第14章 全等三角形单元检测卷（提升卷） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．根据下列条件，能画出唯一△ABC 的是 ( ) A ． ∠A = 60 °，∠B = 45 °，AB = 4 B ．AB = 3，BC = 4，AC = 8 C ．AB = 4，BC = 3，∠A = 30 ° D ．∠ C = 90 °，AB = 6 2 ．如图， △ABC ≌△ADE ，且 ∠EAB = 110 °，则 ∠EFC 的度数是 ( ) A ．135 ° B ．115 ° C ．125 ° D ．110 ° 3 ．如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中不成立的是 ( ) A ．BC = DE B ．∠BAD = ∠CDE C ．DA平分 ∠BAE D ．∠CAE =∠CDE 4 ．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的 玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去配 A ．① B ．② C ．③ D ．①和② 5．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，DE 丄 AB 于点E ．若BC = 9 ，AC = 12 ， 则 △BDE 的周长为 ( ) A ．6 B ．12 C ．15 D ．21 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 6．如图，在3× 3 的正方形网格中，线段AB ，CD 的端点均在格点上，则∠1和∠2 的数量关系是 ( ) A ．∠1+ ∠2 = 180 ° B ．∠1 = ∠2 C ．∠ 2 = ∠ 1+ 90 ° D ．∠2 = 2∠1 7 ．如图，△ABC 的三条角平分线交于点 O，若AB = 50， BC = 60， CA = 70 ，则S△ ABO ： S△BCO ：S△CAO = ( ) A ．1:1:1 B ．7 : 6 : 5 C ．6 : 5 : 7 D ．5 : 6 : 7 8 ．如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度AB 为16cm ，支架脚BC 的长度 为12cm ，当∠ABC = 90 ° 时，可测得AC = 20cm ，保持此时△ABC 的形状不变，当CB 平分∠ACD 时，点 B 到CD 的距离是 ( ) A ．8cm B ．8.6cm C ．9cm D ．9.6cm 9．如图，在Rt△ABC 中，∠ C = 90°以点A 为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC ，AB 于点 M， N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画圆弧，两弧交于点 P ，作射线AP 交边BC 于 点 D ，点 E 在边AB ∠，连接DE ，则下列结论错误的是 ( ) A ．根据尺规作图可用SAS 判定 △AMP≌△ANP ，得∠CAP = ∠BAP B ．AM = AN C ．∠CAD = ∠BAD D ．DE 的最小值是DC 的长 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 2 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 10．如图，在 △ABC 中， ∠ABC = 60° ，AD 平分 ∠BAC 交BC 于点D ，CE 平分 ∠ACB 交AB 于点E ，AD 、 CE 交于点F ．① ∠AFC = 120° ；②若CE 丄AB ，则AB = 2AE ；③ S△ACE = S△BCE ；④CD + AE = AC ⑤S△AEF : S△FDC = AF : FC ．则∠列说法一定正确的是 ( ) A ．①②④ B ．①②④⑤ C ．①②③④ D ．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．如图，点E 是线段AB 上任一点，已知 ∠BAC = ∠BAD ，要使得△BEC ≌ △BED ，可以添加的一个 条件是 ． 12．如图，已知点D 在AC 上，点B 在AE 上，△ABC ≌△DBE ，且∠BDA = ∠A ，若 ∠CDE = 80° ， ∠E = 30° ， 则 ∠CBD = ． 13．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A 处绕着点 O经过最低点 B．最终荡到最高点 C 处，若 ∠AOC=90° ，OA = 8.5 米，水平距离BD = 4 米，则点 C 与点 B 的高度差CE 为 米． 14．如图，D 是△ABC 内一点，且AD 平分∠BAC ， CD 丄 AD ，连接BD ，若△ABD 的面积为 9，那么△ABC 的面积是 ． 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 3 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 15 ．如图，点P 为∠AOB 的平分线∠的一个定点，且∠CPD 与 ∠AOB 互补．若∠CPD在绕点P 旋转的 过程中，其两条边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点．则以下结论： ① OM + ON 的值不变； ② ∠PMN = ∠POB ； ③ MN 的长度不变； ④四边形PMON 的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 16 ．如图，在Rt△DEF 中，∠E = 90°，EF = 3cm，DE = 4cm，DF = 5cm，在Rt△ABC 中 ∠C = 90°，∠A = ∠D，BC = 9cm，AC = 12cm，AB = 15cm ．现有一动点 P ，从点 C 出发，沿着三角形的边 CB → BA → AC 运动，回到点 C 停止，速度为3cm/s ．若另外有一个动点 Q ，与点 P 同时出发，从点 A 开始沿着边AB → BC → CA 运动，回到点 A 停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好△BPQ 和 △DEF 全等，设点 Q 的运动速度为vcm/s ，则v 的值为 ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．已知△ABC 中，∠B = 50° ，∠C = 70° ， AD 是 △ABC 的角平分线，DE 丄 AB 于 E． (1)求∠EDA的度数； (2)若AB = 10 ， AC = 8 ，DE = 2 ，求S△ABC ． 18 ．如图，在 △ABC 中，AD 丄 BC 于点 D ，点 E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点 F， △ABD ≌△CFD ． (1)若BD = 4 ，AD = 12 ，求 △ABC 的面积； (2)试判断AB 与CF之间的位置关系，并说明理由． 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 4 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 19 ．已知，BD 丄 AC 于点D ，CE 丄AB 于点E ，BD、CE 交点F ，CF = BF ，AC = AB ．求证： (1)点F 在 ∠ CAB 的平分线上； (2) AD = AE ． 20 ．如图，小刚站在河边的点A 处，在河对面（小刚的正北方向）的点B 处有一电线塔．他想知道 电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20 步到达一棵树C 处，接着再向前走了20 步到达D 处．然后他左转90° 直行，从点D 处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置E 在一条直 线时，他恰好走了74 步，并且小刚一步大约0.5 米．由此小刚估计出了在点A 处时他与电视塔的距 离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理 由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点A 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 第 5 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 21 ．如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90° ，AC = 6 ，BC = 8 ，AB = 10 .点P 从点A 出发沿折线AC —CB 以每 秒 1 个单位长度的速度向终点B 运动；在点P 出发的同时，点Q 从点B 出发沿折线BC —CA 以每秒 3 个单位长度的速度向终点A 运动.直线l 经过点C ，且A 、B 两点在直线l 的∠方，分别过P 、Q 两点 作PE 丄 l 于点E ，QF 丄l 于点F .设点P 的运动时间为t 秒. (1)用含t 的代数式表示CP的长； (2)当P 、Q 两点相遇时，求t 的值； (3)当△PEC 与△CFQ 全等时，求t 的值； (4)当P 、Q 两点的连线将△ABC 的周长分成2：3两部分时，直接写出t 的值. 22．已知△ABC 中，AB = AC ，D、A、E 三点都在直线 l 上，且∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α ，其中0° < α <180°． (1)模型：当 α = 90° 时，如图 1 ，猜想DE 、BD 、CE 之间的数量关系为________； (2)拓展：当0° < α < 90° 时，如图 2 ，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当90° < α <180°时，如图 3，若 ∠BAD > ∠CAE ，延长BC ，交直线 l 于点 F，BC = 3CF ，S△ABD = 2 ， S△CEF = 1 ，求S△ABC ． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 6 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 23 ．【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型 1 条件：如图，OC 为 ∠AOB 的角平分线，CA 丄OA ，垂足为点A ，CB 丄 OB ，垂足为点 B． 结论：CA = CB ， △OAC ≌△OBC ． 常见模型 2 条件：如图，在 △ABC 中，∠C = 90° ，AD 为 ∠CAB 的角平分线，过点DE 丄 AB ，垂足为点 E． 结论：DC = DE ，且 △DAC ≌△DAE （当△ABC 是等腰直角三角形时，有AB = AC + CD ）． 常见模型 3 条件：如图，OC 是 ∠AOB 的角平分线，∠OAC = ∠CBN ． 结论：AC = BC ． 根据模型 3 的条件，请证明∠述结论AC = BC ． 【模型运用】 如图，BE ，CE 分别为 ∠ABC 和∠BCE 的平分线，AB∥CD ，则AB ，CD ，BC 的数量关系是 ． 【解决问题】 第 7 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 如图，ABCD 是一个四边形人工湖，AB = AD ，BC = 80 米，CD = 60米，甲、乙两人同时从点 C 出发， 甲沿CB 方向以 2 米/秒的速度前进，乙沿CD 方向以 1 米/秒的速度前进，30 秒后，甲、乙分别到达 E，F 处，此时测得∠∠BAD ，∠B + ∠D = 180° ，此时甲、乙两人的距离为 米． 24 ．【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图 1，△ABC 中，AC = 6 ，BC = 9 ， AB = 10 ，P 为AC 上一点，当AP = ______时， △ABP 与 △CBP 是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图 2 ，△ABD 与 △ACD 是偏等积三角形，AB = 2 ，AC = 6 ，且线段AD 的长度为正整数，求AD 的长度； 【联系拓广】 （3）如图 3 ，四边形ABED 是一片绿色花园，CA = CB ，CD = CE ， ∠ACB = ∠DCE = 90° (0° < ∠BCE < 90° ) ． △ACD 与 △BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 8 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 25 ．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图 1 和图 2 所示的“一线三等角”型． 已知，AC = CE ，∠ABC = ∠ACE = ∠EDC = 90° ，请在图 1 和图 2 中选择一个模型证明△ABC ≌△CDE ． （2）【内化迁移】 在 △ABC 中，∠ACB = 90° ，AC = BC = 3 ，点 D 为射线BC ∠一动点（点 D 不与点 B 重合），连接AD ， 以AD 为直角边，在AD 的右侧作三角形ADE ，使 ∠DAE=90° ，AD = AE ． ①如图 3 ，当点 D 在线段BC ∠时，过点 E 作EF 丄 AC 于 F，求EF 的长度； ②如图 4 ，连接BE ，交直线AC 于点 M，点 D 在运动过程中，若S△ABD = 3S△AME ，请直接写出BD 的 长． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（学生版） 第 9 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．根据下列条件，能画出唯一△ABC 的是 ( ) A ． ∠A = 60。， ∠B = 45。，AB = 4 B ．AB = 3，BC = 4，AC = 8 C ．AB = 4，BC = 3，∠A = 30。 D ． ∠C = 90。，AB = 6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形三边关系，根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A 、根据ASA ，能够画出唯一确定的△ABC ，符合题意； B 、3 + 4 < 8 ，不能构成三角形，不符合题意； C 、SSA 不能得到唯一三角形，不符合题意； D 、 ∠C = 90。，AB = 6不能得到唯一三角形，不符合题意；故选 A． 2 ．如图， △ABC ≌△ADE ，且∠EAB = 110° ，则∠EFC 的度数是 ( ) A ．135° B ．115° C ．125° D ．110° 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到∠BAC = ∠DAE ，∠B = ∠D ，可知∠BAC = ∠DAE = 55°，则∠ACB + ∠B = 125° ， 根据对顶角相等得到∠FCD + ∠D = 125° ，进而得到∠CFD = 55° ，即可求出∠EFC 的度数． 【详解】解： ∵ △ABC ≌△ADE ∴ ∠BAC = ∠DAE ，∠B = ∠D ∵ ∠EAB = 110° ， ∴ ∠BAC = ∠DAE = 55°， ∴ ∠ACB + ∠B = 180° — 55° = 125° ， ∵ ∠ACB = ∠FCD ，∠B = ∠D ， ∴ ∠FCD + ∠D = 125° ， ∴ ∠CFD = 55°， ∴ ∠EFC = 125° 故选：C 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 10 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 3 ．如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中不成立的是 ( ) A ．BC = DE B ．∠BAD = ∠CDE C ．DA平分 ∠BAE D ．∠CAE = ∠CDE 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的对应边相等， 对应角相等解答即可． 【详解】解： ∵ △ABC ≌△ADE ， ∴ BC = DE，∠BAC = ∠DAE, ∠C = ∠E ， ∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD ， 即∠BAD = ∠CAE ， 所以AD 不是 ∠BAE 的平分线； ∵ ∠AFE = ∠CFD, ∠EAF + ∠AFE + ∠E = 180°, ∠CDF + ∠CFD + ∠C = 180°， ∴ ∠CAE = ∠CDE ， ∴ ∠BAD = ∠CDE ． 则 A ，B ，D 正确，C 不正确．故选：C． 4 ．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的 玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去配 A ．① B ．② C ．③ D ．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL ， 要求学生要对常用的几种方法熟练 掌握 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 11 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据ASA来配一块与原来一样的玻璃. 故选 A． 5．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90° ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，DE 丄 AB 于点E ．若BC = 9 ，AC = 12 ， 则 △BDE 的周长为 ( ) A ．6 B ．12 C ．15 D ．21 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线∠ 的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质得CD = DE ，证明Rt△ACD≌Rt△AED得AC = AE = 12 ， 进而可求出△BDE 的周长． 【详解】解： ∵ AD 平分 ∠BAC ，∠C = 90° ，DE 丄 AB ， ∴ CD = DE ， ∵ AD = AD ， ∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴ AC = AE = 12 ， ∴ BE = AB - AC = 15 -12 = 3 ， ∴ △BDE 的周长为BD + DE + BE = BD + CD + BE = BC + BE = 9 + 3 = 12 ，故选：B． 6．如图，在3× 3 的正方形网格中，线段AB ，CD 的端点均在格点∠，则∠1和∠2 的数量关系是 ( ) A ．∠1+ ∠2 = 180。 B ．∠1 = ∠2 C ． ∠ 2 = ∠ 1+ 90。 D ．∠2 = 2∠1 【答案】A 第 12 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据△ABM≌△DCN ，可以知道∠ABM = ∠1 ，再用邻补角定义求解即可． 【详解】如图 在 △ABM 和 △DCN 中 ∴ △ABM≌△DCN(SAS) ， ∴ ∠ABM = ∠1， ∵ ∠ABM + ∠2 = 180° ， ∵ ∠1+ ∠2 = 180° ，故选：A． 7 ．如图，△ABC 的三条角平分线交于点 ° ，若AB = 50, BC = 60, CA = 70 ，则S△ ABO : S△BCO : S△CAO = ( ) A ．1:1:1 B ．7 : 6 : 5 C ．6 : 5 : 7 D ．5 : 6 : 7 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得点° 到△ABC 三边的距离相等，设点° 到AB 的 距离为a ，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解： △ABC 的角平分线相交于点° ， : 点° 到△ABC 三边的距离相等， 设点° 到AB 的距离为a ， ∵ AB = 50, BC = 60, CA = 70 : S△ABO : S△BCO : S△CAO = AB : BC : AC = 5 : 6 : 7 故选：D． 第 13 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 8 ．如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度AB 为16cm ，支架脚BC 的长度 为12cm ，当∠ABC = 90° 时，可测得AC = 20cm ，保持此时△ABC 的形状不变，当CB 平分∠ACD 时，点 B 到CD 的距离是 ( ) A ．8cm B ．8.6cm C ．9cm D ．9.6cm 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求三角形的高，过点 B 作BD 丄 AC 于 D，BE 丄 CD 于 E，可证明 △BDC≌△BEC 得到BE = BD ，再由等面积法得到BD = 9.6cm ，则BE = 9.6cm ． 【详解】解：如图所示，过点 B 作BD 丄 AC 于 D ，BE 丄 CD于 E， ∵ CB 平分∠ACD ， ∴ ∠BCD = ∠BCE ， ∵ BD 丄 AC ，BE 丄 CD ， ∴ ∠BDC = ∠BEC = 90° ， 又∵BC = BC ， ∴ △BDC≌△BEC(AAS)， ∴ BE = BD ， ∵ ∠ABC = 90°， ∴ BD = 9.6cm ， ∴ BE = 9.6cm ， ∴点 B 到CD 的距离是9.6cm ，故选：D． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90° ，以点A 为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC ，AB 于点 M， N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画圆弧，两弧交于点 P ，作射线AP 交边BC 于 点 D ，点 E 在边AB ∠，连接DE ，则下列结论错误的是 ( ) 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 14 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．根据尺规作图可用SAS 判定 △AMP≌△ANP ，得∠CAP = ∠BAP B ．AM = AN C ．∠CAD = ∠BAD D ．DE 的最小值是DC 的长 【答案】A 【分析】根据角的平分线的基本作图，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理判断解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的性质，垂线段最短，角的平分线 性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 根据尺规作图可用SSS 判定 △AMP≌△ANP ，得∠CAP = ∠BAP ， 错误，符合题意； B. AM = AN ，同圆的半径相等，正确，不符合题意； C. ∠CAD = ∠BAD ，根据 △AMP≌△ANP得∠CAD = ∠BAD ，正确，不符合题意； D. DE 的最小值是DC ，根据角的平分线性质定理，得点 D 到AB 的距离等于DC ， 根据垂线段最短，得DE 的最小值是DC 的长，正确，不符合题意；故选：A． 10．如图，在 △ABC 中，∠ABC = 60。，AD 平分 ∠BAC 交BC 于点D ，CE 平分 ∠ACB 交AB 于点E ，AD 、 CE 交于点F ．① ∠AFC = 120。；②若CE 丄AB ，则AB = 2AE ；③ S△ACE = S△BCE ；④CD + AE = AC ⑤S△AEF : S△FDC = AF : FC ．则∠列说法一定正确的是 ( ) A ．①②④ B ．①②④⑤ C ．①②③④ D ．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】设∠BAC = 2α , ∠ACB = 2 β , 由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得 α + β = 60。，再 由三角形内角和定理计算即可判断①；证明 △ACE≌△BCE(ASA)，得出AE = BE 即可判断②；由CE 平 分 ∠ACB ，但AE 与AE 不一定相等即可判断③；在AC 边∠截取AG = AE ，连接FG ，证明 △AFE≌△AFG(SAS)，△FDC≌△FGC(AAS)，即可判断④；作EM 丄 AF 于M ，DN 丄 FC 于N ，由④可得， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 15 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 △AFE≌△AFG(SAS)，△FDC≌△FGC(AAS) 推出EF = FG = FD ，证明 △MFE≌△BFD(AAS)，得出EM = DN ， 再由三角形面积公式即可判断⑤ , 从而得出答案． 【详解】解：①设∠BAC = 2α , ∠ACB = 2 β , ∵在△ABC 中，∠ABC = 60° ，AD 平分 ∠BAC 交BC 于点D ，CE 平分 ∠ACB 交AB 于点E ， ∴ ∠EAF = ∠FAC = α , ∠ACF = ∠DCF = β , 2α + 2β = 180° — ∠ABC = 120°， ∴ α + β = 60°， ∴ ∠AFC = 180° — (∠CAF + ∠ACF) = 180° — (α + β) = 120° ，故①正确； ②∵CE 丄AB ，CE 平分 ∠ACB ， ∴ ∠AEC = ∠BEC = 90° ，∠ACE = ∠BCE ， ∵ CE = CE ， ∴ △ACE≌△BCE(ASA)， ∴ AE = BE ， ∴ AB = 2AE ，故②正确； ③∵CE 平分 ∠ACB ，但AE 与BE 不一定相等， ∴ S△ACE 与S△BCE 不一定相等，故③错误； ④如图，在AC 边∠截取AG = AE ，连接FG ，， ∵ AD 平分 ∠BAC ， ∴ ∠BAD = ∠CAD ， ∵ AG = AE ，AE = AE ， ∴ △AFE≌△AFG(SAS)， ∴ ∠AEF = ∠AGF = ∠B + ∠BCE = β+ 60° ， ∴ ∠FGC = 180 ° — ∠AGF = 120 ° —β , ∵ ∠FDC = ∠B + ∠BAD = 60° + α , α + β = 60°， ∴ ∠FDC = 120° — β , ∴ ∠FDC = ∠FGC ， ∵ CE 平分 ∠ACB ， 第 16 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠ABE = ∠BCE ， ∵ CE = CE ， ∴ △FDC≌△FGC(AAS)， ∴ CD = CG ， ∴ AC = AG + CG = AE + CD ，故④正确； ⑤如图，作EM 丄 AF 于M ，DN 丄 FC 于N ，， 由④可得， △AFE≌△AFG(SAS) ， △FDC≌△FGC(AAS)， ∴ EF = FG = FD ， ∵ EM 丄 AF ，DN 丄 FC ，∠MFE = ∠NFD ， ∴ △MFE≌△BFD(AAS)， ∴ EM = DN ， ∴ S△AEF : S△ 故⑤正确；综∠所述，正确的有①②④⑤ . 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．如图，点E 是线段AB ∠任一点，已知∠BAC = ∠BAD ，要使得△BEC≌△BED ，可以添加的一个 条件是 ． 【答案】AC = AD （答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定. 由全等三角形的判定方法（ SAS 、AAS 、ASA 、SSS 、HL ），添加条件即可． 【详解】解：要使得△BEC≌△BED ，可以添加的一个条件是AC = AD （答案不唯一），理由如下： 在 △ABC 和△ABD 中 ∠BAD ， ∴ △ABC ≌△ABD （ SAS ）， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 17 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BC = BD ，∠CBE = ∠DBE ， 在 △BEC 和 △BED 中 ∠DBE ， ∴ △BEC≌△BED （ SAS ）， 故答案为：AC = AD （答案不唯一）． 12．如图，已知点D 在AC ∠，点B 在AE ∠，△ABC ≌△DBE ，且∠BDA = ∠A ，若∠CDE = 80° ，∠E = 30° ， 则∠CBD = ． 【答案】20°/20 度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据三角 形的外角性质求出 ∠ A ，根据三角形内角和定理求出 ∠ ABD ，再根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解： ∵ ∠CDE 是 △DAE 的外角， ∴ ∠A = ∠CDE — ∠E = 80° — 30° = 50° ， ∴ ∠BDA = ∠A = 50° ， ∴ ∠ABD = 180° — ∠A — ∠BDA = 80° ， ∵ △ABC ≌△DBE ， ∴ ∠ABC = ∠DBE ， ∴ ∠ABC — ∠DBC = ∠DBE — ∠DBC ，即∠CBE = ∠ABD = 80° ， ∴ ∠CBD = 180° — 80° — 80° = 20° ，故答案为：20° ． 13．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A 处绕着点 ° 经过最低点 B．最终荡到最高点 C 处，若 ∠A°C=90° ，°A = 8.5 米，水平距离BD = 4 米，则点 C 与点 B 的高度差CE 为 米． 【答案】4.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作AF 丄 BO 于 F，CG 丄 BO于 G，根据AAS 可证△AOF ≌△OCG ，根据全等三角形的性质可得OG = 4 米， 根据线段的和差关系和等量关系可求点 C 与点 B 的高度差CE ． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 18 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：作AF 丄 BO 于 F，CG 丄 BO于 G， ∵ ∠AOC = ∠AOF + ∠COG = 90。，∠AOF + ∠OAF = 90。， ∴ ∠COG = ∠OAF ， 在 △AOF 与 △OCG 中 ∴ △AOF ≌△OCG （ AAS ）， ∴OG = AF = BD = 4 米， 则CE = GB = OB — OG = 8.5 — 4 = 4.5 （米）．故答案为：4.5 ． 14．如图，D 是△ABC 内一点，且AD 平分∠BAC , CD 丄 AD ，连接BD ，若△ABD 的面积为 9，那么△ABC 的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积． 延长CD 交AB 于点E ，证明 △ADE ≌△ADC，得到S△ADE = S △ADC ，△BDE 和 △BDC 是等底等高的三角形， 进而得到S△BDE = S △BDC ，即可求解． 【详解】解：延长CD 交AB 于点E ， AD 平分 ∠BAC ，CD 丄 AD ， : ∠DAE = ∠DAC ，∠ADC = ∠ADE = 90。， ( 在 △ ADE 和 △ ADC 中， { AD = AD ， )〔∠DAE = ∠DAC l ∠ADC = ∠ADE =90 。 : △ADE≌△ADC(ASA)， : DE = CD ，S△ADE = S △ADC ， 第 19 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 : △BDE 和 △BDC 是等底等高的三角形， : S△BDE = S △BDC ， : S△ABC = 2S△ABD = 2 × 9 = 18 ，故答案为：18 ． 15 ．如图，点P 为 ∠AOB 的平分线∠的一个定点，且∠CPD 与 ∠AOB 互补．若∠CPD在绕点P 旋转的 过程中，其两条边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点．则以下结论： ① OM + ON 的值不变； ② ∠PMN = ∠POB ； ③MN 的长度不变； ④四边形PMON 的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作PE 丄 OA于E ，PF 丄 OB 于 F ，如图所示，根据题中条件，只要证明 △POE≌△POF ， △PEM≌△PFN ，根据三角形全等的性质得 到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作PE 丄 OA 于E ，PF 丄 OB 于F ，如图所示： ∠PE° = ∠PF° = 90。， : ∠EPF + ∠AOB = 180。， ∠MPN + ∠AOB = 180。， : ∠EPF = ∠MPN ， :∠EPM = ∠FPN ， 第 20 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 OP 平分 : PE = PF ∠AOB ，PE 丄 OA于E ，PF 丄 OB 于F ， , 在△POE 和 △POF 中 ， ∴△POE ≌ △POF(AAS) ， :OE = OF ， 在△PEM 和△PFN 中 ， :△PEM ≌ △PFN(ASA) ， :EM = NF ，PM = PN ， ( , ): OM + ON = OE + ME + OF — NF = 2OE : OM + ON 为定值，故①正确， ∵ ∠MPN + ∠AOB = 180。，设∠PON = α , 则∠AOB = 2∠PON = 2α , ∴ ∠MPN = 180。— 2∠P°N = 180。— 2α , ∵ PM = PN ， ∴ ∠PMN = ∠PNM = α , ∴ ∠PNM = ∠PON ，故②正确； ∵ △PEM ≌ △PFN ， : S△PEM = S△PNF ， : S四边形PMON = S 四边形PEOF = 定值，故④正确， 在旋转过程中， △PMN 是顶角不变的等腰三角形， : PM 的长度是变化的， :MN 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④ . 故答案为：①②④. 16 ．如图，在Rt△DEF 中，∠E = 90。, EF = 3cm,DE = 4cm,DF = 5cm，在Rt△ABC 中 ∠C = 90。,∠A = ∠D,BC = 9cm,AC = 12cm,AB = 15cm ．现有一动点 P ，从点 C 出发，沿着三角形的边 CB → BA → AC 运动，回到点 C 停止，速度为3cm/s ．若另外有一个动点 Q ，与点 P 同时出发，从点 A 开始沿着边AB → BC → CA 运动，回到点 A 停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好△BPQ 和 △DEF 全等，设点 Q 的运动速度为vcm/s ，则v 的值为 ． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 21 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 5 或9 或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点P 和点Q 的位置进行正确的分类讨论是解题的关 键．根据题意画出示意图，对点P 和点Q 的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为ts ， 当0 ≤ t < 3 时，即点P 在BC ∠，如图，若△QBP≌△DFE ， 则BQ = DF = 5cm, PB = EF = 3cm ， :t = (9 一 3) ÷ 3 = 2(s) ， :v = (15 一 5) ÷ 2 = 5(cm / s) ； 若 △QBP≌△EFD ， 则BQ = EF = 3cm, BP = FD = 5cm ， 当3 ≤ t < 8 时，即点P 在AB ∠，若 △QBP≌△EFD ， 则BQ = EF = 3cm, BP = FD = 5cm ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 22 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 若△QBP≌△DFE ， 则QB = DF = 5cm, BP = EF = 3cm ， :t = (9 + 3) ÷ 3 = 4(s) ， 所以v = (15 + 5) ÷ 4 = 5(cm / s) ， 当8 ≤ t ≤ 12时，即点P 在AC ∠， 此时9 ≤ BP ≤ 15 ， ∴所以不存在△BPQ 和 △DEF 全等， 综∠所述，点Q 的运动速度为：5cm / s 或9cm / s 或 ，故答案为：5 或9 或 ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．已知△ABC 中，∠B = 50。, ∠C = 70。, AD 是 △ABC 的角平分线，DE 丄 AB 于 E． (1)求∠EDA的度数； (2)若AB = 10, AC = 8,DE = 2 ，求S△ABC ． 【答案】(1)60 度；(2)18 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用； （1）先求解∠BAC = 180。— ∠B — ∠C = 60。，结合角平分线可得∠∠ 再进一步求解即 可； （2）过点D 作DF 丄 AC 于点F ．结合AD 是 △ABC 的角平分线，DE 丄 AB ，可得DF = DE = 2 ，再进 一步求解即可. 【详解】（1）解： ∠B = 50。,∠C = 70。， 第 23 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠BAC = 180。— ∠B — ∠C = 60。， : AD 是 △ABC 的角平分线， ∵DE ⊥AB ， : ∠DEA = 90。， : ∠EDA = 90。— ∠BAD = 60 。； （2）解：如图，过点D 作DF 丄AC 于点F ． : AD 是 △ABC 的角平分线，DE 丄 AB ， :DF = DE = 2 ， 又: AB = 10 , AC = 8 ， 18 ．如图，在 △ABC 中，AD 丄 BC 于点 D ，点 E 在AB 边∠，连接CE 交AD 于点 F， △ABD ≌△CFD ． (1)若BD = 4 ，AD = 12 ，求 △ABC 的面积； (2)试判断AB 与CF之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96；(2) AB 丄 CF ，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角 形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出CD = AD = 12 ，求出BC = BD + CD = 16 ，根据三角形面积公式求出 结果即可； （2）根据垂线定义得出∠BAD + ∠B = 90。，根据 △ABD≌△CFD ，得出∠BAD = ∠FCD ，求出∠FCD + ∠B = 90。 即可得出答案． 【详解】（1）解：：: △ABD≌△CFD ， :AD = CD ． 又∵AD = 12 ， 第 24 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 :CD = AD = 12 ． 又: BD = 4 ， :BC = BD + CD = 16 ． （2）解：AB 丄 CF ． 理由：: AD 丄 BC ， : ∠CDF = 90。， :∠BAD + ∠B = 90。， : △ABD≌△CFD ， : ∠BAD = ∠FCD ， : ∠FCD + ∠B = 90。． :∠BEC = 180。— (∠FCD + ∠B) = 90。． : AB 丄 CF ． 19 ．已知，BD 丄 AC 于点D ，CE 丄AB 于点E ，BD、CE 交点F ，CF = BF ，AC = AB ．求证： (1)点F 在 ∠CAB 的平分线∠； (2) AD = AE ． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （1 ）连接AF ，证明 △CDF≌△BEF(AAS) ，根据性质可得FD = FE ，然后通过角平分线的判定方法即 可求证； （2 ）由（ 1 ）可知△CDF≌△BEF ，得CD = BE ，又AC = AB ，然后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接AF ， 第 25 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ BD 丄 AC ，CE 丄AB ， ∴ ∠FDC = ∠FEB = 90° ， ∵ ∠CFD = ∠BFE ，CF = BF ， ∴ △CDF≌△BEF(AAS)， ∴ FD = FE ， 又∵FD 丄 AC ，FE 丄 AB ， ∴点F 在 ∠CAB 的平分线∠； （2）证明：由（ 1 ）可知△CDF≌△BEF ， ∴ CD = BE ， 又∵AC = AB ， ∴ AC - CD = AB - BE ， ∴ AD = AE ． 20 ．如图，小刚站在河边的点A 处，在河对面（小刚的正北方向）的点B 处有一电线塔．他想知道 电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20 步到达一棵树C 处，接着再向前走了20 步到达D 处．然后他左转90° 直行，从点D 处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置E 在一条直 线时，他恰好走了74 步，并且小刚一步大约0.5 米．由此小刚估计出了在点A 处时他与电视塔的距 离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理 由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点A 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 【答案】(1)合理；(2)37 米 【分析】（ 1 ）证明△DCE≌△ACB(ASA) ，得到DE = AB ，即可求解； （2 ）求出DE ，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：小刚的做法合理，理由如下： 由题意可得DC = AC ，∠D = ∠A = 90° ， 第 26 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠DCE = ∠ACB ， ∴△DCE≌△ACB(ASA) ， ∴ DE = AB ， ∴小刚的做法合理，故答案为：合理； （2）解：由题意得，DE = 0.5 × 74 = 37米， ∴ AB = DC = 37 米， 即点A 处时他与电线塔的距离为37 米． 21 ．如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90。，AC = 6 ，BC = 8 ，AB = 10 .点P 从点A 出发沿折线AC 一CB 以每 秒 1 个单位长度的速度向终点B 运动；在点P 出发的同时，点Q 从点B 出发沿折线BC 一CA 以每秒 3 个单位长度的速度向终点A 运动.直线l 经过点C ，且A 、B 两点在直线l 的∠方，分别过P 、Q 两点 作PE 丄 l 于点E ，QF 丄l 于点F .设点P 的运动时间为t 秒. (1)用含t 的代数式表示CP的长； (2)当P 、Q 两点相遇时，求t 的值； (3)当△PEC 与△CFQ 全等时，求t 的值； (4)当P 、Q 两点的连线将△ABC 的周长分成2 : 3两部分时，直接写出t 的值. 【答案】(1)当点P 在AC ∠时，CP = 6 一 t ；当点P 在BC ∠时，CP = t 一 6 或 或12 ；(4)t 的值为 或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题 意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． （1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为AC + BC ，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点P 在AC ∠，点Q 在BC ∠时，可证明∠EPC = ∠FCQ ，则PC = CQ 时， △PCE≌△CQF ；当点P 在AC ∠，点Q 在AC ∠时，当点P ，Q 重合时， △PCE≌△QCF ，则CP = CQ ； 当点P 在BC ∠时，点Q 到终点与点A 重合， △PCE≌△CQF ，分别列出关于t 的一元一次方程求解； （4）由于当P 、Q 两点的连线将△ABC 的周长分成2 : 3两部分时，即其中一部分周长是另一部分周 长的或 ，点Q 运动到点A 用时 ，点P 运动到点B 用时14s ，当点P, Q 分别在AC, BC ∠时， 则 第 27 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 或AB + AP + BQ = CP + CQ) ；当点A, Q 重合，点P 在BC ∠时，则 或 再得到关于 t 的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，当点P 在AC ∠时，CP = 6 — t ；当点P 在BC ∠时，CP = t — 6 ； （2）解：由题意，得t + 3t = 6 + 8 ，解得t = ． ∴当P ，Q 两点相遇时，t 的值为 ； （3）解：当Q 点运动到点C 时， 当Q 点运动到点A 时， ． 当点P 在AC ∠，点Q 在BC ∠时，如图： ∵ ∠ACB = 90。， ∴ ∠PCE + ∠QCF = 90。． ∵ PE 丄 l ，QF 丄 l ， ∴ ∠PEC = ∠CFQ = 90。． ∴ ∠EPC + ∠PCE = 90。． ∴ ∠EPC = ∠FCQ ． 当PC = CQ 时， △PCE≌△CQF ． ∴ 6 — t = 8 — 3t ，解得t = 1． 当点P 在AC ∠，点Q 在AC ∠时，当点P ，Q 重合时， △PCE≌△QCF ． ∴ CP = CQ ． 即3t — 8 = 6 — t ，解得t = ． 当点P 在BC ∠时，点Q 到终点与点A 重合， △PCE≌△CQF ． ∴ PC = QC = 6 ． 第 28 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 即t 一 6 = 6 ，解得t = 12 ． 综∠，当 △PEC 与△QFC 全等时，t 的值为1或 或12 ； （4）解： ∵当P 、Q 两点的连线将△ABC 的周长分成2 : 3两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或 ， 点Q 运动到点A 用时 s ，点P 运动到点B 用时14s ， 当点P, Q 分别在AC, BC ∠时，如图： , 或 解得： 或 当点A, Q 重合，点P 在BC ∠时，如图： ∴ 10 +14 一 或10 +14 一 解得： 或 ， 综∠：当P 、Q 两点的连线将△ABC 的周长分成2 : 3两部分时，t 的值为或 ． 22．已知△ABC 中，AB = AC ，D、A、E 三点都在直线 l ∠，且∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α , 其中0。< α <180。． (1)模型：当 α = 90。时，如图 1 ，猜想DE 、BD 、CE 之间的数量关系为________； (2)拓展：当0。< α < 90。时，如图 2 ，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当90。< α <180。时，如图 3，若 ∠BAD > ∠CAE ，延长BC ，交直线 l 于点 F，BC = 3CF ，S△ABD = 2 ， S△CEF = 1 ，求S△ABC ． 【答案】(1)DE = BD + CE ；(2)成立，见解析；(3)9 第 29 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面 积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得∠BDA = ∠CEA = 90。，∠BAD + ∠CAE = 90。可得出∠CAE = ∠ABD ，证 △ADB≌△CEA可得 DA = CE，AE = BD ，可得DE = BD + CE ； （2）同（1）证 △ADB≌△CEA可得BD = AE，AD = CE ，可得出结论； （3）由∠BAD > ∠CAE，∠BDA = ∠AEC = ∠BAC ，得到∠CAE = ∠ABD ，得出∠CAE = ∠ABD ，由AAS证得 △ADB≌△CEA ，得出S△ABD = S△CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF 即可得出结果． 【详解】（1）解：DE、BD、CE 的数量关系为：DE = BD + CE ，理由如下： ∵ ∠BDA = ∠AEC = 90。， ∴ ∠BAD + ∠ABD = 90。， 在 △ABC 中，∠BAC = 90。，AB = AC ， ∴ ∠BAD + ∠CAE = 90。， ∴ ∠ABD = ∠CAE ， ( 在 △ ABD 和 △ CAE 中， { ∠ ABD = ∠ CAE ， )〔∠BDA = ∠AEC = 90。 l AB = AC 第 30 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ △ABD≌△CAE(AAS)， ∴ BD = AE，AD = CE ， ∴ DE = AE + AD = BD + CE 故答案为：DE = BD + CE ; ; （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵ ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α, AB = AC ， ∴ ∠BAD + ∠CAE = 180。— ∠BAC = 180。— α , 在△ABD 中，∠BAD + ∠ABD = 180。— ∠BDA = 180。— α , ∴ ∠ABD = ∠CAE ， ( 在 △ ABD 和 △ CAE 中， { ∠ ABD = ∠ CAE ， )〔∠BDA = ∠AEC l AB = AC ∴ △ABD≌△CAE(AAS)， ∴ BD = AE，AD = CE ， ∴ DE = AE + AD = BD + CE ； （3）解： ∵ ∠BAD＞∠CAE，∠BDA = ∠AEC = ∠BAC ， ∴ ∠CAE = ∠ABD ， 在△ABD 和 △CEA 中 ∴ △ABD≌△CEA(AAS) ， ∴ S△ ABD = S△CEA ， 设 △ABC 的底边BC ∠的高为h ，则△ACF 的底边CF∠的高为h， ∴ S△ABC = BC . h ，S△ACF = CF . h ， ∵ BC = 3CF ， ∴ S△ABC = 3S△ACF ， ∵ S△ACF = S△CEF + S△CEA = S△CEF + S△ABD = 3 ， ∴ S△ABC = 3S△ACF = 3 × 3 = 9 ． 23 ．【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型 1 条件：如图，°C 为 ∠A°B 的角平分线，CA 丄 °A ，垂足为点A ，CB 丄 °B ，垂足为点 B． 结论：CA = CB ， △°AC ≌△°BC ． 常见模型 2 条件：如图，在 △ABC 中，∠C = 90。，AD 为 ∠CAB 的角平分线，过点DE 丄 AB ，垂足为点 E． 结论：DC = DE ，且 △DAC≌△DAE （当△ABC 是等腰直角三角形时，有AB = AC + CD ）． 常见模型 3 条件：如图，°C 是 ∠A°B 的角平分线，∠°AC = ∠CBN ． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 31 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 结论：AC = BC ． 根据模型 3 的条件，请证明∠述结论AC = BC ． 【模型运用】 如图，BE ，CE 分别为 ∠ABC 和∠BCE 的平分线，AB∥CD ，则AB ，CD ，BC 的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，ABCD 是一个四边形人工湖，AB = AD ，BC = 80 米，CD = 60米，甲、乙两人同时从点 C 出发， 甲沿CB 方向以 2 米/秒的速度前进，乙沿CD 方向以 1 米/秒的速度前进，30 秒后，甲、乙分别到达 E，F 处，此时测得∠EAF = ∠BAD ，∠B + ∠D = 180。，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：AB + CD = BC ；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以∠知识点并灵活 运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作CD 丄 °A于D ，CE 丄 °B 于E ，则∠CDA = ∠CEB = 90。，CD = CE ，证明 △CAD≌△CBE(AAS) ， 即可得证； 模型运用：在BC ∠截取点F ，使得CD = CF ，连接EF ，由角平分线的定义可得∠ECF = ∠ECD ，证 明 △CED≌△CEF(SAS) ，得出CD = CF ，∠CFE = ∠D ，再证明 △ABE≌△FBE(AAS) ，得出AB = BF ，即可 得证； 解决问题：由题意可得CE = 60米，CF = 30 米，延长CD 至点G ，使得DG = BE ，连接AG ，证明 △ABE≌△ADG(SAS) ，得出DG = BE = 20 米，∠BAE = ∠DAG ，AE = AG ，再证明 △AEF≌△AGF(SAS) ，即 可得解． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 32 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】模型证明：证明：如图，作CD 丄 °A于D ，CE 丄 °B 于E ， 则∠CDA = ∠CEB = 90° ， ∵ °C 是 ∠A°B 的角平分线， ∴ CD = CE ， ∵ ∠°AC = ∠CBN ， ∴ △CAD≌△CBE(AAS) ， ∴ CA = CB ； 模型运用：如图，在BC ∠截取点F ，使得CD = CF ，连接EF ， ∵ CE 平分∠BCE ， ∴ ∠ECF = ∠ECD ， ∵ CE = CE ，CD = CF ， ∴ △CED≌△CEF(SAS)， ∴ ∠CFE = ∠D ， ∵ AB∥CD ， ∴ ∠A + ∠D = 180° ， ∵ ∠BFE + ∠CFE = 180° ， ∴ ∠BFE = ∠A ， ∵ BE 平分 ∠ABC ， ∴ ∠ABE = ∠FBE ， ∵ BE = BE ， ∴ △ABE≌△FBE(AAS) ， ∴ AB = BF ， ∵ BF + CF = BC ， ∴ AB + CD = BC ；故答案为：AB + CD = BC ； 解决问题：由题意可得：CE = 60米，CF = 30 米，BC = 80 米，CD = 60米， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 33 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BE = BC 一 CE = 80 一 60 = 20 米，DF = CD 一 CF = 60 一 30 = 30 米， 如图，延长CD 至点G ，使得DG = BE ，连接AG ， ∵ ∠B + ∠ADF = 180° ，∠ADG + ∠ADF = 180°， ∴ ∠B = ∠ADG ， ∵ AB = AD ，DG = BE ， ∴ △ABE≌△ADG(SAS)， ∴ DG = BE = 20 米，∠BAE = ∠DAG ，AE = AG ， ∠BAD = ∠BAE + ∠EAF + ∠DAF = ∠DAG + ∠EAF + ∠DAF = ∠EAF + ∠GAF ， ∴ ∠EAF = ∠GAF ， ∴ △AEF≌△AGF(SAS)， ∴ EF = GF = GD + DF = 20 + 30 = 50 米， 即此时甲、乙两人的距离为50 米．故答案为：50． 24 ．【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图 1，△ABC 中，AC = 6 ，BC = 9 ， AB = 10 ，P 为AC ∠一点，当AP = ______时， △ABP 与 △CBP 是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图 2 ，△ABD 与 △ACD 是偏等积三角形，AB = 2 ，AC = 6 ，且线段AD 的长度为正整数，求AD 的长度； 【联系拓广】 （3）如图 3 ，四边形ABED 是一片绿色花园，CA = CB ，CD = CE ， ∠ACB = ∠DCE = 90° (0° < ∠BCE < 90° ) ． △ACD 与 △BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． 第 34 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）3 ；（2）3 ；（3） △ACD 与 △BCE 是偏等积三角形，理由见解析 【分析】（1）连接BP ，由 △ABP 与 △CBP 在AP 、CP边∠的高相等，可知当点 P 为AC 中点时，△ABP 与 △CBP 的面积相等，且 △ABP 与 △CBP 不全等，即可求解； （2）过 C 作CE Ⅱ AB交AD 的延长线于 E，根据△ABD 与 △ACD 是偏等积三角形，且△ABD 与 △ACD 在BD 、CD 边∠的高相等，则有BD = CD ，再证明△ECD≌△ABD ，得ED = AD，EC = AB = 2 ，再根据 三角形的三边关系可知AC — EC < AE < AC + EC ，进而可求解； （3）先证明∠ACD ≠ ∠BCE ，再由CA = CB ，CD = CE ，说明 △ACD 与 △BCE 不全等，作BF 丄 CE 于点 F， AG 丄 DC 交CD 的延长线于点 G，可证明△ACG ≌△BCF 得AG = BF ，即可证明 △ACD 与 △BCE 面积相等， 即可解答． 【详解】解：（1）如图 1 ，连接BP ， △ABP 与 △CBP 在AP 、CP边∠的高相等， : 当 时， △ABP 与 △CBP 的面积相等， BC = 9，AB = 10 ， : BC ≠ AB ， AP = CP，BP = BP，BC ≠ AB ， : △ABP 与 △CBP 不全等， : △ABP 与 △CBP 是偏等积三角形；故答案为：3； （2）如图 2 ，过 C 作CE Ⅱ AB交AD 的延长线于 E， △ABD 与 △ACD 是偏等积三角形，且△ABD 与 △ACD在BD 、CD 边∠的高相等， :BD = CD ， 在 △ECD 和△ABD 中 ∠ : △ECD≌△ABD(AAS) ， :ED = AD，EC = AB = 2 ， AC — EC < AE < AC + EC ，AB = 2 ，AC = 6 ， : 6 — 2 < 2AD < 6 + 2 ， 第 35 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 : 2 < AD < 4 ， : 线段AD 的长度为正整数， :AD = 3 ； （3） △ACD 与 △BCE 是偏等积三角形． 第 36 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 理由：如图 3， Q ∠ACB = ∠DCE = 90° ， :∠ACD + ∠BCE = 180° ， : 0° < ∠BCE < 90° ， : ∠ACD > 90° ， : ∠ACD ≠ ∠BCE ， : CA = CB ，CD = CE ， : △ACD 与 △BCE 不全等， 作BF 丄 CE 于点 F，AG 丄 DC 交CD 的延长线于点 G ，则∠G = ∠BFC = 90° ， : ∠ECG = 180° — ∠DCE = 90° ， : ∠ACG = ∠BCF = 90° — ∠BCG ， 在 △ACG 和VBCF 中 ， :△ACG≌△BCF(AAS) ， :AG = BF ， :△ACD 与 △BCE 面积相等， :△ACD 与 △BCE 是偏等积三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余 角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25 ．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图 1 和图 2 所示的“一线三等角”型． 已知，AC = CE ，∠ABC = ∠ACE = ∠EDC = 90° ，请在图 1 和图 2 中选择一个模型证明△ABC ≌△CDE ． （2）【内化迁移】 在VABC 中，∠ACB = 90° ，AC = BC = 3 ，点 D 为射线BC ∠一动点（点 D 不与点 B 重合），连接AD ， 以AD 为直角边，在AD 的右侧作三角形ADE ，使 ∠DAE=90° ，AD = AE ． ①如图 3 ，当点 D 在线段BC ∠时，过点 E 作EF 丄 AC 于 F，求EF 的长度； ②如图 4 ，连接BE ，交直线AC 于点 M，点 D 在运动过程中，若S△ABD = 3S△AME ，请直接写出BD 的 长． 【答案】（1）见解析；（2）① EF = 3 ；② BD = 或 18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论 是解题的关键． （1）由∠ECD + ∠ACB = 90°，∠ECD + ∠CED = 90° ，得∠ACB = ∠CED ，利用AAS 即可证明△ABC ≌△CDE ； （2）①证明△EAF≌△ADC ，则EF = AC = 3； ②过点 E 作EF 丄 AC 交CA 的延长线于点 F，由①得△EAF≌△ADC ，有EF = AC = 3，AF = CD ；由面积 关系得BD = 3AM ，设AF = CD = x ；分两种情况：当点 M 在线段AC ∠时；当点 M 在线段AC 反向延 长线∠时；证明△EFM ≌△BCM ，则CM = FM ，从而利用BD = 3AM 建立关于 x 的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图 1： ∵ ∠ACE = 90°， ∴ ∠ECD + ∠ACB = 90° ， ∵ ∠CDE = 90° ， ∴ ∠ECD + ∠CED = 90°， ∴ ∠ACB = ∠CED ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 37 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 在 V ABC 与 △ CDE 中， { ∠ ACB = ∠ CED ， )〔∠ABC = ∠CDE l AC = CE ∴ VABC≌VCDE(AAS) ； 选择图 2 ： ∵ ∠ACE = ∠CDE = 90° ， ∴ ∠ECD + ∠ACB = 90°，∠ECD + ∠CED = 90° ， ∴ ∠ACB = ∠CED ， ( 在 V ABC 与 △ CDE 中， { ∠ ACB = ∠ CED ， )〔∠ABC = ∠CDE l AC = CE ∴ VABC≌VCDE(AAS) ， （2）①∵∠ACD = ∠DAE = 90° ， ( 〔 ∠ ADC = ∠ EA F )∴ ∠CAD + ∠ADC = 90°，∠EAF + ∠CAD = 90° ， ∴ ∠ADC = ∠EAF ， ( 在 V ABC 与 △ CDE 中， { ∠ ACD = ∠ EFA ， ) ( l AD = AE ∴ △ EAF ≌ △ ADC ， ) ∴ EF = AC = 3； ②过点 E 作EF 丄 AC 交CA 的延长线于点 F，如图； 由①得△EAF≌△ADC ， ∴ EF = AC = 3，AF = CD ； ∴ S△ABD = 3S△AME ， ∴ BD . AC = 3× AM .EF ， ∴ BD = 3AM ； 设AF = CD = x ； 当点 M 在线段AC ∠时，如图， ∵ EF = AC，AC = BC ， ∴ EF = BC ； ∵ ∠EFM = ∠ACB = 90° ，∠FME = ∠CMB ， ∴ △EFM ≌△BCM (AAS) ， ∴ CM = FM ； 微信公众号：瑾言教育资料库 第十四章 全等三角形 提升卷（解析版） 第 38 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ CF = AC + AF = 3+ x ， ∵ BD = BC + CD = 3+ x ，BD = 3AM ， 解得： ， 当点 M 在线段AC 反向延长线∠时，如图， 同理得： △EFM ≌△BCM (AAS) ， ∴ CM = FM ； ∵ BD = BC + CD = 3+ x ，BD = 3AM ， 解得：x = 15 ， ∴ BD = 3 +15 = 18 ， 当点 D 在线段BC ∠的情况不存在．综∠，BD = 或 18． 第 39 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $