3.1.2椭圆的简单几何性质（分层作业，14大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 3.1.2椭圆的简单几何性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求椭圆的焦点、焦距 题型02 椭圆中x、y的取值范围 题型03 椭圆的对称性 题型04 求椭圆的顶点坐标 题型05 求椭圆的长轴、短轴 题型06 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型07 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 B组 能力进阶 题型01 求共焦点的椭圆方程 题型02 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型03 点和椭圆的位置关系 题型04 根据离心率求椭圆的标准方程 题型05 相同离心率的椭圆的方程 题型06 由椭圆的离心率求参数的取值范围 C组 思维拔高 题型 新定义问题 求椭圆的焦点、焦距题型01 1．椭圆的焦点坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在轴上，且，， 则，故焦点坐标为，故选B. 2．（25-26高二上·广东东莞·联考）椭圆的焦点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程分析可知焦点在x轴上，，即可得焦点坐标. 【详解】椭圆方程为，即， 可知，且焦点在x轴上， 则，所以焦点坐标为. 故选：C. 3．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 4．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 5．（25-26高二上·安徽池州·质检）已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，则有四边形为平行四边形，即，根据椭圆的定义得，即，则利用基本不等式得到的最小值为，根据已知条件得到，求出的值，利用公式求出的值，由C的焦距为，从而求出焦距的值． 【详解】设椭圆的右焦点为， 则四边形为平行四边形，即，又， 则， 则 ，当且仅当时取等号， 又的最小值为，则，解得，则， 即C的焦距为． 故答案为：. 椭圆中x、y的取值范围题型02 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 2．（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 3．已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解. 【详解】 因为椭圆：，所以，，所以， 所以，， 因为点 在上，所以，所以，， 又，，所以， 又，， 所以， 因为大于，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：. 4．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围． 【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又，消去整理得： ，解得(舍去)或， 同得，所以，即， 若，则，又，消去整理得： ，解得或， 舍去． 所以，所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 故选：D． 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 椭圆的对称性题型03 1．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答. 【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形， 因此，而椭圆：的长半轴长， 所以. 故选：D 2．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】设椭圆的右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可求解. 【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，， 设椭圆的右焦点为，且，可得， 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：B. 3．是坐标原点，是椭圆：上一点且在第一象限，是椭圆的右焦点，延长，分别交于，两点，已知，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设左焦点，连接，，，设，根据对称性以及椭圆的定义求出、、、，根据对称性由，可得，在中由勾股定理可得，在中由勾股定理可得的关系，进而可得离心率. 【详解】设椭圆左焦点，连接，，， 设，由对称性可得， 由椭圆的定义可得：，，， 因为，，所以， 在中，由勾股定理可得， 即，解得：， 在中，，，， 由，可得，即， 所以离心率， 故选：D. 4．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______． 【答案】 【分析】根据题意判断，以为直径的圆与椭圆有4个交点，再求得点P在y轴上时的离心率，最后根据椭圆的离心率越大椭圆越扁求得答案. 【详解】由椭圆的对称性，为直角，共有4个位置，为直角，共有4个位置，于是以为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，，于是，若要满足题意，. 故答案为：. 5．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【答案】 【分析】需要排除x轴的情况，假设，坐标并根据，坐标表示出，坐标，写出直线和直线方程，由、在椭圆上可得，设出中点，结合相交弦定理和平行四边形性质或者过、、、四点的圆的方程得到，联立直线的方程和椭圆方程并根据韦达定理得到，在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程即可解得实数的值. 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，、为椭圆长轴两端点， 故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径， 而、又在椭圆上，显然矛盾，故轴的情况不存在，即直线的斜率存在. 设，，则，. 设（其中），并设，. 由、在椭圆上可得，从而. 法一： 设中点为，由相交弦定理和平行四边形性质有和，，故,即， 于是可得① 及②， 由、、在椭圆上可得，，③， 于是有④， 结合①③④可得， 代入②可得，结合可得， 联立得，由韦达定理知， 进而， 注意在椭圆上，于是有，即， 即，解得. 法二： 由于、、、四点均满足和， 故过、、、四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得. （下同法一） 求椭圆的顶点坐标题型04 1．（25-26高二上·陕西榆林·联考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 2．已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率及即可得出判断． 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，， 所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形， 故选：B． 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆基本性质结合两点间斜率公式求得即可得解. 【详解】，则，，即椭圆方程为， 设，，，且，即， ， . 故选：C. 4．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】先求出，由可得，，进而得到直线的方程为，，可求得，再建立方程可求得，可得，进而结合椭圆定义求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以直线的方程为， 联立，解得或，即， 则，， 由，则，则， 则，即， 则，整理得，即， 又，则，即， 则，， 则直线的方程为，而椭圆， 联立，解得或，即， 则，解得，则， 所以的周长为. 故选：B. 5．（25-26高二上·宁夏·月考）已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 【答案】## 【分析】由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 求椭圆的长轴、短轴题型05 1．（25-26高二上·四川·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】由椭圆的标准方程可得，继而得解. 【详解】由题可知，，故长轴长. 故选：B. 2．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．12 B．24 C．10 D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为. 【详解】由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为； 对于大椭圆可得， 设小椭圆的长轴长为，则，解得. 故选：B 3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解． 【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为； 当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为． 故选：D． 4．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可. 【详解】 如图，连接在和中， 利用角平分线定理可得 由等比定理可得从而. 故椭圆的短轴长为，故B正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到，再求解短轴长度即可． 5．设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______． 【答案】 【分析】的最小值为，即，解得答案. 【详解】的最小值为，即，解得，长轴长为. 故答案为： 求椭圆的离心率或离心率的取值范围题型06 1．（25-26高三下·河南·月考）已知椭圆的焦距为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的焦距为，，， 椭圆的离心率为． 2．已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数量积为0可得，设，可得，根据椭圆的定义及勾股定理可得与的等量关系，利用离心率公式即可求解. 【详解】解：因为，所以为直角三角形，且. 设，因为，所以. 则，， 则该椭圆的离心率为. 故选:C. 3．设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 可得， 又由，所以， 所以 . 故选：B. 4．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 5．已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用中点公式及点位置可得答案. 【详解】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为：    椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系题型07 1．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D. 考点：椭圆的离心率． 2．万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解. 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的长轴长为：． 故选：B． 3．下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的性质：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，进行判断即可. 【详解】在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率. 根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又， 所以椭圆更接近于圆. 故选：. 4．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 【答案】C 【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D． 【详解】A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； B选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； C选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C错误； D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确. 故选：C． 5．（24-25高二上·四川·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是______． 【答案】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 求共焦点的椭圆方程题型01 1．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆化为标准方程，故焦点为，由题意可得，解方程即可得解. 【详解】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故选：C 2．写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据椭圆的标准方程，以及分析即可 【详解】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取 故答案为：（答案不唯一） 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且与椭圆有共同的焦点； (2)经过 两点． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由条件可设所求椭圆方程为，利用已知条件求出，，即可得解． （2）设椭圆方程为 ，代入点坐标，求得，，即可得答案． 【详解】（1）椭圆，即，故， 焦点为， ， 设所求椭圆的标准方程， 所以 , 解得 ， 所以所求椭圆的标准方程为; （2）设所求椭圆的方程， 将代入上式得 , 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 5．已知椭圆的左右焦点分别为、. (1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标； (2)若点在椭圆上，且，求的外接圆的方程； (3)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程. 【答案】(1)长轴长；短轴长；， (2) (3) 【分析】（1）根据方程求，即可得结果；（2）根据椭圆定义可得，结合题意可求，进而可得三角形是直角三角形，即可求外接圆方程；（3）根据题意设椭圆方程，代入点运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，则， 故长轴长，短轴长，焦点坐标，. （2）若点在椭圆上，则， ∵ 所以，， 又∵，则，即三角形是直角三角形， ∴三角形的外接圆心为，半径，则外接圆方程为. （3）由题意设所求椭圆方程为， 代入点得，解得，（舍去）， 所以所求方程为. 根据椭圆的有界性求范围或最值题型02 1．（24-25高二上·湖南·月考）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 2．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值． 【详解】由题意，点F为椭圆的左焦点，， 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为， 设椭圆C的右焦点为， ， ， ，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力． 3．（24-25高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 故答案为：. 4．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．笛卡尔通过解析几何，将代数的精确性与几何的直观性结合，不仅推动了数学的变革，还为科学提供了强大的分析工具，其坐标系思想至今仍是科学与工程中不可或缺的基础．在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．类似地，在空间直角坐标系中，我们也定义曲面的方程和方程的曲面．已知在空间直角坐标系中，曲面，是轴与的公共点，且是的四等分点，点在上，，． (1)证明：在上，且平面； (2)当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设与平面所成的角分别为，当在上运动时，求的取值范围． 【答案】(1) 因为点在上，所以，从而，所以点在上， 又，且不重合，所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆方程的对称性判断点在椭圆上，再通过向量相等证明线线平行，进而证明线面平行. （2）根据空间中线段长度关系将求OM最小值转化为求OM'最小值，利用椭圆性质得到OM'最小值，然后通过求平面法向量，利用向量夹角公式求面面夹角的余弦值. （3）先明确线面角，再根据两角和的正切公式得到的表达式，结合椭圆性质和二次函数性质求其取值范围. 【详解】（1）略 （2）取点，连结，则平面， 因为平面，所以，从而，故取最小值当且仅当取最小值， 在平面直角坐标系中，点在椭圆，从而可得的最小值为，平面的一个法向量， ，， 设平面的法向量，则即 整理得令，得，所以， 设平面与平面的夹角为，则． （3）由（2）可知，分别是在平面内的射影，故分别是直线与平面所成角，即， 设，则，，所以， 易得在平面直角坐标系中，为椭圆的焦点， 所以，即，从而，， 又当时，，所以，所以的取值范围为． 点和椭圆的位置关系题型03 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．点在椭圆的内部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果. 【详解】因为点在椭圆的内部，所以,解得,选A. 【点睛】本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题. 3．若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为点在椭圆的内部，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点是椭圆的某条弦的中点， 则点在椭圆的内部，所以，解得或. 故选：A. 4．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高三下·北京·期中）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为：，其长轴长为； (2)在椭圆上，理由如下： 由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程和长轴长； （2）求出方程，设出点的坐标，进而写出方程，从而求得的坐标；再结合已知条件，求得方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断. 【详解】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）略 根据离心率求椭圆的标准方程题型04 1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 2．椭圆的离心率为，则    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】椭圆方程，焦点在轴上，令. 其中，，离心率，则. 代入得，，. 解得，又，故. 3．已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出即可得解. 【详解】由题可知，，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 5．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 相同离心率的椭圆的方程题型05 1．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 2．（24-25高二上·江西宜春·月考）的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 3．（25-26高二上·江苏·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1)离心率为，椭圆方程为； (2). 【分析】（1）由题意计算出椭圆的，即得离心率； （2）利用椭圆的定义以及条件，列方程，可解出的值，即得面积. 【详解】（1）椭圆 的离心率 ， 对于椭圆 ，焦点为 和 ，焦距，所以. 又椭圆的离心率 ，得， 再由，得， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）椭圆 的半长轴 ， 由椭圆的定义知，任意点 在椭圆上，有， 联立得，解方程得， 由得：，故， 故的面积. 由椭圆的离心率求参数的取值范围题型06 1．椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：A. 2．若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可. 【详解】若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得， 若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得，综上，或. 故选：C 3．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 4．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则__________. 【答案】2 【详解】椭圆，椭圆的焦点在轴上，， 则离心率，即，由解得， 椭圆的长轴长为， 由椭圆的定义可知，. 故答案为：2 5．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________． 【答案】## 【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果. 【详解】因为椭圆：的离心率为，则， 又因为，即， 则，可得， 所以，① 又因为，可得，② 又因为，③ 由①②③知，， 在中，由余弦定理可得， 可得为锐角，则， 所以，即的斜率为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 新定义问题题型 1．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为右顶点和是上顶点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F的坐标，利用向量与向量乘积为0，得到. 【详解】设椭圆的方程为， 由已知，得 则 离心率 即 故答案选D 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题. 2．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为， 因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上， 所以该圆与已知圆相切， 又两圆圆心间距离为， 所以或（无解，舍去），解得 故选：C. 3．某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件做出截面图，根据二面角的平面角的定义及锐角三角函数，结合椭圆的离心率公式及三角函数的特殊值对应的特殊角的即可求解. 【详解】设椭圆与圆柱的轴截面如图所示， ，则为“切面”与所在平面与底面所成的角，设. 设圆柱的直径为,则为椭圆的长轴，短轴为，则 椭圆的长轴长为，短轴为， 所以椭圆的离心率为， 所以 故选：D. 4．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 【答案】(1)这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； (2)证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3) 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可； （3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可. 【详解】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （2）略 （3）设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义. 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1) 记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P，分析的值，结合椭圆定义可解. （2）①求出两条切线的直线方程，进而求出的方程，表示出斜率，.即可求得结果. ②联立与椭圆的方程，消去x得关于y得一元二次方程，利用韦达定理以及三角形的面积表示出，再求出，再利用换元法以及对勾函数即可求得结果. 【详解】（1）由题知，,记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P, 则点A在圆周上，折痕l为线段的垂直平分线，如图所示： 则有,可知，, 所以点p的轨迹是以为左右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以，所以折痕围成轮廓的圆锥曲线方程为 （2） ①设，椭圆在点M处的切线方程 为，因为点P在切线上，所以<1>， 下面证明为椭圆在点M处的切线方程： 联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. 同理：椭圆在点N处的切线方程为， 因为点P在切线上，所以<2>, 由<1>和<2>两式可知，点在直线， 则，又，所以. ②由①知，直线的方程为，即，因为当时，此时不存在，则， 与x轴交于点，首先由，解出, 代入中得， 整理得， 由韦达定理得，， 则 ， 设过点的椭圆切线方程为， 与椭圆方程联立得, 因为直线与相切，故判别式， 化简得，因为两条折痕垂直，故， 整理得，当时，此时不存在，则， 则， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号，故， 根据对勾函数性质知：当或时，即或时，，故面积的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：求出两条切线的直线方程，进而求出的方程，表示出斜率，.即可求得结果.联立与椭圆的方程，消去x得关于y得一元二次方程，利用韦达定理以及三角形的面积表示出，再求出，再利用换元法以及对勾函数即可求得结果. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.2椭圆的简单几何性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求椭圆的焦点、焦距 题型02 椭圆中x、y的取值范围 题型03 椭圆的对称性 题型04 求椭圆的顶点坐标 题型05 求椭圆的长轴、短轴 题型06 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型07 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 B组 能力进阶 题型01 求共焦点的椭圆方程 题型02 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型03 点和椭圆的位置关系 题型04 根据离心率求椭圆的标准方程 题型05 相同离心率的椭圆的方程 题型06 由椭圆的离心率求参数的取值范围 C组 思维拔高 题型 新定义问题 求椭圆的焦点、焦距题型01 1．椭圆的焦点坐标为 A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·联考）椭圆的焦点为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 5．（25-26高二上·安徽池州·质检）已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 椭圆中x、y的取值范围题型02 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 2．（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 椭圆的对称性题型03 1．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 3．是坐标原点，是椭圆：上一点且在第一象限，是椭圆的右焦点，延长，分别交于，两点，已知，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______． 5．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 求椭圆的顶点坐标题型04 1．（25-26高二上·陕西榆林·联考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 5．（25-26高二上·宁夏·月考）已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 求椭圆的长轴、短轴题型05 1．（25-26高二上·四川·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．12 B．24 C．10 D． 3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 4．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 5．设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______． 求椭圆的离心率或离心率的取值范围题型06 1．（25-26高三下·河南·月考）已知椭圆的焦距为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 4．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系题型07 1．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A． B． C． D． 2．万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）． A． B． C． D． 3．下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 4．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 5．（24-25高二上·四川·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是______． 求共焦点的椭圆方程题型01 1．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2．写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________． 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且与椭圆有共同的焦点； (2)经过 两点． 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 5．已知椭圆的左右焦点分别为、. (1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标； (2)若点在椭圆上，且，求的外接圆的方程； (3)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程. 根据椭圆的有界性求范围或最值题型02 1．（24-25高二上·湖南·月考）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　 A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 4．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 5．笛卡尔通过解析几何，将代数的精确性与几何的直观性结合，不仅推动了数学的变革，还为科学提供了强大的分析工具，其坐标系思想至今仍是科学与工程中不可或缺的基础．在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．类似地，在空间直角坐标系中，我们也定义曲面的方程和方程的曲面．已知在空间直角坐标系中，曲面，是轴与的公共点，且是的四等分点，点在上，，． (1)证明：在上，且平面； (2)当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设与平面所成的角分别为，当在上运动时，求的取值范围． 点和椭圆的位置关系题型03 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．点在椭圆的内部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 5．（24-25高三下·北京·期中）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 根据离心率求椭圆的标准方程题型04 1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 2．椭圆的离心率为，则    ） A．2 B． C．4 D． 3．已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 相同离心率的椭圆的方程题型05 1．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______. 2．（24-25高二上·江西宜春·月考）的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 3．（25-26高二上·江苏·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 由椭圆的离心率求参数的取值范围题型06 1．椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 2．若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 3．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则__________. 5．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________． 新定义问题题型 1．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为右顶点和是上顶点，则 A． B． C． D． 2．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $