第四章 1 第2课时 比较线段的长短-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第2课时 比较线段的长短 ☑一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025晋中寿阳期末]如图所示为某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷 铅球最好的成绩是 () A.OF的长 B.OE的长 C.OD的长 D.OC的长 E (第1题) (第3题) (第4题) 2.[2025贵阳乌当期末]已知A,B,C三点在同一条直线上，如果线段AB=4cm,BC=1cm,那么 A,C两点间的距离为 () A.5 cm B.3 cm C.5cm或3cm D.4cm 3.如图，围绕在正方形四周的四条线段a,b,c,d中，长度最长的是 4.[2025盐城东台期末]如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在 (填“D”“E”或“F”)处可使所用管道最短，理由是 5.如图，A,B,C三棵树在同一条直线上，若小明正好站在线段AC的中点Q处，BC=2BQ. (1)填空：AQ= AC,AQ-BC= (2)若BQ=3米，求AC的长. (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.新考向探究题如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线AM:②在射线AM上顺 次截取AC=CD=a;③在射线DM上截取DE=b;④在线段EA上截取EB=c,发现点B在 线段CD上.由操作可知，线段AB的长为 () A.a十b-c B.a+b+c C.2a+b+c D.2a+b-c A C BD E A D C E B (第6题) (第7题) 7[2025温州鹿拔期木灯如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，BE-AB.设CE=m, DE=,当线段AB的长发生变化时，下列代数式的值不变的是 () A.5m-2n B.5m+2n C.2m-n D.2m+n 66 第四章基本平面图形 8.可新定义题如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB,AC和BC.若其中有一条线 段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段AB的“巧点” (1)一条线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）. (2)如图②，若AB=12cm,C是线段AB的“巧点”，则AC= cm. BA ① ② (第8题) 9.如图，有线段a,b,c,用尺规作线段AB=a+b一c.(不写作法，保留作图痕迹) (第9题) 10.如图，A,B,C,D四点在同一条直线上. (1)若AB=CD, ①比较线段的长短：AC BD(填“>”“<”或“=”). ②若BC-是4AC,且AC-12m,则线段AD的长为 cm. (2)若AB:BC:CD=3:4:5,且线段AB的中点M和线段CD的中点N之间的距离是 16cm,求线段AD的长. C D (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.分类论思想如图，在同一平面内，A,B是直线L上的两点，AB=12,C是射线AM上的点， AC=16,P是平面上一点，BP=3AP. (1)若点P在直线AB上，G是BP的中点，求AG的长， (2)判断3PC+BP是否存在最小值.若不存在，请说明理由；若存在，求出3PC十BP的最 小值. (第11题) ●“答案与解析”见D25 67线，时线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸， 线段不能延伸，所以能相交的是a与c. 8.B因为线段PQ与线段AB有公共点，所以点Q所落 的区域是②. 9.①②③④⑤经过两点有且只有一条直线，所以两点确 定一条直线的是①②③④⑤. 10.190由题意，可得出规律：n条直线两两相交最多有 n。1D个交点.所以20条直线两两相交最多有190个 2 交点. 方法归纳 两个要素确定一个基本图形问题的通用结论 因为两点确定一条直线，两点确定一条线段，两条 直线相交有一个交点…所以在数学本质上，它们可以 转化为一类问题，即每两个要素确定一个基本图形（或 一个组合)的问题.解决这类问题的通用结论：若有”个 要素，则最多组成的基本图形（或组合）的个数为 n。一1》.在实际生活中，有许多问题可转化为这种类型 2 的问题，如每两人握一次手的握手次数问题，每两支球 队打一场比赛的比赛场次问题，每两个站，点间一种票价 的票价问题等 11.(1)如图①所示.(2)如图①所示.(3)如图② 所示 ① (第11题) 12.(1)以A为其中一个端点的线段有线段AC,AD,AB, 以B为其中一个端点的线段有BA,BC,BD,以C为其中 一个端点的线段有线段CD,CB,CA,以D为其中一个端 点的线段有线段DB,DA,DC,因为线段AC和线段CA是 同一条线段，线段AD和线段DA是同一条线段，线段AB 和线段BA是同一条线段，线段BC和线段CB是同一条线 段，线段BD和线段DB是同一条线段，线段CD和线段 DC是同一条线段，所以共有3+2+1=6（条）线段. (2)设该线段上共有x条线段，则x=(m一1)十(m一2)+ 0m一3)+…十3十2+1，所以x=mm,一1D.所以该线段上 2 共有m0一1条线段.(3)把八名同学看成直线上的 2 8个点，每两名同学之间的一场比赛看成一条线段，直线上 8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，所以一共要 进行8X(8-)=28(场)比赛 2 第2课时比较线段的长短 1.A连接OD,OF,OC,OE,易知OF>OE>OD>OC, 所以该同学投掷铅球最好的成绩是OF的长. 2.C分两种情况：①如图①，当点C在点B的左侧时，因 为AB=4cm,BC=1cm,所以AC=AB-BC=4-1= 3(cm).②如图②，当点C在点B的右侧时，因为AB= 4cm,BC=1cm,所以AC=AB+BC=4十1=5(cm).综 上所述，A,C两点间的距离为5cm或3cm. ① A ② (第2题) 3.d根据题图可知，c的长度等于正方形的边长，b的长 度小于正方形的边长，a,d的长度大于正方形的边长，再 将a与d比较得出最长的是d. 4.E两点之间的所有连线中，线段最短如图，连接 AB.根据两，点之间的所有连线中，线段最短，水泵站应修建 在E处可使所用管道最短. B村 D A村 (第4题) 5(1D0:号：0.(2)因为5Q=3米，BC=2BQ,所以 BC=2BQ=6米.所以CQ=BC+BQ=6+3=9(米).因 为Q是AC的中点，所以AQ=CQ=9米.所以AC=AQH CQ=9+9=18(米).所以AC的长是18米 6.D AB=AC+CD+DE-EB=a+a+b-c=2a+b-c. 7.A由题知，令AB=6x.因为C是线段AB的中点，所 以AC=BC=3x.因为D是线段AC的中点，所以AD= CD=号因为BE=号AB.所以BE=2x,所以CE BC-BE=x,所以DE=-CD+CE-号x+x= 2x.因为 5 CE=m,DE=u,所以m=x,n=2x,则5m-2n=5x一 .5 2X号r=0,5m+2m=5t+2X7x=10z,2m-n=2.x7 5 1 ，222—之2之—之 ?2.显然只有选项A 符合题意 25 8.(1)是因为点C在线段AB上，C为线段AB的中点， 所以AB=2AC.所以C是线段AB的“巧点”.(2)4或6 或8因为AB=12cm,C是线段AB的“巧点”，所以若点 C在中点的左边，则AC=12×号=4(cm):若点C在中点 上，则AC=12×号=6(cm:若点C在中点的右边，则 AC=12X号-8cm,综上所运，AC的长为4cm或6em 或8cm. 9.如图，线段AB即为所求作. AB C D P (第9题) 10.(1)①=.因为AB=CD,所以AB+BC=CD+ BC,即AC=BD.②15.因为BC=子AC,且AC 12cm,所以BC=是X12=9(cm所以AB=CD=AC BC=12-9=3(cm).所以AD=AC+CD=12+3= 15(cm.(2)根据题意，设AB=3xcm,则BC=4xcm, CD=5xcm,AD=12xcm.因为M是线段AB的中点，N 是线段CD的中点，所以AM=M=号xcm,CN=DN= xcm.又因为MN=16cm,所以号x+4r+号x=16,所 5 以x=2.所以AD=12×2=24(cm).所以线段AD的长为 24cm. 11.(1)设AP=x,则BP=3x.点P在直线AB上，分两 种情况讨论：①点P在线段AB上，此时AB=AP+PB, 即12=x+3x.所以x=3.所以AP=3,BP=9.因为G是 BP的中点，所以BG=专BP=45.所以AG=AB-BG 12一4.5=7.5.②点P在点A的左侧，此时BP=BA+ AP,即3x=12十x.所以x=6.所以AP=6,BP=18.因 为G是BP的中点，所以PG=2BP=9.所以AG=PG AP=9一6=3.故AG的长为7.5或3.(2)存在最小值. 因为BP=3AP,所以3PC+BP=3PC+3AP=3(PC+ AP).根据“两点之间线段最短”，当点P在线段AC上时， PC+AP取得最小值，最小值为AC的长，AC=16,所以 PC+AP的最小值为16.所以3PC+BP的最小值为3× 16=48. 专题特训五与线段上中点有关的计算 1.如图所示.因为AB=1厘米，AD=2厘米，所以BD= D AD十AB=3厘米.因为O是线段BD的中点，所以OB= 2D=1.5厘米.所以0C=0B+bC=1.5+1.5=3(厘 米).所以线段OC的长为3厘米. (第1题) 2.(1)因为线段AB=20,BC=15,所以AC=AB一BC= 20一15=5.又因为M是线段AC的中点.所以AM= 号4C-号×5=号，即线段AM的长是受(2)图为 =15,CN:NB=2:3,所以CN=号0=号×15=6 又因为M是线段AC的中点，AC-5,所以MC-号AC 三所MN=A次+NC-号：即线段NN的长是号 3.因为AC:CD:DB=1:2:3,AB=24cm,所以AC= 4cm,CD=8cm,DB=12cm.因为M,N分别为线段AC, DB的中点，所以MC-号AC=2cm,DN=2DB=6cm 所以MN=MC+CD+DN=16cm.所以线段MN的长是 16 cm 4因为AC=15m,CB=号AC,所以CB=子×15= 9(cm).所以AB=AC+CB=15+9=24(cm).因为D,E 分别为线段AC.AB的中点，所以AD-号AC=号×15= 7.5(am,AE-2AB=7×21=12(m.所以DE=AE AD=12-7.5=4.5(cm).所以线段DE的长为4.5cm. 专题特训六线段上的动态问题 1.(1)设出发x秒后，PB=2AM.当点P在点B左边时， PA=2x,PB=14-2x,AM=x.由题意，得14-2x=2x, 所以x=3.5.当点P在点B右边时，PA=2x,PB=2x 14,AM=x.由题意得2x一14=2x,不存在x的值使等式 成立.综上所述，出发3.5秒后，PB=2AM.(2)由(1) 知，AM=x,BM=14一x,PB=14一2x,所以2BMBP= 2(14-x)-(14-2x)=14,即2BM-BP为定值.(3)由 (1)知，PA=2x,AM=PM=x,PB=2x-14,PN= PB=x-.结论①中，MN=PM-PN=x-(亿-7) 7,即线段MN的长是定值.所以结论①正确.结论②中， MA+PN=x+x-7=2x一7，即MA+PN的值变化.所 以结论②不正确.综上所述，结论①正确，其值为7. 26