6.1.2 向量的加法（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.1.2 向量的加法 6.1平面向量及其线性运算 学 习 目 标 1 2 理解向量加法的定义，掌握向量加法的三角形法则、平行四边形法则，能作出两个向量的和向量；知道零向量参与加法的结论。 掌握向量加法交换律、结合律，能利用法则与运算律化简向量表达式、进行简单向量运算。 理解向量加法的物理背景（位移合成、力的合成），区分向量加法与实数加法的不同。 重点：向量的三角形法则和平行四边形法则。 难点：向量加法运算律。 如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C. (1)分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； 上午的位移：；下午的位移：；一天的位移. (2)这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述. 位移可以看成位移与的和. A B C 目标一：向量的加法 向量的加法的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点，作，，作出向量，则向量称为向量与的和(也称为向量与的和向量).向量与的和向量记作，因此 注意：对于任一向量，有. 5 目标二：向量加法的三角形法则 三角形法则 知识讲解 互动探究 新课引入 当两个向量不共线、共线时，向量加法如何计算？ 当a与b不共线时： 求它们的和可用下图表示. 因为此时，，+b正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则； 当与共线时：求它们的和 可用如图所示. 当两个向量方向相同时： 当两个向量方向相反时： 7 使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 法则解读 如图 ①②③所示，已知向量，作出向量。 对点体验 答 (1)作，则，如图 ①所示。 (2)作，则，如图 ②所示。 (3)作，则，如图 ③所示。 某人第1次的位移为向量：向北走2 km，第2次的位移为向量：向东走2 km，则表示的意义是______。 对点体验 解 如图 ，适当选取比例尺， 作：向北走2 km，：向东走2 km，则。 向量和的三角不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 因为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由向量加法的三角形法则知， 1.当a，b不共线时，恒有<|a+b|<|a|+|b|； 2.当a，b同向共线时，a+b，a，b同向，|a+b|=|a|+|b|； 3.当a，b反向共线时， 若|a|>|b|，则a+b与a同向，|a+b|=|a|-|b|； 若|a|<|b|，则a+b与b同向，|a+b|=|b|-|a|. 综上，向量和的三角不等式≤|a+b|≤|a|+|b|. 11 已知，，求的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时与的关系. 对点体验 由 可知，的最大值为 ， 当且仅当与方向相同时取得最大值. 由 可知，的最小值为 ， 当且仅当与方向相反时取得最小值. 目标三：向量加法的平行四边形法则 从力的合成入手 知识讲解 互动探究 新课引入 从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向，因此力是向量. 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力或所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？ 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则. 因此，情境中的物体不会沿着或所在的方向运动，其会沿着以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线运动. 14 平行四边形法则 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和： 如图所示， 平面上任意给定两个不共线的向量，，在该平面内任取一点，作，， 以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量 15 两种法则对比 知识讲解 互动探究 新课引入 法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)强调“首尾相连”；(2)适用于所有的非零向量求和 (1)强调“共起点”；(2)仅适用于不共线的两个向量求和 联系 当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半   16 如图 ，点 为正六边形 的中心，作出下列向量： (1) ；(2) 。 对点体验 答 (1)因为四边形 是以 为邻边的平行四边形， 是其对角线，故 ，如图 。 (2)因为 ，故 与 方向相同，长度为 长度的 2 倍，故 ，如图 向量求和的多边形法则(回路法) 已知 个向量，依次把这 个向量首尾相接，以第一个向量的始点为始点，第 个向量的终点为终点的向量叫作这 个向量的和向量，这个法则叫作向量求和的多边形法则。现以 4 个向量为例说明，如图 ，已知 ，在平面上任选一点 ，作 ，则 。 向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”。 目标四：向量加法的运算律 交换律 知识讲解 互动探究 新课引入 思考： 数的加法满足交换律，向量的加法是否也满足交换律呢？ 满足交换律 20 结合律 知识讲解 互动探究 新课引入 从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到和向量与另外一个向量相加. 而且我们也已经知道，如同数与数的加法一样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？ 三个向量相加时，最后的结果与求和的顺序无关. 因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序. 21 结合律 知识讲解 互动探究 新课引入 如图所示，(1)中给出了三个向量 a、b、c；(2)中先作出了向量 a+b，然后作出了向量 (a+b)+c；(3)中首先作出了向量 b+c，然后作出了向量 a+(b+c). 不难看出， (a+b)+c=a+(b+c) 即向量的加法运算满足结合律. 22 化简 的结果为______。 对点体验 解 向量的加法要适当地运用运算律来简化运算，要注意运用“首尾相接”的运算规律。。 答   已知下列各式：① ；② ；③ 。其中结果为 的个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.0 对点体验 解 利用向量加法的运算律。① 。② 。③ 。故结果有2个为 。 答 B 下列各式中，不能化简为 的是( )。 A. B. C. D. 对点体验 解 对于 A，； 对于 B，； 对于 C，； 对于 D，。 答 A 目标五：针对训练 举一反三 1.如图所示的方格纸中有定点 ，则 () A. B. C. D. 解析： 如图，设 ， 以 ， 为邻边作平行四边形， 则夹在 ， 之间的对角线对应的向量即为 向量 ，则 与 长度相等，方向相同， 所以 .故选 C. 举一反三 2.（多选）给出下列不等式或等式，其中可能成立的是() A. B. C. D. 解析： A 中，当 与 不共线时成立；B 中，当 时成立；C 中，当 与 共线，方向相反，且 时成立；D 中，当 与 共线，且方向相同时成立. 举一反三 3.若平面向量 两两所成的角相等，且 ，，，则 () A.4 B.8 C.4 或 10 D.10 解析： 当 ，， 两两所成的角为 ，即 ，， 共线同向时， . 当 ，， 不共线时，因为平面向量 ，， 两两所成的角相等，所以两两所成的角应为 ，如图所示，则 ，且 与 共线，方向相反，所以 . 综上， 或 .故选 C. 举一反三 4.若 表示“向东走 ”， 表示“向北走 ”，则 . 解析： 如图所示，作 ，，则 ， 所以 . 举一反三 5.如图，在四边形 中，，且 ，则 . 解析： 因为 ，所以由向量的加法的几何意义可知四边形 是平行四边形. 又因为 ，所以四边形 是菱形，且 ，所以 .   目标六：小结 学海拾贝 1. 两个法则 •三角形法则：首尾相接，起点指向终点，适合任意向量（含共线向量）；位移合成模型。 •平行四边形法则：同起点，作邻边，对角线为和向量；仅适用于不共线向量；力的合成模型。 学海拾贝 2. 运算律 交换律 a+b=b+a；结合律 (a+b)+c=a+(b+c)；多个向量相加可任意调整顺序、分组。 3. 易错点 向量和仍是向量，既有模又有方向；|a+b| 与 |a|+|b| 不一定相等，三角不等式。 共线向量只能用三角形法则，不能画平行四边形。 学海拾贝 4. 思想方法 从物理实例抽象数学概念，数形结合；类比实数运算研究向量运算。 一句话收束：向量加法本质是效果合成，通过几何作图实现运算，运算律为多个向量化简提供依据。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $