专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．AB 2．BCD 3．A 4．D 5．B 6．B 7．BCD 8．A 9．C 10．D 11．A 12．B 13．AD 14．B 15．B 16．B 17．D 18．B 19．AB 20．【答案】 【分析】 利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】 直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 21．【答案】（1）2x－y＋15＝0     （2）5x－6y＋1＝0      【分析】 （1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程. （2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果. (1) 小问详解： ，∵AD∥BC，∴． ∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0． (2) 小问详解： ∵． 又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴． 又∵AC的中点，也是BD的中点， ∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0． 22．【答案】1 【分析】 利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】 由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解. （2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可. (1) 小问详解： 由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. (2) 小问详解： 因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 24．【答案】1或 【分析】 根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】 由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 考点02 直线的方程 1．AC 2．D 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B 8．AC 9．C 10．C 11．B 12．ABD 13．BC 14．AC 15．D 16．B 17．C 18．AD 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直且过点，利用点斜式计算可得； （2）首先求出的中点的坐标，依题意，则，即可求出的方程. (1) 小问详解： 由题意知边上的高过，， 因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直， 故高线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为：，即； (2) 小问详解： 由已知点坐标为，，故的中点为， 因为是的一条中位线，所以， 而，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得． 20．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． (1) 小问详解： 由两点式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． (2) 小问详解： 由截距式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． (3) 小问详解： 因为经过点，由点斜式方程可得：， 化为一般式方程为． 21．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. (1) 小问详解： 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 22．【答案】1 【分析】 根据两条直线平行，它们的斜率相等，得出k的值. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 即，解得 故答案为： 23．【答案】（1）或     （2）12，      【分析】 （1）根据截距是否为零分为两种情况讨论，代入点求解即可； （2）根据题意设直线l的方程为，其中，，进一步求得，直线过点C可得，最后结合均值不等式求解即可． (1) 小问详解： 当截距都为0也即直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为，即； 当截距不为0时，设两者截距为a，直线方程为，即，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为； 综上，直线l的方程为或． (2) 小问详解： 由题意知，直线在x、y轴的截距都不为零， 设直线l的方程为，且根据题干可得，， 因为直线过点，所以， 的面积， 由，其中，， 所以，化简可得， 所以，当且仅当时取等号， 解得此时，， 直线l的截距式方程为，整理得． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）先求得斜率，再由点斜式即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. (2) 小问详解： 由条件可得斜率，故方程为：， 整理得： 25．【答案】 【分析】 将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】 将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以的方程是， 即. (2) 小问详解： 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 27．【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）      【分析】 （1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. (1) 小问详解： 直线，即. 由 ，解得 . 所以直线过定点. (2) 小问详解： 当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则 ，解得. 综上，实数的取值范围是. (3) 小问详解： 由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 28．【答案】（1）     （2）或     （3）S的最小值为16，此时直线l的方程为．      【分析】 （1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． (1) 小问详解： 由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； (2) 小问详解： 联立 ，解得 ，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意 ，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. (3) 小问详解： 由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 29．【答案】 【分析】 结合正切三角函数的二倍角公式以及直线斜率和倾斜角的关系即可求解． 【详解】 如图所示，设角平分线与x轴负半轴的夹角为α， 令代入直线方程，可得，所以，令代入直线方程，可得， 所以，在中，的正切值为， 也即，解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为，则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 故答案为：． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．A 3．B 4．ABD 5．B 6．C 7．B 8．D 9．ABC 10．ABD 11．D 12．ACD 13．【答案】 【分析】 根据两条平行直线间的距离公式，即可得解. 【详解】 将直线化为， 所以这两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 14．【答案】 【分析】 首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】 因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】 因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解方程组求出交点坐标，再利用第四象限点的特征求出后可得点A的坐标； （2）分别求出两直线与x轴的交点，再由三角形的面积公式可得. (1) 小问详解： 解方程组 得 ∴． ∵交点在第四象限，∴，且，解得． ∵m是正整数，∴，∴． (2) 小问详解： 由（1）得两直线的解析式为，， 直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为， ∴这两条直线与x轴围成的三角形面积为． 17．【答案】（1）或；     （2），.      【分析】 （1）设，由的中点在直线上，与直线垂直，即可解出，讨论直线的斜率是否存在，设出直线，由点到直线的距离为2，求出直线. （2）当直线与垂直时，点到直线的距离最大为，由此即可求出答案. (1) 小问详解： 设，则的中点坐标为， 所以 ，解得： ，即， 当直线斜率不存在时：直线：，此时点到直线的距离，满足题意； 当直线斜率存在时：设直线的斜率为，则直线为，化简得， 点到直线的距离，解得， 所以直线为，化简得， 综上所述：直线为或 (2) 小问详解： 由（1）知， 由题意知当直线与垂直时，点到直线的距离最大为， ， 设直线的斜率为，则，解得， 所以直线为，化简得， . 所以直线为，点到直线的最大距离. 18．【答案】 【分析】 先设的方程为，求出的交点代入求得，得直线的方程，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】 ∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立 ，解得 ，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程为， 所以直线间的距离为. 故答案为：. 19．【答案】 【分析】 先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则 ，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 20．【答案】 【分析】 求出关于直线的对称点后可求反射光线所在直线的方程. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则 ，解得，，则对称点为. 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为. 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 21．【答案】 【分析】 根据直线平行求得，进而结合两平行线间距离公式分析求解. 【详解】 由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由点到直线距离公式即可得解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. (1) 小问详解： 因为点，直线， 所以点P到直线l的距离为； (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点的坐标为， 则中点的坐标为，又直线的斜率为， 所以 ，解得 ，即. 考点04 圆的方程 1．A 2．B 3．B 4．D 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．ACD 11．ABC 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到 ，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. (1) 小问详解： 解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则 ， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． (2) 小问详解： 解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 13．【答案】 【分析】 根据已知求得圆的半径，再根据圆的标准方程即可求解． 【详解】 由题意，知所求圆的圆心是，半径为， 故所求圆的方程为， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程为圆，再求出的取值范围即可. 【详解】 如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设点，则由， 得， 整理得， 即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 圆心M到点D的距离为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）先求出过点与直线垂直的直线，再与直线联立即可求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求出半径，由此即可写出答案； （2）设圆心，由圆心到直线与直线的距离相等都为半径，即可求出圆的标准方程. (1) 小问详解： 直线的斜率，则与其垂直的直线斜率， 所以过点与直线垂直的直线为：，化简得：， 所以圆心在直线与直线上， 联立 ，解得圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 所以 所以圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 设圆的标准方程为：，圆心，半径， 因为圆与直线，都相切 所以，解得或， 当时，，圆的标准方程为：， 当时， ，圆的标准方程为：. 所以圆的标准方程为：或. 16．【答案】 【分析】 根据复数的几何意义知复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】 由，则复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， ， 所以， 所以的范围是. 故答案为：. 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. (1) 小问详解： 设圆的方程为，代入， 则 ，解得 ， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设， 由对称关系可知 ，解得 ，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； (3) 小问详解： 因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 18．【答案】（1），D在圆M内；     （2）或.      【分析】 （1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. (1) 小问详解： 设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； (2) 小问详解： 由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是3， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）待定系数法求解圆的方程.（2）相关点法求动点的轨迹方程. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 由题意可知 ，解得 ， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．D 2．C 3．D 4．A 5．ACD 6．D 7．C 8．C 9．C 10．ABD 11．ABC 12．A 13．AD 14．A 15．B 16．BD 17．C 18．D 19．ABD 20．BC 21．AB 22．B 23．【答案】 【分析】 根据垂径定理可求弦长. 【详解】 设圆心为，则，圆的半径为，则， 设的中点为，则， 而，故， 故答案为：. 24．【答案】或 【分析】 考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程. 【详解】 ① 直线的斜率不存在时满足， ② 直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为，即． 故答案为：或. 25．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）先求出的斜率，再由点斜式求出其方程，然后设所求直线方程为，代入点可得； （2）设出圆的一般方程，由待定系数法可得； （3）求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与否可得. (1) 小问详解： 由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： (2) 小问详解： 设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有 ，解得： ， 故的外接圆的方程是 (3) 小问详解： 圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 26．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题意得圆心到直线的距离，再列式求解即可. （2）设，，由可得 ，结合点在圆上，即可得动点的轨迹方程． (1) 小问详解： 圆，即，， 则圆心，半径，记为圆心到直线的距离， 由，得，而，因此， 所以. (2) 小问详解： 设，，由，得，解得 ， 由点在圆上，得，于是， 所以动点的轨迹方程为. 27．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用待定系数法即求； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合条件利用圆的弦长公式即求. (1) 小问详解： 设圆的方程为，则 ，解得， ∴方程为即. (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程得， ∴弦长为，适合题意， 当直线斜率存在时，可设直线方程为即， 圆心M到直线的距离为， ∴，解得， ∴直线方程为， 综上可得直线的方程为或. 28．【答案】（1） 直线，即， 联立 ，解得 ， 则不论取何值，直线必过定点；     （2）直线时直线被圆截得的弦长最短，，最短弦长为.      【分析】 （1）将直线方程化为，再由 求得定点； （2）根据已知有直线时，直线被圆截得的弦长最短，并确定圆心和半径，根据垂直关系求直线方程，应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法求弦长. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，知圆心，半径为5， 显然点在圆内，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，    由，则直线的斜率为，解得， 此时直线的方程是， 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）若直线与圆C相切，只需要，再结合点到直线的距离求解即可. （2）根据题意，只需，再结合点到直线的距离求解即可. (1) 小问详解： 圆C：，圆心，半径， 直线的一般方程为：，圆心C到直线的距离， 若直线与圆C相切，则有， 即，解得； (2) 小问详解： 若圆C上恰有三个点到直线的距离都等于1，圆心到直线的距离为，则有，即， 所以，解得. 30．【答案】（1）     （2） 直线， 不管为何值时，直线恒过点，且， 所以点恒在圆内，所以直线与圆恒相交；     （3）      【分析】 （1）首先设圆的一般方程，再代入三点坐标，最后转化为标准方程，即可求解； （2）求直线所过定点，再判断定点与圆的位置关系，即可证明； （3）当定点为弦的中点时，弦长最短，代入弦长公式，即可求解. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 所以 ，解得：， 即圆的方程为， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆的圆心是，半径为，圆心到点的距离为， 所以最短弦长为. 31．【答案】（1）；     （2）和.      【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程. (1) 小问详解： 设圆心 依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为， 显然圆心在线段的垂直平分线上，由 ，解得 ， 因此圆心的坐标是，圆的半径， 所以圆的方程是． (2) 小问详解： 依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即， 于是，解得或， 所以所求切线方程为和. 32．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出所求点的坐标，利用中点坐标，代入对称轴，结合斜率之间的关系，建立方程组，可得答案； （2）设出所求点的坐标，利用题目中的等式，建立方程，结合圆的方程，可得答案； （3）根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，建立不等式，可得答案. (1) 小问详解： 设，，因为点与点关于直线的对称， 则有线段的中点在直线上， 即，① 又直线直线，且直线的斜率为，则，即，② 联立① ② 式子解得 ，故点的坐标； (2) 小问详解： 设，由，则， 故，化为. 化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径． (3) 小问详解： 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 则，，解得. 故的取值范围为. 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据圆的切线性质及点到直线距离公式进行求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，进而得到，再根据三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可. (1) 小问详解： 由圆，可知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 由，解得或， 因此切线所在直线方程为或， 分别联立 ， ， 解得 ， ，即， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 因为，所以，即， 设，是方程的两个根， 则，， 所以， 在切线方程中，令，得， 设，， 则， 则的面积为， 当时，的面积取得最小值，最小值为. 34．【答案】.5 【分析】 令，则，则表示过点的直线的斜率，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 令，则，则表示过点的直线的斜率， 又由配方得， 则的最大值即圆上动点与点连线的斜率的最大值， 由圆心到直线的距离为： ，解得， 故所求最大值为. 故答案为：. 35．【答案】（1）证明：直线，即， 联立 解得 所以不论a取何值，直线l必过定点；     （2） 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短．最短弦长是      【分析】 （1）将直线l化为求解定点即可； （2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，先由与最短弦所在直线互相垂直，利用斜率关系求解直线的方程，最后利用几何法由求弦长. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 由，知圆心，半径为. 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，， 有，解得 此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是 36．【答案】或 【分析】 求出圆的圆心、半径，再按直线斜率存在与否分类求解即得. 【详解】 依题意，圆表示以为圆心，半径的圆，    当切线的斜率不存在时，过的直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则， 解得，此时切线方程为， 所以所求切线方程为或. 故答案为：或 37．【答案】 【分析】 要使的取值与x，y无关，则可看作点到直线与直线的距离之和，所以只需圆在两直线之间，即可得出答案. 【详解】 由题意得，所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线的距离之和， 因为的取值与x，y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关，所以只需圆在两直线之间. 显然，直线与相切， 当直线与圆相切时，解得（舍去），或， 所以，则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心为，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径可列方程求解a，从而求得圆心与半径，即可写出圆的方程； （2）设圆心到直线的距离为，利用勾股定理用d表示出进而将整理为关于d的函数，再根据d的范围及二次函数的性质求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设圆心为. 则点到直线的距离，由题意，， 所以，化简得，解得. 所以圆心为，半径， 所以圆的方程是. (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则，即. 因为直线与圆交于两点，所以. 所以， 因为，则，所以. 所以的面积的取值范围为. 39．【答案】或 【分析】 由题意，曲线表示圆的上半圆，直线过定点，如图，利用直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】 曲线， ，即曲线表示圆的上半圆， 直线变形可得， 该直线过定点，且斜率为，如图所示，    当直线与半圆相切时， 则有，即， 解得，由图得，舍去， 当直线过点时，， 当直线过点时，， 由图形可知， 当曲线与直线有一个公共点时， 或． 故答案为：或． 40．【答案】 【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离： ， 由得， 解得. 【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解. 41．【答案】（1）     （2）过定点      【分析】 （1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组 可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. (1) 小问详解： ∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． (2) 小问详解： 设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 42．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. （3）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. (1) 小问详解： 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. (3) 小问详解： 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由② ①整理得， 所以直线的方程为， 即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点. 43．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. (1) 小问详解： 圆即，则，半径， 所以，，则， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 所以直线的方程为，即， 令 ，解得 ，所以直线过定点； (2) 小问详解： 因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为点，直线过的定点为点， 易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆， 又，，故该圆圆心，半径为，且不经过. 点的轨迹方程为，即线段中点的轨迹方程为； (3) 小问详解： 设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为． 44．【答案】 【分析】 根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案. 【详解】    由已知可得，圆的圆心，半径，且有 . 则圆心到直线：的距离. 又直线方程可化为，可知，， 所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离. 由题意易知，则，， 所以有，即，所以. 又，，所以，，所以. 所以圆心到直线的距离， 所以，直线与圆总相交， 又，所以被圆截得的弦长为. 故答案为：. 【点睛】 关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系. 45．【答案】（1）10     （2）      （3） 解法一：设，直线，代入圆的方程整理得： ， 因为3，是上述方程的两根， 所以，即， ， 因为直线与直线的倾斜角互补，所以， 设直线， 同理可得：，， 所以. 解法二：设直线，且，， 由 消去并整理得： ， 则，是此方程的两实根，故， 且，； 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 即， ， ， 整理得：， 去分母并整理得：， 即， ， ， 若，则，直线过点不合要求， 所以， 所以，，即直线的斜率为定值.      【分析】 （1）根据点到直线距离公式及直线与圆相交的弦长公式结合三角形面积公式计算即可； （2）设线段的中点坐标为，由，根据平面向量坐标运算得，由几何性质得，计算可得直线斜率，进而可得直线方程； （3）解法一：设，直线，直线与圆联立方程可得，，同理可得，，由直线斜率公式计算即可求解；解法二：设直线，且，，直线与圆联立方程组结合韦达定理可得，，由直线与直线的倾斜角互补得，根据直线斜率公式化简计算即可求解. (1) 小问详解： 设的高为，则， 圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为； (2) 小问详解： 设线段的中点坐标为， 则，，， 即，可得，由几何性质知， 所以，即直线斜率为， 所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 略 46．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. (1) 小问详解： 圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. (3) 小问详解： ，所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 【点睛】 方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径. 利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法. 47．【答案】② ③ . 【详解】因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，所以 ，所以①错； 因为圆心到直线距离为 ，所以 ，② 对； 令 ，所以 ，③对 |MN|的最大值是 , ④错 点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 (1) 与圆有关的长度或距离的最值或值域问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2) 与圆上点有关代数式的最值或值域的常见类型及解法．① 形如型的最值或值域问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值或值域问题；② 形如型的最值或值域问题，可转化为动直线的截距的最值或值域问题；③ 形如型的最值或值域问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值或值域问题． 48．【答案】（1）     （2）①或；② 证明见解析      【分析】 （1）结合题干定义及已知条件，得出，再利用两点间距离公式列出方程，整理并化简为标准形式即可； （2）① 利用直线与圆的位置关系，结合已知条件求出直线方程；② 联立直线与圆的方程，利用韦达定理结合求出之间的关系，进而表示直线方程证明结论． (1) 小问详解： ，，即， ，设点， ，即， 整理得，即圆的方程为． (2) 小问详解： ① 设为的中点，，． 又，，即圆心到直线的距离为1． 圆心到直线l的距离，又点在直线上，即， 联立 ，解得 或 ． 直线的方程为或，即或． 直线的方程为或． ② 证明：设，，， 联立直线l与圆的方程 得， ，， ， ， 直线方程为，令 ，解得 ， 直线过定点，命题得证． 49．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求解； （2）根据和圆M的半径解出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式列出方程即可求解； （3）设的坐标，根据，分析出P点满足另一圆的方程，结合两圆存在交点即可求解． (1) 小问详解： 设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得 ， 解得 ，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． (2) 小问详解： 已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． (3) 小问详解： 设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）（多选）若两条直线，互相垂直，则的值是（       ） A. 3 B. -1 C. 1 D. 0 【答案】AB 【分析】 根据两直线垂直的判定可得求解，即可得的值. 【详解】 由题意，，解得或. 故选：AB． 2．（25-26学年高二上·甘肃多校）（多选）下列命题中错误的是（       ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【分析】 利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】 对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 3．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）若直线与直线平行，则的值为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】 因为直线与直线平行，则 ，解得. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（       ） A. 105° B. 165° C. 15°或75° D. 105°或165° 【答案】D 【分析】 将绕原点逆时针或顺时针旋转得到直线，求得其倾斜角. 【详解】 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是， 若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 故选：D 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）直线倾斜角大小为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】 根据倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【详解】 由，，设直线的倾斜角为，则，，. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】 直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 7．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（       ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 斜率相等的两直线平行 【答案】BCD 【分析】 根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】 任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误； 故选:BCD. 8．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据方向向量与斜率，斜率与倾斜角的关系求直线倾斜角大小. 【详解】 若直线的倾斜角为且， 由题设，则的倾斜角为30°. 故选：A 9．（25-26学年高二上·甘肃多校）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】 直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知实数满足，且，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得的值，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】 由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知两条直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】 当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 【答案】B 【分析】 根据直线平行的等价条件，求出的值； 【详解】 解：当时，两直线方程分别为和，不满足条件． 当时，则，， 由得得或， 由得，则， 故选：B 【点睛】 本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题. 13．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）（多选）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据直线方程确定直线的斜率，结合余弦函数确定斜率取值范围，从而可得直线的倾斜角的取值范围，即可得结论. 【详解】 已知直线的方程为，且直线的倾斜角为， 由题可知直线的斜率， 所以，又， 所以，故直线的倾斜角的可能取值为和. 故选：AD. 14．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）是直线与直线垂直的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 根据两直线垂直时，系数的关系，可求得的值，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】 由直线与直线垂直， 故，解得或0. 所以是直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：B. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则m的值为（       ） A. 或 B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】 根据题意直线斜率存在，则，即且， 又直线的倾斜角为，所以， 即，解得或（舍去）， 得到，故B正确. 故选：B． 16．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知直线，，若，则实数的值是（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 利用两直线垂直的斜率关系可得出关于的等式，即得. 【详解】 由题意可知，直线、的斜率分别为、， 因为，所以，解得. 故选：B. 17．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】 设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别求出直线的斜率，数形结合即可求直线的斜率的范围． 【详解】 如图所示： ， ， 由图可知，或，即或， 故直线的斜率的取值范围为． 故选：B． 19．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的倾斜角为120° B. 直线，，若，则 C. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 直线在轴上的截距是 【答案】AB 【分析】 对于A，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案；对于C，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于D，根据题意，由直线方程，结合直线截距的定义计算，可得答案. 【详解】 对于A，由直线方程，可得其斜率，设其倾斜角为， 则，由，则解得，故A正确； 对于B，当时，直线，则，直线，则， 由，则此时不符合题意； 当时，直线，则，直线，则， 由，则，解得，则此时符合题意，故B正确； 对于C，由题意，直线斜率一定存在，可设为，由过，则， 令，则，令，则，由题意可得， 整理可得，解得或1，所以直线方程为或，故C错误； 对于D，由直线方程， 令，解得， 所以直线在x轴上的截距为，故D错误； 故选：AB. 20．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知直线和互相垂直，则　　． 【答案】 【分析】 利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】 直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 【答案】（1）2x－y＋15＝0     （2）5x－6y＋1＝0      【分析】 （1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程. （2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果. (1) 小问详解： ，∵AD∥BC，∴． ∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0． (2) 小问详解： ∵． 又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴． 又∵AC的中点，也是BD的中点， ∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0． 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）直线，直线，若，则　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】 由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 23．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）三角形的三个顶点是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解. （2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可. (1) 小问详解： 由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. (2) 小问详解： 因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 24．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知直线：，：，若两直线垂直，则　　　　　　. 【答案】1或 【分析】 根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】 由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）（多选）直线过点与，则直线的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据直线方程的五种形式分别判断各选项. 【详解】 由直线过点与， 则直线的斜率， 则直线方程的点斜式为，C选项正确； 其一般式为，即，A选项正确； 截距式为，B选项错误； 斜截式为，D选项错误； 故选：AC. 2．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知直线，其中m，n为常数，满足，则l不同时经过的象限为（       ） A. 第一二象限 B. 第一三象限 C. 第二四象限 D. 第三四象限 【答案】D 【详解】 由已知直线的斜率为，y轴截距为.且； 当时，，直线l经过一二四象限； 当时，，直线l经过一二三象限. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）直线的一个法向量可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可. 【详解】 直线的一个方向向量为，设直线的法向量为，因为，所以，得，所以法向量. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为（     ） A. 4 B.  C. 6 D.  【答案】D 【分析】 根据题意，令，求得，即可得到直线在轴上的截距，得到答案. 【详解】 由直线的方程为，令，可得，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）直线和直线的位置关系为（       ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【分析】 求出两直线斜率，再判断其乘积即可. 【详解】 直线和直线的斜率分别为， 因为，所以. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将直线方程变形为斜截式即可得斜率. 【详解】 直线，即. 所以直线的斜率为. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】 设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值可能是（       ） A.  B. 0 C.  D.  【答案】AC 【分析】 依题意可得，分和两种情况讨论即可． 【详解】 依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于0，满足题意； 当时，直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去） 综上所述，的值为或． 故选：AC． 9．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）直线的倾斜角为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据直线得出斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】 由化为， 即该直线斜率为，所以其倾斜角为． 故选:C． 10．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】 由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】 因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为的直线方程为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【分析】 根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【详解】 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）以下四个命题表述正确的有（       ） A. 直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B. 直线恒过定点 C. ，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 【答案】BC 【分析】 对于A，注意到过原点直线满足在轴上截距相等，据此可判断选项正误； 对于B，将直线化为：，据此可得直线所过定点； 对于C，由直线垂直与直线一般式关系可判断选项正误； 对于D，由平行直线距离公式结合题意可得答案. 【详解】 对于A，注意到当直线过原点且过点时，方程为： ，满足在轴上截距相等，则A选项错误； 对于B，将直线化为：，令 ，则直线过定点，故B正确； 对于C，直线与垂直需满足：，得或. 由可得两直线垂直，由或得不到，则是直线与直线垂直的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因与平行，则， 则与距离，即为与的距离，为，故D错误. 故选：BC 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】AC 【分析】 由题设得，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】 当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 故选：AC 15．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得， 此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有 ，解得，，此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 16．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 6 【答案】B 【分析】 由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】 由题意直线过定点， 直线可变为， 令 ，得 ，所以该直线过定点， 所以． 又， 所以直线与直线互相垂直，且交点为， 所以， 所以，即， 当且仅当时取等号， 所以，，即面积的最大值是． 故选：B． 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可. 【详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等 得，解得或，即直线方程为或. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）（多选）已知，，则下面四个选项中正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与直线平行 C. 点在直线上 D. 直线必过定点 【答案】AD 【分析】 选项A，已知直线上的两点，利用公式求出，利用求出倾斜角；选项B，利用点斜式得到直线的方程，从而得解；选项C，将点代入直线验证即可得解；选项D，将直线整理得到，则有 ，这个方程组的解形成的点就是直线必过的定点. 【详解】 因为，所以直线的倾斜角为，故A正确． 直线MN的斜率为1，则方程为， 即直线与直线重合，所以B错误， 由题意得，则点的坐标不满足，故C错误， 由，得到， 显然时，恒成立，即该直线恒过定点，故D正确. 故选：AD. 19．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若，的中点分别为，，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直且过点，利用点斜式计算可得； （2）首先求出的中点的坐标，依题意，则，即可求出的方程. (1) 小问详解： 由题意知边上的高过，， 因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直， 故高线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为：，即； (2) 小问详解： 由已知点坐标为，，故的中点为， 因为是的一条中位线，所以， 而，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得． 20．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）求经过、两点的直线方程； （2）求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； （3）求经过点且斜率为的直线方程． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． (1) 小问详解： 由两点式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． (2) 小问详解： 由截距式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． (3) 小问详解： 因为经过点，由点斜式方程可得：， 化为一般式方程为． 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. (1) 小问详解： 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 22．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）若直线与直线平行，则　　　　　　. 【答案】1 【分析】 根据两条直线平行，它们的斜率相等，得出k的值. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 即，解得 故答案为： 23．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线经过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点B，O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）或     （2）12，      【分析】 （1）根据截距是否为零分为两种情况讨论，代入点求解即可； （2）根据题意设直线l的方程为，其中，，进一步求得，直线过点C可得，最后结合均值不等式求解即可． (1) 小问详解： 当截距都为0也即直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为，即； 当截距不为0时，设两者截距为a，直线方程为，即，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为； 综上，直线l的方程为或． (2) 小问详解： 由题意知，直线在x、y轴的截距都不为零， 设直线l的方程为，且根据题干可得，， 因为直线过点，所以， 的面积， 由，其中，， 所以，化简可得， 所以，当且仅当时取等号， 解得此时，， 直线l的截距式方程为，整理得． 24．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）经过点，点. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）先求得斜率，再由点斜式即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. (2) 小问详解： 由条件可得斜率，故方程为：， 整理得： 25．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是　　　　　　. 【答案】 【分析】 将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】 将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 26．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知的顶点坐标是，为的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以的方程是， 即. (2) 小问详解： 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 27．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）      【分析】 （1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. (1) 小问详解： 直线，即. 由 ，解得 . 所以直线过定点. (2) 小问详解： 当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则 ，解得. 综上，实数的取值范围是. (3) 小问详解： 由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 28．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或     （3）S的最小值为16，此时直线l的方程为．      【分析】 （1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． (1) 小问详解： 由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； (2) 小问详解： 联立 ，解得 ，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意 ，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. (3) 小问详解： 由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 29．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 结合正切三角函数的二倍角公式以及直线斜率和倾斜角的关系即可求解． 【详解】 如图所示，设角平分线与x轴负半轴的夹角为α， 令代入直线方程，可得，所以，令代入直线方程，可得， 所以，在中，的正切值为， 也即，解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为，则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 故答案为：． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）直线与的交点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 联立方程组可解得答案. 【详解】 联立方程组 ，解得 ， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）点到直线的距离（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 点到直线的距离 故选：A. 3．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）两平行直线，之间的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】 由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知直线与交于点，则（       ） A.  B.  C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】 联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】 由题意，得： ，解得，，故A、B正确， ∴到直线的距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（     ） A. 0 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由两条直线平行的直线求参数，再利用两平行线间的距离求解即可. 【详解】 因为直线与互相平行， 所以有， 所以与的距为： ． 故选：C. 7．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（       ） A. 3 B.  C.  D. 无法确定，与有关 【答案】B 【分析】 根据直线平行求得参数，根据两平行直线的距离公式，可得答案. 【详解】 由直线和直线平行可得，解得. 所以两直线的距离为. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据求出参数的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 由，得，解得或． 当时，，，直线与直线之间的距离为； 当时，，，直线与直线重合，舍去． 故直线与直线之间的距离是． 故选：D. 9．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（       ） A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B. 的取值范围为 C. 不可能为钝角 D. 当为等边三角形时，点P的坐标为 【答案】ABC 【分析】 首先结合点到直线的距离公式分析出的取值范围，进而数形结合分析可得和的范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求出点P的坐标，即可判断D的正误. 【详解】 到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点自由移动时，的最小值为，当且仅当垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形为正方形时，，可求得，点的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点在直线上，则，解得或，即或，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】 处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 10．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（       ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 【答案】ABD 【分析】 对于A，由题可得方程，可得过点，据此可判断选项正误；对于B，由A分析可得交点坐标；对于C，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断选项正误；对于D，由题可得方程，然后由点到直线距离公式可判断选项正误. 【详解】 对于A，由，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故A正确； 对于B，联立 ，解得 ，即直线与的交点坐标为．故B正确； 对于C，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故C错误； 对于D，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（     ） A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8 【答案】D 【分析】 根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】 当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 12．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 的面积是10 D. 边上的高所在直线方程为 【答案】ACD 【分析】 求出，即可判断A，利用锐角三角函数判断B，由面积公式判断C，求出，再由点斜式求出边上的高所在直线方程，即可判断D. 【详解】 对于A：因为，，，所以，， 则，所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 又为直角三角形，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以边上的高所在直线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 13．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）两平行直线与之间的距离为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两条平行直线间的距离公式，即可得解. 【详解】 将直线化为， 所以这两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】 因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）若直线与平行，则与的距离为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】 因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： （1）点A的坐标； （2）这两条直线与x轴围成的三角形面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解方程组求出交点坐标，再利用第四象限点的特征求出后可得点A的坐标； （2）分别求出两直线与x轴的交点，再由三角形的面积公式可得. (1) 小问详解： 解方程组 得 ∴． ∵交点在第四象限，∴，且，解得． ∵m是正整数，∴，∴． (2) 小问详解： 由（1）得两直线的解析式为，， 直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为， ∴这两条直线与x轴围成的三角形面积为． 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知点，点与点关于直线对称，求： （1）过点且与点距离为2的直线的方程； （2）过点且与点距离最大的直线的方程，并求此最大距离. 【答案】（1）或；     （2），.      【分析】 （1）设，由的中点在直线上，与直线垂直，即可解出，讨论直线的斜率是否存在，设出直线，由点到直线的距离为2，求出直线. （2）当直线与垂直时，点到直线的距离最大为，由此即可求出答案. (1) 小问详解： 设，则的中点坐标为， 所以 ，解得： ，即， 当直线斜率不存在时：直线：，此时点到直线的距离，满足题意； 当直线斜率存在时：设直线的斜率为，则直线为，化简得， 点到直线的距离，解得， 所以直线为，化简得， 综上所述：直线为或 (2) 小问详解： 由（1）知， 由题意知当直线与垂直时，点到直线的距离最大为， ， 设直线的斜率为，则，解得， 所以直线为，化简得， . 所以直线为，点到直线的最大距离. 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先设的方程为，求出的交点代入求得，得直线的方程，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】 ∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立 ，解得 ，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程为， 所以直线间的距离为. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则 ，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·甘肃白银靖远县·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为　　　　　. 【答案】 【分析】 求出关于直线的对称点后可求反射光线所在直线的方程. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则 ，解得，，则对称点为. 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为. 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）若直线与直线平行，则直线与的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线平行求得，进而结合两平行线间距离公式分析求解. 【详解】 由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知点，直线. （1）求点P到直线l的距离； （2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由点到直线距离公式即可得解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. (1) 小问详解： 因为点，直线， 所以点P到直线l的距离为； (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点的坐标为， 则中点的坐标为，又直线的斜率为， 所以 ，解得 ，即. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】 解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以 解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）以为圆心，为半径的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆心坐标以及圆的半径可得出圆的标准方程. 【详解】 圆心为，半径为的圆的方程为． 故选：B. 3．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，写出圆的标准方程即得. 【详解】 由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据光线反射的性质，结合圆的性质、直线的两点式方程进行求解即可. 【详解】 由，因此该圆的圆心坐标为， 因为光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长， 所以反射光线经过圆心， 点关于轴对称的点， 根据光反射的性质可知点必在反射光线所在的直线上， 由直线的两点式，可知反射光线所在的直线的方程为：， 令，得，即经过轴上点反射， 由直线的两点式，可知入射光线所在的直线的方程为：， 故选：D 5．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据圆心和半径即可求解. 【详解】 因为AB为直径，则的中点为， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为 故选：A． 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用两点距离公式代入化简，结合圆的方程即可得解. 【详解】 依题意，设， 又动点M与两定点的距离之比为，即， 所以，整理可得，即， 所以动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据圆的切线与过切点的圆的半径垂直，得到点满足的条件，用坐标表示可得点的轨迹方程. 【详解】 如图： 圆表示以为圆心，1为半径的圆. 由题意，且，所以. 所以点在以，半径为的圆上， 所以点的轨迹方程是． 故选：A 8．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知条件写出圆的标准方程，然后转化为一般方程即可. 【详解】 以点为圆心，3为半径的标准方程为：， 展开整理的一般方程为：. 故选：B 9．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（       ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【分析】 设D点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D的轨迹，利用点与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】 解：根据题意可得，设D点坐标，可知，，则，， 又，代入得，即，可得D点是在以点为圆心，半径为1的圆上， . 故选：C． 10．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（       ） A. 圆心坐标为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【分析】 由圆的标准方程可判断AB，由圆心和的距离为，可判断C，设， 利用点到直线的距离可求得的最大值，可判断D. 【详解】 对于A，方程为， 表示以为圆心，为半径的圆，故A正确； 对于B，，所以，所以， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 又圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点，则有. 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值可以是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【分析】 根据判断出点在以为直径的圆上，为圆心，，点又在圆上，进而即可求解. 【详解】 圆的圆心，半径为． 因为圆心到的距离为， 所以圆上的点到点的距离的最大值为，最小值为，即. 由，得点在以为直径的圆上，为圆心, 所以， 故有． 故选：ABC． 12．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知点，，直线的方程为：． （1）求直线关于点对称的直线的方程； （2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到 ，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. (1) 小问详解： 解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则 ， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． (2) 小问详解： 解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 13．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知求得圆的半径，再根据圆的标准方程即可求解． 【详解】 由题意，知所求圆的圆心是，半径为， 故所求圆的方程为， 故答案为：． 14．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程为圆，再求出的取值范围即可. 【详解】 如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设点，则由， 得， 整理得， 即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 圆心M到点D的距离为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上，且与直线切于点； （2）圆心在轴上，并且与直线，都相切. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）先求出过点与直线垂直的直线，再与直线联立即可求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求出半径，由此即可写出答案； （2）设圆心，由圆心到直线与直线的距离相等都为半径，即可求出圆的标准方程. (1) 小问详解： 直线的斜率，则与其垂直的直线斜率， 所以过点与直线垂直的直线为：，化简得：， 所以圆心在直线与直线上， 联立 ，解得圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 所以 所以圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 设圆的标准方程为：，圆心，半径， 因为圆与直线，都相切 所以，解得或， 当时，，圆的标准方程为：， 当时， ，圆的标准方程为：. 所以圆的标准方程为：或. 16．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知复数满足，则的范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 根据复数的几何意义知复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】 由，则复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， ， 所以， 所以的范围是. 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. (1) 小问详解： 设圆的方程为，代入， 则 ，解得 ， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设， 由对称关系可知 ，解得 ，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； (3) 小问详解： 因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）在平面直角坐标系中，存在四点，，，. （1）求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系； （2）若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程. 【答案】（1），D在圆M内；     （2）或.      【分析】 （1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. (1) 小问详解： 设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； (2) 小问详解： 由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是3， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 19．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）待定系数法求解圆的方程.（2）相关点法求动点的轨迹方程. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 由题意可知 ，解得 ， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】 根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 2．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是（       ） A. 5 B. 1 C. 3－5 D. 3＋5 【答案】C 【分析】 化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和． 【详解】 圆化为标准方程为， 圆心为C1(4,2)，半径为3； 圆化为标准方程为, 圆心为C2(−2,−1)，半径为2， ∴两圆的圆心距为， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即35. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为    A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围. 【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想. 4．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有3条，则（     ） A. 4 B. 2 C. 16 D. 36 【答案】A 【分析】 由题意可得两圆外切，求出圆心距和半径和，列式计算，即可得答案. 【详解】 因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，，，， 所以，解得， 故选：A. 5．（25-26学年高二上·甘肃多校）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（     ） A. 过定点 B. 圆C与y轴相交 C. 若与圆C相交，则 D. 若圆C上的点关于直线的对称点仍在圆C上，则 【答案】ACD 【分析】 令，得，分析可判断A的正误；求出圆C的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线l上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】 选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆C的方程，得， 则圆心到y轴的距离为4，又， 所以圆C与y轴相切，故B错误； 选项C：设圆心C到直线的距离为d，可得， 解得，故C正确； 选项D：因为圆C上的点关于直线的对称点仍在圆C上，所以圆心C在直线上， 则，解出，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据点到直线的距离公式，可得圆的半径，即可根据标准式求解圆的方程. 【详解】 点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此圆的方程为， 故选：D 7．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 根据圆心在直线上建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】 由题意，圆心为，因为直线是圆的对称轴， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）直线与圆的位置关系（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【分析】 由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 【详解】 圆的标准方程为：， 圆心为：半径为：， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以直线与圆相交， 故选：C 9．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）直线分别与x轴，y轴交于两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把圆上的动点问题转化为圆心到直线的距离，再利用圆的性质即可得距离的范围，从而问题即可得解. 【详解】 由题意可得：，即， 再由圆心到直线的距离公式可得， 因为圆的半径为， 所以圆上点P到直线的距离的取值范围为， 由面积是. 故选：C 10．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）（多选）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】 将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得，AB都对； 对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即， 故的最大值为，C错； 对于D选项，设，则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 所以，的最大值为，D对. 故选：ABD. 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（       ） A. 若两圆内切，则r＝9 B. 若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2 C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3 D. 若两圆有三条公切线，则r＝2 【答案】ABC 【分析】 根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D. 【详解】 圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距． 对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确； 对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心， （圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心） 分别设两圆的圆心为,则 如图，所以，解得r＝3，故C正确； 对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误． 故选：ABC 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线垂直的直线的方程. 【详解】 依题意，设所求的直线方程为，圆心，则圆的半径为, 因直线被圆所截得的弦长为,则 ，解得，圆心为， 又圆心在直线上，则，即， 所以所求的直线方程为. 故选：A 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）已知圆 ，直线 ，则（       ） A. 直线 恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C. 直线与圆可能相切 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【分析】 本题先根据直线l的方程判断出直线l恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值. 【详解】 由直线，得 ， 因为，则满足 ，解得 ， 所以直线恒过定点 ，故选项A正确. 因为当时，直线为:， 则圆心 到直线的距离为 ， 则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离， 所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误. 因为直线过定点 ，又 ， 所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误. 由圆的方程 可得，， 所以圆心为 ，半径为 ， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则 ，解得 ，故选项正确. 故选：AD. 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）实数满足，则的最小值为（       ） A. 3 B. 7 C.  D.  【答案】A 【分析】 化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】 化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【详解】 曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 16．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）对于直线与圆，下列说法正确的是（     ） A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点的最大距离为8 【答案】BD 【分析】 根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D. 【详解】 对于A：可变形为， 由 ，得 ，所以直线过定点，故A不正确； 对于B：圆的标准方程为，半径为3， 由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确； 对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 此时圆心到直线的距离， 所以弦长的弦长最小值为，故C不正确； 对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确.    故选：BD. 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点，因为可得点P的轨迹是以为圆，以为半径的圆，进而求出点P到直线的最大距离即可求得面积的最大值. 【详解】 设点，因为，所以， 整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点P到直线的最大距离， 所以面积的最大值为． 故选：C. 18．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 判断直线与圆的位置关系，由题意知、，则， 所以当取最小值时可取最小值，根据几何图形分析取最小值时的情况并求出P点坐标， 最后利用两相交圆的公共弦的求法求出直线AB的方程. 【详解】 因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且， 所以.因为， 当直线时，，，此时最小， 所以直线，由 解得 所以以为直径的圆的方程为，即. 两圆的方程相减得，，即直线的方程为. 故选：D 19．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（     ） A. 线段长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最大值是 D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】ABD 【分析】 由切线长公式求切线可知求得的最小值时可得的最小值，从而也得到四边形面积的最小值，利用余弦的二倍角公式得出越大时，越大，从而判断C，设切点坐标，由切点坐标写出切线方程，并代入点坐标后，比较可得过的直线方程，判断D． 【详解】 圆标准方程为：，圆心为，半径为， ，， 所以，A正确； ，由选项A知，其最小值为，B正确； ，显然越大，越大，而无最大值，因此无最大值，C错； 因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：ABD． 20．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知点与圆：，则下列说法正确的有（     ） A. 点在圆上 B.  C. 若AP与圆相切于点，则 D. 若圆A与圆相切，则圆的半径为 【答案】BC 【分析】 对于A选项，根据点到点距离与圆的半径判断即可；于选项B，根据，两点间的距离公式求解即可；对于选项C，根据直线与圆相切，可判断，再根据勾股定理求解即可；对于选项D，圆A与圆相切，分两圆相外切与内切进行讨论即可. 【详解】 已知圆：，所以圆的标准方程为：， 对于选项A，，圆心，半径，根据两点间的距离公式，所以点不在圆上，故A错误； 对于选项B，由A选项可知，，故B正确； 对于选项C，若AP与圆相切于点，所以，所以，，故C正确； 对于D选项，圆A与圆相切，若圆A与圆相外切，则圆的半径为，若圆A与圆相内切，则圆的半径为，故D错误. 故选：BC. 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若方程表示圆，则 B. 过两圆和交点的直线方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 圆内一点过点M的最短弦所在直线方程 【答案】AB 【分析】 选项A：根据圆的一般方程表示圆的条件是，即可得的范围；选项B： 联立方程组 ，两式相减即可得直线方程；选项C：直线的斜率，方向向量可表示为，从而可判断；选项D：由于过圆内点的最短弦与垂直，利用直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】 选项A：圆的一般方程表示圆的条件是， 对于方程，则： ， 即 解得或，故A正确； 选项B： 联立方程组 ，两式相减得：， 即为过两圆的交点的直线方程，故B正确； 选项C：直线的斜率，方向向量可表示为即，或其倍数，对应的斜率为，与直线斜率不符，故C错误； 选项D：圆化为标准式：，圆心， 过圆内点的最短弦与垂直，，则最短弦所在直线的斜率， 由点斜式得所求的直线方程为：，即，故D错误. 故答案为：AB 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知实数满足，，，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，可得点在圆上，且，再利用目标式的几何意义，结合圆上的点到直线距离的最大值求解. 【详解】 设，由，得， 点在以原点为圆心，2为半径的圆上，由， 得，而，则， 取线段中点，则，过分别作直线的垂线， 垂足分别为，则，且， ，，当且仅当共线时取等号， 因此 ，当且仅当共线时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 23．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据垂径定理可求弦长. 【详解】 设圆心为，则，圆的半径为，则， 设的中点为，则， 而，故， 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程. 【详解】 ① 直线的斜率不存在时满足， ② 直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为，即． 故答案为：或. 25．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）的顶点的坐标分别为. （1）过点A与直线平行的直线方程； （2）的外接圆方程； （3）已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）先求出的斜率，再由点斜式求出其方程，然后设所求直线方程为，代入点可得； （2）设出圆的一般方程，由待定系数法可得； （3）求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与否可得. (1) 小问详解： 由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： (2) 小问详解： 设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有 ，解得： ， 故的外接圆的方程是 (3) 小问详解： 圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 26．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知直线与圆交于A，B两点，. （1）求实数a的值； （2）若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题意得圆心到直线的距离，再列式求解即可. （2）设，，由可得 ，结合点在圆上，即可得动点的轨迹方程． (1) 小问详解： 圆，即，， 则圆心，半径，记为圆心到直线的距离， 由，得，而，因此， 所以. (2) 小问详解： 设，，由，得，解得 ， 由点在圆上，得，于是， 所以动点的轨迹方程为. 27．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用待定系数法即求； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合条件利用圆的弦长公式即求. (1) 小问详解： 设圆的方程为，则 ，解得， ∴方程为即. (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程得， ∴弦长为，适合题意， 当直线斜率存在时，可设直线方程为即， 圆心M到直线的距离为， ∴，解得， ∴直线方程为， 综上可得直线的方程为或. 28．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1） 直线，即， 联立 ，解得 ， 则不论取何值，直线必过定点；     （2）直线时直线被圆截得的弦长最短，，最短弦长为.      【分析】 （1）将直线方程化为，再由 求得定点； （2）根据已知有直线时，直线被圆截得的弦长最短，并确定圆心和半径，根据垂直关系求直线方程，应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法求弦长. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，知圆心，半径为5， 显然点在圆内，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，    由，则直线的斜率为，解得， 此时直线的方程是， 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是. 29．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知圆C：，直线：. （1）若直线与圆C相切，求b的值； （2）若圆C上恰有三个点到直线的距离都等于1.求b的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）若直线与圆C相切，只需要，再结合点到直线的距离求解即可. （2）根据题意，只需，再结合点到直线的距离求解即可. (1) 小问详解： 圆C：，圆心，半径， 直线的一般方程为：，圆心C到直线的距离， 若直线与圆C相切，则有， 即，解得； (2) 小问详解： 若圆C上恰有三个点到直线的距离都等于1，圆心到直线的距离为，则有，即， 所以，解得. 30．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知直线，圆经过、、三点. （1）求圆的标准方程； （2）证明：圆与直线恒相交； （3）求出直线被圆截得的弦长的最小值. 【答案】（1）     （2） 直线， 不管为何值时，直线恒过点，且， 所以点恒在圆内，所以直线与圆恒相交；     （3）      【分析】 （1）首先设圆的一般方程，再代入三点坐标，最后转化为标准方程，即可求解； （2）求直线所过定点，再判断定点与圆的位置关系，即可证明； （3）当定点为弦的中点时，弦长最短，代入弦长公式，即可求解. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 所以 ，解得：， 即圆的方程为， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆的圆心是，半径为，圆心到点的距离为， 所以最短弦长为. 31．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）；     （2）和.      【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程. (1) 小问详解： 设圆心 依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为， 显然圆心在线段的垂直平分线上，由 ，解得 ， 因此圆心的坐标是，圆的半径， 所以圆的方程是． (2) 小问详解： 依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即， 于是，解得或， 所以所求切线方程为和. 32．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出所求点的坐标，利用中点坐标，代入对称轴，结合斜率之间的关系，建立方程组，可得答案； （2）设出所求点的坐标，利用题目中的等式，建立方程，结合圆的方程，可得答案； （3）根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，建立不等式，可得答案. (1) 小问详解： 设，，因为点与点关于直线的对称， 则有线段的中点在直线上， 即，① 又直线直线，且直线的斜率为，则，即，② 联立① ② 式子解得 ，故点的坐标； (2) 小问详解： 设，由，则， 故，化为. 化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径． (3) 小问详解： 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 则，，解得. 故的取值范围为. 33．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 （1）当时， 求的值； （2）若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据圆的切线性质及点到直线距离公式进行求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，进而得到，再根据三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可. (1) 小问详解： 由圆，可知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 由，解得或， 因此切线所在直线方程为或， 分别联立 ， ， 解得 ， ，即， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 因为，所以，即， 设，是方程的两个根， 则，， 所以， 在切线方程中，令，得， 设，， 则， 则的面积为， 当时，的面积取得最小值，最小值为. 34．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）如果实数x、y满足，那么的最大值是　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 令，则，则表示过点的直线的斜率，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 令，则，则表示过点的直线的斜率， 又由配方得， 则的最大值即圆上动点与点连线的斜率的最大值， 由圆心到直线的距离为： ，解得， 故所求最大值为. 故答案为：. 35．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线l恒过定点； （2）直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 【答案】（1）证明：直线，即， 联立 解得 所以不论a取何值，直线l必过定点；     （2） 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短．最短弦长是      【分析】 （1）将直线l化为求解定点即可； （2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，先由与最短弦所在直线互相垂直，利用斜率关系求解直线的方程，最后利用几何法由求弦长. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 由，知圆心，半径为. 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，， 有，解得 此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是 36．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）过点且与圆C：相切的直线方程为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 求出圆的圆心、半径，再按直线斜率存在与否分类求解即得. 【详解】 依题意，圆表示以为圆心，半径的圆，    当切线的斜率不存在时，过的直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则， 解得，此时切线方程为， 所以所求切线方程为或. 故答案为：或 37．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）圆的概念源于人类对太阳、满月等圆形物体的观察及生产实践，古埃及绳测画圆、古希腊欧几里得理论推导、中国《墨经》概括后，形成系统几何定义.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x，y无关，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 要使的取值与x，y无关，则可看作点到直线与直线的距离之和，所以只需圆在两直线之间，即可得出答案. 【详解】 由题意得，所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线的距离之和， 因为的取值与x，y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关，所以只需圆在两直线之间. 显然，直线与相切， 当直线与圆相切时，解得（舍去），或， 所以，则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 38．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心为，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径可列方程求解a，从而求得圆心与半径，即可写出圆的方程； （2）设圆心到直线的距离为，利用勾股定理用d表示出进而将整理为关于d的函数，再根据d的范围及二次函数的性质求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设圆心为. 则点到直线的距离，由题意，， 所以，化简得，解得. 所以圆心为，半径， 所以圆的方程是. (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则，即. 因为直线与圆交于两点，所以. 所以， 因为，则，所以. 所以的面积的取值范围为. 39．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 由题意，曲线表示圆的上半圆，直线过定点，如图，利用直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】 曲线， ，即曲线表示圆的上半圆， 直线变形可得， 该直线过定点，且斜率为，如图所示，    当直线与半圆相切时， 则有，即， 解得，由图得，舍去， 当直线过点时，， 当直线过点时，， 由图形可知， 当曲线与直线有一个公共点时， 或． 故答案为：或． 40．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知直线与圆交于两点，若，则　　　　. 【答案】 【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离： ， 由得， 解得. 【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解. 41．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． （1）若点，求点M的坐标； （2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）过定点      【分析】 （1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组 可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. (1) 小问详解： ∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． (2) 小问详解： 设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 42．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于M，N两点．求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. （3）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. (1) 小问详解： 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. (3) 小问详解： 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由② ①整理得， 所以直线的方程为， 即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点. 43．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.    （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. (1) 小问详解： 圆即，则，半径， 所以，，则， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 所以直线的方程为，即， 令 ，解得 ，所以直线过定点； (2) 小问详解： 因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为点，直线过的定点为点， 易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆， 又，，故该圆圆心，半径为，且不经过. 点的轨迹方程为，即线段中点的轨迹方程为； (3) 小问详解： 设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为． 44．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案. 【详解】    由已知可得，圆的圆心，半径，且有 . 则圆心到直线：的距离. 又直线方程可化为，可知，， 所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离. 由题意易知，则，， 所以有，即，所以. 又，，所以，，所以. 所以圆心到直线的距离， 所以，直线与圆总相交， 又，所以被圆截得的弦长为. 故答案为：. 【点睛】 关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系. 45．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. （1）若直线的方程是，求的面积； （2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； （3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）10     （2）      （3） 解法一：设，直线，代入圆的方程整理得： ， 因为3，是上述方程的两根， 所以，即， ， 因为直线与直线的倾斜角互补，所以， 设直线， 同理可得：，， 所以. 解法二：设直线，且，， 由 消去并整理得： ， 则，是此方程的两实根，故， 且，； 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 即， ， ， 整理得：， 去分母并整理得：， 即， ， ， 若，则，直线过点不合要求， 所以， 所以，，即直线的斜率为定值.      【分析】 （1）根据点到直线距离公式及直线与圆相交的弦长公式结合三角形面积公式计算即可； （2）设线段的中点坐标为，由，根据平面向量坐标运算得，由几何性质得，计算可得直线斜率，进而可得直线方程； （3）解法一：设，直线，直线与圆联立方程可得，，同理可得，，由直线斜率公式计算即可求解；解法二：设直线，且，，直线与圆联立方程组结合韦达定理可得，，由直线与直线的倾斜角互补得，根据直线斜率公式化简计算即可求解. (1) 小问详解： 设的高为，则， 圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为； (2) 小问详解： 设线段的中点坐标为， 则，，， 即，可得，由几何性质知， 所以，即直线斜率为， 所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 略 46．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知圆：及其上一点． （1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； （3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. (1) 小问详解： 圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. (3) 小问详解： ，所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 【点睛】 方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径. 利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法. 47．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）在下列四个命题中，正确的命题的有　　　　　　　　　　　　　　　　　　. ①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10; ②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则 ；        ③若实数满足的取值范围为 ； ④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7. 【答案】② ③ . 【详解】因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，所以 ，所以①错； 因为圆心到直线距离为 ，所以 ，② 对； 令 ，所以 ，③对 |MN|的最大值是 , ④错 点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 (1) 与圆有关的长度或距离的最值或值域问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2) 与圆上点有关代数式的最值或值域的常见类型及解法．① 形如型的最值或值域问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值或值域问题；② 形如型的最值或值域问题，可转化为动直线的截距的最值或值域问题；③ 形如型的最值或值域问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值或值域问题． 48．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1）     （2）①或；② 证明见解析      【分析】 （1）结合题干定义及已知条件，得出，再利用两点间距离公式列出方程，整理并化简为标准形式即可； （2）① 利用直线与圆的位置关系，结合已知条件求出直线方程；② 联立直线与圆的方程，利用韦达定理结合求出之间的关系，进而表示直线方程证明结论． (1) 小问详解： ，，即， ，设点， ，即， 整理得，即圆的方程为． (2) 小问详解： ① 设为的中点，，． 又，，即圆心到直线的距离为1． 圆心到直线l的距离，又点在直线上，即， 联立 ，解得 或 ． 直线的方程为或，即或． 直线的方程为或． ② 证明：设，，， 联立直线l与圆的方程 得， ，， ， ， 直线方程为，令 ，解得 ， 直线过定点，命题得证． 49．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求解； （2）根据和圆M的半径解出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式列出方程即可求解； （3）设的坐标，根据，分析出P点满足另一圆的方程，结合两圆存在交点即可求解． (1) 小问详解： 设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得 ， 解得 ，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． (2) 小问详解： 已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． (3) 小问详解： 设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）（多选）若两条直线，互相垂直，则的值是（       ） A. 3 B. -1 C. 1 D. 0 2．（25-26学年高二上·甘肃多校）（多选）下列命题中错误的是（       ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 3．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）若直线与直线平行，则的值为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（       ） A. 105° B. 165° C. 15°或75° D. 105°或165° 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）直线倾斜角大小为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（       ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 斜率相等的两直线平行 8．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·甘肃多校）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知实数满足，且，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知两条直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 13．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）（多选）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）是直线与直线垂直的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则m的值为（       ） A. 或 B.  C.  D. 或 16．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知直线，，若，则实数的值是（     ） A.  B.  C.  D. 或 17．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线的倾斜角为120° B. 直线，，若，则 C. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 直线在轴上的截距是 20．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知直线和互相垂直，则　　． 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）直线，直线，若，则　　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）三角形的三个顶点是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积. 24．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知直线：，：，若两直线垂直，则　　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）（多选）直线过点与，则直线的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知直线，其中m，n为常数，满足，则l不同时经过的象限为（       ） A. 第一二象限 B. 第一三象限 C. 第二四象限 D. 第三四象限 3．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）直线的一个法向量可以是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为（     ） A. 4 B.  C. 6 D.  5．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）直线和直线的位置关系为（       ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 6．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值可能是（       ） A.  B. 0 C.  D.  9．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）直线的倾斜角为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为的直线方程为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 直线x=1的斜率为0 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）以下四个命题表述正确的有（       ） A. 直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B. 直线恒过定点 C. ，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  15．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 16．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 6 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 18．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）（多选）已知，，则下面四个选项中正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与直线平行 C. 点在直线上 D. 直线必过定点 19．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若，的中点分别为，，求直线的方程． 20．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）求经过、两点的直线方程； （2）求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； （3）求经过点且斜率为的直线方程． 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 22．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）若直线与直线平行，则　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线经过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点B，O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 24．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）经过点，点. 25．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知的顶点坐标是，为的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 27．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 28．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 29．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为　　　　　　　　　　　． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）直线与的交点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）点到直线的距离（       ） A.  B.  C.  D. 2 3．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）两平行直线，之间的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D.  4．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）已知直线与交于点，则（       ） A.  B.  C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（     ） A. 0 B. 1 C.  D.  6．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（       ） A. 3 B.  C.  D. 无法确定，与有关 8．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（       ） A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B. 的取值范围为 C. 不可能为钝角 D. 当为等边三角形时，点P的坐标为 10．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（       ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 11．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（     ） A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8 12．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 的面积是10 D. 边上的高所在直线方程为 13．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）两平行直线与之间的距离为　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则　　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）若直线与平行，则与的距离为　　　　　. 16．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： （1）点A的坐标； （2）这两条直线与x轴围成的三角形面积． 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知点，点与点关于直线对称，求： （1）过点且与点距离为2的直线的方程； （2）过点且与点距离最大的直线的方程，并求此最大距离. 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·甘肃白银靖远县·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为　　　　　. 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）若直线与直线平行，则直线与的距离为　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知点，直线. （1）求点P到直线l的距离； （2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）以为圆心，为半径的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（       ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（       ） A. 圆心坐标为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值可以是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知点，，直线的方程为：． （1）求直线关于点对称的直线的方程； （2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 13．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程是　　　　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为　　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上，且与直线切于点； （2）圆心在轴上，并且与直线，都相切. 16．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知复数满足，则的范围是　　　　　. 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）在平面直角坐标系中，存在四点，，，. （1）求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系； （2）若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程. 19．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是（       ） A. 5 B. 1 C. 3－5 D. 3＋5 3．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为    A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有3条，则（     ） A. 4 B. 2 C. 16 D. 36 5．（25-26学年高二上·甘肃多校）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（     ） A. 过定点 B. 圆C与y轴相交 C. 若与圆C相交，则 D. 若圆C上的点关于直线的对称点仍在圆C上，则 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  8．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）直线与圆的位置关系（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 9．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）直线分别与x轴，y轴交于两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）（多选）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（       ） A. 若两圆内切，则r＝9 B. 若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2 C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3 D. 若两圆有三条公切线，则r＝2 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）已知圆 ，直线 ，则（       ） A. 直线 恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C. 直线与圆可能相切 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）实数满足，则的最小值为（       ） A. 3 B. 7 C.  D.  15．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）对于直线与圆，下列说法正确的是（     ） A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点的最大距离为8 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（       ） A. 2 B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（     ） A. 线段长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最大值是 D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 20．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知点与圆：，则下列说法正确的有（     ） A. 点在圆上 B.  C. 若AP与圆相切于点，则 D. 若圆A与圆相切，则圆的半径为 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若方程表示圆，则 B. 过两圆和交点的直线方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 圆内一点过点M的最短弦所在直线方程 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知实数满足，，，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）的顶点的坐标分别为. （1）过点A与直线平行的直线方程； （2）的外接圆方程； （3）已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 26．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知直线与圆交于A，B两点，. （1）求实数a的值； （2）若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程. 27．（25-26学年高二上·甘肃天水秦安县第一中学·期中）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 28．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 29．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知圆C：，直线：. （1）若直线与圆C相切，求b的值； （2）若圆C上恰有三个点到直线的距离都等于1.求b的值. 30．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知直线，圆经过、、三点. （1）求圆的标准方程； （2）证明：圆与直线恒相交； （3）求出直线被圆截得的弦长的最小值. 31．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）求过点且与圆相切的直线方程. 32．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 33．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 （1）当时， 求的值； （2）若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 34．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）如果实数x、y满足，那么的最大值是　　　　　　． 35．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知圆，直线. （1）求证：直线l恒过定点； （2）直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 36．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）过点且与圆C：相切的直线方程为　　　　　　． 37．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）圆的概念源于人类对太阳、满月等圆形物体的观察及生产实践，古埃及绳测画圆、古希腊欧几里得理论推导、中国《墨经》概括后，形成系统几何定义.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x，y无关，则实数的取值范围是　　　　　. 38．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 39．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知直线与圆交于两点，若，则　　　　. 41．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． （1）若点，求点M的坐标； （2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 42．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于M，N两点．求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 43．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.    （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值. 44．（25-26学年高二上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·期中）已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. （1）若直线的方程是，求的面积； （2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； （3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 46．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知圆：及其上一点． （1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； （3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 47．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）在下列四个命题中，正确的命题的有　　　　　　　　　　　　　　　　　　. ①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10; ②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则 ；        ③若实数满足的取值范围为 ； ④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7. 48．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 49．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $