精品解析：江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期第一次检测数学试题

2025级高二上学期第一次检测 高二数学 （满分150分，考试时间：120分钟） 命题、审题：高二数学核心备课组 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 2. 如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第个图中有个◆，利用题设所给条件，找出后项与前项的规律，即可求出结果. 【详解】设第个图中有个◆， 由题有，，，， 按此规律有，所以，，， 故选：C. 3. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 39 B. 9 C. 19 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 故此数列的项数为. 4. 已知数列的前项和为，，，则=（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数列的递推公式判断出数列为周期数列，再根据数列的周期性求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：D. 5. 《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该女子每天的织布量形成一个等比数列，利用等比数列的前项和即可求解. 【详解】设女子第天织布尺，由于每天织布量是前一天的倍， 因此第天的织布量为尺，前天织布量的总和为尺， 由题意得， 要使织布总尺数达到尺，即， 代入得，所以最小的是， 因此该女子欲织满尺，则至少需要日，故C正确. 6. 已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A. B. C. 使成立的最小值为9 D. 时有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质、通项公式和前项和公式计算化简，结合选项，依次判断即可. 【详解】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），则当时，需要（ ）步“雹程”？ A. 13 B. 16 C. 19 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目定义的运算法则进行递推即可. 【详解】时，根据上述运算法则得出： ， 共需经过16个步骤变成1. 故选：B 8. 设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，项和转换，求解即可 【详解】由题意， 设 则 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，且则数列的通项公式为 B. 设是等差数列的前项和，若，则 C. “数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据当时得到的通项公式不是；对于B，根据得到，再利用得到；对于C，根据等差数列与正项等比数列的定义验证充分性与必要性即可；对于D，，再利用并项求和转化为等比数列求和即可. 【详解】对于A，令，， 即， 代入，可得. 当时 所以A错误. 对于B，因为是等差数列的前项和， 所以，所以 ，故B正确 对于C，充分性：数列为正项等比数列，可设 所以，所以，因为为常数， 所以为等差数列. 必要性：数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 所以，所以， 因为为常数，且首项， 所以数列为正项等比数列. 故C正确. 对于D， 所以. 10. “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ） A. 从始发车站到A点的所有里程碑个数为14 B. 从A点到B点的所有里程碑个数为16 C. 从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987 D. 从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误. 【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3， 则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确； 从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确； 从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误； 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解． 【详解】，，，，，故A正确； 对于B，由， ，故B正确 对于C，当时，，而，，故C错误. 因为，， 即，，…， 累加得 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则数列的前2026项和______. 【答案】 【解析】 【详解】由， 得， 因为， 所以， 所以， 所以. 13. 数列，，，，，，，，，，，，前项的和是______. 【答案】 【解析】 【分析】由数列规律可知有项，且和为，由，求出满足这个不等式的最大正整数的值，可确定第项的值，由此可得出该数列的前项的和. 【详解】由题意可知，该数列中，有项，且这项的和为， 令，，则的最大值为， 所以，该数列第项为，且的项数为， 因此，该数列的前项的和是. 故答案为. 【点睛】本题考查数列项的和的计算，解题关键就是找出数列的规律，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 14. 与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取，判断和所满足的关系，代入数列即可得出的通项公式，判断单调性即可解得的最小值. 【详解】取得， 则为2的倍数，即为偶数， 则为偶数， 令，代入得， ，即通项公式为； 当时，，此时，反之，当时，， 则的最小值在取到， 当时， 有， ，， 则， 当时，， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，分别令求解； （2）当时，由求解； （3）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 因为数列的前n项和为， 所以； 【小问2详解】 当时，， 又适合上式，所以； 【小问3详解】 由（2）知：， 所以， . 16. 已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用等差数列条件求出的通项，再结合题干等式算出；构造等比数列，由求公比，得到后变形求出； （2）因为要对任意 ，恒成立，所以要大于等于的最大项，那么需要先分析数列的单调性，找到其最大项的值，即可得到的最小值. 【小问1详解】 设的公差为，则， 因为，所以， 故的通项公式为，所以. 由​，得，即；由，得. 设，则为等比数列， 所以，， 设的公比为，则，故． 则，即. 所以． 故的通项公式为． 【小问2详解】 由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和，且， 因为对任意 ，都有恒成立，所以． 17. 已知数列满足，数列为正项等比数列，且， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和 (． 【答案】（1）， （2）= 【解析】 【分析】（1）先由递推式取倒数，判定为等差数列求出；再根据等比数列条件建立方程，求出公比得到； （2）对拆分为奇数项、偶数项两组分别求和：奇数项构成新等比数列，利用等比求和公式计算；偶数项通项裂项，用裂项相消求和，最后合并两部分结果. 【小问1详解】 由，，可知. 两边同时取倒数： ， 因此是首项为、公差为1的等差数列， 故：. 设公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故. 【小问2详解】 将​拆分为奇数项之和与偶数项之和： . 奇数项和： 当为奇数时，，因此数列的奇数项为，对应项为，此数列是首项为1、公比为4的等比数列， 由等比数列求和公式得：. 偶数项和： 当为偶数时，，代入，令偶数下标， 得：， 用裂项相消法求和： . 将两部分和相加，得到最终结果： . 18. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 【答案】（1）由，，成等差数列， 根据等差数列中项性质得： ， 化简得 ①，， 当时，，解得． 当时， ②． ①②得：，整理得，即， 又，故是首项为，公比为的等比数列； 因此，且， 即． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列中项建立与的关系式，通过推导递推公式，构造证明等比数列并求通项； （2）求出，用错位相减法计算前n项和； （3）先求出与的通项，通过分组求和得到前n项和，再结合数列单调性验证得到满足不等式的最大正整数的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设数列的前项和为，由（1）知， 故， ， ， 两式相减得， 故． 【小问3详解】 由（1）得，代入的表达式得： ， 由题意，为的第项，故， 所以 ， 由等比数列前项和公式可得：， 故， 令，设，， 则： ， 故为递增数列， 故，， 故满足不等式的最大正整数为． 19. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． （1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： （2）记数列的前项和为，且，请求出的值并判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），是“数列”，理由： 当时，由已知递推式可得， ①②得， 又也成立，所以，                                       设，即，所以， 又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）存在，，． 【解析】 【分析】（1）根据数列定义，先求差数列的公比，确定数列是等差数列，再写出通项； （2）先利用求出参数，再通过与的关系推导递推式，构造等比数列求通项，最后验证差数列是等比数列； （3）先由数列定义求出通项，再通过放缩确定，代入不等式解出的范围，得到唯一正整数解． 【小问1详解】 （1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以． 【小问2详解】 由已知条件可得，故，所以． 当时，根据已知递推式可得， ①②得， 又也成立，所以，                                       设，即，所以， 又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”． 【小问3详解】 由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故， 假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则． ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期第一次检测 高二数学 （满分150分，考试时间：120分钟） 命题、审题：高二数学核心备课组 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 39 B. 9 C. 19 D. 29 4. 已知数列的前项和为，，，则=（  ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日 A. B. C. D. 6. 已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A. B. C. 使成立的最小值为9 D. 时有最大值 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），则当时，需要（ ）步“雹程”？ A. 13 B. 16 C. 19 D. 21 8. 设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，且则数列的通项公式为 B. 设是等差数列的前项和，若，则 C. “数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件 D. 若，，则 10. “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ） A. 从始发车站到A点的所有里程碑个数为14 B. 从A点到B点的所有里程碑个数为16 C. 从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987 D. 从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984 11. 已知数列满足，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则数列的前2026项和______. 13. 数列，，，，，，，，，，，，前项的和是______. 14. 与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 16. 已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 17. 已知数列满足，数列为正项等比数列，且， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和 (． 18. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 19. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． （1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： （2）记数列的前项和为，且，请求出的值并判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $