27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2 反比例函数的图象和性质 第二十七章 反比例函数 人教版九年级上册 第2课时 反比例函数图象和性质的应用 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题1 问题2 回顾导入 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 (2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这 个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上， 所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足， 所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以该反析比例函数的解式为 . 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) ，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两 点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP=|k|. 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. B P A S 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 反比例函数的面积不变性 Q 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 【归纳总结】 新知探究 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA， SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4. ∴ 反比例函数的解析式为 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 y x O P A k 的绝对值为12 图象在第二、四象限，故 k＜0 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 根据面积得出 |k| 为3，未说明图象经过的象限，因此 k 等于3或-3 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易 知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于 点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2， 而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3. F S1 S2 S3 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 y D B A C x 例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___. 3 2 5 方法指导：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形. O 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___. 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 新知探究 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 例 6 函数 y = kx－k 与 的图象大致是( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B a＞0， a＜0，矛盾 a＞0 a＞0，成立 不满足与 y 轴交点为（0，1） a＜0， a＞0，矛盾 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x O －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法指导：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了. 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 ． －1 2 y x O A B －1< x <0 或 x >2 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故 点P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． (2，6) 和 (－2，－6) 解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 探究点3：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 1. 教材变式题 已知反比例函数y＝－ ，下列说法正确的是（　C　） A. 函数图象在第一、第三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、第四象限 D. y随x的增大而增大 C 随堂练习 2. 若点A（x1，－2），B（x2，－1），C（x3，1）都在反比例函数y＝ 的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　D　） A. x1＜x2＜x3 B. x3＜x1＜x2 C. x3＜x2＜x1 D. x2＜x1＜x3 D 3. 教材变式题 如果反比例函数y＝ 的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，那么k的取值范围是（　C　） A. k≤－3 B. k≥－3 C. k＞－3 D. k＜－3 C 4. （易错题）对于函数y＝ ，当函数值y＞－1时，自变量x的取值范围是 　x＜－2或x＞0　. 5. 数形结合思想 在函数y＝ （k为常数）的图象上有三个点 （－2，y1），（－1，y2）， ，则y1，y2，y3的大小关系为 　y2＜y1＜y3　（用“＜”连接）. x＜－2或x＞0　 y2＜y1＜y3　 6. 反比例函数y＝（3m－1） 的图象在每个象限内，y都随x的增大而增大，则该反比例函数的解析式为 　y＝－. y＝－ 　 （1） 求两个函数的解析式； 解：（1） 令y＝3x－2k＝6，得x＝ ，令y＝ ＝6，得x＝ ，则 ＝ ，解得k＝－5.∴ 一次函数的解析式为y＝3x＋10，反比例函数的解析式为y＝－ 　 7. 已知一次函数y＝3x－2k的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6. （2） 结合图象求出3x－2k＜ 时，x的取值范围. 解：（2） 令3x＋10＝－ ，解得x＝－2或x＝－ .由图象（图象略）可知，当x＜－2或－ ＜x＜0时，3x＋10＜－ 8. 双曲线y＝ 与直线y＝kx＋b相交于点M（1，3）和点N，点N的纵坐标为－1，则关于x的方程kx＋b＝ 的解为 　x1＝1，x2＝ . （第8题） x1＝1，x2＝－3 9. 教材变式题 已知反比例函数y＝ （m≠0）的图象经过点 . （1） 求m的值. 解：（1） 由题意，得m＝3× ＝－4　 （2） 函数图象在哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大而怎样变化？ 解：（2） ∵ m＝－4，∴ 反比例函数的解析式为y＝－ . ∵ －4＜0，∴ 函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大　 （3） 当－3≤x≤－ 时，求y的取值范围. 解：（3） ∵ y＝－ ，∴ 当x＝－3时，y＝ ；当x＝－ 时，y＝8.∴ 易得当－3≤x≤－ 时， ≤y≤8 10. 已知点（m－1，y1），（m＋1，y2）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上.若y1＞y2，则m的取值范围是（　B　） A. m≠±1 B. m＞1或m＜－1 C. －1＜m＜1 D. －1＜m＜0或0＜m＜1 B 11. 已知反比例函数y＝ 的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是 　m＞. m＞ 12. [2025山西]如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点C. 已知点A的坐标为（－2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上，纵坐标为2. （1） 求反比例函数的解析式和点B的坐标； 解：（1） ∵ 点C的坐标为（1，6），且在反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上，∴ 6＝ ，即k＝6. ∴ 反比例函数的解析式为y＝ .设直线AC对应的函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）.把A（－2，0）， C（1，6）分别代入，得 解得 ∴ 直线AC对应的函数解析式为y＝2x＋4.令x＝0，则y＝4.∴ 点B的坐标为（0，4） （第12题） （2） 连接BD，OD，求四边形ABDO的面积. 解：（2） ∵ 点D在反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上，纵坐标为2，∴ 2＝ ，解得x＝3.由题意知，OA＝2，OB＝4，∴ S四边形ABDO＝S△AOB＋S△BOD＝ OA·OB＋ OB·xD＝ ×2×4＋ ×4×3＝10 （第12题） 13. 如图，反比例函数y＝ 与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A（1，8），B（－4，m）. （1） 求k1，k2，b的值. 解：（1） ∵ 点A（1，8）在反比例函数y＝ 的图象上，∴ k1＝8.∴ 反比例函数的解析式为y＝ .∵ 点B（－4，m）在反比例函数y＝ 的图象上，∴ m＝－2.∴ 点B的坐标为（－4，－2）.∵ 点A（1，8），B（－4，－2）在一次函数y＝k2x＋b的图象上，∴ 解得 （第13题） （2） 求△AOB的面积. 解：（2） 由（1）知，一次函数的解析式为y＝2x＋6，设其图象与y轴的交点为C，则易得点C的坐标为（0，6）.∴ S△AOB＝S△COB＋S△AOC＝ ×4×6＋ ×1×6＝15 （第13题） （3） 若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y＝ 图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，则点M，N分别位于哪个象限？请说明理由. 解：（3） 点M位于第三象限，点N位于第一象限　理由：∵ k1＝8＞0，∴ 反比例函数y＝ 的图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小.∵ 当x1＜x2时，y1＜y2，∴ 点M，N在不同的象限.∴ 点M位于第三象限，点N位于第一象限. （第13题） 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 课堂小结 $