精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2026-2027学年高二上学期调研考试一数学试题

泊头一中2025级高二上学期调研考试一 数学试卷 一、单选题 1. 若向量，且与的夹角余弦为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量的夹角公式即可求得. 【详解】因为向量， 所以， 解得：. 故选：C 2. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 3. 已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线与圆相切得到的关系式，然后利用“”的妙用结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】因为圆与直线相切， 所以，所以， 所以， 取等号时， 所以的最小值为. 故选：D. 4. 在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，根据重心性质得到，再根据为的中点，求出. 【详解】取的中点，连接， 因为为的重心，所以， 又， 则， 因为，所以为的中点， 故. 故选：B 5. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解余弦值，再利用二倍角公式求出答案即可. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系得：， ，而的夹角为 又 则， 由于， 故选：B. 6. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则 B. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为 C. 经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，利用倾斜角的直线不存在斜率判断即可得解；对于选项B，设出，的坐标，利用中点，建立坐标的关系式，又在圆上，将代入圆的方程即可得解； 对于选项C，经过点且在轴和轴上截距都相等，则此直线一定存在斜率，设此直线方程为点斜式，求出轴和轴上的截距，利用轴和轴上截距相等进行计算求解即可；对于选项D，求出直线恒过定点，求出，，直线的斜率为，由直线与线段有交点，得到或，代入，，计算求解即可. 【详解】对于选项A，当一条直线的倾斜角时，这条直线的斜率不存在，故选项A错误； 对于选项B，设，，与所连线段中点为， ，，在圆上，， ， ，，故选项B正确； 对于选项C，经过点且在轴和轴上截距都相等，则此直线一定存在斜率， 设此直线方程为，当时，，则纵截距为， 当时，，则横截距为， 经过点且在轴和轴上截距都相等， ，， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为，故选项C错误； 对于选项D，如图，直线恒过定点，， ，， 直线的斜率为， 又直线与线段有交点， 或， 或， 或， 的取值范围是， 故选项D错误. 故选：B. 7. 若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交， ∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又， ∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 8. 在三棱锥中，已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】以，，为基底，根据已知列方程，结合重要不等式可解. 【详解】设，，，∵， ∴， 又∵，∴， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是． 故选：B 二、多选题 9. 已知直线及圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线截圆所得弦长最小值为2 C. 存在，使得直线与圆相切 D. 存在，使得圆关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当时，直线截圆所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点在圆内，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，代入计算即可. 【详解】A选项，由， 得，解得，所以直线过定点为，故A正确； B选项，由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为， 当时，直线截圆所得弦长最短，因为， 则最短弦长为，故B正确； C选项，，故点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误； D选项，当直线过圆心时，满足题意，此时，解得， 故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与直线垂直，则 C. 当点到直线的距离取到最大时，此时 D. 直线与圆所截得的最短弦长为1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用垂直的充要条件可判定B， 利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系及弦长公式可判定C、D. 【详解】对于A，由， 令，即直线恒过定点，故A错误； 对于B，若直线与直线垂直， 则有，所以，故B正确； 对于C，易知点到直线的距离 ，即， 解之得，故C正确； 对于D，， 即该圆圆心为，半径为， 则到的距离为， 所以直线与圆所截得的弦长为， 即越大，弦长越小，则弦长最小为，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，有一组圆都内切于点，圆：，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 存在，使得圆与轴相切 C. 圆被轴截得的弦长最小值为2 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的圆心和点可判断A，求出圆的圆心和半径，结合相切的条件可判断B，求出弦长的表达式可判断C，求出，的纵坐标可判断D. 【详解】对于A，圆：的圆心为， 因为，均在直线上， 由两圆内切时，圆心的连线必过切点可知，圆的圆心都在直线上，A正确； 对于B，因为，圆的半径为，所以， 设点，则，且； 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为； 若圆与轴相切，则，即， 因为不存在，使得圆与轴相切，B错误； 对于C，由前面可知，圆的圆心坐标为，半径为， 记圆被轴截得的弦长为，则， 由可得， 所以当时，取到最小值2，C正确； 对于D，圆的方程为， 令得点的纵坐标为，所以的纵坐标为，所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得关于直线的对称点，直线即反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则线段的中点为，直线的斜率为， 则，解得，则. 所以反射光线所在直线为直线， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 13. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】曲线的图像是一个半圆，结合图象通过讨论直线的位置，求出的范围即可. 【详解】解：曲线方程变形为，表示圆心为，半径为2的下半圆， 根据题意画出图形，如图所示： 当直过时，将坐标代入直线方程得：，即； 当直过时，将代入直线方程得：，即； 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离， 即，即，（舍）或， 则直线与曲线只有一个公共点时的范围为：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查了直线和圆的关系，是一道中档题. 14. 已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式将转化为,根据几何意义，可得与圆相切时，最小，最大，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】 ， 可得与圆相切时，最小，最大， 即当与圆相切时，比值最小， 在中，， 结合两点坐标，可得， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质，三角形面积公式的应用，两角差的正切公式、特殊角的三角函数，意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 四、解答题 15. 已知圆与圆相交于A、B两点. （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两圆方程相减即可得到公共弦AB所在直线方程； （2）通过过交点的圆系方程设出圆，代入原点求解即可. 【小问1详解】 ，① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为. 【小问2详解】 设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 16. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试求经过三点的圆的标准方程； （2）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】（1） （2）设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为， 由（1）知圆心为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区， 直线与圆截得的弦长为 ， 行驶时长 小时，即在安全预警区内行驶时长为半小时. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，设出圆的一般方程，由三点的坐标列出方程组即可求解； （2）设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全预警区内行驶时长. 【小问1详解】 由题意得，，设圆的方程为 ， 因为该圆经过三点，所以，得到 ， 所以该圆的方程为， 化成标准方程为. 【小问2详解】 略. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点. （1）证明：平面. （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形有，结合面面垂直的性质易得面，再由线面垂直的性质有，由勾股定理知，即可证平面. （2）过D作，构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，标注、、、的坐标，进而求面、面的法向量，利用法向量夹角与二面角夹角的关系求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）∵为的中点， ∴， ∵直三棱柱中，面面，面，面面， ∴面，又面，即， 由题设易知：，故，又， ∴，则，又， ∴平面. （2）过D作，由（1）可构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示： ∴由题意：，，，， ∴，，， 显然，是面的一个法向量， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，由图知：钝二面角的余弦值为. 18. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或 （2）①； ②证明：由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 ①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长性质（过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短），结合圆的标准方程求解参数； （2）（i）：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合 “定值” 的代数意义（系数与常数项分别相等）求解点的坐标； （2）（ii）：利用（i）的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与最值分析. 【小问1详解】 圆的最长弦为直径，所以，得. 最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 因为点在圆上，所以将代入上式， 得， 因为该式的值为常数，所以，解得（舍去）， 所以点的坐标为. （ii）由（i）可知，所以. 所以， 易知，，当点在线段DA上时等号成立， 故的最小值为，即原式的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泊头一中2025级高二上学期调研考试一 数学试卷 一、单选题 1. 若向量，且与的夹角余弦为，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 16 4. 在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则 B. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为 C. 经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是 7. 若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知直线及圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线截圆所得弦长最小值为2 C. 存在，使得直线与圆相切 D. 存在，使得圆关于直线对称 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与直线垂直，则 C. 当点到直线的距离取到最大时，此时 D. 直线与圆所截得的最短弦长为1 11. 如图，有一组圆都内切于点，圆：，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 存在，使得圆与轴相切 C. 圆被轴截得的弦长最小值为2 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 三、填空题 12. 已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 13. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______. 14. 已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为______. 四、解答题 15. 已知圆与圆相交于A、B两点. （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程. 16. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试求经过三点的圆的标准方程； （2）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点. （1）证明：平面. （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $