精品解析：江苏省苏州市吴江区盛泽中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段反馈数学试题

2024-2025学年第一学期高二第二次阶段反馈练习（数学） 一、单选题 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程变形为斜截式即可得斜率. 【详解】直线，即. 所以直线的斜率为. 故选：D. 2. 正项等比数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 由题， 则，所以， 所以. 故选：B 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程对比列方程即可得解. 【详解】由题意双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得. 故选：B. 4. 已知为递增的等差数列，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质列出方程组，从而求出和公差，写出的通项公式即可求出答案. 【详解】因为为等差数列，，所以， 由，得或(舍)，所以， 所以. 令，得. 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【详解】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故选：C 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 7. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故选：A 8. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，结合椭圆的定义与圆的性质综合计算即可得、，即可得离心率. 【详解】法1：不妨设，，， 则，，， 所以， 所以①， ②， 联立①②解得，，所以椭圆离心率； 法2：，，设轨道Ⅱ的长轴和焦距分别为和， ，， 则， ， ，得：， 则，， ，得：，故. 故选：A. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的（　　） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出，, 即可判断； 对于B，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断； 对于C，根据等差数列的求和公式即可判断； 对于D，当时，可得，即可判断． 【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误； 对于B，若，则，当时，，满足2， 所以，则是等比数列，B正确； 对于C，是等差数列，则，C正确； 对于D，若是等比数列，当时，则，D错误. 故选：BC． 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程由韦达定理可得，，，即可根据两点距离分别结合选项求解. 【详解】由已知，，设过点的直线方程为：， 设点，则，， 由，得， 所以，，， ，所以，故A正确， ，故B错误， ， ,故，C正确， ， 由选项C可知，所以，故,D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： （1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 三、填空题 12. 若两条直线和平行，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由两条直线平行，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得当时，， 解得或， 当时，两直线方程分别为和， 两直线不平行， 故答案为：或 13. 在平面直角坐标系中，圆，圆.过点的直线被两圆截得的弦长相等，则直线的斜率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程为，由勾股定理求弦长列方程求解． 【详解】过且斜率不存在的直线与圆两都不相交， 设直线方程为，即， 由题意，解得． 故答案为：． 14. 数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得数列是以为首项，为公比的等比数列，求其通项公式，得到数列的前项和，代入，分离参数求解． 【详解】由，得， ，数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，则． 由，得，． 当时，有最小值为，，即实数的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知△ABC中，顶点A(3,7)，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是. （1）求点A关于直线CD的对称点的坐标； （2）求顶点B、C的坐标； （3）过A作直线，使B,C两点到的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1）；（2），；（3）或 【解析】 【分析】 （1）设点关于直线的对称点的坐标为，则的中点需在直线：上，且，得到方程组，解得即可； （2）依题意设所在直线方程为，联立与，求得其交点即为， 设则的中点坐标为，则的中点在直线上，且在上，联立解得； （3）分两种情况讨论: 当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等； 当直线平行时，也满足、两点到的距离相等；分别计算可得； 【详解】解：（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，的中点坐标为， 因为：， 所以解得故对称点的坐标为； （2）依题意设所在直线方程为， 则解得，故 所以解得故， 设则的中点坐标为， 所以，解得 即 （3）由（2）可得的中点坐标为，当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即； 当直线平行时，也满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即 故满足条件的直线方程为或 【点睛】本题考查点关于直线对称的点的坐标计算，两直线的交点坐标，平行直线方程以及垂直直线方程，综合性较强，计算量大，属于中档题. 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求，，并证明：数列为等比数列； （2）求的值． 【答案】（1），，证明如下： ， ，， 两式相减得，即， ，又， 所以，因为， 所以数列为等比数列. （2）968 【解析】 【分析】（1）利用递推公式可求得、的值，由递推关系式，作差后变形得到，即说明数列为等比数列； （2）由（1）求出的通项公式，利用分组求和求出，再利用分组求和求出. 【小问1详解】 由已知可得，解得，， 【小问2详解】 由（1）得，，， ， . 17. 已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，由题意得到点坐标，代入圆的方程可得； （2）先求出直线过定点，确定过点的弦的最小值，再求三角形高的最大值，从而确定所求三角形面积的最大值. 【详解】（1）由题意，设，由，得, 为圆：上的动点，所以， 所以点的轨迹方程为：. 即曲线的方程为：. （2）将的方程整理为， 令解得所以过定点. 如图： 当时，取得最小值，此时，所以，解得， 直线的方程为， ，. 由（1）可知，曲线是圆心为，半径为3的圆，点到的距离为，所以点到的距离， 故面积的最大值为. 18. 已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）得， 所以， 故， 所以 因为，所以，故， 因为为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 故当时，， 综上：. 【解析】 【分析】（1）根据数列是等差数列，求解出前3项，由等差中项得出等式，从而求解； （2）运用裂项相消的方法求解出，根据函数单调性得证. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为 由题意得，， ， ， 因为数列是等差数列， 所以，即， 解得，，所以. 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. （1）求双曲线E方程； （2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②不存在，理由：假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为， 联立，得， 所以， 由题，设MN的中点为， ， 所以PQ的直线方程：， 所以，因为Q在双曲线上， 所以，即， 令，即，即， 即，所以，即，与题意不符， 因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，及离心率的定义可解； （2）①设直线l的方程为，联立方程组，利用韦达定理和三角形面积公式求的面积，再利用函数性质求最值； ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为，联立方程组得，利用韦达定理求出MN的中点坐标，再由菱形性质求出PQ的直线方程，从而确定点Q的坐标，又点Q在双曲线上，代入可求 ，与题意不符，得解. 【小问1详解】 ，圆：，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 即，即，又，且， 所以，所以双曲线E的标准方程为； 【小问2详解】 ①设直线l的方程为， 代入，得， 设，所以， 则， 因为，所以，所以 即，所以， 令，所以， 又因为在上递减，所以： ②略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二第二次阶段反馈练习（数学） 一、单选题 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 正项等比数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 已知为递增的等差数列，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的（　　） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若两条直线和平行，则实数的值为__________. 13. 在平面直角坐标系中，圆，圆.过点的直线被两圆截得的弦长相等，则直线的斜率是_____. 14. 数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题 15. 已知△ABC中，顶点A(3,7)，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是. （1）求点A关于直线CD的对称点的坐标； （2）求顶点B、C的坐标； （3）过A作直线，使B,C两点到的距离相等，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求，，并证明：数列为等比数列； （2）求的值． 17. 已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 18. 已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 19. 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. （1）求双曲线E方程； （2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $