4.5 角的比较与补(余)角-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第4章几何图形初步 4.5角的比较与补（余）角 第1课时角的比较与角平分线 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.分类讨论思想已知∠AOB=20°，∠AOC=80°，OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度 数是 () A.30° B.50 C.30°或40 D.30°或50° 2.如图，利用一副三角尺比较∠AOB与∠CPD的大小，两角顶点 均与三角尺的某一顶点重合.已知图中射线OB经过60°角的一 边，图中射线PC经过45°角的一边，则∠CPD ∠AOB (填“>”“<”或“=”). (第2题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.[2026安庆宿松期未]如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C E 落在点E处，BE交AD于点F,再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G 处.若DG刚好平分∠ADB,则∠ADG的度数是 A.18 B.30 C.36° D.20° (第3题) 4.如图①是一副三角尺 (1)借助三角尺，画出120°，135的角 (2)如图②，爱动脑筋的小明将两个三角尺的直角顶点B重合放在桌面上，将三角尺BDE绕，点 B旋转，在旋转过程中，小明发现∠ABE与∠DBC的和不变，请问：这两个角的和是多少？ 30 45 (第4题) 5.如图，ON平分∠AOC,OM平分∠BOC. (1)若∠AOB=90°，∠AOC=40°，求∠MON的度数. (2)若∠AOB=90°，则∠MON= (第5题) ●“答案与解析”见D36 103 拔尖特训·数学（沪科版）七年级上 第2课时补角、余角 ☑一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.[2026合肥蜀山期末]如图，∠AOB是一个平角，∠1=∠2，∠3=∠4.有下列结论：①∠2和∠4 互余；②∠1和∠3互余；③∠2和∠BOD互补；④∠3和∠AOE互补.其中，正确的共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D B D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，点O在直线AB上，射线OC,OD在直线AB的同一侧（其中0°<∠AOC<90°，0°< ∠BOD<90°)，射线OE平分∠AOC,射线OF平分∠BOD.若∠EOD和∠COF互补，则下列 结论正确的是 () A.∠COD=60° B.∠COF=90° C.∠AOC=60° D.∠AOD=120 3.如图，在三角形ABC中，若∠ACB=90°，∠CDA=90°，∠A=(3m+15)°，∠BCD=(m+45)°， 则m= 4.易错题如图，直线AB,CD交于点O,∠1=∠2，∠3=∠4. (1)写出∠2和∠4的余角 (2)写出∠AOC和∠BOD的补角. (3)∠AOC和∠BOD相等吗？由此你能得出什么结论？ 4 0 (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.[2026六安霍邱期末]已知∠a和∠3互补，且∠a<∠3，有下列式子：①90°-∠a;②∠3-90°： ③（∠a十∠）；④（∠A-∠a.其中表示∠a的余角的共有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.已知∠1与∠2互为补角，∠2与∠3互为余角，∠1的比∠2小30°，则∠3的度数是（) A.85 B.55 C.35 D.5 104 第4章几何图形初步 7.[2026蚌埠蚌山期末]如图，∠AOB:∠BOC=1:2. (1)若∠AOC=66°，则∠AOB= (2)若∠AOC的余角比∠BOC小30°，过点O作射线OD,使得∠AOC=5∠AOD, 则∠COD= 0 C (第7题) 8.已知点A,O,B在同一条直线上，∠COD=90°，且射线OE平分∠AOD. (1)如图①，若∠BOD=70°，求∠AOC和∠COE的度数. (2)如图②，若∠0E=3∠A0C. ①方程思想求∠DOE的度数， ②图②中与∠AOE互余的角： ,图②中与∠BOE互补的角： 0 ② (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 9.若a一B=90°，且90°<a<180°，则称B是a的“差余角”.例如：若a=110°，则a的“差余角” B=20°. (1)如图①，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的平分线，∠COE是∠AOC的“差余角”，求 ∠BOE的度数 (2)如图②，点O在直线AB上，∠BOC是∠AOE的“差余角”，则∠BOC与∠BOE之间有怎样 的数量关系？ (3)已知点O在直线AB上，∠COE是∠AOC的“差余角”，且OE与OC在直线AB的同侧，则 ∠AOC∠B0C的值是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. ∠COE ① ② (第9题) ●“答案与解析”见D37 105 拔尖特训·数学（沪科版）七年级上 第3课时用尺规作角 ☑一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基金 1.如图，∠AOB=90°，∠AOC=56°，以点O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OB,OC于点 M,N,连接MN,再以，点N为圆心，MN长为半径画弧，交弧①于点D,画射线OD.∠COD的度 数为 ( ) A.22° B.32° C.34° D.56 B D G F A (第1题) (第2题) 2.如图，∠BAC=80°，∠CAD=20°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线AB,AD,AC 于点E,F,G,连接EF,以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点H,过点H作射线AM, 则∠BAM= 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.如图，∠AOB=a,以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D,连接CD,画射 线O'A',以点O为圆心，OC长为半径画弧交O'A'于点C',以点C'为圆心，CD长为半径依次 画弧，分别交前弧于点E,F,G,画射线OG,反向延长O'A',画出∠HO'G的平分线O'M,则 ∠MO'H的度数为 (用含α的代数式表示). H (第3题) 4.(1)现有一个19°的模板（如图），请你设计一种办法，只用这个模板和铅笔在纸上画出1的角. (2)现有一个17°的模板与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角？ (3)用一个21的模板与铅笔，你能否在纸上画出一个1的角？ 对(2)(3)两问，如果能，请简述画法步骤；如果不能，请说明理由. 119° (第4题) 106 >“答案与解析”见D383.7052'1653°40'30×2-72°57'28÷2=107°21′- 362844"=70°52'16」 4.(1)153°1942+26°4028=179°+59'+70=179°+ 60'+10=180°10.(2)90°3-57°21'44"=895963” 5721'44"=32°38'19.(3)3315'16"×5=165°+75'+ 80”=165°+76′+20=166°1620.(4)175°16'30- 4730÷6+4°12'50×3=175°16'30”-42°330′÷6+ 1236′150"=175°16'30"-7°55′+12°38'30"=18754'60" 755'=180. 5.D根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，设x分 钟后时针与分针第一次成90°角.根据题意，得6x一 0.5x=180,解得x≈33. 6.D当∠MON内有1条射线时，角的个数为1十2=3： 当∠MON内有2条射线时，角的个数为1+2+3=6；当 ∠MON内有3条射线时，角的个数为1+2+3+4= 10…所以当∠MON内有n条射线时，角的个数为1+ 2+3+…+(m+1D=n+1)(n+2 2 7.2”2°4845”第一次在题图①中画了一条线，将题图 ①等分成2份，第二次又加了两条线，将题图①等分成4= 22份，第三次又加了四条线，将题图①等分成8=2份，第 四次又加了八条线，将题图①等分成16=2份，第n(n> 1)次可将题图①等分成2份.当=5时，题图①中的每份 的角度是90X空=484. 8.(1)如图，点C即为所求.(2)因为∠COS=77°， 所以OS与正东方向的夹角为77°-45°=32°，则∠AOS= 20°+90°+32°=142°.(3)由(2)，得0S与正东方向的夹 角为32°.因为∠DOS=85°，所以OD与正东方向的夹角 为85°+32°=117°.因为正东和正北的夹角为90°，所以OD 与正北方向的夹角为117°一90°=27°.所以小影家D在早 餐店的北偏西27的方向上. 北 D 学校S 0 东 南 C (第8题) 9.(1)120.(2)如图所示.120°；10°.(3)设上午8点 x分时出发，下午2点y分回到学校，则(12-1)×品× 30-8X30,解得x-4增，(12-1D×高×30-2X30 180,解得y一曾所以他们去步行街进行公益限务共用 了6小时 (第9题) 4.5角的比较与补（余）角 第1课时角的比较与角平分线 1.D因为OD平分∠AOB,∠AOB=20°，所以∠AOD= 号∠A0B=10.因为OM平分∠A0C.∠A0C=80,所 以∠AOM-2∠A0C=40°.当射线OB和射线0C在射 线OA的同侧时，∠MOD=40°一10°=30°；当射线OB和 射线OC在射线OA的异侧时，∠MOD=40°+10°=50°. 所以∠MOD的度数是30°或50°. 2.<由题图①可知，60°角在∠AOB内，即∠AOB>60°： 由题图②可知，45°角在∠CPD外，即∠CPD<45°，所以 ∠CPD<45<60°<∠AOB.所以∠CPD<∠AOB. 3.A由折叠可知，∠BDC=∠BDE,∠EDF=∠GDF. 因为DG平分∠ADB,所以∠BDG=∠GDF.所以 ∠EDF=∠BDG.所以∠BDE=∠EDF+∠GDF+ ∠BDG=3∠GDF.所以∠BDC=∠BDE=3∠GDF, ∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF.因为∠BDC+ ∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF,所以 ∠GDF=18°，即∠ADG=18°. 4.(1)如图所示.(2)因为∠ABE+∠DBC=360°- ∠ABC-∠DBE,∠ABC=∠DBE=9O°，所以∠ABE+ ∠DBC=180. 120 7135 (第4题) 5.(1)因为∠AOB=90°，∠AOC=40°，所以∠BOC= ∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°.因为ON平分∠AOC, OM平分∠B0C,所以∠COM=号∠B0C=号×130°= 65,∠C0N=2∠A0C-号×40=20.所以∠M0N- ∠C0M-∠C0N=65°-20°=45°.(2)45°.因为 ∠AOB=90°，所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+ ∠AOC.因为ON平分∠AOC,OM平分∠BOC,所以 ∠COM= 3∠B0C=45°+号∠A0C,∠C0N- 3∠0C,所以∠0N-∠00M-∠c0N=46+ 36 3∠A0c-2∠A0c=45. 第2课时补角、余角 1.D因为∠AOB是一个平角，∠1=∠2，∠3=∠4，所 以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即2∠2+2∠4=180°， 2∠1+2∠3=180°.所以∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°.故 ①②正确.因为∠1+∠B0D=180°，∠1=∠2，所以∠2+ ∠B0D=180°.故③正确.因为∠4+∠AOE=180°，∠3= ∠4，所以∠3十∠AOE=180°.故④正确.综上所述，正确的 有①②③④，共4个. 2.A因为∠EOD和∠COF互补，所以∠EOD+ ∠COF=180°.所以∠EOF+∠COD=180°.因为 ∠EOF+∠AOE+∠BOF=180°，所以∠COD= ∠AOE+∠BOF.因为射线OE平分∠AOC,射线OF平 分∠BOD,所以∠AOE=∠COE,∠BOF=∠DOF.所 以∠COE+∠DOF=∠COD,则∠COD=180°：3=60°. 3.15因为∠ACB=90°，∠CDA=90°，所以∠ACD+ ∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°.所以∠BCD=∠A,则 3m+15=m+45,解得m=15. 4.(1)因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠2+∠3+ ∠4=2（∠1+∠4）=2（∠2+∠3）=180°.所以∠2+∠3= ∠1+∠4=90°.所以∠2+∠3=∠2+∠4=90°，∠2+ ∠4=∠1+∠4=90°.所以∠2的余角为∠3和∠4，∠4的 余角为∠1和∠2.(2)因为∠AOC+∠BOC=∠AOC+ ∠AOD=180°，所以∠AOC的补角为∠BOC和∠AOD. 因为∠BOD+∠BC=∠BOD+∠AOD=180°，所以 ∠BOD的补角为∠AOD和∠BOC.(3)∠AOC和 ∠BOD相等.结论：同角的补角相等， 易错警示 对互余、互补的角的概念理解有误导致漏解 不要认为互余或互补的角一定是相邻的角.互余或 互补是两个角的数量关系，而非位置关系 5.B∠a的余角为90°一∠a,故①正确.因为∠a和∠3 互补，所以∠a十∠3=180°，则∠a=180°-∠3，∠p= 180°-∠a.∠a的余角为90°-∠a=90°-(180°-∠3)= ∠B-90°，故②正确.所以∠a的余角为90°一∠a三 2(∠a+∠)-∠a=2(∠B-∠a).故④正确.因为∠a 和∠3互补，且∠a<∠R,所以？（∠a十∠9）=90，不是 ∠α的余角，故③错误.综上所述，表示∠a的余角的共有 3个 6.C因为∠1与∠2互为补角，所以∠1+∠2=180①. 因为∠2与∠3互为余角，所以∠2+∠3=90②.因为∠1 的5比∠2小30，所以5∠1=∠2-30所以∠1= D 5∠2-150°.将∠1=5∠2-150°代入①，可得5∠2- 150°+∠2=180°，解得∠2=55°.将∠2=55°代入②，可得 55°+∠3=90°，解得∠3=35. 7.(1)22°因为∠AOB：∠B0C=1:2,∠AOC=66°， 所以∠AOB=3∠A0C=22°.(2)57.6或86.4° 因为∠AOC的余角比∠BOC小30°，所以90°-∠AOC+ 30°=∠BOC.因为∠AOB:∠BOC=1:2,所以∠BOC= 号∠A0c.所以90-∠a0c+0-号 ∠A0C.所以 ∠AOC=72°.因为∠AOC=5∠AOD,所以∠AOD= 14.4°.当OD在∠AOC的内部时，∠COD=∠AOC ∠AOD=57.6°；当OD在∠AOC的外部时，∠COD= ∠AOC+∠AOD=86.4. 8.(1)因为点A,O,B在同一条直线上，∠BOD=70°， ∠COD=90°，所以∠AOD=180°-∠BOD=110°， ∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=20°.因为OE平分 ∠A0D,所以∠A0E=号∠A0D=5.所以∠COE ∠AOE-∠AOC=55°-20°=35°.(2)①设∠DOE= x.因为OE平分∠AOD,所以∠AOD=2x.因为∠DOE= 号∠A0C.所以∠A0C=3x.因为∠00D=90,所以 ∠AOD+∠AOC=90°，即2x+3x=90°.所以x=18°. 所以∠DOE=18°.②∠COE;∠AOE,∠DOE.由①可 知，∠DOE=∠AOE=18°，∠AO℃=3×18°=54°，所以 ∠COE=∠AOE+∠AOC=72°.因为18°+72°=90°，所 以与∠AOE互余的角为∠COE.因为点A,O,B在同一条 直线上，所以∠BOE+∠AOE=180°.因为∠DOE= ∠AOE,所以与∠BOE互补的角为∠AOE,∠DOE. 9.(1)因为射线OE是∠BOC的平分线，所以∠COE= ∠OE=号∠BOC.因为∠C0E是∠A0C的“差余角”， 所以∠A0C-∠COE=∠A0C-∠B0C=90.又因 为∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOC=180°-∠BOC. 所以180°-∠B0C-2∠B0C=90.所以∠B0C=60. 所以∠B0E=7×60°=30.(2)因为∠B0C是∠A0E 的“差余角”，所以∠AOE-∠BOC=90°.又因为∠AOE+ ∠BOE=180°，所以∠AOE=180°-∠BOE.所以180°- ∠BOE一∠BO℃=90°.所以∠BO℃+∠BOE=90°. (3)是定值.分两种情况讨论：①如图①，因为∠COE是 ∠AOC的“差余角”，所以∠AOC-∠COE=∠AOE= 90°.所以∠AOC=90°+∠CE,∠B0C=90°-∠COE. 37 所以∠A0C<B0C-90+∠C0E90+∠C0E=2. ∠COE ∠COE ②如图②，因为∠COE是∠AOC的“差余角”，所以∠AC ∠COE=90°.所以∠AO℃=90°+∠COE.又因为∠BO℃= 180°-∠A0C=180°-(90°+∠C0E)=90°-∠COE,所以 ∠A0C-∠B0C_90+∠C0E90+∠C0E=2.综上 ∠COE ∠COE 所述，∠AOCB0C的值是定值，为2. ∠COE 公 40 B 0 ① ② (第9题) 第3课时用尺规作角 1.C因为∠AOB=90°，∠AOC=56°，所以∠BOC= ∠AOB-∠AOC=34°.由作图可知，∠COD=∠BOC= 34° 2.140°由尺规作图可知，∠HAG=∠EAF.因为 ∠BAC=80°，∠CAD=20°，所以∠BAD=∠BAC ∠CAD=80°-20°=60°，即∠EAF=60°.所以∠HAG= ∠EAF=60°.所以∠BAM=∠LAG十∠BAC=60°+ 80°=140°. 3.90-弓a由题意可知，∠A'0G=3乙0B=2a, 所以∠H0'G=180°-3a.因为OM为∠HOG的平分 线，所以∠M0H=号∠H0G=号(180-3a)=90 2a. 4.(1)在平面上取一点O,过点O画一条直线AB(点A, B在点O的两边)，以19°模板顶点与，点O重合，一边与射 线OB重合，另一边落在射线OB,上，仍以O为顶点，角的 一边重合于OB1,另一边落在射线OB2上，这样作出19个 19°的角，其总和为361°，∠B0OB就是1°的角.(2)能. 利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和 n,使得17×m-180×n=1.易知17×53-180×5=901- 900=1,所以作法如下：在平面上任取一点O,过点O画出 直线AB(点A,B在点O的两边)，以OB为始边，O为顶 点，逆时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为 OB3,而5×180°的终边在射线OA上，这时∠AOB3即 为1的角.(3)不能.理由：若用21°的模板可以画出1°的 角，则存在整数m,n,使得21×m一180×n=1,此时我们 发现，这样的m,不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不 能画出1的角. D 专题特训九与角平分线有关的计算 1.(1)因为∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=46°，所以 ∠B0C=180°-∠AOC=180°-46°=134°.因为OE平分 ∠B0C,所以∠C0E=7∠B0C-7×134=67.所以 ∠DOE=∠COD-∠COE=90°-67°=23. (2)∠D0BE=7a.理由：因为∠A0c=a,∠A0c+ ∠B0C=180°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-a. 因为OE平分∠BOC,所以∠COE=2∠BOC= 1 1 (180°-a)=90°-2a.所以∠D0E=∠C0D- ∠c0E=90-(0-2)-.(3)因为∠A0c+ ∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-∠AOC.因为OE平分 ∠0C.所以∠C0E=7∠B0C-号(180°-∠A0C) 90°-2∠A0c.所以∠0E=∠00D-∠00E=90°- (90°-号∠A0c)=2∠A0C.即∠A0C=2∠0E. 2.(1)因为∠COD=90°，∠DOE=21°，所以∠COE= ∠COD-∠DOE=69°.因为OE平分∠BOC,所以 ∠BOC=2∠COE=138°.因为点A,O,B在同一条直线 上，所以∠AOC=180°-∠BOC=42°.(2)∠AOC= 2∠DOE.理由：因为∠COD=90°，所以∠COE=90°一 ∠DOE.因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠COE= 2(90°-∠DOE)=180°-2∠DOE.因为点A,O,B在同一 条直线上，所以∠AO℃=180°-∠BOC=180°-(180° 2∠DOE)=2∠DOE.(3)∠AOC+2∠DOE=360°. 理由：设∠BOE=a.因为OE平分∠BOC,所以∠COE= ∠BOE=a,∠BOC=2∠BOE=2a.因为点A,O,B在同 一条直线上，所以∠AOC=180°-∠B0C=180°-2a.因 为∠COD=90°，所以∠DOE=∠COD+∠COE=90°+a. 所以2∠DOE=180°+2a.所以∠AO℃+2∠DOE=180° 2a+180°+2a=360°. 3.(1)因为∠AOB是直角，∠BOC=60°，所以∠AOC= ∠AOB+∠B0C=90°+60°=150°.因为OE平分∠AOC, 0F平分∠0C.所以∠B0C=号∠A0C=号×150 75,∠C0F=2∠B0C=号×60°=30.所以∠0F= ∠E0C-∠COF=75°-30°=45°.(2)设∠COF=x, ∠EOB=y.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所 以∠BOF=x,∠AOE=∠EOC=2x+y.所以∠EOF= 38