专题特训3 确定二次函数的解析式&专题特训4 含参二次函数的最值问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 专题特训三 确定二次函数的解析式 类型一用一般式确定二次函数的解析式 1.如图，二次函数y=2x2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中的A,B,C三个y1 点，则该二次函数的解析式可能为 ( ) A.y=2x2+3x+2 B.y=2x2-3x-3 C.y=2x2-4x+2 (第1题) D.y=2x2+4x-2 2.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,1),B(3,3),C(5,9),则这个抛物线对应的函数解析式为 3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,6),B(3,3),C(4,6). (1)求二次函数的解析式. (2)观察函数图象，当y>6时，直接写出x的取值范围 8 -5 -4 -3 -2 3早P4早至49 .2 (第3题) 类型二用顶点式（或对称轴）确定二次函数的解析式 4.已知一条抛物线经过A(0,10),B(m+2,n),C(4一m,n),D(3,1)四点，则此抛物线对应的函数 解析式为 5.如图，抛物线y=ax2十bx+c(a≠0)过点A(一1,0)，且它的顶点P的坐标为(1，一4). (1)求该抛物线对应的函数解析式. (2)若直线y=一2x十1与该抛物线相交于点C,D,点C在点D的左侧，求△PCD的面积. (第5题) 30 第二十六章二次函数 类型三用交点式确定二次函数的解析式 6.★如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(一1,0)，B(5,0),C(0,一5)，D是抛物线的顶 点，过点D作x轴的垂线，交BC于点E (1)求二次函数的解析式及点D的坐标， (2)连接CD,求△CDE的面积 D (第6题) 类型四由平移、轴对称确定二次函数的解析式 7.已知抛物线y=a(x一1)2+h经过点(0，一3)，(3,0). (1)求a,h的值 (2)将该抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，请直接写出 新抛物线对应的函数解析式. 8.已知抛物线y=2x2一4x十1，求： (1)它关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式， (2)它关于y轴对称的抛物线对应的函数解析式. (3)它关于原点对称的抛物线对应的函数解析式. 类型五用定点式确定二次函数的解析式 直角坐标系中，不论Q取何值时，抛物线y三一7x+2“z十2a一2都经过 点Q,直线y=(α一2)x十2也经过点Q,求此抛物线对应的函数解析式. “答案与解析”见P17 31 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 专题特训四 含参二次函数的最值问题 类型一定轴定区间 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2十mx十m2一m(m为常数)的图象经过点(0,6)，其对称 轴在y轴左侧，则该二次函数有 () A.最大值5 :展大伯日 C.最小值5 D.最小值 2.已知关于x的二次函数y=a.x2-4ax+3a2一6，当x<0时，y随x的增大而增大，且当一1≤ x≤4时，y有最小值2，则a的值为 3.已知二次函数y=mx2一2m.x+2(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-2，则m= 类型二定轴动区间 4.已知二次函数y=2x2一4x一1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为 ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.已知函数y=一x2十bx一3(b为常数)的图象经过点（一6，一3），当m≤x≤0时，若y的最大值 与最小值之和为2，求m的值. 类型三动轴定区间 6.已知二次函数y=x2-2ax+3,当1≤x≤3时，函数的最小值为2a,求a的值. 7.已知二次函数y=x2-2hx十h,当一1≤x≤1时，函数有最小值n,求n的最大值， 类型四动轴动区间 8.已知二次函数y=x2-2ax十5，当2a≤x≤2a+2时，有最大值y1及最小值y2,当y1一y2= a2-1,则实数a的值为 32 “答案与解析”见P18对称轴为直线x=m.二次函数y=ax2十bx十3的图象 过点A(一n,3),(0,3),且点A不在坐标轴上，∴由图象 的对称性，得-1=2，且n≠0.m=-之.：-2< m<1-2<-号<.-2<n<n的取值范围 是-2<n<4且n≠0.(3)：抛物线过点（一m,0), (3,0).抛物线的对称轴为直线x=一m,十3m=m 2 b ·一2a=m.6=-2am.b+4a=（-2am)2+4a= 4a(am2+1).:点（一m,0)和(3m,0)在二次函数y= am2一bm+3=0①， ax2十bx十3的图象上，∴. ①×3H {9am2+3bn+3=0②， ②，得12am2+12=0.∴.am2+1=0.∴.b2+4a=4a×0=0. 9.1<1<号将二次函数y=x2-2x十3配方可得y= (x一1)2+2(x<2),∴.图象开口向上，对称轴为直线x= 1,顶点为(1,2).∴当x=1时，函数有最小值为2，x1十 =2.-次函数y=-子x+号≥2.当x=2 时，有最大值3，当y=2时，x-号由条件可知点A( y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)在直线y=m 上y=y2=y=m,2m<3.2xg<3,∴t T3y3 x1y1十x2y2xm十x2mx,+x2 -“1< 10.(1)对y=一2x+2,当x=0时y=2:当y=0时， x=4,.B(4,0),C(0,2).(2)存在.设二次函数为y= a(x一m)(x一n)(a≠0).：二次函数图象经过点B(4, 0),A(-1,0),∴.y=a(x-4)(x十1).把C(0,2)代入y= a(x一4)(x+1),得a×(0-4)×(0十1)=2，解得a= y=-40+=2+号+2： 次函数图象经过点B(4,0),A(一1,0)，∴.对称轴为直线 x=D(g.C(0,2),cD= √（侵-0）+0-2)=号.①如图0，当Dc=DN时， DN=号N(受，)N(层，-）②如图®，当 CD=CN3时，过点C作CH⊥DN3于点H.,'CD= CN3,CH⊥DN3,∴.DH=N3H.:C(0,2),∴.DH=2. N,H=2.N,D=4“N,(受4小.图如图③，当 N,C=DN,时，过点C作CE⊥DN,于点E.设DN,=t, 则EN,=2-1,CE=是在R△CEN,中，由勾股定理可 知，(2-)+()=，解得=器·N,(侵，) 综上所述，存在点N,(,)或N,(,-)或 N,(停，4)或N,(受，)，使△CD是等腰三角形. ② ③ (第10题) 专题特训三确定二次函数的解析式 1.C由图可知二次函数图象与y轴交于正半轴，∴.c> O.故B选项、D选项不符合题意.'二次函数图象的对称 抽为直线=会必2一>06<0故A选 b 项不符合题意，C选项符合题意 2y=号-x+子：抛物线y=ar2+b征十c过点 [a+b+c=1, A(1,1),B(3,3),C(5,9), 9a+3b+c=3, 25a+5b+c=9, a2 解得b=一1，∴.这个抛物线对应的函数解析式为y= 合x-x+2 3.(1)把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分别代入y=ax2+ c=6 a=1, bx十c,得9a+3b+c=3,解得b=-4,∴.二次函数的 16a+4b+c=6, (c=6. 解析式为y=x2一4x十6.(2)当y>6时，x的取值范围 是x<0或x>4. 4.y=x2-6x十10：B(m+2,n),C(4一，n),∴.抛物 线的对称轴为直线心=m十2牛4一m=3.“.设抛物线对应 2 a×(0-3)2+k=10, 的函数解析式为y=a(x一3)2十k.. a×(3一3)2+k=1, a=1, 解得 ·抛物线对应的函数解析式为y=(x一3)+ (k=1. 1=x2-6x+10. 5.(1)设抛物线对应的函数解析式为y=a(x一1)2一4. 点A(-1,0)在抛物线上，∴.0=a×(-1-1)2-4..a= 1.∴.y=(x一1)2一4=x2-2x-3..抛物线对应的函数 y=x2-2x-3, 解析式为y=x2一2x一3.(2)联立 解 y=-2x+1, x=一2，x=2, 得 或 .C(-2,5),D(2,-3).如图，过 y=5 y=-3. 点P作PH∥y轴，交直线CD于点H,则点H的坐标为 (1,-1).'SAen-S△eH+S△PmH,PH=-1-(-4)= 3.5m=2PHn-x)=是×3x2-(-2]=6 H D (第5题) 6.(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x一5).把 C(0,-5)代入，得-5=a×(0+1)×(0-5),解得a=1. .二次函数的解析式为y=(x+1)(x-5)=x2一4x一5. y=x2-4x-5=(x-2)2-9,.D(2,-9).(2)设 直线BC对应的函数解析式为y=mx十n.把B(5,0), 15m+n=0, m=1, C(0,-5)分别代人，得 .直线 n=-5, 解得 n=-5. BC对应的函数解析式为y=x一5.当x=2时，y=x一5= -3.E2,-3).·△CDE的面积=号×(-3+9)× 2=6. 方法归纳 根据所给点的坐标，设二次函数解析式的方法 1.已知任意三点，设一般式。 2.已知其中有两点的纵坐标都为0，设交点式 3.已知顶点的坐标，设顶点式 7.(1)将(0，-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得 a×(0-1)2+h=-3, a=1, 解得 (2)新抛物线对 a×(3-1)2+h=0, (h=-4 应的函数解析式为y=(x一1一1)2一4十2=x2-4x十2. 8.:y=2x2一4x+1=2(x一1)2-1，∴.抛物线的顶点坐 标为(1，一1).(1)，点(1，一1)关于x轴对称的对应点的 坐标为(1,1)，∴.原抛物线关于x轴对称的抛物线对应的 函数解析式为y=一2(x一1)2+1.(2)点(1，一1)关 于y轴对称的对应点的坐标为（一1，一1），∴.原抛物线关 于y轴对称的抛物线对应的函数解析式为y=2(x十1)2一1. (3)点(1，一1)关于原点对称的对应点的坐标为（一1， 1),∴.原抛物线关于原点对称的抛物线对应的函数解析式 为y=-2(x+1)2+1. 0:不论a取何值抛物线y=-r2+5号2x+2a-2 都经过r轴上一定点Q当a=0时y=-子r+号： 5 1 -2当a=1时，y=-2x2+2x.令y=0,则 1 5 -2x2+2x-2=0, 解得x=4,∴Q(4,0).直线 -2x2+2x=0, 1 y=(a一2)x十2也经过点Q,∴.0=(a一2)×4+2，解得 a号“此地物线对应的函数解析式为y=一2r十 4十1. 专题特训四含参二次函数的最值问题 1.D由题意，得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2.:抛 物线y=x2+mx十m2一m的对称轴在y轴左侧，.m> 0.∴.m=3..y=x2+3x十6.二次函数有最小值，为 4ac-b2_4×1×6-315 Aa 4×1 4 2-弩“当<0时随x的增大而增大a<0 由y=ax2-4ax十3a2-6知其图象的对称轴为直线x= -二4如=2.：1-1-2>14-2，.当x=-1时y有 2a 录小值2，即2=a十u十a-6,解得a=1或a=号 a<0a=-景 3.4或-日 :二次函数解析式为y=mx2一2mx+2 (m≠0)∴二次函数图象的对称轴为直线x=一2m 2m 1.①当m>0时，在-2≤x≤2时有最小值-2，∴.当 x=1时，y=m-2m+2=-2.∴.m=4.②当m<0时， 在-2≤x≤2时有最小值一2，∴.当x=一2时，y= 4m十m十2=-2.m=-号综上所述，m=4或m 4.B将二次函数y=2x2一4x一1转化为顶点式，得y= 2(x一1)2一3，∴.抛物线的对称轴为直线x=1,顶，点坐标 为(1，-3)，当x=0时，y=-1.2>0,.开口向上 .在对称轴的右侧，y随x的增大而增大..当0xa 时，y取得最大值为15，∴.2(a-1)2-3=15,解得a=4或 a=一2（舍去） 5.把(-6，-3)代入y=-x2+bx-3,得b=-6,∴.y= 一x2一6x一3..y=一x2-6x一3=-(x十3)2+6，∴.当 x=-3时，y有最大值，为6.①若-3<m≤0，则当x=0 时，y有最小值，为一3，当x=m时，y有最大值，为一m2 6m-3,.∴.一m2-6m-3十（一3）=2.∴.m=一2或m= 一4（舍去）.②若一6m一3，则y的最大值为6，最小值 为-3,6一3≠2，∴.此种情况舍去.③若m<一6，则当 x=一3时，y有最大值，为6，当x=m时，y取最小值y 的最大值与最小值之和为2，∴.y的最小值为一4.∴.一(m十 3)2+6=-4,∴.m=-3-√10或m=-3+√10（舍去）. 综上所述，m=一2或一3一√10. -2a 6.抛物线的对称轴为直线x=一2X=a.①若a≤1，则 当x=1时函数取得最小值，∴.1-2a十3=2a,解得a=1. ②若1<a<3,则当x=a时函数取得最小值，∴.a2 2a·a十3=2a,解得a1=1(舍去)，a2=-3(舍去).③若 a≥3，则当x=3时函数取得最小值，∴.9-6a十3=2a,解 得a=号（舍去）.综上所述，a的值为1. 7.二次函数y=x2一2hx十h图象的对称轴为直线x=h. 若h≤一1，则当x=一1时y取最小值，此时n=1+2h十 h=1+3h.:h≤-1，.n=1+3h≤-2.∴.n的最大值 为一2.若-1<h<1,则当x=h时，y取最小值，此时n= 方-2弥+A=-+h=一(-2)》'+：-1< 0,-1<h<1,当h=号时，n的最大值为子，若h≥1， 则当x=1时y取最小值，此时n=1一2h+h=1一h. :h≥1，∴.n=1-h≤0.∴.n的最大值为0.-2<0< 子以的最大值为 8.一3或5易知抛物线的对称轴为直线x=a.把x=2a 代入y=x2-2az+5,得y=5;把x=2a+2代入y=x2 2a.x+5,得y=4a+9.当2a+2≤a,即a≤-2时，y1=5, y2=4a+9.y1一y2=a2-1,∴.5-(4a十+9)=a2-1,解 得a1=-1(舍去)，a2=-3.当2a≥a,即a≥0时y2=5, y1=4a+9.:y1一y2=a2-1.4a+9-5=a2-1,解得 a3=5,a1=一1（舍去）.当一2<a<0时，在取值范围内函 数在x=a时，取得最小值，即y2=a2-2a2+5=一a2+ 5.y1-y2=a2-1,.y1=y2十a2-1=4.当x=2a 时，y=5≠4，∴.在取值范围内，y的最大值至少为5，与 y1=4相矛盾.故-2<a<0不符合题意.综上所述，a的值 为-3或5. 26.3二次函数与一元二次方程 1.C二次函数y=ax2+ba十c图象的顶点为(1， 一4)，∴.对称轴为直线x=1.:对称轴左侧图象与x轴 交点横坐标的取值范围是一3<x<一2，∴右侧交点横坐 标的取值范围是4<x<5. 2.B根据题意，得x1,x2为方程x2一3x一4=0的两 根，由根与系数的关系，得x1十x2=√3，x1x2=一4， 1+1-+=- x1x2x1x2-441 3.b<1且b≠0令x2-2x十b=0,根据函数的图象与 坐标轴有三个交点，可得（一2）2一4b>0且b≠0，解得b< 1且b≠0. 易错警示 抛物线与坐标轴交点问题 本题中函数图象与y轴的交，点不能在原点，即b≠ 0,否则函数图象与坐标轴只有两个交点，解题时易混淆 “与x轴的交点”和“与坐标轴的交，点”而致错 4.x1=-2,x2=5关于x的一元二次方程a(x一1)2+ c=b-bx可变形为a(x-1)2+b(x一1)十c=0.:'抛物 线y=ax2+bx十c经过点A(-3,0),B(4,0),∴.方程 a.x2十bx十c=0的解为x=一3或x=4.对于方程a(x