第1章 有理数 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

本册知识结构 立体图形 正数和负数 几何图形 数轴 相关概念 平面图形 相反数、绝对值 直线的基本事实 大小比较 线段的基本事实 加减、乘除、乘方 有理数 几何图形 线段、射线、直线 运算 初步 线段的大小、比较、 运算和画法 交换律、结合律、分配律 两点间的距离 科学记数法 应用 角的表示和度量 近似数 角 角的大小、比较、运算和画法 单项式 七年级 上册 余角与补角 多项式 代数式 整式 全面调查与抽样调查 代数式的值 及其 加减 数据的收集 总体、个体、样本和样本容量 合并同类项 简单随机抽样 整式加减 去（添）括号 数据的 统计表 收集 相关概念 与整理 条形统计图 元一次 数据的整理 等式的基本性质 方程 折线统计图 一元一次方程的解法 扇形统计图 一元一次方程的应用 一次方程 从图表中获取信息 相关概念 二元一次 与方程组 方程组 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的应用 三元一次方程组 第1章有理数 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一有理数的运算 最××4×2品 典例1计算： 1)-1+14-51=(-2)+48×(-) 舒法：愿式：信》 1.11 2(-2-}8+)=( 24·624 61 4 分析 解法三：原式的倒数=（ 本题考查了有理数的混合运算，核心遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号 -+》×24=×24-× 内”的顺序，重点防范乘方符号、多步运算符号 24 及分配律漏乘错误。 12×24=4.所以原式= (1)上述得到的结果不同，你认为解法 解答：(1)原式=-1+1÷}+48× 是错误的， (-8)=-1+1X4-40=-1+4-40=-37. (2)请你选择合适的解法计算：（品》二 2)原式=-8-（侵+）×(-24) 品+} -8- 8×(-2)+×(-24)-× 12 (-24)=-8+36-9+14=33. 小结 1.运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除， 最后加减。 2.符号易错点：去括号、乘除时的符号 变化 考点二 有理数的实际应用 3.简化技巧：除法转乘法后用分配律，避免 典例2[2025六安金安期中]某电路检修小 通分计算。 组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修 对应练习 车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆 1. 阅读材料，并解答问题： 向东行驶为正，向西行驶为负，某一天检修过 计年+》 程中七次车辆行驶记录如下表（单位：千米）： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次 解法-原或京日安号十员 3 +8 -9 +12+4 一4 第1章有理数 (1)检修小组收工时在P处的哪个方位？ 对应练习 距P处多远？ 2. 舒青境生活实际为积极响应国家节能减 (2)在第几次记录时距P处最远？ 排的政策，王老师购置了一辆续航为 (3)若检修车辆每千米耗油0.1升，每升汽 350km(能行驶的最大路程)的新能源汽 油需7.2元，则这一天检修车辆需汽油费多 车，他将汽车充满电后连续7天使用，行 少元？ 车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单 分析 位：km,以40km为标准，超过部分记为 (1)将该天检修过程中七次车辆行驶记录 “十”，不足部分记为“一”)： 求和，根据结果的符号和绝对值求出答案 第一 第二 第三第四第五第六第七 (2)求出每次与出发点P处的距离，再对结果 时间 天 天 天 天 天 天 天 进行大小比较.(3)求出该天检修过程中七次 行驶 车辆行驶路程之和，再乘以每千米耗油量和每 -6 +2 -3 +8 +7 记录 升汽油的价格 (1)已知该汽车第三天行驶了45km,第 解答：(1)-3+8-9+12+4-4+3= 六天行驶了34km,则“■”处的数为 11(千米)，所以检修小组收工时在P处的东 ,“●”处的数为 边，距P处11千米 (2)若该新能源汽车每行驶1km耗电 (2)由题意，得第一次记录时距P处3千 0.2千瓦·时，每千瓦·时的电费为 米，第二次记录时距P处5千米，第三次记 0.5元，求王老师这7天开新能源汽车的 录时距P处4千米，第四次记录时距P处 电费， 8千米，第五次记录时距P处12千米，第六 (3)已知王老师这款新能源汽车在剩余 次记录时距P处8千米，第七次记录时距P 行驶路程不足续航的20%时，行车电脑 处11千米.因为3<4<5<8<11<12，所以 会发出充电提示.请通过计算说明该新能 在第五次记录时距P处最远 源汽车第七天行驶结束时，行车电脑是否 (3)7.2×(|-3+1+8|+|-91+ 会发出充电提示. 1+121+1+4+1-4|+|+3)×0.1= 7.2×(3+8+9+12+4+4+3)×0.1= 7.2×43×0.1=30.96(元)，所以这一天检 修车辆需汽油费30.96元. 小结 1. 求终，点与起，点的相对位置，可将各个有 理数相加，结果的绝对值表示终，点与起点的距 离，结果的符号表示终点位于起点的哪个方向 2.求方向无关的量需要进行有理数的绝对 值的和的运算 3 数学（沪科版）七年级上 考点三与数轴有关的综合题 (2)因为数轴上M,N两点之间的距离为 典例3折叠纸面，若在数轴上一1表示的点 2026,所以2026÷2=1013.所以点M表示 与5表示的点重合. 的数为2-1013=-1011，点N表示的数 (1)数轴上10对应的点与哪个数对应的点 为2+1013=1015. 重合 (3)因为边长为2的正方形有一顶点A落 (2)若数轴上M,N两点之间的距离为 在数轴上表示一1的点处，所以正方形滚动 2026(点M在点N的左侧)，且M,N两点 第3次和第4次时，点A落在数轴上表示7 经折叠后重合，则M,N两点表示的数分别 的点处，正方形滚动第7次和第8次时，点A 是多少？ 落在数轴上表示15的点处…（每4次滚 (3)如图，边长为2的正方形有一顶点A落 动，点A在数轴上的位置增加8)，依此类 在数轴上表示一1的点处，将正方形在数轴 推，正方形滚动15次后，顶点A落在表示 上向右滚动（无滑动），当正方形的一条边与 一1十8×4=31的点处，此时，点A距离数 数轴重合时，记为完成1次滚动.请问正方 轴上表示2的点的距离为31一2=29，所以 形向右滚动15次后，数轴上点A折叠后与 2-29=一27.所以正方形向右滚动15次后， 哪个数对应的点重合？ 数轴上点A折叠后与一27对应的点重合. 小结 数轴上点A,B对应的数分别为a,b,则点 A,B之间的距离为|a一b.折叠后点A,B重 0 (典例3图) 合，则折叠点对应的数为2(a十b), 分析 (1)1对应的点 折叠点 10对应的点 对应练习 与5对应的 ⑦X(-1+ 对应的 与-6对应的 点重合 5)=2 数是2 点重合 3.我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既 (2) 2对应的点到，点 ,点M表示的 可以用来表示数，又可以帮助我们比较两 M的距离为1013 数为-1011 MN=2026 个数的大小.请根据你对数轴的理解，解 2对应的，点到点 点N表示的 N的距离为1013 数为1015 答下列问题： (3) 滚动第3,4次对应7 (1)如图①，A,B,C为数轴上三点，当A 点A对 点A与折 为原点时，点B表示的数是2，点C表示的 应-1 滚动第7,8次对应15 叠点的距 离为29 滚动第15次对应31 数是5. 折叠后点A与-27 ①若以B为原点，则点A表示的数是 对应的点重合 ,点C表示的数是 解答：(1)因为在数轴上-1对应的点与5 ②若点A,C表示的两个数互为相反数， 则点B表示的数是 对应的点重合，)十5 2 =2,所以折叠点对应 (2)如图②，A,B为数轴上两点，点B表 的数是2.所以数轴上10对应的点与-6对 示的数是1，点A到点B的距离为2个单 应的点重合 位长度.一个动点从点A处出发，先向右 第1章有理数 移动5个单位长度，再向左移动4个单位 (3) 当a>06>0时，日+女-8 b 长度到达点C,求点C表示的数. (3)数a,b在数轴上对应的点的位置如 1+1=2:当0060时日+合-+ 图③所示，将a,b,一a,一b四个数按从 2=1-1=0:当a<0.6>0时日 -b 小到大的顺序排列. 十 b A B C A B ① ③ Ibl=a+=-1+1=0;当a<0,b<0 -a 0 a -b ③ 时，ab =-1-1=-2. b (第3题) 综上所述，a十b 的值为一2或0或2. 小结 a,a>0, 1.有理数a的绝对值性质：a= 0,a=0, a,a0. 考点四绝对值综合题 2.两个有理数相除，同号得正，异号得负， 典例4[2025阜阳太和段考]分类讨论是一 相等的两个数（非零）的商为1，两个非零相反数 种重要的数学方法，如在化简a|时，可以这 的商为-1. 样分类：当a>0时，a|=a;当a=0时， 对应练习 |a=0:当a<0时，a=-a.用这种方法 4.在解决数学问题的过程中，我们常用到 解决下列问题： “分类讨论”的数学思想，下面是运用分类 (1)当a=5时，求a的值 讨论的数学思想解决问题的过程， 【提出问题】 (2)当a=-2时，求的值。 两个不为0的有理数a,b满足a,b同号， (3)若有理数，6均不等于零，试求合十 求他他 的值 【解决问题】 b 解：由a,b同号且都不为0可知，a,b有 分析 两种可能：①若a,b都是正数，即a>0, (1)(2)根据a的正负去绝对值符号并计算 即可.(3)讨论a,b的正负，去绝对值符号并计 b>0,有a|=a及1b1=b,则a+ 算即可 -0+2=1十1=2：②若4，b都是 b 解芳：①)当a=5助，名-号L 负数，即a<0,b<0,有|a|=-a及 ②当a=-2时合2-1 5 数学（沪科版）七年级上 （-1)+(-1)=-2.综上所述， (2)(一3)*(1*2)与[（一3）*1]*2的值 2 不相等.理由：（一3)(1*2)=（一3） b的值为2或一2. (2×1×2-12)=(-3)(4-1)=(-3) 3=2×(-3)×3-(-3)2=-18-9=-27, 【探究问题】 [(-3)*1]*2=[2×(-3)X1-(-3)2] 请根据上面的解题思路解答下列问题： 2=(一6一9)×2=（一15）￥2=2× (1)已知a=3且|b|=7,且a<b,求 (-15)×2-(-15)2=-60-225=-285. a十b的值 所以（一3）(12)与[（一3）1]2的值 (2)两个不为0的有理数a,b满足a,b 不相等 异号.求g )的值 b 小结 1.解决新定义运算问题的核心方法：“照猫 画虎”，严格按定义转化，将新运算转化为熟悉的 有理数运算.注意事项： (1)明确新运算中a,b的对应位置，避免代 入错误； (2)遵循有理数混合运算顺序，有括号先算 括号内的。 2.新定义运算不一定满足结合律、交换律， 不能随意改变运算顺序， 3.理解“新定义”型问题的两个关键点：一 考点五有理数的新定义问题 要掌握问题原型的特，点，理解新运算的规则和本 质；二要根据问题情境的变化，通过认真思考，合 典例5[2025合肥庐阳段考]若定义一种新 理进行方法迁移，将陌生问题转化为熟悉的旧知 的运算“*”，规定有理数a,b:a*b=2ab 识解决， a2.例如：1*3=2×1×3一1=5. 对应练习 (1)求2(-7)的值 5.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为 (2)试判断（一3）*(1*2)与[（一3）*1]*2 奇数时，F(n)=3m十1；②当n为偶数时， 的值是否相等，并说明理由， 分析 Fa)-是[其中为是使Fm)为奇数的正整 (1)取a=2,b=一7，代入给定的新运算 数].两种运算交替重复进行，例如，取 ab=2ab一a2后，按有理数的混合运算规则 F② F① 计算.(2)根据“先算括号内，再算括号外”的运 n=24,则24 3 第1次 第2次 算顺序，分别计算两个式子的值，再判断是否 相等 F② 10 …若n=13,则第 第3次 解答：(1)原式=2×2×(-7)-22=一28 2025次“F”运算的结果是 4=-32. A.1 B.4 C.2018D.2025 6 第1章有理数 考点六有理数的规律探究题 (3)因为1+2十3十…十8= 1x2 典例6[2025亳州期中改编]我们知道，高 1 斯在小时候通过巧妙方法计算出了1十2十 2X3 9X10/m,所以8X(1+8) 2 3十4十…十100的结果，而裂项相消法是另 1- 111+11 一种常用的求和技巧 1 1 2T23 9 10m.所以36 如1X21 2 (1-m即368m,解得m=0, 2X3一23求和时可抵消中间项请结 111 小结 解这类题目时，一般先从特殊问题入手，仔 合两种思路，完成下列问题， 细观察这些特殊问题的共性，然后进行合理猜 (1)基础求和，巩固高斯求和法： 想，最后进行验证，进而得出结论.形如n(m十a 1 直接用高斯求和法“（首项十末项）×项数÷ 2”的方法计算：1十2十3十4十十20. 的分数，可以拆成(1一1) 的形式，从而将 (2)变式求和，运用裂项相消法： 一项拆分成两项，通过消去某些项达到简化计算 计算2广2十3X4寸 1 1 2026×2027 的目的. 的值. 对应练习 (3)综合应用，关联计算： 6.观察：1 22×1-3-名x4 11、3 323X31 已知等式(1十2+3+…十8) 1X2 13、5 1 42=4X4… 1 2×3 十… 9X1om成立，求m的值。 (1)填空：1 分析 n2 (1)直接用高斯求和法计算求出结果. 2)计算1》×13)×1)×…x (2)先将每一项裂分为两个分数的差，再通过 抵消中间项的方法简化计算.(3)分别用高斯 求和法计算等式左边、裂项相消法计算等式右 20s 边，再求出m的值. 解答：(1)1+2+3+4+…+20 (1+20)×20_21×20 2 2 -210. +1+1 1 (②)1X2十2X33× 十… 2026×2027 1-1+11+11 1 1 2+23+3-4+…+20262027 12026 1-2027-2027 数学（沪科版）七年级上 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件：a1=0,a2=-|a1十1，a3=-a2十2，a4= 一a3十3，a5=一a4十4，…依此类推，则a22s等于 () A.-1012 B.-1013 C.-2024 D.-2025 2.对于有理数a,b,n,d,若a一n十|b一n=d,则称a和b关于n的“相对关系值”为d. 例如：2一1十3一1=3，则2和3关于1的“相对关系值”为3. (1)2和一5关于2的“相对关系值”为 (2)若m和n关于2的“相对关系值”为2，则m十n的最大值为 3.[2025合肥瑶海期中]在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A 向左移动4个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动8个单位长度到达点A2,第 三次将点A2向左移动12个单位长度到达点A3,按照这种规律移动下去，第n次移动到 点A· (1)当n=6时，点A；对应的数为 (2)如果点Am与原点的距离等于2026，那么1的值是 4.某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出质量/吨 -3 4 -1 2 -5 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品的费用为500元，运出每吨冷冻食品的费用为800元. 方案二：运进或运出每吨冷冻食品的费用都是600元 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 8附：答案与解析 第1章有理数 高频考点突破 01)-.(2)原式的倒数-（号-品+}-号） (←-)-（号-品+}-号）×(-36)=-8+21-9叶 24=28.所以原式0 2(1)+5;-6.因为第三天行驶了45km,第六天行驶 了34km,所以第三天处记录的数为45-40=+5，第六天 处记录的数为34-40=一6.(2)由题意，得一6+2十5 3+8-6+7=2+5+8+7一6-3-6=22-15=7(km), 40×7+7=280+7=287(km),287×0.2×0.5= 28.7(元)，所以王老师这7天开新能源汽车的电费为 28.7元.(3)350-350×20%=350-70=280(km), 280<287,所以行车电脑会发出充电提示。 ③(1)①一2；3.由题意，得点A,B之间的距离为2，点 B,C之间的距离为5一2=3，所以若以B为原点，则点A 表示的数是-2，点C表示的数是3。@-分 (2)因 为点B表示的数是1，点A到点B的距离为2个单位长 度，所以点A表示的数是一1.因为一个动点从点A处出 发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到 达点C,所以点C表示的数是一1+5一4=0.(3)由题 意，可得b<0<a,且|b|>a,所以-a>b,-b>a.所以 b<-a<a<-b. ④(1)因为la|=3且b|=7,所以a=±3，b=±7.因为 a<b,所以b=7,a=±3.所以a十b=10或4.(2)由题 意可知，a>0,b<0或a<0,b>0.当a>0,b<0时， 83(g-）=3(g-2）)=3×1+1)=6:当a<0, 6>0时.a(g)=3×(后2)=-综上所述， 3(日-公)的值为6或-6 ⑤B第1次“F”运算为3×13+1=40，第2次“F”运算 为碧-5，第3次F运算为3X5+1=16,第1次F运算 为日-1，第5次F运算为1X3十1=4，第6次F”运算 为量=1…发现规律：从第4次开始，结果就只是1,4两 个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1：次数是奇数 时，结果是4，而2025是奇数，所以第2025次“F”运算的 结果是4. 0"1,t.2原式=(1-)×(+)× (-号）×1+)×…×-2品)×(+) 、2014、20161008 201520152015 [综合素养提升] ①A因为a1=0,所以a2=-|0十1=-1，a3=-|-1+ 2|=-1,a1=-|-1+3|=-2,a5=-|-2+4|= 一2…所以a2m+1=a2n=一n(n为正整数).所以当2n十 1=2025时，n=1012.所以a2025=一1012. 2(1)7由题意，得|2-21+|-5-2|=0+7=7. (2)6由题意，得m-2+|n-2=2,易知当m,n都大 于2时，m十n取得最大值，为2十2+2=6. ③(1)14点A,对应的数为-2，点A2对应的数为6，点 A3对应的数为一6，点A1对应的数为10…依此类推，当 n为奇数时，A,=一2n;当n为偶数时，Am=21十2，所以 当n=6时，A6对应的数为2×6+2=14.(2)1012或 1013当n为奇数时，A,=一21，因为点A.与原点的距 离等于2026，所以|-2n|=2026,所以n=1013;当n为 偶数时，Am=21十2，因为点Am与原点的距离等于2026， 所以川21十2|=2026，所以n=1012.综上所述，n的值为 1013或1012. ④(1)根据题意，得(-3)×2+4×1+(-1)×3+2×3+ (一5)×2=一9（吨），所以这天冷库的冷冻食品比原来减少 了.(2)方案一：1(-3)×2+(-1)×3+(-5)×2|× 800+(4×1+2×3)×500=20200(元)：方案二：[1(-3)× 2+(-1)×3+(-5)×2|+4×1+2×3]×600= 17400(元)，因为17400<20200，所以选择方案二比较合适. 第2章 整式及其加减 高频考点突破] 0B原每台售价为m元，打9折后为品m元，再让利 n元，现在每台的售价为（品m-)元 2-贺6 ③一2由题意可知，最高次项指数k|=2,所以k=2或 k=一2.又因为2一k≠0，所以k≠2.所以k=一2. ④D输入a=一1，b=2,则将其代人(a一b)2,得(a一 b)2=(-1-2)2=9. ⑤15摆第1个图案要用火柴棒的根数为3；摆第2个图 案要用火柴棒的根数为5=3十2=1+2×2；摆第3个图案 要用火柴棒的根数为7=3十2十2=1十3×2…则摆第n个 41