第3章 一次方程与方程组 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第3章， 一次方程与方程组 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一等式的基本性质 元一次方程，则m的值是 典例1[2026合肥期中]已知x=y,则下列 分析 紧扣一元一次方程的两个必备条件：未知 变形不一定正确的是 ( 数x的次数为1；未知数x的系数不为0.解题 B.ax-ay 的关键是先根据“次数为1”列出绝对值方程， 结合“系数不为0”的条件筛选解. C.x十π=y十π D.x-2=y-2 分析 解答：由题意，得6一m=1且一5≠0，解 当c≠0时，等式x=y的两边同时除以c2, 得m=7.所以m的值为7. 等式依然成立；当(=0时，名=兰无意义，所以 小结 利用一元一次方程定义确定字母取值时，抓 选项A中的变形不一定正确. 住两个关键点：化简后未知数的次数是1，未知 数的系数不等于0. 解答：当c=0时，号=兰不成立，故选项A错 对应练习 2.若方程(k一1)xk十4=0是关于x的一 误；等式两边同时乘以同一个数，等式仍成 元一次方程，则k的值为 立，故选项B正确；等式两边同时加上或减 去同一个数，等式仍成立，故选项C,D正确 考点三 利用一元一次方程的解求字母 故选A. (或式子)的值 小结 典例3如果x=一2是关于x的方程a.x十 利用等式的基本性质2时，只有式子两边同 b=9的解，那么3-4a+2b的值为() 时除以一个不等于0的数，所得结果才是等式. A.1 B.-15C.21 D.5 如果除以0，所得式子无意义 分析 对应练习 (1)利用“方程的解能使方程左右两边相等” 1.[2026六安期中]下列等式变形结果正确 的定义，将解代入方程，得到含a,b的关系式. (2)观察所求代数式的结构，通过变形凑 的是 出与已知关系式相关的整体，再整体代入求值， A.由5x-3=7,得5x=4 无需分别求出a,b的具体值 B由-了x=2,得x=-6 解答：将x=一2代入ax+b=9,得-2a十 、1 b=9.所以原式=3+2(-2a+b)=3+2× C.由-8x=4,得x 9=21.故选C. D.由4-x=3,得x=-1 小结 这类题的关键是识别“整体”并灵活变形，避 考点二一元一次方程的定义 免直接求解参数.“见根代入”是解题的基本出 典例2若(m-5)x6-m=1是关于x的一 发点 15 数学（沪科版）七年级上 对应练习 整理得+-7-1 3.已知x=一3是关于x的一元一次方程 mx十2n=5的解，则3m-2n的值为 去中括号得+4-7=-6。 签里得2之+1 考点四解一元一次方程 典例4解方程： 去小括号，得4=3. 1)2+32红，5+3=0. =-1. 5 10 3 整理 去分母，得x十2=一2. 63+--=1 (2) 移项、合并同类项，得x=一4. 分析 小结 去分母时，方程中的常数项3也要乘以30， 两道小题分别对应两类高频易错题型：含 多个分母的方程、多层括号的方程，核心是通过 不能漏乘；去括号时要注意符号变化，避免因负 号导致计算错误，括号内的每一项都要乘以系 合理变形简化计算，同时规避去分母、去括号的 数，不能漏乘.解一元一次方程的基本步骤不是 常见错误 一成不变的，要根据题目的条件灵活选择解题 (1)对于含多个分母的方程，思路是先去 分母，将分数系数转化为整数系数，降低后续计 步骤 算复杂度.关键技巧是找到所有分母的最小公 对应练习 倍数（本题中5,10,3的最小公倍数为30），方程 4.解方程： 两边同时乘以这个数，一次性去掉所有分母 (1)2x+5=3.x-1. (2)对于多层括号的方程，直接从内向外 去括号容易出现分数运算，增加出错概率.更优 的思路是从外向内去分母（去括号），每次处理 最外层的分母，逐步简化方程，减少分数运算· 解答：(1)去分母，得6(x-2)-3(x+3) (2)2(x-4)=3(x+5). 10(2x-5)+90=0. 去括号，得6.x-12-3x-9-20x十50+ 90=0. 移项，得6.x一3x-20x=12+9-50-90. 合并同类项，得-17x=-119. (3)21_2红3-1. 3 4 两边都除以一17，得x=7. 2)去大括号得安+到- 10=9. 16 第3章一次方程与方程组 ④)2红0.3-t04=1. 小结 0.5 0.3 当指定用某种方法解方程组时，按照指定的 方法解决；没有指定方法时，若方程组中某个方 程的未知数的系数的绝对值是1，可采用代入 法，其他情况一般采用加减消元法 对应练习 5.解方程组： m-n=2, 考点五解二元一次方程组 (1) 2m+3n=14. 典例5解方程组： 3.x+2y=1, (1) (2) 2 2x-y=3. 2x+3y=9. 分析 (1)先根据第二个方程，将y用含x的代 数式表示，再代入第一个方程求出x的值，最后 回代求出y的值即可. (2)先将第一个方程去分母，化为整系数 二元一次方程，再用加减消元法求解. 2-3y+y+5=2x-7, (2) 4 3 3x+2y=1①， 解答：(1)记 10(x-y)-4(1-x)=3y. 2x-y=3②. 由②，得y=2x-3③. 将③代入①，得3x+2(2x-3)=1,解得 x=1. 将x=1代入③，得y=2×1-3=-1. x=1, 所以原方程组的解为 y=-1. x+义=1①， (2)记2T3 2x+3y=9②. 考点六二元一次方程组错解还原问题 ①×6，得3.x+2y=6③. /ax+5y=15①， 典例6甲、乙两人解方程组 ②×3-③×2，得5y=15,解得y=3. 4x-by=-2②， 将y=3代人②，得2x十3×3=9，解得 x=一3， 甲看错了方程①中的a,解得 乙看 x=0. y=-1, x=0, x=5, 所以原方程组的解为 错了方程②中的b,解得 求a,b的值 y=3. y=4. 17 数学（沪科版）七年级上 分析 考点七方程（组）的同解问题 甲看错说明 甲得到的解是方 代入② 方程① 程②的正确解 求出b 典例7已知关于 x,y的方程组 乙看错说明 乙得到的解是方 代入① 4x-3y=19,bx-ay=-6, 方程② 程①的正确解 求出a 和 的解相同， ax by=-65.x+3y=-10 解答：因为甲看错了方程①中的α， 求代数式(4a-3b)226的值. 满足方程②. 分析 所以 y=-1 重组 4x-3y=19, 求出方程 方程组 5x+3y=-10 组的解 所以4×（-3)一b×(一1)=-2，解得 b=10. 求代数 求出a, 〔ax-by=-6, 式的值 代入 b的值 bx-ay=-6 因为乙看错了方程②中的b, x=5, 所以 满足方程①. 4x-3y=19, y=4 解答：联立 5x+3y=-10, 所以5a+5×4=15,解得a=-1. x=1, 综上所述，a=-1,b=10. 解得 y=-5. 小结 错解还原时，将方程组的解代入没有错的方 x=1, ax-by=-6, 把 代入 得 程，利用得到的两个方程求出正确的方程系数 y=-5 bx- ay=-6, 对应练习 a+5b=-6, 6.甲、乙两人同时解关于x,y的方程组 5a+b=-6, ax+3y=12①， a=-1, 时，甲看错了方程①中 解得 3.x=by+1② b=-1. x=7, 所以(4a-3b)2026=(-1)2026=1. 的a,解得 乙看错了方程②中的 y=5, 小结 x=12, 方程组与方程组同解时，找到系数为常数的 b,解得 求原方程组的正确解 y=-4, 两个方程重新联立方程组，求出方程组的解，然 后代入到含字母的两个方程中，再次联立方程 组，求出字母的值；如果是方程与方程同解，则分 别解两个方程，利用解相同建立等量关系，求出 字母的值；方程组的解与方程的解相同的思路有 以下几种：(1)只有方程中含字母时，求出方程 组的解，代入方程中求字母的值；(2)只有方程 组中某个方程含字母时，重新联立方程组求解， 然后代入含字母的方程.(3)方程组和方程都含 有字母时，联立为三元一次方程组求解. 18 第3章一次方程与方程组 对应练习 由①一②，得x一x=10④.联立③④，得 2x一y=1, x十x=20, x=15, 7.如果方程组 的解也是二 解得 把x=15代入①， 3.x+3my=- x-之=10， x=5. 元一次方程4x十y=17的解，求m的值 得15十y=15,解得y=0.所以原方程组的 a=15, 解为y=0, x=5. 小结 当三元一次方程组中每个方程只有两项，且 系数都是1时，一般让三个方程先相加后化简， 再分别减去方程组中每个方程，从而求出方程组 的解；当三元一次方程组中某个方程只有两个未 考点八解三元一次方程组 知数时，利用加减法消去其他两个方程中多出来 的未知数，再转化为二元一次方程组求解；以上 {x+y=15, 典例8一题多解解方程组：y十之=5， 两种情况都不存在的三元一次方程组，则需要根 据系数特点，将三个方程中未知数系数绝对值最 x+x=20. 小的未知数消去，把三元一次方程组转化为二元 分析 一次方程组，从而求解 解法一将三个方程相加后化简，得到x十y十 之= 20,再分别减去三个方程，得到x,y,之 对应练习 的值 x+y+x=25, 解法二利用加减法消去任意两个方程中多出 8. 解方程组：3x-y=17, 来的未知数，再与剩下的方程联立方程组，最后 x=x+2. 求解即可 x+y=15①， 解答：解法一记y十之=5②， x+x=20③. 由①+②十③，得2x+2y+2x=40,所以 x十y十x=20④.由④-①，得x=5.由④ ②，得x=15.由④-③，得y=0.所以原方 考点九 与一次方程（组）有关的 /x=15, 新定义题 程组的解为y=0, 典例9定义：如果两个一元一次方程的解之和 x=5. 为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例 x+y=15①， 如：方程2x=一4和x-3=0为“美好方程”. 解法二 记y+x=5②， (1)若关于x的方程4x十m=0与方程 x十x=20③. 3x-6=x十8是“美好方程”，求m的值. 19 数学（沪科版）七年级上 (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中 一个解为n,求n的值. 所以2026x十3=2x+k的解是x=1 (-2026)=2027. 图)若关于x的方程)026工+3=2z十和 1 因为20260+1)=2y+k-1, 方程202+1=0是“美好方程”，求关于 厅以2026y+D)+3=2(y+1)+R 的方释2020+1)=2y+-1的解。 所以y十1=x=2027,解得y=2027-1= 分析 2026. 利用“美好方程”的定义找到方程解的关系 小结 是解题的关键， 解新定义题时需要先读懂新定义，将新定义 (1)先表示两个方程的解，再求解； 的问题转化为已学过的定义、定理、法则，然后用 (2)根据条件建立关于n的方程，再求解； 已学过的知识解决问题 1 (3)根据“美好方程”，求出2026x十3= 对应练习 2x+k的解为x=2027,再把2026y+1)= 9.[2026合肥期中]定义：若两个一元一次 方程的解互为相反数，则称这两个方程互 2+k-1变形为220+1)+3=20+1+ 为“致真方程”.如方程2x=4和3.x十6= k,即可得到y十1=2027，再求解 0为“致真方程”. (1)若关于x的方程5x十m=0与方程 解答：解方程红十m=0,得x=一架 2x一4=x十1是“致真方程”，求m的值 解方程3x-6=x十8，得x=7. (2)若关于x的方程2x十3m一2=0和 因为关于x的方程4x十m=0与方程3x 3x一5m十4=0是“致真方程”，求这两个 6=x十8是“美好方程”， 方程的解. 所以十7=1，解得m=24, (2)因为“美好方程”其中一个解为n, 所以另一个解为1一n. 因为“美好方程”的两个解的差为7， 所以1-n-n=7或n-(1-n)=7, 解得n=-3或n=4. 3)解方程20262十1=0，得x=一2026 考点十利用一次方程（组）解实际问题 因为关于x的方程2026十3=2z十k和方 典例10如图，由8块相同的小长方形地砖 1 拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为 程20262十1=0是“美好方程”， 80cm,请根据图中的信息求出每块小长方 20 第3章一次方程与方程组 形地砖的长和宽， 典例11甲、乙两地相距160km,一辆汽车 和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀 80 cm 速相向而行，专h后相遇.相遇后，拖拉机以 (典例10图) 其原速度继续前进，汽车在相遇处停留1h 分析 后调转车头以其原速度返回，在汽车再次出 设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为 发半小时后追上拖拉机.求汽车、拖拉机各 ycm.根据图形可知，小长方形地砖的一个长的 自的速度 长度是3个宽的长度，一个长和宽的长度和为 分析 80cm,由此列方程组求解. 画直线型示意图（如图）， 解答：设每块小长方形地砖的长为xcm,宽 汽车专h 拖拉机号h 行驶的路程 行驶的路程 为ycm, 甲地( D乙地 x=3y, {x=60, 拖拉机号h 依题意，得 解得 行驶的路程 x+y=80, y=20. 答：每块小长方形地砖的长是60cm,宽是 汽车h 行驶的路程 20cm. 追及处 相遇处 小结 由几个小长方形组成的大长方形问题的解 解答：设汽车的速度是xkm/h,拖拉机的速 题关键是通过大长方形找到小长方形的长和宽 度是ykm/h, 之间的等量关系，根据等量关系列方程（组） (x+y)=160, 对应练习 根据题意，得 10.[2025安庆段考]如图，在长为7m,宽为 3 2x= 2y, 5m的长方形的绿化带中划出三个形 x=90, 状、大小完全相同的小长方形花坛，其示 解得 y=30. 意图如图所示.求小长方形花坛的长 答：汽车的速度是90km/h,拖拉机的速度是 和宽. 30 km/h. 小结 5 m 解决相遇或追及问题时，要找到两个物体行 驶的速度和时间，确定是相遇问题还是追及问 m 题，然后列方程（组）.如果单位不统一，那么要先 (第10题) 统一单位 对应练习 11.从A市到B市，共有三段不同的公路， 第三段公路的长度是第一段公路长度的 2倍，甲、乙两辆汽车分别从A,B两市同 21 数学（沪科版）七年级上 时出发，甲汽车在第一段公路上以40千 分析 米/时的速度行驶，在第二段公路上的速 (1)设一辆中型车满载时能运输蔬莱 度提高50%.乙汽车在第三段公路上以 x吨，一辆大型车满载时能运输蔬菜y吨，根据 50千米/时的速度行驶，在第二段公路 运货总量列方程组求解.(2)①设租用中型车 上把速度降低了20%，两车出发3小时 a辆，大型车b辆，根据运货量列出二元一次方 24分钟后，甲汽车刚好行完第二段公路 程，根据a,b为非负整数，即可求解：②求出① 中三种方案的租车费用，即可求解 的时与乙汽车相遇，那么A,B两市之 解答：(1)设一辆中型车满载时能运输蔬菜 间的公路全长为多少千米？ x吨，一辆大型车满载时能运输蔬菜y吨。 4x+3y=54, x=6, 根据题意，得 解得 2x+5y=62, y=10. 答：一辆中型车满载时能运输蔬莱6吨，一 辆大型车满载时能运输蔬菜10吨. (2)①设租用中型车a辆，大型车b辆 根据题意，得6a十10b=80,即3a十5b=40. 因为a,b为非负整数， a=0,a=5,a=10, 所以68或6=5或 =2. 综上所述，有以下三种方案： 典例12[2026滁州期末]某蔬菜种植基地 方案一：租用中型车0辆，大型车8辆： 计划租用中型和大型两种货车运送蔬菜，两 方案二：租用中型车5辆，大型车5辆； 种货车的载货情况如下表： 方案三：租用中型车10辆，大型车2辆， 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 ②由题意，得租车费用为(800a十1200b)元， 4辆 3辆 54吨 方案一：1200×8=9600（元）： 2辆 5辆 62吨 方案二：800×5+1200×5=10000（元）； (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时 方案三：800×10+1200×2=10400（元） 能运输蔬菜的吨数， 因为9600<10000<10400， (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车 所以最少费用为9600元，此时租车方案为 都必须满载。 租用中型车0辆，租用大型车8辆 ①请你为该基地设计所有可行的租车方案。 小结 ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车 方案问题往往将问题转化为二元一次方程 每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算 的整数解解答，本题要注意是两种车型都要租还 最少租车费用，并说明此时的租车方案， 是只租一种车型也可以 22 第3章一次方程与方程组 对应练习 (2)请你帮该物流公司设计运输这批物 12.[2026阜阳期末]某物流公司计划用两 资的租车方案， 种车型的车辆运输一批物资，已知用 (3)若此次运输中，1辆A型车的租金 1辆A型车和2辆B型车装满物资一次 为150元，1辆B型车的租金为120元， 可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车 请选出最省钱的租车方案，并求出租车 装满物资一次可运11吨.该批物资共有 费用. 31吨，物流公司计划同时租用A型车 a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每 辆车都装满， (1)1辆A型车和1辆B型车都装满物 资，一次可分别运多少吨？ 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.已知x=y,根据等式的基本性质，则下列变形不一定成立的是 () A.x+2=y+2 B.2x=2y y C. m2+1m2+1 D.=1 2.下列变形正确的是 ) A.方程7x=5x-3,移项，得7x-5x=3 B方程“31+2，去分母.得2红-1)=1+3c-3》 C.方程2(2x-1)-5(x-3)=1,去括号，得4x-2-5x-15=1 D.方程2(x十1)=x十7，去括号、移项、合并同类项，得x=5 3.青境数学文化宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻 2x 2 方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构 x+2y 3 造.在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相 4y 等，则x,y的值分别是 () (第3题) A.-1,0 B.1,-1 C.-1,1 D.1,0 4x+3y=5, 4.若关于x,y的二元一次方程组 中，x的值比y值的相反数大1，则k的 kx-(k-1)y=8 值为 5.对于有理数a,b,n,d,若a一n|十b一n=d,则称a和b关于n的“绝对剩余值”为d, 例如：|5一2+3一2=4，则称5和3关于2的“绝对剩余值”为4. (1)6和3关于5的“绝对剩余值”为 (2)若2x和4关于2的“绝对剩余值”为6，则x的值为 23 数学（沪科版）七年级上 6.有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米，甲种1根、 乙种4根、丙种5根，共长36米，则甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长 米 7.[2026阜阳期末]解方程（组）： 1)y+2=1-6+y 3x+2y=11, (2) 3 4 3x-5y=4. 8.某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产打田机.请根据下表信息，解答下列 问题， 【问题背景】某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A,B两款国产 打田机若干台. 素材1：从厂家购进3台A款国产打田机和2台B款国产打田机共需90万元. 素材2：从厂家购进2台A款国产打田机和3台B款国产打田机共需85万元. 【问题解决】 (1)求A,B两款国产打田机每台的进价 (2)要使这240万元正好用完（两款打田机都要购进），请列出购进方案， (3)在(2)的条件下，A,B两款国产打田机分别在进价的基础上提价4万元和3万元作为 定价售卖，将购进的A,B两款国产打田机全部售出，求最大利润。 24 第4章 几何图形初步 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一与线段中点有关的计算 若点F在点B的右侧，如图③， 典例1如图①，C为线段AB上一点，AC= DF=DB+BF=13+4=17(cm). 14cm,CB=6cm,D,E分别是AC,AB的 综上所述，DF的长为9cm或17cm. 中点 D E B ② (1)求DE的长. D E B (2)若点F在直线AB上，且BF=4cm,求 ③ (典例1图) DF的长. 小结 y D E 1. 利用中点的定义，可以得到相等线段或 (典例1图①) 2倍关系的线段，根据题目需要选择要用到的 分析 结果 (1) D是AC的中点 AD=AC=7 cm DE-AE- 2.有关线段的长度问题，常逐段计算线段 AD=3 cm E是AB的中点 AE=专AB=I0cm 的长，再转化为线段的和差求解. 3.当题目中没有给出图形或给出的图形不 (2) AB=20 cm 完整时，应注意分析相关点或线段所处位置的多 DB=AB-AD=13 cm BF=4cm AD=7 cm 种情形，分别画出图形，通过转化为线段的和差 DF=DB-BF=9 cm DF=DB+BF=17 cm 求解. 对应练习 解答：(1)因为C为线段AB上一点，AC= 1.如图，M为线段AB的中点，C为线段 14cm,CB=6cm,D,E分别是AC,AB的 BM上一点，满足AM:CM=3：2, 中点， BC=5. 所以AD-2AC=7cm,AB=AC+CB (1)求AB的长， 20cm. (2)若点D在直线AB上，满足CD=12, 所以Ag-号AB=10cm 且N为线段CD的中点，求MN的长. A M C B (第1题) 所以DE=AE-AD=3cm. (2)因为AC=14cm,CB=6cm, 所以AB=AC+CB=20cm. 由(1)知AD=7cm, 所以DB=AB-AD=13cm. 因为BF=4cm, 所以若点F在点B的左侧，如图②， DF=DB-BF=13-4=9(cm); 25数学（沪科版）七年级上 图案要用火柴棒的根数为2十1.所以第7个图案要用火 柴棒的根数为2×7+1=15. ++0=++日+成 +品成20名+甘+品是 ⑦-4由题意，得n+1=2,m-2=3,所以m=5,n=1. 所以n一m=1一5=一4. ⑧(1)因为y3+y+1=5,所以y3+y=4.所以原式= -3(y3+y)+4=-3×4+4=-8.(2)当x=2时， ax3+bx+5=8a+2b+5=9,所以8a+2b=4.所以当 x=-2时，ax3+bx+4=-8a-2b+4=一(8a+2b)+ 4=-4+4=0.(3)6(m-n)-2(n-mn)=6m-6n- 2n+2m=6m-8n+2m=2(3m一4n)+2m,因为3m 41=-13,mm=-1,所以原式=2×(-13)+2× (-1)=-26-2=-28. 0)银据题可知2-号2×号+1=号+1 号所以2-日=2X号十1.所以(2，号)是相停有翠数 对”.(2)因为(m,n)是“相伴有理数对”，所以m一n 7 mm+1.所以原式=n-3mn+2m-2(m+n)= 1 1 1 1 2mm-2(m-n)=2mn-2(mm+1)=2mm 1 1 1 2m-2=-2 [综合素养提升] ①D单项式x2y的系数为1，次数是3，故A错误；多项 式3a3b+2a2+1是四次三项式，故B错误；多项式x2一 2x一1的常数项是一1，故C错误；单独一个数或字母是单 项式，单项式和多项式统称为整式，故D正确。 ②B由同类项的定义，得2m=n,且n=2,则m=1,所以 m+n=3. 0B中途上车的人数为(10a-66)-6a,2驰=10a 2 6b-3a+b=7a-5b. ④用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩的钱 ⑤(1)9根据表中的数据得，小菱形的个数从1开始，依 次加2，加1，加2，加1…则搭第6个图形需要9个小菱 形.(2)3037当n为偶数时，小菱形的个数依次 2 4 为3=3×1=3×2,6=3×2=3×2,9=3×3=3× “,所以第n个图形中小菱形的个数为所以第 6 42 2024个图形中小菱形的个数为3X2024-3036.因为第 2 2025个图形的小菱形比第2024个图形的小菱形多了 1个，所以第2025个图形需要3037个小菱形 6(1)因为2A+B=C,所以B=C-2A=(4a2b 3ab2+4abc)-2 (3a2b-2ab2+abc)=-2a2b+ab2+ 2ab.(2)对.理由：2A-B=2(3a2b-2ab2+abc）一 (一2a2b十ab2+2abc)=8a2b一5ab2,因为正确结果中不含 c,所以正确结果的大小与c的取值无关 ⑦(1)(a-b);(2a-2b-1).(2)因为BC=(2a-2b- 1)米，AB=(a一b)米，所以篱笆的总长度为(2a一2b 1)+2(a-b)=2a-2b-1+2a-2b=(4a-4b-1)米. (3)当a=30,b=5时，篱笆的总价为(4a一4b-1)×60= (4×30-4×5-1)×60=5940(元. ⑧(1)=.设a=n(n为正整数)，则d=n十16，b=n+ 14,c=n+2,则b+c=n+14+n+2=2m+16,a+d=n十 n+16=2m+16,所以a十d=b+c.(2)代数式a-2b+ 4c一3d的值是定值.设a=n(n为正整数)，则c=n十2， d=n+16,b=n+14,所以a一2b+4c-3d=n-2(n+ 14)+4(n+2)-3(n+16)=n-21-28+4n+8-3m- 48=n-21+4n-3m-28+8-48=-68.所以a-2b+ 4c一3d的值为定值，其定值为一68. 第3章一次方程与方程组 [高频考点突破] ①B由5x-3=7,两边都加上3，得5x=10,故A不符 合题意；由-弓x=2,两边部乘以-3，得x=一6，故B符 合题意：由一8=4，两边都除以-8，得x=一号故C不 符合题意；由4一x=3,移项、合并同类项，得一x=一1，系 数化为1，得x=1,故D不符合题意 2一1因为方程(k一1)x十4=0是关于x的一元一次 方程，所以k|=1,且k一1≠0.所以k=-1. ③-5因为x=一3是关于x的一元一次方程mx十 2m=5的解，所以-3m+21=5.所以3m-21=-5. ④(1)移项，得2x-3x=-1-5.合并同类项，得-x= 一6.系数化为1，得x=6.(2)去括号，得2x一8=3x+ 15.移项，得2x-3x=15+8.合并同类项，得-x=23.系 数化为1，得x=-23.(3)去分母，得4(2x一1) 3(2x-3)=12.去括号，得8x-4-6x+9=12.移项，得 8x一6x=12十4一9.合并同类项，得2x=7.系数化为1，得 x=子(0将分母化为整数，得0.310g+4=1. 3 去分母，得3(20x-3)一5(10x十4)=15.去括号，得60x一 9-50x-20=15.移项，得60x-50x=15+9+20.合并同 22 类项，得10x=44.系数化为1，得x= 6(1)记m-n=20, ①×3+②，得5m=20,解得 2m+3n=14② m=4.把m=4代人①，得4-n=2,解得n=2.所以原方程 组的解是m=4, n=2. (②)方程组整理，得/21x+5y-104O, 14x-13y=4②. ①×13+②×5，得343x=1372,解得x=4.把x=4代入 ②，得14×4一13y=4,解得y=4.所以原方程组的解为 x=4, y=4. 6将=7， 代入方程②，得3×7=5b+1,解得b=4.将 y=5 _代人方程①，得12a+3×(-4)=12,解得a=2 把a=2.6=4代人原方程组x十3y=12得 /2x+3y=12, 3x=by+1, 3x=4y+1, x=3, x=3, 解得 所以原方程组的正确解为 y=2. y=2. 2x一y=1, x=3, ⑦重新联立方程组，得 4+y=17,解得 将 y=5. r=3代人3x+3my=-21,得3X3+3m×5=-21.解 y=5 得m=-2. x+y+x=25①： ⑧记3x-y=17②，把③代人①，得2x+y=23④. x=x+2③. ②十④，得5x=40,解得x=8.把x=8代入③，得x=10. 把x=8,之=10代入①，得y=7.所以原方程组的解为 x=8, y=7, z=10. ⑨(1)2x-4=x+1,解得x=5.5x+m=0,解得x= 一侣因为两个方程是致宜方程“，所以5十(-智）=0， 解得m=25。(2)2x+3m-2=0,解得.x-2-3m.3x 2 5m十4一0，解得x“)因为两个方程是"致直方程， 所以2二，3+5m,二4=0，解得m=2,则2-3m= 2 3 2 2-3X2=-2,5m2-4-5X?-4=2.所以方程2x+3m 2 3 3 2=0的解为x=-2,方程3x一5m十4=0的解为x=2. ⑩设小长方形花坛的长为xm,宽为ym,则长方形的绿 附：答案与解析 化带的长是(2x十y)m,宽为(x十2y)m.根据题意，得 2x十y=7, 解得=3答：小长方形花坛的长为3m,宽 x+2y=5, y=1. 为1m. ①设第一段公路的长度为x千米，第二段公路的长度为 y千米，则第三段公路的长度为2x千米.40×(1+50%)= 60(千米/时)，50×(1一20%)=40（千米/时），3小时24分 2 希+ =3.4, 钟=3.4小时.根据题意，得 解得 2x 50T40 -=3.4, x=40, 则40+216+2×40=336（千米）.答：A,B两市之 y=216, 间的公路全长为336千米. ②(1)设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车 装满物资一次可运y吨依题意，得口十2=10， 解得 {2x+v=11, x= 。答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车 y=3 装满物资一次可运3吨.(2)依题意，得4a十3b=31,所 以a-3引气必因为a6均为非负整数所以日” 或 6=9 口=4“或a=7”所以该物流公司共有3种租车方案，方案 .或 b=5b=1. 1:租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车， 5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车. (3)方案1所需租金为150×1+120×9=1230（元）：方案 2所需租金为150×4+120×5=1200（元）：方案3所需租 金为150×7+120×1=1170（元）.因为1230>1200> 1170,所以方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型 车，最少租车费用为1170元. [综合素养提升] ①D因为x=y,所以等式两边同时加上2，可得x十2= y十2，A一定成立；等式两边同时乘以2，可得2x=2y,B 一定成立；因为m≥0，则m2+1>0,即分母不为0，所以 等式两边同时除以m十1，可得行C一定成 y 立当=y=0时，号分母为0，无意义，此时号=1不成 立，因此D不一定成立 ②D方程7x=5.x-3,移项，得7x一5x=一3，故选项A 错误：方程。-1+号，去分母，得2(3x-1)=6+ 3(x-3),故选项B错误；方程2(2x一1)-5(x一3)=1，去 43 数学（沪科版）七年级上 括号，得4x一2一5x+15=1,故选项C错误：2(x+1)= x十7，去括号，得2x十2=x十7，移项，得2x-x=7-2,合 并同类项，得x=5,故选项D正确， 2x+3=4y-3, ③C由题意，得 。即-2y=-30. x+2y+4y=3+2,x+6y=5②. ②-①，得8y=8,解得y=1.将y=1代入①，得x一2= -3,解得x=-1.所以x=一1，y=1. ④3根据题意，得x一(-y)=1,即x+y=1,则 /4x+3y=5, x=2, 代人方程kx一 x+y=1, 解得v-一.将 y=-1 (k-1)y=8,得2k-(k-1)×(-1)=8,解得k=3. ⑤(1)316-5|+13-5|=1+2=3.(2)3或-1由 题意，得引2x一2|+|4一2|=6，所以|2x一2|=4因为 |2x-2|=2x-1|,所以2x-1|=4,即|x-1川=2.所以 x-1=2或x-1=-2,解得x=3或x=-1 ⑥22设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为x米、 2x+y+3z=23①， y米、之米.由题意，得 ①X2+②×3， x+4y+5x=36②， 得7x+14y+21x=154,即7(x+2y+3x)=154.所以x+ 2y+3x=22.所以甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长 22米. ⑦(1)去分母，得4(y+2)=12-3(6+y).去括号，得 4y+8=12-18-3.移项，得4y+3y=12-18-8.合并 同类项，得7y=一14.两边都除以7，得y=一2.(2)记 3x+2y=1100-@,得7y-7,解得y=1.把y-1代 3.x-5.y=4②. 入①，得3x十2=11，解得x=3.所以原方程组的解为 x=3, (y=1. ⑧(1)设A款国产打田机每台的进价为x万元，B款国产 /3x+2y=90, 打田机每台的进价为y万元.根据题意，得 2x+3y=85, 解得任二0·答：A款国产打田机每合的进价为20万元， (y=15. B款国产打田机每台的进价为15万元.(2)设购进A款 国产打田机m台，购进B款国产打田机n台.根据题意，得 20m+15n=240,整理方程，得4m+3m=48,所以n= 48柳=16一专m.因为两款打田机都要购进，所以m,” 4 3 都为正整数.所以当m=3时，n=12;当m=6时，n=8;当 m=9时，1=4.所以一共有三种方案.方案一：购买A款国 产打田机3台，购买B款国产打田机12台；方案二：购买 A款国产打田机6台，购买B款国产打田机8台；方案三： 购买A款国产打田机9台，购买B款国产打田机4台. 44 (3)设总利润为W万元，则W=4m十3n.由(2)可知， 20m+151=240,即4m+31=48.对于(2)中任意一种方 案，总利润均为48万元.所以最大利润为48万元. 第4章几何图形初步 高频考点突破] ①(1)由题意，设AM=3x,CM=2x,则BM=CM+ BC=2x+5.因为M为AB的中点，所以AM=BM,即 3x=2x+5,解得x=5.所以AM=15,CM=10.因为M 为线段AB的中点，所以AB=2AM=30.(2)由(1)知， AM=15,CM=10.①当点D在点C左侧时，如图①.因为 N为CD的中点，所以CN=DN=2CD=6.所以MN= CM-CN=10-6=4.②当点D在点C右侧时，如图②. 因为N为CD的中点，所以CN=DN=CD=6,所以 MN=CM+CN=10+6=16.综上所述，MN=4或MN= 16 ① M C BN D ② (第1题) 2(1)因为射线OD平分∠BOC,∠BOC=120°，所以 ∠COD=∠B0D=∠B0C=0.因为∠A0C和∠QOD 互余，所以∠AOC+∠COD=90°.所以∠AOC=90° 60°=30°.(2)①当OE在OD左侧时，如图①.因为射线 OD平分∠BC,所以∠COD=∠BOD=号∠B0C.因为 ∠BOD=2∠DOE,所以∠COD=2∠DOE.因为∠COD= ∠COE+∠DOE,所以2∠DOE=∠COE+∠DOE.所以 ∠DOE=∠COE.所以∠COD=2∠COE.所以∠BOC= 4∠COE.因为∠COE=2∠AOC,所以∠BOC=8∠AOC. 所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=9∠AOC.当OE在OD 右侧时，如图②.因为射线OD平分∠BOC,所以∠COD= ∠BOD=?∠B0C.因为∠BOD-2∠DOE,∠BOD- ∠BOE+∠DOE,所以2∠DOE=∠BOE+∠DOE.所以 ∠D0E=∠OE=2∠B0D=∠B0X.所以∠COE= ∠B0C-∠B0E=是∠B0C.因为∠COE=2∠A0C,所 以∠A0C=号∠C0E=是∠0C.所以∠A0B- 1 ∠-背x袋 11 3 ∠BOC