6.1.3 向量的减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量的减法运算，涵盖定义、三角形法则及相反向量等核心内容。通过课前自主预习落实基础，课堂梯度进阶式教学连接向量加法与减法，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过多解法训练数学思维，用规范向量语言表达运算过程。如例2提供三种化简方法，助力学生深化理解，教师可借助系统题型设计提升教学效率。

6.1.3 　向量的减法 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义. 2.理解向量加法与减法的关系，掌握向量减法的三角形法则. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量的减法法则 向量 的差 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b+x=a，则称x为向量a与b的差，并记作x=______ 向量减法的三角形法则 在平面内任取一点O，作=a，=b， 作出向量，注意到+=，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即-=_____ 结论 ||a|-|b||___|a-b|___|a|+|b| a-b 2.相反向量 定义 给定一个向量，我们把与这个向量方向______、大小_____的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作____ 性质 (1)因为零向量的始点与终点相同，所以-0=0； (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a+(-a)=___，+(-)=____； (3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的_________ 相反 相等 -a 0 0 相反向量 |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b). (2)注意向量加、减法的三角形法则的区别. (3)以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量=a，=b，则两条对角线表示的向量为=a+b，=b-a，=a-b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并记牢. 基础落实训练 1.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是 (　　) A.=+ B.=- C.=-+ D.=-- 解析：=+=-. √ 2.下列等式： ①0-a=-a；②-(-a)=a；③a+(-a)=0； ④a+0=a；⑤a-b=a+(-b)；⑥a+(-a)=0. 其中正确的个数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析：由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误. 3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则-+等于(　　) A. B. C. D. 解析：-+=++=+0=. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量减法的三角形法则 [例1]　如图，O为△ABC内一点，=a，=b， =c.求作： (1)b+c-a； 解：如图1所示，以为邻边作▱OBDC，连接 OD，AD，则=+=b+c，所以b+c-a=- =. (2)a-b-c. 解：由(1)知，=b+c，如图2所示，则a-b-c=-=. |思|维|建|模| 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+ (-b)即可. (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 针对训练 1.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 针对训练 1.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作=a， =b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 题型(二)　向量加、减法的基本运算 [例2]　化简下列各式： (1)--； 解：法一：--=-=. 法二：--=-(+)=-=. 法三：--=+(+)=+(+)=+=+=. (2)(-)-(-). 解：法一：(-)-(-) =--+=+++ =+++ =+=0. 法二：(-)-(-)=--+=(-)-+=-+=+=0. 法三：设O是平面内任意一点，则(-)-(-)=-- +=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0. |思|维|建|模| 　 利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量. 针对训练 2.(多选)下列各式中，化简结果为的是(　　) A.(-)- B.-(+) C.-(+)-(+) D.--+ √ √ √ 解析：(-)-=++=，故A正确；-(+)= -0=，故B正确；-(+)-(+)=-(+)-(+) =--=-(+)=-=，故C正确；--+=2+ ≠，故D不正确. 题型(三)　用已知向量表示其他向量 [例3]　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示. 解：法一：=+=a+=a+(-)=a+c-b. 法二：=+++=++(+)=++0=+ (+)=a+(-b+c)=a-b+c. |思|维|建|模| (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果. 针对训练 3.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且 =a，=b，=c，试用a，b，c表示向量及. 解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴==c，=-=b-a， =-=c-a， =-=c-b. ∴=+=b-a+c. 题型(四)　向量加、减法几何意义的应用 [例4]　已知||=6，||=9，求|-|的取值范围. 解：∵|||-|||≤|-|≤||+||， 且||=6，||=9，∴3≤|-|≤15. 当与同向时，|-|=3； 当与反向时，|-|=15. ∴|-|的取值范围为[3，15]. 变式拓展 1.将本例的条件改为“||=8，||=5”，求||的取值范围. 解：因为=-，||=8，||=5， |||-|||≤|-|≤||+||， 所以3≤||≤13. 当与同向时，||=3； 当与反向时，||=13. 所以||的取值范围是[3，13]. 2.将本例中条件“||=9”改为“||=9”，求||的取值范围. 解：∵=-， 又||=||， ∴|||-|||≤|-|≤||+||. ∴3≤||≤15. ∴||的取值范围是[3，15]. |思|维|建|模| (1)向量a，b的模与a-b的模之间满足的关系式为||a|-|b||≤|a-b|≤|a| +|b|. (2)利用|a|，|b|，|a+b|，|a-b|的几何意义画出图形，数形结合求解所求的模.　 针对训练 4.设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||=4，|+|=|-|，则||=(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 √ 解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知=+=-.因为|+|=|-|，所以||=||.又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此||=||=2. 5.已知a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，求的值. 解：设=a，=b，则=-=a-b. ∵|a|=|b|=|a-b|， ∴BA=OA=OB.∴△OAB为正三角形. 设其边长为1，则|a-b|=||=1，|a+b|=2×=. ∴==. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.化简-++的结果等于(　　) A. B. C. D. √ 解析：原式=-=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在平行四边形ABCD中，=a，=b，则的相反向量是(　　) A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b √ 解析：因为=-=b-a，所以的相反向量为a-b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.下列运算正确的是 (　　) A.-= B.-= C.-= D.-=0 √ 解析：根据向量减法的几何意义，知-=，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，-应该等于0，而不是0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是 (　　) A.若|a|+|b|=|a+b|，则a与b方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|，则a与b方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|，则a与b有相等的模 D.若||a|-|b||=|a-b|，则a与b方向相同 √ 解析：当a，b方向相同时，有|a|+|b|=|a+b|，||a|-|b||=|a-b|；当a，b方向相反时，有||a|-|b||=|a+b|，|a|+|b|=|a-b|.因此A、B、D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图，向量=a，=b，=c，则向量=(　　) A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c √ 解析：依题意，得=-=+-=b+c-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 √ 解析：-=-=，而在平行四边形ABCD中，=，所以-=-.又=a，=b，=c，=d，所以b-a=c-d，即a-b+c-d=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在平行四边形ABCD中，|+|=|-|=4，且∠BAC=∠CAD，则四边形ABCD的面积为(　　) A.4 B.4 C.8 D.4 解析：在平行四边形ABCD中，+=-=，因为|+|=|-|，所以四边形ABCD为矩形，又∠BAC=∠CAD，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为×4×4=8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知向量a，b满足|a|=1，|a-b|=，则|b|的取值范围为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为b=a-(a-b)，可知|b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|=，当且仅当a，a-b反向时，等号成立；|b|=|a-(a-b)|≥||a|-|a-b||=，当且仅当a，a-b同向时，等号成立；所以|b|的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)化简：(-)-(-)=___.  解析：原式=--+ =(-)+(-) =+=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则--++=______.  解析：--++=(-)-(-)+=-+ =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在△ABC中，||=||=||=1，则|-|=______.  解析：如图，在△ABD中，AB=BD=1，∠ABD=120°， -=+=+=. 易求得AD=，即||=.所以|-|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，在正五边形ABCDE中，若=a，=b，=c，=d，=e，求作向量a-c+b-d-e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e) =(+)-(++)=-=+. 如图，连接AC，并延长至点F， 使CF=AC，则=， 所以=+， 即为所求作的向量a-c+b-d-e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知非零向量a，b满足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，求|a+b|的值. 解：设=a，=b，则||=|a-b|. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB(图略)，则||=|a+b|. ∵(+1)2+(-1)2=42，∴||2+||2=||2. ∴OA⊥OB.∴平行四边形OACB是矩形. ∵矩形的对角线相等，∴||=||=4，即|a+b|=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心.求证：=++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明：如图，作出△ABC外接圆的直径BD， 连接AD，CD，则=-，DA⊥AB，DC⊥BC. 又因为AH⊥BC，CH⊥AB，所以CH∥DA，AH∥DC. 所以四边形AHCD是平行四边形. 所以=. 又=-=+， 所以=+=+=++. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $