专题09 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题七类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题09 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分参法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型二、法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型三、最值法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型五、利用基本不等式解决恒成立（能成立）问题 题型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题与集合、常用逻辑用语的融合 题型七、其他类型不等式中的恒成立（能成立）问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）是高中数学核心重难点，所有题型均围绕分参法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、最值法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、利用基本不等式解决恒成立（能成立）问题、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题与集合、常用逻辑用语的融合、其他类型不等式中的恒成立（能成立）问题七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；二是利用法及基本不等式研究最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分参法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例1 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：．先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. 2.方法：通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 转化为函数的最值： 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 变式1-1已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-2关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 变式1-3已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 类型二、法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例2 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 题型模版 1.特征：法解决一元二次不等式恒成立 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是. 2.方法：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论， 变式2-1若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（  ） A．； B．； C．； D．． 变式2-2关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 变式2-3若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_______ 题型三、最值法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例3已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 题型模版 1.特征：(1)对任意的x∈[m,n]，f(x)>0恒成立；(2)对任意的x∈[m,n]，f(x)<0恒成立 2.方法：分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解 变式3-1已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-2已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 变式3-3已知函数，．若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 题型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例4已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 题型模版 1.特征：在高中数学学习中，“变更主元法”主要解决以下几类问题： (1)含参不等式问题：当不等式中含有参数和变量时，若按照常规以变量为主元求解困难，可将参数视为变量（主元），变量视为常数，将不等式转化为关于参数的函数问题，进而求解参数的取值范围或证明不等式. (2)多元函数最值问题：对于含有多个变量的函数，通过变更主元，将函数转化为关于某一主元的函数，利用一元函数求最值的方法求解，或者通过确定主元与其他变量的关系，进一步分析函数的最值情况. (3)方程问题：在含有多个未知数的方程中，变更主元后可将方程转化为熟悉的一元方程形式，便于求解未知数的值或分析方程的性质 2.方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.。 变式4-1对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 变式4-2对于任意，函数的值恒大于，则的取值范围为 变式4-3已知关于的不等式，若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； 题型五、利用基本不等式解决恒成立（能成立）问题 典例5已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：用基本不等式求最大（小）值： ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 2 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值 S2 ； 利用基本不等式研究最值从而解决恒成立和有解问题，应注意基本不等式成立的条件。 2.方法：求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立 变式5-1知，且，若有解，则实数m的取值范围为（  ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 变式5-2对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-3若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题与集合、常用逻辑用语的融合 典例6 命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：集合、常用逻辑用语中一些问题常常转化为一元二次不等式恒成立和有解问题，常常利用基本不等式求解。 2.方法：对于一元二次不等式在R上恒成立的问题，一般用根的判别式法求解： (1)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的条件为 (2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件为①配凑技巧：拆项（如 ）、添项（如 ）、乘“1”法（ 等）。 ②“1”的代换：已知 ，求 的最小值，乘以 后展开用基本不等式。 ③验证取等条件： 求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。 若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。 口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。 变式6-1已知函数（），则“，”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 变式6-2已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式6-3已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 题型七、其他类型不等式中的恒成立（能成立）问题 典例7若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：绝对值不等式恒成立问题、一元一次不等式与一元二次不等式融合恒成立问题等。 2.方法：分参法或者最值法解决。 变式7-1（多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（  ） A． B．1 C．3 D．5 变式7-2正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-3已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 3．对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D． 5．已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（  ） A． B． C． D． 6．已知，则的最大值为（  ） A．3 B．4 C． D． 7．若不等式对恒成立，则的最大值为（  ） A．2 B． C． D． 8．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选）下列说法正确的有（  ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 10．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 11．已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为 12．已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 13．已知函数，（）． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； 14．设关于x的不等式的解集为A，集合， （1）若对任意的，都有，求实数a的取值范围； （2）若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分参法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型二、法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型三、最值法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 题型五、利用基本不等式解决恒成立（能成立）问题 题型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题与集合、常用逻辑用语的融合 题型七、其他类型不等式中的恒成立（能成立）问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）是高中数学核心重难点，所有题型均围绕分参法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、最值法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题、利用基本不等式解决恒成立（能成立）问题、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题与集合、常用逻辑用语的融合、其他类型不等式中的恒成立（能成立）问题七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；二是利用法及基本不等式研究最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分参法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例1 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，，即 ，故问题转化为在上有解， 设，则，，对于 ，当且仅当时取等号， 则，故 ， 故选：A 题型模版 1.特征：．先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. 2.方法：通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 转化为函数的最值： 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 变式1-1已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解析】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 变式1-2关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【解析】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 变式1-3已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，，所以解集为；当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为（2） 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【解析】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 类型二、法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例2 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【解析】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 题型模版 1.特征：法解决一元二次不等式恒成立 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是. 2.方法：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论， 变式2-1若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（  ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【解析】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 变式2-2关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 变式2-3若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_______ 【答案】4 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【解析】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4 题型三、最值法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例3已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【解析】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 题型模版 1.特征：(1)对任意的x∈[m,n]，f(x)>0恒成立；(2)对任意的x∈[m,n]，f(x)<0恒成立 2.方法：分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解 变式3-1已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【解析】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数值变小，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 变式3-2已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【解析】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 变式3-3已知函数，．若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解析】因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 题型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立（能成立）问题 典例4已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 【答案】 【分析】（由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【解析】由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 题型模版 1.特征：在高中数学学习中，“变更主元法”主要解决以下几类问题： (1)含参不等式问题：当不等式中含有参数和变量时，若按照常规以变量为主元求解困难，可将参数视为变量（主元），变量视为常数，将不等式转化为关于参数的函数问题，进而求解参数的取值范围或证明不等式. (2)多元函数最值问题：对于含有多个变量的函数，通过变更主元，将函数转化为关于某一主元的函数，利用一元函数求最值的方法求解，或者通过确定主元与其他变量的关系，进一步分析函数的最值情况. (3)方程问题：在含有多个未知数的方程中，变更主元后可将方程转化为熟悉的一元方程形式，便于求解未知数的值或分析方程的性质 2.方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.。 变式4-1对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【解析】由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 变式4-2对于任意，函数的值恒大于，则的取值范围为 【答案】或. 【解析】设，因为在上恒大于，所以. ，由得，解得或. ，由得，解得或. 综合得或 故答案为：或 变式4-3已知关于的不等式，若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】，显然该函数单调，所以只需即可. 【解析】设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型五、利用基本不等式解决恒成立（能成立）问题 典例5已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值，然后解不等式即得. 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即，然后解不等式即得． 故选：C 题型模版 1.特征：用基本不等式求最大（小）值： ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 2 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值 S2 ； 利用基本不等式研究最值从而解决恒成立和有解问题，应注意基本不等式成立的条件。 2.方法：求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立 变式5-1知，且，若有解，则实数m的取值范围为（  ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 变式5-2对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值. 【解析】由题设，令，则， 所以，在上恒成立， 当，则，不满足题设； 当，对称轴为，只需，可得. 综上，，故整数的最小值为2. 故选：B 变式5-3若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【解析】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 题型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立（能成立）问题与集合、常用逻辑用语的融合 典例6 命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【解析】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 题型模版 1.特征：集合、常用逻辑用语中一些问题常常转化为一元二次不等式恒成立和有解问题，常常利用基本不等式求解。 2.方法：对于一元二次不等式在R上恒成立的问题，一般用根的判别式法求解： (1)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的条件为 (2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件为①配凑技巧：拆项（如 ）、添项（如 ）、乘“1”法（ 等）。 ②“1”的代换：已知 ，求 的最小值，乘以 后展开用基本不等式。 ③验证取等条件： 求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。 若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。 口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。 变式6-1已知函数（），则“，”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合二次函数的图象及性质即可得到答案． 【解析】由函数是开口向上的二次函数，且， 若，，即方程有正实根， 则，解得，所以充分性成立； 若，则，即方程有实根， 又二次函数的对称轴，即该方程必有正实根， 即，，所以必要性成立， 故“，”是“”的充分必要条件． 变式6-2已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由可得：， 所以，. 又，且，，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立，所以. 由二次函数的性质可知的图象开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A. 变式6-3已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 题型七、其他类型不等式中的恒成立（能成立）问题 典例7若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解； 方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解． 【解析】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得， 故选：A． 题型模版 1.特征：绝对值不等式恒成立问题、一元一次不等式与一元二次不等式融合恒成立问题等。 2.方法：分参法或者最值法解决。 变式7-1（多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（  ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【解析】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 故选：BC． 变式7-2正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【解析】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 变式7-3已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【解析】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故答案为：4 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案. 【解析】当时，关于x的不等式有解， 即在上有解.令，， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，的最小值为6. 故当时，关于x的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合 故选：C 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【解析】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 故选：C 3．对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照，，分类讨论不等式恒成立时的取值范围即可. 【解析】由题得恒成立， 当时，二次函数开口向上， 显然不能恒成立； 当时，得，故不能恒成立； 当时，要使， 则或（舍）. 综上所述，. 故选：B. 4．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或. 故选：A 5．已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，再利用基本不等式求最值. 【解析】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 6．已知，则的最大值为（  ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，即，， 可得，又，故， 即，即， 即， 由题意知，则恒成立， 所以，即， 当时，，， 满足， 所以最大值为4， 故选：B 7．若不等式对恒成立，则的最大值为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 8．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB 9．（多选）下列说法正确的有（  ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】ABC 【分析】讨论的取值，结合一元二次不等式恒成立可得的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误. 【解析】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：ABC. 10．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【解析】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 11．已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为 【答案】 【解析】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 故答案为： 12．已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 13．已知函数，（）． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）恒成立，即恒成立， 故，解得， 的取值范围为； （2）当时，，当时，，故， ①若的对称轴或，此时在区间单调， 则在，处取得最值，所以，解得， 解不满足或，舍去； ②若对称轴，故， 即，解得或， 此时，最大值依然在，处取到，故. 综上所述：. 14．设关于x的不等式的解集为A，集合， （1）若对任意的，都有，求实数a的取值范围； （2）若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）若对任意的，都有，则，， 当时，，符合题意； 当时，方程的判别式， 两根，， 则，不合题意； 当时， 若，即时，，符合题意； 若，即时， 方程两根，， 则， 则当时，， 由于的对称轴为， 则当时，即，所以； 综上所述，； （2）由题意不等式在上恒成立， 所以，即， 所以存在，使不等式成立， 设，则只需或， 即或， 所以或， 所以实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $