∠5 是多少度？ B 第6页共11页 【举一反三练习1】(24-25六年级上·湖北孝感·期中)一个等腰三角形的两个内角的比是4：1，这个 三角形的顶角是多少度？ 【举一反三练习2】下图中的∠1=( )°，∠2=( )°。 ◇ 50°30 【举一反三练习3】(24-25五年级上·北京通州·期末)同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的 边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、 ∠6、∠7是四边形的四个外角。 5 6 3 7 (1)我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算 出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 (2)画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ (3)根据上面的发现，你有什么猜想？ 第7页共11页 【奥数拓展二】用尺规画线段 【典型例题】(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)如图，己知线段a,bc,用尺规作出三角形，使这 个三角形的三条边的长度分别等于a,b,c。(请保留作图痕迹) b 【举一反三练习1】(26-27五年级上·陕西西安·阶段检测)按要求画图。（保留作图痕迹）用尺规作 出下面的三角形，请你接着画完。 【举一反三练习2】(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)请你再添一条线段c,使这三条线段能围 成一个三角形，并在空白处用尺规作出这个三角形。（保留作图痕迹） 线段a:L 线段b: 线段c: 【举一反三练习3】(2627五年级上·辽宁·课后作业)用尺规作等长的线段。 (1)在下面直线上，借助尺规画线段CD,使CD=AB。 A B C (2)在下面直线上，借助尺规画线段CD,使线段CD的长度等于线段a,b长度的和。 a b (3)在下面直线上，借助尺规画线段CD,使线段CD的长度等于线段a,b长度的差。 第8页共11页 【奥数拓展三】三角形三边关系 【典型例题】(24-25四年级下·山西运城·期末)小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段， 然后首尾相接摆成一个三角形。 (1)如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，( )摆成三角形。（填“能”或“不能”） 是1LL1LLL小 06 (2)如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？ 请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 1上·上上1 oo 理由： 【举一反三练习1】三角形的三条边分别长a-2、a+2、a+5(单位：cm),则a一定大于( )。 【举一反三练习2】一根铁丝长18厘米，用这根铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三边长度都是整 厘米数，你能围出多少个不同的三角形？ 【举一反三练习3】(25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末)一个直角三角形的两条直角边相差2厘米， 已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积( )平方厘米。 (在直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边的平方和。) 第9页共11页 【奥数拓展四】多边形的内角和 【典型例题】下图中∠6+∠7+∠8+∠9十∠10的度数是多少？ ≤6 10 3 99 8 【举一反三练习1】（25-26四年级下·浙江金华·期末)想一想，画一画、算一算。 (1)淘气在学习了“三角形的内角和”后，发现可以用三角形内角和来得到其它多边形的内角和。 三角形内角和180° 四边形内角和=180°×2=360° 五边形 请你照样子在五边形中试一试。五边形的内角和=( (2)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，等边三角形也叫正三角形，每个角的度数是：180°÷3=60°。 如果只用一种正多边形来密铺，正三角形、正四边形都可以密铺，那正五边形可以吗？请用内角和的知识 来进行说明。 60 90° 正五边形( )密铺（括号里填“能”或“不能”），原因是( 第10页共11页 【举一反三练习2】数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 欢欢 乐乐 () ( 1个周角=360° 180°×2=3609 34 玲玲 小华 () () 180°×4-360°=360° 180°×3=540° ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【举一反三练习3】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)算一算，说说你发现了什么。 图形 边数 3 6 6 … 180°× 180°× 内角和 180°×1 180°×2 ( 我发现：分成的三角形个数比多边形的边数( ),因为一个三角形的内角和是( )。, 所以n(n≥3)边形的内角和是( )。 第11页共11页 2026-2027学年北师大版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元《三角形的再认识》【从课本到奥数】 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共36题●原卷版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 6 【奥数拓展一】三角形的内角和 6 【奥数拓展二】用尺规画线段 8 【奥数拓展三】三角形三边关系 9 【奥数拓展四】多边形的内角和 10 1．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）请借助尺规判断下面四条线段中哪三条可以围成一个三角形？（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）下面是四位同学探究六边形内角和的过程，不正确的是（    ）。 A．把六边形分成4个三角形，再将三角形内角和×4进行计算。 B．把六边形分成2个三角形和1个四边形，再将2个三角形和1个四边形内角和相加。 C．把六边形分成2个四边形，再将2个四边形内角和相加。 D．把六边形分成6个三角形，再将三角形内角和×6进行计算。 3．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）如图，魔术师遮住了一个三角形，其中一个角是。下面描述不正确的是（    ）。 A．遮住的可能是一个锐角三角形 B．遮住的一定是一个锐角三角形 C．遮住的可能是一个直角三角形 D．遮住的不可能是等腰直角三角形 4．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面能说明“三角形内角和是180°”的是( )。（填序号） 5．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）一个等腰三角形的两条边长分别为5厘米和10厘米，若第三条边长也是整厘米数，这个三角形的周长是( )厘米。 6．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）一个三角形其中两个角分别是和，它的另一个角是___________°；一个等腰三角形的两条边长分别是和，它的周长是___________厘米。 7．（26-27四年级上·山东·单元测试）“纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围。五色罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归。”清代诗人郑板桥在诗《怀潍县》中生动地描写了清明时节人们放风筝的情景。王叔叔做了一个等腰三角形的风筝，它的一条边长是35厘米，另一条边长是70厘米，这个三角形风筝的周长是( )厘米；如果这个风筝的一个底角是30°，则顶角是( )°。 8．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面三组小棒中，哪一组的小棒能围成一个三角形？能的画“√”，不能的画“×”。 (1)( ) (2)( ) (3)( ) 9．（2026五年级上·辽宁·专题练习）锐角三角形的两个锐角的和一定小于。( )（判断对错） 10．（25-26四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）把一根细铁丝剪成如下的三段，这三段能围成一个三角形。( )（判断对错） 11．（26-27五年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知∠1＝30°，∠2＝110°。计算∠4和∠5的度数。 12．（26-27五年级上·辽宁·单元复习）如图，已知，求∠1的度数。 13．（26-27五年级上·辽宁·单元复习）下图是由等腰三角形和等腰三角形组成的大三角形，已知，求∠2的度数。 14．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）下面是四位同学探究四边形内角和的方法。 淘气： 笑笑： 奇思： 妙想： (1)上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说他或她的探究思路。 (2)请用你喜欢的方法探究下面五边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 15．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）游乐园有一块三角形花坛。奇奇用软尺测量了花坛三条边的长度，并记录在本子上（如图）。妙妙看了一眼记录说：“你的测量有误。”为什么妙妙没有测量就知道奇奇的测量有误呢？用文字或列算式的方式写出你的思考过程。（单位：米） 16．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）为美化社区文化广场，工人师傅要制作一个等腰三角形宣传牌的支架（如图），其中两条边分别长2.4米和1.2米。 (1)这个支架的第三条边长是多少米请说明理由。 (2)做这个支架一共需要多长的木条 (3)如果支架的顶角是80度，它的两个底角分别是多少度这个三角形按角分类属于哪一类三角形（等腰三角形的两个底角相等） 17．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）六边形窗户是一种六边形造型的窗框设计，常见于中国古建筑园林及现代创意装修中，既具有几何美感又蕴含吉祥寓意。你能用喜欢的方法探究六边形的内角和是多少吗？（在图中画一画、算一算） 18．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）下图是帐篷撑杆的一部分，它由一个等边三角形和一个等腰三角形组成。你能求出的度数吗？ 19．（26-27五年级上·辽宁·周测）奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 20．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是70度，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 【奥数拓展一】三角形的内角和 【典型例题】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，两个三角形都是等腰三角形，∠3＝25°，∠5是多少度？ 【举一反三练习1】（24-25六年级上·湖北孝感·期中）一个等腰三角形的两个内角的比是，这个三角形的顶角是多少度？ 【举一反三练习2】下图中的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【举一反三练习3】（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【奥数拓展二】用尺规画线段 【典型例题】（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段，用尺规作出三角形，使这个三角形的三条边的长度分别等于。（请保留作图痕迹） 【举一反三练习1】（26-27五年级上·陕西西安·阶段检测）按要求画图。（保留作图痕迹）用尺规作出下面的三角形，请你接着画完。 【举一反三练习2】（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）请你再添一条线段c，使这三条线段能围成一个三角形，并在空白处用尺规作出这个三角形。（保留作图痕迹） 【举一反三练习3】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用尺规作等长的线段。 (1)在下面直线上，借助尺规画线段，使。 (2)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的和。 (3)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的差。 【奥数拓展三】三角形三边关系 【典型例题】（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 【举一反三练习1】三角形的三条边分别长、、（单位：），则一定大于( )。 【举一反三练习2】一根铁丝长18厘米，用这根铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三边长度都是整厘米数，你能围出多少个不同的三角形？ 【举一反三练习3】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积( )平方厘米。 （在直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边的平方和。） 【奥数拓展四】多边形的内角和 【典型例题】下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【举一反三练习1】（25-26四年级下·浙江金华·期末）想一想，画一画、算一算。 (1)淘气在学习了“三角形的内角和”后，发现可以用三角形内角和来得到其它多边形的内角和。 请你照样子在五边形中试一试。五边形的内角和＝（    ）。 (2)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，等边三角形也叫正三角形，每个角的度数是：180°÷3＝60°。如果只用一种正多边形来密铺，正三角形、正四边形都可以密铺，那正五边形可以吗？请用内角和的知识来进行说明。 正五边形( )密铺（括号里填“能”或“不能”），原因是( )。 【举一反三练习2】数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【举一反三练习3】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）算一算，说说你发现了什么。 图形 …… 边数 3 4 5 6 … 内角和 180°×1 180°×2 180°×（    ） 180°×（    ） … 我发现：分成的三角形个数比多边形的边数（    ），因为一个三角形的内角和是（    ）°，所以边形的内角和是（    ）。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年北师大版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元《三角形的再认识》【从课本到奥数】 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共36题●解析版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 13 【奥数拓展一】三角形的内角和 13 【奥数拓展二】用尺规画线段 17 【奥数拓展三】三角形三边关系 20 【奥数拓展四】多边形的内角和 22 1．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）请借助尺规判断下面四条线段中哪三条可以围成一个三角形？（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】首先用尺规测量四条线段的长度，明确各线段长度的大小关系，排序得到最长线段、次长线段和最短线段。 依据三角形三边关系定理，因为三角形任意两边之和大于第三边，所以只需验证每组选项中较短两条线段的长度之和是否大于最长的那条线段。依次对四个选项对应的三条线段组合进行上述验证，筛选出满足条件的组合。 【规范解答】由图可知：图①线段：②线段：③线段：④线段： ．①②③： （），，三角形两边之和小于第三边，不能围成三角形。 ．①②④： （），， （）， （）， 三角形任意两边之和大于第三边。符合三角形三边关系定理。可以围成三角形。 ．①③④：（），，三角形两边之和等于第三边，不能围成三角形。 ．②③④：（），，三角形两边之和小于第三边，不能围成三角形。 2．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）下面是四位同学探究六边形内角和的过程，不正确的是（    ）。 A．把六边形分成4个三角形，再将三角形内角和×4进行计算。 B．把六边形分成2个三角形和1个四边形，再将2个三角形和1个四边形内角和相加。 C．把六边形分成2个四边形，再将2个四边形内角和相加。 D．把六边形分成6个三角形，再将三角形内角和×6进行计算。 【答案】D 【思路引导】求多边形内角和，分割多边形时，分割得到图形的内角总和要恰好等于六边形的内角和，不能把图形内部新增的角算进去，据此判断各个探究过程是否正确。 【规范解答】A．从六边形同一个顶点分割出4个三角形，分割出的角全部是六边形的内角，直接用4个三角形内角和相加，方法正确。 B．把六边形分成2个三角形和1个四边形，这些图形的内角合起来正好是六边形内角，将它们内角和相加，方法正确。 C．把六边形分成2个四边形，两个四边形的内角拼起来就是六边形内角，内角和相加，方法正确。 D．将六边形分成6个三角形，分割后在图形中心多出一组不属于六边形的角，不能直接用三角形内角和乘6计算，该方法不正确。 3．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）如图，魔术师遮住了一个三角形，其中一个角是。下面描述不正确的是（    ）。 A．遮住的可能是一个锐角三角形 B．遮住的一定是一个锐角三角形 C．遮住的可能是一个直角三角形 D．遮住的不可能是等腰直角三角形 【答案】B 【思路引导】已知三角形露出一个角是60°，只知道其中一个角，无法确定另外两个角大小。另外两个角可以有多种组合，这个三角形可能是锐角三角形、直角三角形，也可能是钝角三角形，据此判断选项对错。 【规范解答】A．有可能另外两个角都是锐角，三个角都是锐角，就是锐角三角形，说法正确。 B．只看见一个60°，另外两个角不确定，不一定是锐角三角形，比如三个角可以是60°、90°、30°是直角三角形，所以“一定是锐角三角形”说法错误。 C．三个角可以是60°、90°、30°，是直角三角形，说法正确。 D．等腰直角三角形有一个90°，两个45°，没有60°角，所以不可能是等腰直角三角形，说法正确。 4．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面能说明“三角形内角和是180°”的是( )。（填序号） 【答案】①③ 【思路引导】平角的度数是180°，验证三角形内角和，就是想办法把三角形的三个内角拼在一起，看能不能拼成一个平角。图①是撕角拼接，图②是把三角形沿高剪开，图③是利用转化平移的方法，逐个判断这三幅图是否可以证明三角形内角和为180°。 【规范解答】①把三角形的三个内角撕下来，顶点靠在一起拼接，三个角刚好拼成一个平角，平角是180°，可以说明三角形内角和是180°。 ②把三角形沿着高剪开，分成两个小直角三角形，只是把一个大三角形拆成两个小三角形，没有把三个内角拼成平角，不能说明三角形内角和是180°。 ③通过平移，将三角形的三个内角转移到同一条直线上，三个角拼成一个平角，平角是180°，可以说明三角形内角和是180°。 所以能说明“三角形内角和是180°”的是①③。 5．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）一个等腰三角形的两条边长分别为5厘米和10厘米，若第三条边长也是整厘米数，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】 25 【思路引导】等腰三角形的两条腰相等，还需要符合三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此计算得出答案。 【规范解答】已知等腰三角形的两边分别长5厘米和10厘米，可假设第三边长5厘米，则任意两边之和5＋5＝10，不符合三角形定义；则第三边的边长是10厘米，即10＋5＞10，10－5＜10；则第三边的长度为10厘米。周长为：10＋10＋5＝25（厘米） 6．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）一个三角形其中两个角分别是和，它的另一个角是___________°；一个等腰三角形的两条边长分别是和，它的周长是___________厘米。 【答案】 32 15 【思路引导】①三角形内角和为，用内角和减去已知两个角的度数即可得到第三个角的度数。 ②结合等腰三角形“两条边长度相等”的特点，先枚举两种可能的边长组合，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）排除不成立的组合，最后把合法的三边长度相加得到周长。 【规范解答】① ②等腰三角形两条边相等，已知两条边是3厘米和6厘米，有两种可能的边长组合： 若三边为3厘米、3厘米、6厘米：，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，排除该情况。 若三边为3厘米、6厘米、6厘米：，符合三边关系，可以构成三角形，此时周长为（厘米）。 7．（26-27四年级上·山东·单元测试）“纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围。五色罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归。”清代诗人郑板桥在诗《怀潍县》中生动地描写了清明时节人们放风筝的情景。王叔叔做了一个等腰三角形的风筝，它的一条边长是35厘米，另一条边长是70厘米，这个三角形风筝的周长是( )厘米；如果这个风筝的一个底角是30°，则顶角是( )°。 【答案】 175 120 【思路引导】求周长部分：等腰三角形有两条边长度相等，先根据三角形任意两边之和大于第三边的规则判断哪条边是腰；求顶角部分：等腰三角形的两个底角度数相等，三角形内角和是180°，已知底角是30°，顶角就是180°减去两个底角的度数，计算即可。 【规范解答】如果35厘米是腰长，那么两条腰的和是厘米，和第三条边70厘米相等，不符合三角形三边要求，围不成三角形；所以只能70厘米是腰长，三条边长度分别是35厘米、70厘米、70厘米，周长是： （厘米） 顶角是： 8．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面三组小棒中，哪一组的小棒能围成一个三角形？能的画“√”，不能的画“×”。 (1)( ) (2)( ) (3)( ) 【答案】(1)× (2)× (3)√ 【思路引导】三角形任意两边长度的和大于第三边，简单判断方法为：较短两边和大于最长边，则可以围成三角形，反之则不能。 【规范解答】（1）7＋7＝14（厘米），14＝14，不满足条件，不能围成三角形。 （2）8＋6＝14（厘米），14＜16，不满足条件，不能围成三角形。 （3）10＋12＝22（厘米），22＞15，满足条件，可以围成三角形。 9．（2026五年级上·辽宁·专题练习）锐角三角形的两个锐角的和一定小于。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三角形内角和为180°，锐角三角形的三个角都小于90°。 【规范解答】假如三角形的两个锐角之和小于90°，那么第三个角就大于90°，这个三角形是钝角三角形，与已知条件矛盾，假设不成立。所以在锐角三角形中，任意两个锐角之和一定大于90°，原题说法错误。 故答案为：× 10．（25-26四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）把一根细铁丝剪成如下的三段，这三段能围成一个三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，不满足三边关系，就不能围成三角形，据此解答即可。 【规范解答】3厘米＋3厘米＝6厘米，不满足三边关系，不能围成三角形，原题说法错误。 故答案为：× 11．（26-27五年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知∠1＝30°，∠2＝110°。计算∠4和∠5的度数。 【答案】∠4＝40°；∠5＝20° 【思路引导】根据三角形的内角和为180°，得出∠1＋∠2＋∠4＝180°，得出∠4的度数； 根据∠2＋∠3＝180°，则∠3＝70°。再根据三角形的内角和得出∠5＋∠3＋90°＝180°，得出∠5的度数。 【规范解答】∠4＝180°－∠1－∠2 ＝180°－30°－110° ＝40° ∠3＝180°－110°＝70° ∠5＝180°－90°－70° ＝90°－70° ＝20° 12．（26-27五年级上·辽宁·单元复习）如图，已知，求∠1的度数。 【答案】 【思路引导】根据三角形的内角和是180°可知：；再根据平角是180°可知：。 【规范解答】 所以的度数是。 13．（26-27五年级上·辽宁·单元复习）下图是由等腰三角形和等腰三角形组成的大三角形，已知，求∠2的度数。 【答案】30° 【思路引导】∠1是等腰三角形ABD的顶角，∠ADB是等腰三角形ABD的底角；∠ADB和∠ADC组成平角，平角度数－∠ADB＝∠ADC，∠ADC是等腰三角形的顶角，∠2是等腰三角形的底角，等腰三角形底角＝（三角形内角和－顶角度数）÷2。据此计算出∠2的度数。 【规范解答】 14．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）下面是四位同学探究四边形内角和的方法。 淘气： 笑笑： 奇思： 妙想： (1)上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说他或她的探究思路。 (2)请用你喜欢的方法探究下面五边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 【答案】(1) 我最喜欢笑笑的方法。探究思路：连接四边形的一条对角线，把四边形分成2个三角形，每个三角形的内角和是，四边形的内角和就是2个，即。（答案不唯一） (2) 用笑笑的方法：如图： 从五边形的一个顶点出发，向与它不相邻的2个顶点画线段，将五边形分成3个三角形。五边形的内角和是。（答案不唯一） 【思路引导】（1） 淘气的方法是将四角剪下后拼成一个周角，周角是360°，所以四边形内角和是360°。 笑笑、奇思和妙想的方法是利用转化思想，将多边形分割成若干个三角形，利用已学的三角形内角和知识计算多边形的内角和。 （2）笑笑的方法探究五边形内角和： 从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的2个顶点，五边形被分成3个三角形。求3个三角形的内角和即可。 【规范解答】（1）我最喜欢笑笑的方法。探究思路：连接四边形的一条对角线，把四边形分成2个三角形，每个三角形的内角和是180°，四边形的内角和就是2个180°，即360°。 （2）用笑笑的方法探究五边形内角和： 如图：从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的2个顶点，五边形被分成3个三角形。 即五边形的内角和是。 15．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）游乐园有一块三角形花坛。奇奇用软尺测量了花坛三条边的长度，并记录在本子上（如图）。妙妙看了一眼记录说：“你的测量有误。”为什么妙妙没有测量就知道奇奇的测量有误呢？用文字或列算式的方式写出你的思考过程。（单位：米） 【答案】因为三角形任意两边之和大于第三边，10＋13＝23（米），23＜25，不满足三角形三边关系，无法围成三角形，所以奇奇的测量有误。 【思路引导】利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，把较短两条边相加，和最长边做对比，判断能否构成三角形。 【规范解答】两条短边之和：10＋13＝23（米） 23＜25，不符合三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，无法围成三角形。 答：奇奇的测量有误，妙妙不用测量就知道测量有误。 16．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）为美化社区文化广场，工人师傅要制作一个等腰三角形宣传牌的支架（如图），其中两条边分别长2.4米和1.2米。 (1)这个支架的第三条边长是多少米请说明理由。 (2)做这个支架一共需要多长的木条 (3)如果支架的顶角是80度，它的两个底角分别是多少度这个三角形按角分类属于哪一类三角形（等腰三角形的两个底角相等） 【答案】(1)2.4米，因为第三条边是1.2米时不能围成三角形，是2.4米时可以围成等腰三角形。 (2)6米 (3)50度；锐角三角形 【思路引导】（1）根据等腰三角形的特点，第三条边是2.4米或者1.2米，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边判断第三条边的长度； （2）求木条的长度就是求三角形的周长，将三角形的三条边长相加即可； （3）等腰三角形的一组底角相等，三角形内角和是180度，则底角度数＝（180－顶角度数）÷2，判断三角形按角分属于什么三角形，只需要看最大的内角是什么角即可。 【规范解答】（1）当第三条边长是1.2米时，三角形的三条边为2.4米，1.2米，1.2米，因为1.2＋1.2＝2.4，不能围成三角形；当第三条边是2.4米时，三角形的三条边长为2.4米，2.4米，1.2米，因为1.2＋2.4＞2.4，能围成三角形。所以第三条边长为2.4米。 答：这个支架的第三条边长是2.4米，因为第三条边是1.2米时不能围成三角形，是2.4米时可以围成等腰三角形。 （2）2.4＋2.4＋1.2＝6（米） 答：做这个支架一共需要6米长的木条。 （3）（180－80）÷2 ＝100÷2 ＝50（度） 三角形的最大内角80°是锐角，所以是锐角三角形。 答：它的两个底角分别是50度，这个三角形按角分类属于锐角三角形。 17．（26-27五年级上·陕西咸阳·阶段检测）六边形窗户是一种六边形造型的窗框设计，常见于中国古建筑园林及现代创意装修中，既具有几何美感又蕴含吉祥寓意。你能用喜欢的方法探究六边形的内角和是多少吗？（在图中画一画、算一算） 【答案】 六边形的内角和是。作图方法：从六边形的任意一个顶点出发，向与这个顶点不相邻的3个顶点画线段，将六边形分成4个三角形（画法不唯一）。 【思路引导】已经知道三角形的内角和是，把六边形分割成若干个三角形，所有三角形的内角和相加就是六边形的内角和，可以用乘法计算。 【规范解答】分割图形：选择六边形的一个顶点，连接这个顶点和它不相邻的其余3个顶点，六边形被分成4个三角形。图略 计算内角和：（度） 18．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）下图是帐篷撑杆的一部分，它由一个等边三角形和一个等腰三角形组成。你能求出的度数吗？ 【答案】 30° 【思路引导】因为△ABC是等边三角形，所以先根据等边三角形的内角性质求出∠ACB的度数。 因为点B、C、D在同一直线上，∠ACB与∠ACD组成平角，所以用平角的度数减去∠ACB的度数，得到∠ACD的度数。 因为△ACD是等腰三角形且AC＝CD，所以根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算∠D的度数。 【规范解答】180°÷3＝60° 180°－60°＝120° 180°－120°＝60° 60°÷2＝30° 答：∠ D  的度数是30°。 19．（26-27五年级上·辽宁·周测）奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 【答案】32°；52° 【思路引导】先用最大角的度数除以3，求出最小角的度数；再根据三角形内角和为180°，减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数。 【规范解答】96°÷3＝32° 180°－96°－32°＝52° 答：船帆另外两个角分别是32°和52°。 20．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是70度，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 【答案】若等腰三角形的顶角为70度时，另外两个内角均为55度；若等腰三角形的底角为70度时，它的另外两个角分别是70度和40度。 【思路引导】等腰三角形两个底角相等，三角形内角和是180度。题中未说明70度的角是顶角还是底角，需分两种情况讨论计算。 【规范解答】情况一：70度的角是顶角 （180－70）÷2 ＝110÷2 ＝55（度） 此时另外两个角均为55度。 情况二：70度的角是底角 180－70×2 ＝180－140 ＝40（度） 此时另外两个角分别是70度和40度。 答：若等腰三角形的顶角为70度时，另外两个内角均为55度；若等腰三角形的底角为70度时，它的另外两个角分别是70度和40度。 【奥数拓展一】三角形的内角和 【典型例题】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，两个三角形都是等腰三角形，∠3＝25°，∠5是多少度？ 【答案】140° 【思路引导】题目已知条件三角形为等腰三角形，从图可知，有一个角是直角，所以大三角形是等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质求出与的度数，再求出∠1与∠2的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠5的度数。 【规范解答】 答：∠5是140°。 【考点剖析】结合三角形内角和与等腰直角三角形的性质得出答案。 【举一反三练习1】（24-25六年级上·湖北孝感·期中）一个等腰三角形的两个内角的比是，这个三角形的顶角是多少度？ 【答案】或 【思路引导】解决这道题需要结合等腰三角形的性质（两底角相等）和三角形内角和（180°），同时考虑角的比例关系的两种可能性。 情况一：顶角与底角的比是4∶1，此时三个内角的比为4∶1∶1；总份数为6份，顶角占内角和的。求一个数的几分之几，用乘法计算，所以用内角和180°×求出顶角度数。 情况二：底角与顶角的比是4∶1，此时三个内角的比为4∶4∶1。总份数为9份，顶角占内角和的。 求一个数的几分之几，用乘法计算，所以用内角和180°×求出顶角度数。 【规范解答】⑴顶角∶底角∶底角＝4∶1∶1 总份数： 4＋1＋1＝6（份） 180°× ＝120° ⑵底角∶底角∶顶角＝4∶4∶1 总份数：4＋4＋1＝9（份） 180°×＝20° 答：这个三角形的顶角是120°或20°。 【考点剖析】要解决这道题，采用的是分类讨论法结合按比例分配的解题方法，分析等腰三角形的角的比例可能性，顶角与底角的比是4∶1，此时三个内角的比为4∶1∶1；底角与顶角的比是4∶1，此时三个内角的比为4∶4∶1。再按比例分配计算顶角。 【举一反三练习2】下图中的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 40 160 【思路引导】如下图，因为三角形内角和等于180°，∠1等于180°减去90°与50°的和；∠4等于180°减50°；∠3等于180°减∠4与30°的和；∠2等于180°减∠3，据此即可解答。 【规范解答】∠1＝180°－（90°＋50°） ＝180°－140° ＝40° ∠4＝180°－50°＝130° ∠3＝180°－（∠4＋30°） ＝180°－（130°＋30°） ＝180°－160° ＝20° ∠2＝180°－∠3 ＝180°－20° ＝160° 【考点剖析】本题主要考查学生对三角形内角和知识的掌握和灵活运用。 【举一反三练习3】（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【答案】 （1）360度；180×3－180＝360（度） （2）；360度；360度 （3）任意多边形的外角和都是360°。 【思路引导】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。 （2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（360°）。因此，三角形的三个外角和是360°。 同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相加，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是360°。 四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。 五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。 （3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。 【规范解答】（1）180×3－180 ＝540－180 ＝360（度） 答：三角形三个外角的和是360度。 （2）画图略。 180×4－180×（4－2） ＝720－180×2 ＝720－360 ＝360（度） 180×5－180×（5－2） ＝900－180×3 ＝900－540 ＝360（度） 答：四边形四个外角的和是360度，五边形五个外角的和是360度。 （3）三角形、四边形和五边形的外角和都是360°。 根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是360°。 【考点剖析】关键是掌握多边形内角和的计算方法，明确平角的度数。 【奥数拓展二】用尺规画线段 【典型例题】（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段，用尺规作出三角形，使这个三角形的三条边的长度分别等于。（请保留作图痕迹） 【答案】 【思路引导】画一条射线，用圆规量出线段a的长度，在射线上截出一段，长度等于线段a，标出端点。再用圆规量出线段b的长度，针尖对着刚画好线段的左端点，转动圆规手柄，在线段上方画出印记，接着再用圆规量出线段c的长度，针尖对着刚画好线段的右端，转动手柄，在线段上方画出印记，两处印记交于一点。把交点分别和线段的左右两端相连。 这样围成的图形就是要画的三角形。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·陕西西安·阶段检测）按要求画图。（保留作图痕迹）用尺规作出下面的三角形，请你接着画完。 【答案】 【思路引导】根据题目以已画线段的左端点为顶点，用尺规作一个角等于已知三角形底边对应的左底角，得到角的另一边射线。 用圆规量取已知三角形左边的边长，在新作的射线上截取对应长度得到第三个顶点，连接该顶点与已画线段的右端点，完成三角形。 【规范解答】先画一条线段DE，使得DE的长度＝AB的长度；把圆规的一只脚固定在点D，圆规两脚之间的距离保持为原三角形边AC的长度，在纸上轻轻画圆弧；再把圆规的一只脚固定在点E，圆规两脚之间的距离保持为原三角形边BC的长度，在刚才画的圆弧附近再画一个圆弧，这两个会相交在一个点上，这个点就是新三角形的顶点F；然后依次连接即可。如下图所示： 【举一反三练习2】（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）请你再添一条线段c，使这三条线段能围成一个三角形，并在空白处用尺规作出这个三角形。（保留作图痕迹） 【答案】 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，所以c的长度需满足b－a＜c＜a＋b； 尺规画三角形的步骤：①先用直尺画一条射线，在射线上截取一条线段，即为添的线段c，使它的长度满足b－a＜c＜a＋b； ②再以这条线段的两个端点为圆心，分别用线段a、线段b的长度为半径画圆弧，两个圆弧会交于一个点； ③把这个交点和线段的两个端点分别连起来，得到的图形就是三条边为a、b、c的三角形。 【举一反三练习3】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用尺规作等长的线段。 (1)在下面直线上，借助尺规画线段，使。 (2)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的和。 (3)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的差。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】先用圆规量取已知线段的长度，再以直线上的端点为圆心，以该长度为半径作弧，与直线的交点即为线段的另一个端点； 作两线段长度和的线段时，先在直线上作出长度等于第一条线段的线段，再以该线段的一个端点为端点，沿相同方向作出长度等于第二条线段的线段，总长度即为两线段之和； 作两线段长度差的线段时，先在直线上作出长度等于较长线段的线段，再以该线段的一个端点为端点，作出长度等于较短线段的线段，剩余部分的长度即为两线段之差。 【规范解答】（1）把圆规的两个脚尖分别对准线段AB的两个端点，量出AB的长度；接着把圆规挪到下方的直线上，让圆规的一个脚尖对准已有的点C，另一个脚尖在直线上画出印记点D，线段CD就和AB长度相等了。图略 （2）先在下方直线上任选一点当作C，用刚才量AB的方法，先用圆规量出线段的长度，从点C出发在直线上向右画出一个印记点，得到长度等于的线段；接着用圆规量好线段的长度，从刚画好的印记点继续向右，在直线上画出第二个印记点D，最终整条CD的长度就是和的长度之和。图略 （3）观察发现线段比长，先在下方直线上任选一点当作C，用圆规量出长线段的长度，从点C出发向右在直线上画出一个印记点，得到长度等于的线段；接着用圆规量出短线段的长度，从刚画好的印记点往点C的方向往回倒着量，在直线上画出第二个印记点D，剩下的CD段长度就是减去的差。图略 【奥数拓展三】三角形三边关系 【典型例题】（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 【答案】（1）不能 （2） 围成三角形的三段长度为2份、3份、3份，所以将6份从中间等分点剪开；因为剪下的三段任意两段长度之和要大于第三段。（理由不唯一） 【思路引导】（1）观察图可知：一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，第一段是4份，第二段是2份，第三段是2份，三角形任意两边之和大于第三边，据此判断； （2）先确定剩余份数，再通过尝试不同分法，找到满足三角形三边关系的剪法即可。 【规范解答】（1）由分析可知：2＋2＝4 不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形。 （2）画图略； 纸条共8份，截下第一段后剩余6份。要摆成三角形，需满足任意两边之和大于第三边。将6份分成两段，有下面几种可能： 1份和5份：1＋2＜5，不符合三角形三边关系； 2份和4份：2＋2＝4，不符合三角形三边关系； 3份和3份：2＋3＞3，符合三角形三边关系； 围成三角形的三段长度为2份、3份、3份，所以将6份从中间等分点剪开。 【考点剖析】掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 【举一反三练习1】三角形的三条边分别长、、（单位：），则一定大于( )。 【答案】5 【思路引导】有一边为a－2，那么a一定要大于2才可以，还需要根据三角形三边的关系得到满足两边之和大于第三边的条件，分别将a等于3、4、5、……带进去，看a要为多少才满足三角形三边关系。 【规范解答】根据a－2为三角形的一条边可知，a要大于2，当a＝3时，三边为：1、5、8，1＋5＜8，不满足三角形三边关系； 当a＝4时，三边为：2、6、9，2＋6＜9，不满足三角形三边关系； 当a＝5时，三边为：3、7、10，3＋7＝10，不满足三角形三边关系； 当a＝6时，三边为：4、8、11，4＋8＞11，满足。所以a一定大于5。 故答案为：5 【考点剖析】本题考查的是用字母表示数以及三角形三边的关系，根据三边关系来确定a的值。 【举一反三练习2】一根铁丝长18厘米，用这根铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三边长度都是整厘米数，你能围出多少个不同的三角形？ 【答案】4个 【举一反三练习3】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积( )平方厘米。 （在直角三角形中，斜边长的平方等于两个直角边的平方和。） 【答案】24 【思路引导】在三角形中，两边之和大于第三边，则可假设两条直角边的长，使得两条直角边相差2厘米，和大于10厘米；再根据“斜边长的平方等于两个直角边的平方和”验证是否为直角三角形，并根据直角三角形的面积＝直角边长×直角边长÷2即可求出这个直角三角形的面积。 【规范解答】当一条直角边长为5厘米，另一条直角边为（5＋2＝7）厘米： 10²＝100 5²＋7² ＝25＋49 ＝74 74≠100 这个三角形不为直角三角形； 当一条直角边长为6厘米，另一条直角边为（6＋2＝8）厘米： 6²＋8² ＝36＋64 ＝100 100＝100 这个三角形为直角三角形； 6×8÷2＝24（平方厘米） 即一个直角三角形的两条直角边相差2厘米，已知斜边长10厘米，这个直角三角形的面积24平方厘米。 【考点剖析】根据三角形三边的关系“两边之和大于第三边”即可假设两边的长度。 【奥数拓展四】多边形的内角和 【典型例题】下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【答案】360° 【思路引导】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。 【规范解答】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（52）×180° ＝3×180° ＝540° 那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10 ＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5） ＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5） ＝900°540° ＝360° 答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。 【考点剖析】要计算这5个角的度数，必须认真观察，从中找出规律，经过观察发现∠1、∠6组成一个平角，同理，∠2、∠7等相邻的两个角也都是组成一个平角，其中∠1、∠2、∠3、∠4和∠5是一个五边形的内角，再经过转化后就可以计算出这些角度数的和。 【举一反三练习1】（25-26四年级下·浙江金华·期末）想一想，画一画、算一算。 (1)淘气在学习了“三角形的内角和”后，发现可以用三角形内角和来得到其它多边形的内角和。 请你照样子在五边形中试一试。五边形的内角和＝（    ）。 (2)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，等边三角形也叫正三角形，每个角的度数是：180°÷3＝60°。如果只用一种正多边形来密铺，正三角形、正四边形都可以密铺，那正五边形可以吗？请用内角和的知识来进行说明。 正五边形( )密铺（括号里填“能”或“不能”），原因是( )。 【答案】(1)540° (2) 不能 正五边形内角的整数倍无法凑出360° 【思路引导】（1）根据题图可知，连接不相邻的两个顶点，将四边形分成两个三角形，已知三角形的内角和是180°，则四边形的内角和是2个180°；据此我们可以把五边形的一个顶分别与它不相邻的两个顶点相连，可以把五边形分成3个三角形，则五边形的内角和就是3个180°。 （2）用（1）小问求出的五边形的内角和除以5，求出正五边形的每个内角的度数；而密铺的要求：在一个拼接点处，几个多边形的内角和能凑出360°周角。因此尝试就算几个108°是360°，如果是108°的整倍数是360°，那么正五边形能够密铺，否则不能密铺。 【规范解答】（1） 3×180°＝540° 五边形的内角和＝540°。 （2）540°÷5＝108° 108°×1＝108° 108°×2＝216° 108°×3＝324° 108°×4＝432° 所以正五边形每个内角是180°，180°的整数倍无法凑出360°，因此不能密铺。 【举一反三练习2】数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【答案】（1）见详解； （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【思路引导】（1）欢欢同学把四边形的4个角剪下来，拼接成一个周角，适用于所有的四边形，方法正确，但拼接的过程过于繁琐；玲玲同学把一个四边形剪拼成4个三角形，这样四个三角形的内角和就比四边形的内角和多出一个周角的度数，用4个三角形内角度数的总和减去一个周角的度数，可以求出四边形的内角和，适用于所有的四边形，方法正确，但这种方法过于繁琐；如图，小华把四边形剪拼成三个三角形，这样四边形的内角和就等于三个三角形内角和的总和减去一个平角的度数，错误；乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，这种方法易操作，适用于所有所有四边形，是正确的推导四边形内角和的方法。 （2）乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，即：四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【规范解答】（1）根据分析可知，乐乐、欢欢、玲玲的方法正确。 （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【考点剖析】本题主要考查了四边形内角和的推导过程，从不同的角度不断尝试探索，获取最简洁、正确的解题方法。 【举一反三练习3】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）算一算，说说你发现了什么。 图形 …… 边数 3 4 5 6 … 内角和 180°×1 180°×2 180°×（    ） 180°×（    ） … 我发现：分成的三角形个数比多边形的边数（    ），因为一个三角形的内角和是（    ）°，所以边形的内角和是（    ）。 【答案】 图形 …… 边数 3 4 5 6 … 内角和 180°×1 180°×2 180°×3 180°×4 … 少2；180 【思路引导】从左往右观察图形，三角形有3条边，有1个三角形；四边形有4条边，可以分成2个三角形；五边形有5条边，可以分成3个三角形；六边形有6条边，可以分成4个三角形。三角形的内角和是180°。 【规范解答】三角形边数与三角形个数的关系：3－1＝2 四边形边数与三角形个数的关系：4－2＝2 五边形边数与三角形个数的关系：5－3＝2 六边形边数与三角形个数的关系：6－4＝2 所以，分成的三角形个数比多边形的边数少2，因为一个三角形的内角和是180°，所以边形的内角和是。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $