第二十六章 二次函数 单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．下列各选项中，解析式为二次函数的是（    ） A．y=x B．y=x+1 C．y= D．y= 2．抛物线y=−(x+1)²+3的顶点坐标是（　　） A．(1,3) B．(−1,3) C．(1,−3) D．(−1,−3) 3．把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为（   ） A．y=+4 B．y=+4 C．y=−4 D．y=−4 4．二次函数y=x²−2x−3与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 5．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A．W=−2+260x−8000 B．W=−2+280x−8000 C．W=−2−140x+8000 D．W=−2−260x+11200 6．已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A．<< B．<< C．<< D．<< 7．抛物线y=x²−4x+3的对称轴是直线（　　） A．x=−2 B．x=2 C．x=−4 D．x=4 8．关于二次函数y=3(x−2)²+1，下列说法正确的是（　　） A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值2 D．有最小值2 9．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是(0,0) C．对称轴是直线x=0 D．当x=0时，y有最大值为0 10．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点(3,0)，对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是（　　） A．−3 B．−2 C．−1 D．0 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．若抛物线y=x²−2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是__________． 12．二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(0,3)、(1,4)、(−1,6)，则b=__________． 13．对于二次函数y=−2(x−3)²+4，当x__________时，y随x的增大而增大． 14．点A(−3,y₁)、B(1,y₂)在抛物线y=x²+2x−3上，则y₁__________y₂（填“＞”“＜”或“＝”）． 15．已知抛物线y=x²+bx+c经过点(1,0)和(3,0)，则b=__________． 三、解答题（共8题，共65分） 16．（7分）已知抛物线y=x²−2x−3． (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 17．（7分）已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A(0,3)、B(1,0)、C(2,−1)，求抛物线的解析式． 18．（8分）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线（已知抛物线的顶点为 (6,5)，铅球出手点坐标为 (0,)），求铅球的落地点离运动员有多远． 19．（8分）竖直上抛物体，物体距地面的高度h(m)与运动时间t(s)满足关系式h=−5t²+20t． (1)物体经过多长时间到达最高点？ (2)最高点距地面多少米？ 20．（8分）已知抛物线，利用配方法求出它的对称轴和顶点坐标． 21．（8分）用总长60m的篱笆围成一块矩形场地，其中一边靠墙（墙长32m），设与墙垂直的一边长为x m，场地面积为S m²． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，场地面积S最大？最大面积是多少？ 22．（9分）已知二次函数y=−x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)当y>0时，求x的取值范围． 23．（10分）某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元（），月销售利润为元． (1)求与的函数解析式； (2)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第二十六章 二次函数 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】D 解题步骤： ① 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。 ② A中y=x、B中y=x+1最高次数为1，是一次函数；C中y=，x 在分母上，不是二次函数。 ③ D中y=x²的最高次数为2且二次项系数1≠0，是二次函数，故选D。 【知识点睛】二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。判断时看化简后最高次数是否为2、二次项系数是否不为0。 2. 【答案】B 解题步骤： ① y=−(x+1)²+3是顶点式y=a(x−h)²+k的形式，顶点坐标为(h,k)。 ② 由x+1=x−(−1)，得h=−1，k=3。 ③ 所以顶点坐标为(−1,3)，故选B。 【知识点睛】顶点式y=a(x−h)²+k中顶点为(h,k)、对称轴为x=h。易错点：h与括号内的常数符号相反。 3. 【答案】B 解题步骤： ① 抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”：左右平移改变x（括号内加减），上下平移对整体加减。 ② y=2x²向右平移3个单位，得y=2(x−3)²。 ③ 再向上平移4个单位，得y=2(x−3)²+4，故选B。 【知识点睛】抛物线平移法则：左右平移“左加右减”（对x操作），上下平移“上加下减”（对整体操作），平移不改变开口方向和大小。 4. 【答案】C 解题步骤： ① 令y=0，得x²−2x−3=0。 ② 判别式Δ=(−2)²−4×1×(−3)=4+12=16>0。 ③ Δ>0，方程有两个不相等的实数根，所以抛物线与x轴有2个交点，故选C。 【知识点睛】抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ=b²−4ac决定：Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0没有交点。 5. 【答案】B 解题步骤： ① 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，由表格数据(50,100)、(60,80)得50k+b=100，60k+b=80，解得k=−2，b=200，所以y=−2x+200（40≤x≤80）。 ② 每千克售价为x元、成本为40元，每千克利润为x−40元，日销售利润W=(x−40)y=(x−40)(−2x+200)。 ③ 展开得W=−2x²+200x+80x−8000=−2x²+280x−8000，故选B。 【知识点睛】待定系数法求一次函数：两点代入y=kx+b解方程组；利润问题：总利润=单件利润×销售数量。注意自变量的取值范围由题意确定。 6. 【答案】C 解题步骤： ① 分别把三个点的横坐标代入y=−x²+4求函数值：y₁=−(−1)²+4=3，y₂=−2²+4=0，y₃=−4²+4=−12。 ② 比较大小：−12<0<3，即y₃<y₂<y₁。 ③ 故选C。 【知识点睛】比较二次函数值的大小：把横坐标代入解析式求出函数值再比较。也可先判断开口方向与对称轴，利用增减性比较。 7. 【答案】B 解题步骤： ① 抛物线y=x²−4x+3中，a=1，b=−4。 ② 对称轴公式x===2。 ③ 所以对称轴是直线x=2，故选B。 【知识点睛】抛物线 y=ax²+bx+c 的对称轴是直线 x=。求对称轴直接代入 a、b 计算，注意负号与分母 2a 的位置。 8. 【答案】B 解题步骤： ① y=3(x−2)²+1是顶点式，a=3>0，开口向上，有最小值。 ② 当x=2时，y取最小值1。 ③ 故选B。 【知识点睛】顶点式y=a(x−h)²+k：a>0开口向上，当x=h时取最小值k；a<0开口向下，当x=h时取最大值k。 9. 【答案】D 解题步骤： ① y=x²中a=1>0，开口向上，A正确。 ② 顶点坐标为(0,0)，对称轴是直线x=0，B、C正确。 ③ 当x=0时，y有最小值0，而不是最大值0，D错误。 ④ 故选D。 【知识点睛】y=ax²的性质：a>0开口向上，顶点(0,0)，对称轴为y轴，x=0时取最小值0；a<0时开口向下取最大值0。 10. 【答案】C 解题步骤： ① 抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称。 ② 对称轴为直线x=1，一个交点的横坐标为3，另一个交点的横坐标为2×1−3=−1。 ③ 故选C。 【知识点睛】抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称：两交点横坐标满足=对称轴。已知一个交点横坐标，用“2×对称轴−已知横坐标”求另一个。 11. 【答案】m<1 解题步骤： ① 抛物线与x轴有两个交点，则方程x²−2x+m=0有两个不相等的实数根。 ② Δ=(−2)²−4×1×m=4−4m>0。 ③ 解得m<1。 【知识点睛】抛物线与x轴有两个交点⇔Δ>0。由判别式大于0列不等式，解出参数的取值范围。 12. 【答案】−1 解题步骤： ① 把三点代入y=ax²+bx+c：c=3；a+b+c=4，得a+b=1；a−b+c=6，得a−b=3。 ② 联立a+b=1与a−b=3，解得a=2，b=−1。 ③ 所以b=−1。 【知识点睛】待定系数法：已知抛物线经过三个点，设一般式y=ax²+bx+c，代入三点坐标解三元一次方程组求出a、b、c。 13. 【答案】x<3 解题步骤： ① y=−2(x−3)²+4中，a=−2<0，开口向下。 ② 对称轴为直线x=3。 ③ 开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，所以当x<3时，y随x的增大而增大。 【知识点睛】二次函数增减性：a>0开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小、右侧增大；a<0相反。先定开口方向，再看在对称轴的哪一侧。 14. 【答案】＝ 解题步骤： ① 把x=−3代入y=x²+2x−3，得y₁=(−3)²+2×(−3)−3=9−6−3=0。 ② 把x=1代入，得y₂=1²+2×1−3=1+2−3=0。 ③ 所以y₁=y₂。 【知识点睛】求二次函数值：把横坐标代入解析式计算。本题两点关于对称轴x=−1对称，函数值相等。 15. 【答案】−4 解题步骤： ① 抛物线经过点(1,0)、(3,0)，说明方程x²+bx+c=0的两个根为1和3。 ② 由根与系数的关系，x₁+x₂===−b。 ③ 而x₁+x₂=1+3=4，所以−b=4，b=−4。 【知识点睛】由抛物线与 x 轴交点求参数：交点横坐标即方程两根，用韦达定理 x₁+x₂=建立等式求 b。注意两根之和与 的对应关系。 16. 【答案】(1)顶点(1,−4)，对称轴x=1；(2)x轴交点(3,0)、(−1,0)，y轴交点(0,−3) 解题步骤： ① (1)配方：y=x²−2x−3=(x−1)²−4，所以顶点为(1,−4)，对称轴为直线x=1。 ② (2)令y=0，得x²−2x−3=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1，与x轴的交点为(3,0)、(−1,0)。 ③ (2)令x=0，得y=−3，与y轴的交点为(0,−3)。 【知识点睛】求二次函数的顶点和对称轴用配方法；求与x轴交点令y=0解一元二次方程，求与y轴交点令x=0。 17. 【答案】y=x²−4x+3 解题步骤： ① 把三点A(0,3)、B(1,0)、C(2,−1)代入y=ax²+bx+c，得c=3；a+b+c=0；4a+2b+c=−1。 ② 把c=3代入后两个等式，得a+b=−3，2a+b=−2。 ③ 联立解得a=1，b=−4，所以抛物线的解析式为y=x²−4x+3。 【知识点睛】已知三点求二次函数解析式：设一般式y=ax²+bx+c，代入三点坐标，解关于a、b、c的三元一次方程组。 18. 【答案】13.5米 解题步骤： ① 由图可知抛物线的顶点为(6,5)，设解析式为y=a(x−6)²+5。 ② 把起抛点(0,)代入，得a×36+5=，解得a=，所以y=(x−6)²+5。 ③ 令y=0，得(x−6)²+5=0，即(x−6)²=，解得x=或x=（负值舍去）。 ④ 所以铅球的落地点离运动员=13.5米。 【知识点睛】二次函数的实际应用：由图象确定顶点，设顶点式，代入已知点求a；令y=0解方程求落地点，注意舍去不符合实际意义的负根。 19. 【答案】(1)2秒；(2)20米 解题步骤： ① 配方：h=−5t²+20t=−5(t²−4t)=−5(t−2)²+20。 ② a=−5<0，图象开口向下，当t=2时，h取得最大值20。 ③ 所以物体经过2秒到达最高点，最高点距地面20米。 【知识点睛】竖直上抛问题：高度h是时间t的二次函数，配方成顶点式后，顶点横坐标对应达到最高点的时间，纵坐标对应最大高度。 20. 【答案】对称轴x=1，顶点(1,3) 解题步骤： ① y=2x²−4x+5=2(x²−2x)+5。 ② 配方：2(x²−2x+1)−2+5=2(x−1)²+3。 ③ 所以对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,3)。 【知识点睛】配方法：先提二次项系数，再配上一次项系数一半的平方，保持恒等变形。顶点式为y=a(x−h)²+k，对称轴x=h、顶点(h,k)。 21. 【答案】(1)S=−2x²+60x，14≤x<30；(2)x=15时S最大，最大为450m² 解题步骤： ① 与墙垂直的一边为x m，则平行于墙的一边为(60−2x) m，S=x(60−2x)=−2x²+60x。 ② 平行边不能超过墙长32m：60−2x≤32，得x≥14；又60−2x>0，得x<30，所以14≤x<30。 ③ 对称轴x==15，在14≤x<30内；a=−2<0，所以当x=15时，S最大=−2×15²+60×15=−450+900=450。 ④ 所以当x=15时面积最大，最大面积为450m²。 【知识点睛】篱笆围矩形面积最值：面积S是垂直于墙的边长x的二次函数（开口向下），在顶点处取最大值。注意由墙长确定自变量的取值范围，顶点要在取值范围内。 22. 【答案】(1)A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)；(2)−1<x<3 解题步骤： ① (1)令y=0，得−x²+2x+3=0，即x²−2x−3=0，解得x=3或x=−1，所以A(−1,0)、B(3,0)。 ② (1)令x=0，得y=3，所以C(0,3)。 ③ (2)a=−1<0，抛物线开口向下，图象在x轴上方的部分对应−1<x<3，此时y>0。 【知识点睛】求抛物线与坐标轴的交点：令y=0解方程得与x轴交点，令x=0得与y轴交点；由开口方向确定y>0（或y<0）时x的取值范围。 23. 【答案】(1)w=−10x²+1400x−40000(x≥50)；(2)定价70元，最大利润9000元 解题步骤： ① (1)售价每涨1元月销量减少10件，售价为x元时月销量为500−10(x−50)=1000−10x，单件利润为x−40元。 ② (1)w=(x−40)(1000−10x)=−10x²+1400x−40000（x≥50）。 ③ (2)配方：w=−10(x−70)²+9000，a=−10<0，当x=70时w取得最大值9000。 ④ (2)所以售价定为每件70元时，获得最大利润9000元。 【知识点睛】利润最值问题：月利润=单件利润×月销量，用x表示两者并相乘，得到开口向下的二次函数，配方或利用顶点公式求最大值及对应的售价。 卷末答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B C B B D C 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $