临潭县第一中学2026-2027学年高二上学期数学期中模拟卷

临潭县第一中学2026-2027学年上学期期中模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 2．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 3．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 4．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，直线，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 7．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，，则（     ） A． B．为递增数列 C．为等比数列 D． 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 11．已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，，则的前13项和为______. 13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 14．已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（15分）已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， (1)若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 (2)求满足条件的点的轨迹方程． 17．（15分）已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 18．（17分）设数列满足 . (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和. 19．（17分）已知的三个顶点是，，. (1)求平分线所在直线的方程； (2)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； (3)求外接圆的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2026-2027学年上学期期中模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，所以，即， 因为，，所以，由等差中项可知， 所以. 2．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的基本量运算，结合等比中项求出公差与公比即得. 【详解】因数列的前10项依次成等差数列，设公差为，则，， 又因，且数列从第9项起依次成等比数列，则，即，解得或， 因数列各项均为整数，故，则， 则数列从第9项起的公比为，故，则. 3．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 4．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 5．已知直线，直线，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，，显然两直线平行， 因此由可以推出，充分性成立； 若，则，解得或1， 当时，，，此时两直线重合，舍去， 当时，，，此时两直线平行， 因此由可以推出，必要性成立；综上所述，“”是“”的充要条件． 6．已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以， 故以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 7．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， ∵、是圆的切线，∴，，即， ∴、、、四点共圆，的外接圆即为四边形的外接圆，该外接圆的直径为线段， ∵，圆心为，∴的中点坐标为，即，半径， ∴外接圆方程为. 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】观察数列，，，，可知第层的球数是前个正整数之和， 则，， ． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，，则（     ） A． B．为递增数列 C．为等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】本题通过四个选项，从特殊到一般、从定性到定量，全面考查了学生的数列的理解，选项A考查学生对递推公式的理解，选项B通过构造函数及裂项相消求数列的通项公式，并判断数列的单调性，选项C根据等比数列定义进行证明，选项D由通项公式求特定项. 【详解】，, 所以A正确. 两边同时除以可得 令则 所以数列单调递增, 所以B正确. ，不为常数，所以C错误. ，所以D正确. 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项；通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项；点与圆的位置关系可判断C选项；利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项. 【详解】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得.即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 11．已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【答案】BD 【分析】对于A，根据两直线平行的判定求出的值，进而代入验证两直线是否重合即可判断；对于B，根据两直线垂直的判定求出的值，进而即可判断；对于C，先将化为斜截式，再根据直线不经过第四象限即可得到关于的不等式组，进而求解即可判断；对于D，先得到直线关于原点对称后得到的直线方程，再根据纵截距的定义求出的值，进而即可判断． 【详解】对于A，若，则，即，解得，或， 当时，，，则，符合题意； 当时，，，则，符合题意， 所以或时的充要条件，不是必要不充分条件，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，将化为斜截式，得， 又不经过第四象限，则，解得，故C错误； 对于D，由直线：关于原点对称后得到的直线为， 则纵截距为，解得，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，，则的前13项和为______. 【答案】129 【分析】由可知，数列的前项和可以使用分组求和解决. 【详解】设数列的前项和为，那么 . 13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 【答案】 【详解】若，则由得，解得，不合题意； 若，则由得， 即，即，即，解得． 14．已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【分析】首先设与直线平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为，所以面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为．；；， 设等差数列的公差为，则，所以； （2）由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以，所以. 16．（15分）已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， (1)若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 (2)求满足条件的点的轨迹方程． 【答案】(1)（i）或. （ii）2 (2) 【详解】（1）将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，则，解得， 所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且， 由圆的性质可得，， 所以. （2）设，则，， 由圆的性质可得，所以， 所以，整理得，所以点的轨迹方程为. 17．（15分）已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 当时，：，：，即，此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意.综上所述，. （2）因为点在直线上，所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得，则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18．（17分）设数列满足 . (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)由题可知，两边同时除以得：，且， 故是以1为首项，2为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）结合等差数列的定义，利用构造法可证明数列为等差数列； （2）结合等比数列求和公式，利用分组求和及错位相减法可得. 【详解】（1）略. （2）由（1）易知， 前项和， 令， 故， 两式相减得， 则，所以. 19．（17分）已知的三个顶点是，，. (1)求平分线所在直线的方程； (2)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； (3)求外接圆的方程. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. 【详解】（1）因为，，.所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 所以平分线所在直线的方向向量为， 所以平分线的斜率为，所以平分线所在直线的方程为，即； （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或，即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； （3）设外接圆的方程为， 则，即，解得， 所以外接圆的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2026-2027学年上学期期中模拟卷 高二 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4=6,S6=18,则S,等于() A.2023 B.776 C.108 D.388 【答案】C 【详解】因为数列{a,}是等差数列，所以，S,=6a+a）=34+a,)=18,即4+a,=6, 2 因为a+a6=a+a4,a4=6,所以43=0，由等差中项可知a,=2a4-a3=12, 所以S,=9(a+a）=94,=9x12=108 2.己知数列{an}的各项均为整数，a。=-2,41=4,前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数 列，则42+a4=() A.13 B.19 C.26 D.32 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的基本量运算，结合等比中项求出公差与公比即得」 【详解】因数列{an}的前10项依次成等差数列，设公差为d,则a,=a,+3d=3d-2,ao=a,+4d=4d-2, 又因a:=4,且数列从第9项起依次成等比数列，则a=a,41,即(4d-2=43d-2),解得d-=1或d=3 4 因数列各项均为整数，故d=1,则42=a6-4d=-6,a,=a6+3d=1,ao=a。+4d=2, 则数列从第9项起的公比为9=40=2，故44=4,93=32，则4，+a4=-6+32=26 3.若经过A(-m,3),B(5,-m)两点的直线的倾斜角为45°，则m=（) A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】c 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】因为经过A(-m,3),B(5,-m)两点的直线的倾斜角为45 所以，k=3+m =tan45°=1，即3+m=-m-5,解得m=-4. -m-5 4。直线过点4〔亿，3)且领斜角为行则其点斜式方程为《) Ay-3=5x-2）By-3=5x+2)Cy-3=5x-2）D.y*3-+2到 【答案】C 【详解】因为直线的领斜角为爱，则其斜率友=如子-5 63 且直线过点A(2,3),所以其点斜式方程为y-3=5 (x-2) 5.已知直线l:x+(1+a)y=2-a,直线l2:2ax+4y=-16,则“a=1”是“ll2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】若a=1,则4：x+2y=1,☑2：2x+4y=-16,显然两直线平行， 因此由a=1可以推出2，充分性成立： 若l12,则1×4=1+a)×2a,解得a=-2或1， 当a=-2时，4：x-y=4,1:-4x+4y=-16,此时两直线重合，舍去， 当a=1时，1：x+2y=1,12:2x+4y=-16,此时两直线平行， 因此由∥l2可以推出a=1,必要性成立；综上所述，“a=1”是“l1l2”的充要条件. 6.已知两直线x-2y=0和x+y-6=0的交点为M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() A.（x+4)+(y+2)=1 B.(x-4)+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=1 D.(x-22+(0y-12=1 【答案】B x-2y=0 【详解】由 x=4 x+y-6=0N y=2'所以M(4,2), 得 故以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是(x-4)2+(y-2)}=1. 7.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,则△PAB外接圆的方程是() A.(x-2)}+(y-12-5 B.(x-12+(y-12-5 C.(x-2)2+(y-1)=10 D.(x-12+(y-1}=3 【答案】A 【详解】圆x2+y2=4的圆心为0(0,0)， PA、PB是圆的切线，OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°， ∴.O、A、B、P四点共圆，△PAB的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，该外接圆的直径为线段OP, .P(4,2),圆心为O(0,0),∴.OP的中点坐标为 0+40+2) 2’2 即(2,1)，半径 r=or-24-09+2-0-220=5, ∴.外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5 8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为三角垛”“三角垛”的最 上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列{an}: 1,11, 1 a1=1,a2=3,43=6,a4=10,…,则一+一+一+…+一的值为() a az as 410 A. 23 B.2 c. 20 p. 30 11 11 【答案】C 【详解】观察数列a=1,a2=3,a=6,a4=10,可知第n层的球数是前n个正整数之和， a12a-g可公 名+女女…女-动品器 a az as 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{a,}满足a=2ma=(n+2)a,+l,则(） A.4=2 B.{an}为递增数列 an 109 为等比数列 (n+1)n D.a0= 2 【答案】ABD 【分析】本题通过四个选项，从特殊到一般、从定性到定量，全面考查了学生的数列的理解，选项A考查 学生对递推公式的理解，选项B通过构造函数及裂项相消求数列{an}的通项公式，并判断数列的单调性， 选项C根据等比数列定义进行证明，选项D由通项公式求特定项 【详解】a=7m=(u+2a,+1 5 1xa,=（1+2)a+l4=2所以A正确， :nan1=(n+2)an+l,两边同时除以n(n+1)(n+2),可得 an+ an 1 1 11 1 Dn+2ma+Da+Dn+2令b,aa+D则b6.a+Dm+22n+切）o+Da :.bn= 11 ,1nn+1)-1 42n(n+l)'42n(n+1) a,=mn+6,=m+-l-n2+n-1 2 2 :a4一a,-a+,+1-+n-=n+1>0所以数列a,}单调递增，所以B正确 2 2 a=n2+n-1 2 a1-a++n+l-172+3n+1 2 2； an+l (n+2)(n+1)n3+3n2+n an 示+3m+n-2不为常数，所以C销误 (n+1)n a=#tn-1 2 102+10-1109 .a10= 2 所以D正确 2 10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点2(-2,3)，则下列说法中正确的是() A.圆心C的坐标为(2,7) B.若点P代m,m+D在园C上，则直线PO的斜率为写 C.点Q在圆C内 D.若M是圆C上任一点，则Mg的取值范围为[2V2,6V2] 【答案】ABD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项：通过点P(m,m+1)代入圆的方程求得 m的值，进而由斜率公式可求P?的斜率并可判断B选项；点与圆的位置关系可判断C选项；利用圆心到 Q(-2,3)的距离可得Mg的取值范围并可判断D选项. 【详解】把C:x2+y2-4x-14y+45=0转化为标准方程(x-2)}+(y-7)2=8, 则C(2,7),r=2√2，如图所示，作出符合题意的图形， M M 对于A:圆心C的坐标为(2,7)，故A正确： 对于B:当点P(m,m+1)在圆C上，则有(m-2)2+(m+1-7)2=8, m-8m+16=0,解得m=4.即P4,),所以直线P巴的斜率为-故B 对于C:因为(-2-2)+(3-7)>8，所以点Q在圆C外，故C错误： 对于D:因为Cg=V(-2-2}+(3-7}=42,r=22, 所以4V2-2W2≤Mg≤4V2+2W2,即2√2≤Mg≤6V2,故D正确 11.已知l:mx+y+m+1=0,1:2x+(m-)y+1=0,则下列说法正确的是() A.1l2的必要不充分条件是m=2或-1 B.若l⊥l2,则m= 3 C.若直线l不经过第四象限，则m≥-1 D.若将直线l2关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则m=2 【答案】BD 【分析】对于A,根据两直线平行的判定求出m的值，进而代入验证两直线是否重合即可判断：对于B, 根据两直线垂直的判定求出m的值，进而即可判断：对于C,先将I化为斜截式，再根据直线不经过第四 象限即可得到关于m的不等式组，进而求解即可判断：对于D,先得到直线，关于原点对称后得到的直线 方程，再根据纵截距的定义求出m的值，进而即可判断。 【详解】对于A,若4亿2，则m(m-1)-2×1=0,即m2-m-2=(m-2)(m+1)=0,解得m=2,或m=-1, 当m=2时，4：2x+y+3=0,2:2x+y+1=0,则l1∥l2,符合题意： 当m=1时.y=0,6x-y+分0，则，符合题意， 所以m=2或-1时2的充要条件，不是必要不充分条件，故A错误： 对于B,若1，则2m+1xm-)=0,解得m=写故B正确： 对于C,将化为斜截式，得y=-mx-(m+1), -(m+D≥0'解得m≤-1，故c错误： -m≥0 又不经过第四象限，则 对于D,由直线l2:2x+(m-1)y+1=0关于原点对称后得到的直线为2x+(m-1)y-1=0, 则纵截距为 ,=1,解得m=2,故D正确。 m-1 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列{an}满足a3=21,an+an1=3nn∈N),则{an}的前13项和为 【答案】129 【分析】由an+an=3n(n∈N)可知，数列{an}的前n项和可以使用分组求和解决 【详解】设数列{an}的前n项和为Sn,那么 S3=(a+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a,+as)+(a,+ao)+(a1+a2)+a3 =3+3×3+3×5+3×7+3×9+3×11+21=129 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=9S3,则{an}的公比为 【答案】 【详解】若q=1,则由8S。=9S3得8.6a1=93a,解得4=0，不合题意； 若9≠1，则由8，=9S,得8a-9）=9.a-9） 1-q 1-q 即8-g）=90-)即80+分0-）=9-)即1+g-名解得g=号 14.已知P为圆(x+1)2+y2=1上任意一点，A,B为直线1：3x+4y-12=0上的两个动点，且AB=4, 则△PAB面积的最大值为一 【答案】8 【分析】首先设与直线1：3x+4y-12=0平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可 求最值， 【详解】设与直线1平行的直线m:3x+4y-m=0,m≠12， -3-m 当直线m与圆(x+1)2+y2=1相切时，圆心(-1,0)到直线的距离为 V32+42 =1,解得：m=2或m=-8, 所以两条切线为m:3x+4y-2=0和3x+4y+8=0, 如图，两条切线中，直线3x+4y+8=0到直线3x+4y-12=0的距离最远， 3x+4y-12=0 3x+4y+8=0 3x+4>-2=0 -12-8 此时切点到直线的距离最远， 最远距离为了+ =4,所以aP1B面积的最大值为2×4×4=8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+4=2an,等差数列{bn}满足b=7，,b+a=75. (1)求数列{an}和{b}的通项公式： (2)求数列{b,+(-1)a,}的前n项和Tn 【答案】(1)an=2m,bn=2n+1: (2T,=n2+2n+ 4-(-2)2 3 【分析】(1)由Sn+4=2an,Sm+4=2an-1相减即可得{an}是等比数列，进而求{an}的通项公式，再结合 条件b=7:b+a,=75及{bn}是等差数列求解即可： (2)分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】(1)由己知，当n=1时，S1+4=2a,即a+4=2a,.a=4. 当n≥2时，Sn+4=2an,.Sn1+4=2an1, 两式相减，得S,-Sn=2an-2an1,即an=2an-2an1,.an=2an-1(n≥2)， 由等比数列的定义知，数列{an}是首项a,=4,公比q=2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为a,=4×2-1=2.a,=64:b,=7;b,+a,=75→b=11, 设等差数列{，}的公差为d,则d=么，么=2，所以b,=6+a-3)d=2n+1: 2 (2)由已知Tn=b+a,+b2-a,+bh,-a,++bn+(-)an, 所以Tn=h+b2+b+…+bn+a-a2+a,-a4+…+(-l)an, 由（4)6+h+…+h.=3+5++(2m+)-3+2n+2-7+2n, 因为(-)an=（-1)121=(（-2), 4-a+a-a++(-0”g=(-2+(-2++-2”.4(2y 1-(-2) 所以4-4+4-a,++(1r”44-(2,所以z=+2n+4-( 3 3 16.(15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线， 设切点为M,N (1)若点P运动到(1,3)处 (i)求此时切线的方程 (ii)求四边形PMCN的面积 (2)求满足条件PM PNPOP的点P的轨迹方程. 【答案】(1)(i)x=1或3x+4y-15=0. (i)2 (2)2x-4y+1=0 【详解】(1)将圆C:x2+y2+2x-4y+1=0化成标准方程为(x+1)2+(y-2)=4, 所以圆心为C(-1,2),半径r=2, ()当过点P切线的斜率不存在时，此时方程为x=1,圆心C到直线x=1的距离为2=r,满足要求： 当切线的斜率存在时，设切线方程为y-3=k(x-),即：-y+3-k=0,则 -k-2+3- V1+k2 1=2,解得k=-3 4 所以切线方程为y-3=-(x-),即3x+4-15=0, 综上，满足条件的切线方程为x=1或3x+4y-15=0. (i)由(i)不妨设点M(1,2),又P(1,3),所以PM=1,且CM=2, 由圆的性质可得SPMC=SApC,PM⊥MC, 所以Swa=2S.e=2×2CMPM=2x1-=2 (2)设P(x,y),则|PM=PC-MC=(x+1)2+(y-2}2-4,Po=x2+y2, 由圆的性质可得PM=PN,所以PMPW=PM=Po, 所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理得2x-4y+1=0,所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0 17.(15分)已知直线：(m+2)x+my-8=0与直线l2:mx+y-4=0,m∈R (1)若lWl2,求m的值： (2)若点P(1,m)在直线l2上，直线l过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线1的方程 【答案】(1)m=-1 (2)x-y+1=0或2x-y=0 【分析】(1)由2可得(m+2)1-m2=0,进而检验求解即可： (2)将点P(1,m)的坐标代入直线l,的方程中，求出m的值，从而可得点P的坐标，然后再分直线I的截距 为0和不为0两种情况讨论求解即可。 【详解】(1)因为1l2,所以(m+2)1-m2=0,解得m=-1或m=2, 当m=-1时，1：x-y-8=0,12:-x+y-4=0,即x-y+4=0,此时(/l2,满足题意： 当m=2时，1：4x+2y-8=0,即2x+y-4=0,☑2：2x+y-4=0, 此时，l2重合，不满足题意.综上所述，m=-1. (2)因为点P(1,m)在直线l上，所以m+m-4=0,得m=2,则点P的坐标为(1,2)， 而直线I过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线1的斜率为k=2-0=2,则直线1的方程为y=2x,即2x-y=0: 1-0 当两截距不为0时，设直线1的方程为+y=1(a≠0)， a-a 代入点P1,2),得二+2=1，解得a=-1,则直线1的方程为-x+y=1,即x-y+1=0, a-a 综上所述，直线l的方程为x-y+1=0或2x-y=0. 18.(17分)设数列{an}满足4=4，an1=3an+2×3-2 (1)证明： a- 3” 为等差数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn 【答案】①油题可知a-1=3,-+2×3，两边同时除以3得：2m=3”+2,且9-L 301, 是以1为首项，2为公差的等差数列 (2)Sn=3m(n-1)+n+3 【分析】(1)结合等差数列的定义，利用构造法可证明数列为等差数列： (2)结合等比数列求和公式，利用分组求和及错位相减法可得S: 【详解】(1)略 (2)由(1)易知an=3"(2n-1)+1, 前n项和Sn=3(21-1)+32(2.2-1)+…+3(2n-3)+3"(2n-1)+n, 令Tn=3'(2.1-1)+32(2.2-1)+…+3(2n-3)+3"(2n-1）, 故3Tn=32(21-1)+3(2·2-1)+…+3"(2n-3)+3m(2n-1), 两武相减得-2=3+2.3+23++2.3”-32n-)-61-3）-3-3”（m-)=-2.3(a-1)-6 1-3 则Tn=3(n-1)+3,所以Sn=Tn+n=3m(n-1)+n+3 19.(17分)已知△ABC的三个顶点是A(3,4),B(0,8),C(-2,-8) (1)求∠BAC平分线所在直线的方程； (2)若直线l经过点C,且A,B到直线I的距离相等，求1的方程： (3)求△ABC外接圆的方程. 【答案】(1)x-8y+29=0(2)4x+3y+32=0或4x-y=0: ③x+y+80x-3y-382=0 7x-28y 7 【分析】(1)求得∠BAC平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；(2)设 3k-4+2k-8-8+2k-8 l的方程为y+8=k(x+2),利用点到直线的距离可得 Vk2+(-)2 求解即可： Vk2+(-1)2 (3)设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标，求解即可. 【详解】(1)因为A(3,4),B(0,8),C(-2,-8).所以AB=(-3,4),AC=（-5,-12), 所以与AB,AC共线同向的单位向量为： AB AB -)%可四-信 所以C平碳箱方肉向里福瓷（引信）（袋含） 所以∠B1C平分线的斜率为k=-8所以∠B4C平分线所在直线的方程为y-4-x-3).即 65 x-8y+29=0: (2)当直线I的斜率存在时，设其方程为y+8=k(x+2),即x-y+2k-8=0, k-4+2k-8_-8+2k-8 因为A,B到直线I的距离相等，所以 Vk2+(- Vk2+(-)2 解得5k-12=pk-16,解得及=等或k=4, 所以直线方程为号x-y+2×3 4 -8=0或4x-y+2×4-8=0,即4x+3y+32=0或4x-y=0: 3 当直线I的斜率不存在时，直线方程为x=-2,可得A,B到直线I的距离不相等， 综上所述：1的方程为4x+3y+32=0或4x-y=0: (3)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+y+F=0, D=80 9+16+3D+4E+F=0 3D+4E+F=-25 则64+8E+F=0,即8E+F=64 解得{E=-33 4+64-2D-8E+F=0 8 -2D-8E+F=-68 382 F=- 所以a4BC外接圆的方程为x2+y+80x-33y-382 728- -x- 70临潭县第一中学2026-2027学年上学期期中模拟卷 高二 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩：」 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4=6,S6=18,则S,等于() A.2023 B.776 C.108 D.388 2.已知数列{an}的各项均为整数，a。=-2,a1=4,前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数 列，则a2+a4=() A.13 B.19 C.26 D.32 3.若经过A(-m,3),B(5,-m)两点的直线的倾斜角为45°，则m=() A.-2 B.2 C.-4 D.4 4.直线过点A(2,3)且倾斜角为无，则其点斜式方程为() 6 A.y-3=(-2)B.y-3=5(x+2)C.y-3= 3(x-2) D.+3= 3(x+2) 5.已知直线：x+(1+a)y=2-a,直线l2:2ax+4y=-16,则“a=1”是“l1l2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知两直线x-2y=0和x+y-6=0的交点为M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() A.(x+4)2+(y+2)2=1 B.(x-4)2+(y-2)=1 C.(x+2)2+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y-12=1 7.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,则△PAB外接圆的方程是() A.(x-2)+(y-1)2=5 B.（x-1)2+(y-1)2=5 C.(x-2)2+(y-1)2=10 D.(x-1)2+(y-1)2=3 8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”的最 上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列{an}: 4=1,4=3,4,=6,4,=10,,则2+1+++1的值为《) 111 a10 A. 23 20 B.2 11 c. 1 .9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列a,}满足a=弓mm=(a+2a,+1,则《) A.4,=3 2 B.{a,}为递增数列 a 109 }为等比数列 (n+1)n D.40=2 10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),则下列说法中正确的是() A.圆心C的坐标为(2,7) B.若点Pm,m+)在园C上，则直线PO的斜率为} C.点2在圆C内 D.若M是圆C上任一点，则Mg的取值范围为[22,6√2] 11.已知l:mx+y+m+1=0,1:2x+(m-1)y+1=0,则下列说法正确的是() A.11∥L2的必要不充分条件是m=2或-1 B.若{1h,则m=3 C.若直线l不经过第四象限，则m≥-1 D.若将直线！2关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则m=2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列{an}满足a3=21,an+an1=3n(n∈N),则{an}的前13项和为 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S。=9S3,则{an}的公比为 14.已知P为圆(x+1)+y2=1上任意一点，A,B为直线1：3x+4y-12=0上的两个动点，且AB=4, 则△PAB面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+4=2an,等差数列{bn}满足b=7，,b+a=75. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： 2)求数列{b.+(-)a}的前n项和Tn. 16.(15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线， 设切点为M,N (1)若点P运动到(1,3)处 (i)求此时切线的方程 (ii)求四边形PMCW的面积 (2)求满足条件PM PNPOP的点P的轨迹方程. 17.(15分)已知直线4：(m+2)x+my-8=0与直线2：mx+y-4=0,meR (1)若lWl2,求m的值； (2)若点P(1,m)在直线l2上，直线1过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线1的方程 18.(17分)设数列{an}满足4=4，an+1=3a+2×3-2· (1)证明： 侣，为等若数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn. 19.(17分)已知△ABC的三个顶点是A(3,4),B(0,8),C(-2,-8) (1)求∠BAC平分线所在直线I的方程； (2)若直线l经过点C,且A,B到直线I的距离相等，求I的方程： (3)求△ABC外接圆的方程.