6.4平行线（分层作业，26大题型）数学新教材苏科版七年级上册

分层作业 6.4 平行线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 平面内两直线的位置关系 题型02 平行线的概念 题型03 利用直尺、三角板画平行线 题型04 同位角、内错角、同旁内角 题型05 同位角相等，两直线平行 题型06 内错角相等，两直线平行 题型07 同旁内角互补，两直线平行 题型08 两直线平行，同位角相等 题型09 两直线平行，内错角相等 题型10 两直线平行，同旁内角互补 题型11 根据平行线的性质求角度 B组 能力进阶 题型01 立体图形中平行的棱 题型02 平行公理及推论 题型03 添加条件使两直线平行 题型04 直接证明两直线平行 题型05 旋转使两直线平行 题型06 作辅助线证平行 题型07 根据平行线的性质探究角的关系 题型08 平行线的性质在生活中的应用 题型09 平行线的判定与性质 题型10 根据平行线判定与性质求角度 题型11 根据平行线的判定与性质证明 题型12 平行线与翻折 C组 思维拔高 题型01 利用平行线间距离解决问题 题型02 猪蹄模型 平面内两直线的位置关系题型01 1．在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择即可； 本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是解题的关键． 【详解】解：B中这条直线与这条射线能相交； A、C、D中的直线，线段，射线不能相交． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，若则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质逐一排除即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，故原选项符合题意； 、由，可得，原选项不符合题意； 、由，不能得，原选项不符合题意； 、由，不能得，原选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级下·山东淄博·学情自测）如图，已知，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：，， ， ，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不能判定，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵， ， ，故③符合题意； ∵，， ， ∴不能判定，故④不符合题意； 综上，正确的有①③． 4．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则______． 【答案】 【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1； 任意两直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵任意三条直线不过同一点， ∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15； ∴M-m=14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了平面图形，得到6条直线相交于一点时交点最少；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多是解题的关键． 5．（2026·广西柳州·二模）如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________． 【答案】##度 【详解】解：由题意得， ∴． 平行线的概念题型02 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：选项A C D中，直线m和n相交； 只有B选项中，直线m和n互相平行， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西·期中）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了同旁内角的定义、平行线的判定定理等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据同旁内角的定义可判断A选项，根据平行线的判断定理可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、和不是同旁内角，故该选项说法错误，不符合题意； B、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、若，则，故该选项说法正确，符合题意； D、若，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级·期末）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、互余的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由，得到，可判断①；由，得到，则有，推出，再根据同角的余角相等，推出，得到，可判断②；利用平行线的性质可判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵和互余， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 即与互余，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 4．如图所示，能相交的是_________，一定平行的是_________．（填图形序号） 【答案】 ③ ⑤ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 5．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】由得到，代入，得到，由即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 利用直尺、三角板画平行线题型03 1．下列关于画图的语句正确的是（    ）． A．画直线 B．画射线 C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线 D．过直线AB外一点画一直线与AB平行 【答案】D 【分析】直接利用直线、射线的定义分析得出答案． 【详解】解：A、画直线AB＝8cm，直线没有长度，故此选项错误； B、画射线OA＝8cm，射线没有长度，故此选项错误； C、已知A、B、C三点，过这三点画一条直线或2条、三条直线，故此选项错误； D、过直线AB外一点画一直线与AB平行，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直线、射线的定义及画平行线，正确把握相关定义是解题关键． 2．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，则与的数量关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系；由可得，，即可得解． 【详解】解：， ，， ， ， 即； 故选：B． 3．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作： ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ②用三角板的斜边靠上直线； ③沿三角板斜边画直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边． 正确的操作顺序是（    ） A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②① 【答案】C 【分析】利用基本作图方法得出作直线的步骤即可． 【详解】解：②用三角板的斜边靠上直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边； ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ③沿三角板斜边画直线； 故选：C． 【点睛】此题考查了作平行线以及平行线的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键． 4．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 5．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）如图，小言将一块直角三角板摆放在直尺上，若，则____． 【答案】##58度 【分析】本题重点考查了平行线的性质，平角的计算．根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 同位角、内错角、同旁内角题型04 1．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角．熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 根据两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁且在被截两直线的同一侧的角为同位角，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，C选项中与是同位角，故符合要求； 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建南平·期中）如图，小明设计的“年年有余”图案中，的内错角是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，同位角∶两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，那么这样的一对角叫做同位角．内错角∶两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角．同旁内角∶两条直线被第三条直线所截如果两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁，那么这样的一对角叫做同旁内角． 【详解】解：根据内错角的定义得出的内错角是． 故选：C． 3．如图的四个图中，∠1与∠2是同位角的有（    ） A．②③ B．①②③ C．① D．①②④ 【答案】D 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：①∠1和∠2是同位角； ②∠1和∠2是同位角； ③∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角； ④∠1和∠2是同位角． ∴∠1与∠2是同位角的有①②④． 故选：D． 【点睛】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键．根据同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：与构成同旁内角的角有，，，共3个， 故答案为：3． 5．如图，在不改变图形的情况下图中共有内错角________对． 【答案】4 【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角即可得到答案． 【详解】解：根据内错角的定义可得： ∠AEF与∠DFE，∠A与∠ADC，∠BEF与∠AFE，∠EFD与∠FDC，共4对内错角， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了内错角的定义，关键是掌握内错角的定义，内错角的边构成“Z“形． 同位角相等，两直线平行题型05 1．如果，，那么，这个推理的依据是（    ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以； 故选：D． 2．（2025·河南周口·二模）如图，直线c，d被直线a，b所截，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意； B、∵，标记，如解图所示， 则． ∴． ∴（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； C、∵．， ∴，不能判定，故不符合题意； D、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意； 故选：D． 3．如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：如图 ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ， （同位角相等，两直线平行）； ，， （平面内垂直于同一直线的两条直线平行）． 故①③④正确． 故选：C． 4．如图，这是我们学过的用直尺和三角板画平行线，画图的原理是________________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．图中所画的两个同位角相等，则根据“同位角相等，两直线平行”可判断所作直线与平行． 【详解】解：由画图得， 所以根据同位角相等，两直线平行可判断． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 5．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是________．（结果用含的式子表示）    【答案】或或 【分析】根据点P有3种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可． 【详解】解：如图，过作，则由，可得，    ∴，， ∴； 如图，同理可得；    如图，同理可得．    故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时需注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 内错角相等，两直线平行题型06 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 2．（24-25七年级下·山西·月考）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（  ） ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，则有．    A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据三角板中的角度进行计算可得即可判断①，根据平行线的性质可得，进而可得，即可判断②，根据，可得，进而根据内错角相等即可判断③，根据题意可得，进而可得，则，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角板角度的计算，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 4．如图，若，则、、之间的关系为______. 【答案】 【分析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论． 【详解】过点E作EF∥AB，如图所示． ∵AB∥CD,EF∥AB， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF. 又∵∠AEF+∠CEF=∠β， ∴∠α+∠β−∠γ=180°. 故答案为∠α+∠β−∠γ=180°. 【点睛】考查平行公理以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 5．（24-25七年级下·贵州·期中）将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先过点作，结合长方形的性质得，，得，再根据两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形，是长方形， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 同旁内角互补，两直线平行题型07 1．下列说法正确的有（　　） A．若直线，，则直线 B． 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．同一平面内，不相交的两条直线是平行线 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、平行线的定义，根据平行线的判定与性质、定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，若直线，，则直线，故此选项错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此选项错误； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故此选项正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据______． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】，由同旁内角互补，两直线平行即可判定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查平行线判定定理，根据定理内容解题是关键． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 两直线平行，同位角相等题型08 1．如图，,的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=50°， ∴∠2=180°–∠3=130°． 故选C． 2．如图，直线，在上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，，当，此时的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点G作，根据平行线的性质得出，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作，则，    ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 3．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 4．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角____．简述为：两直线平行，同位角____． 【答案】 相等 相等 【解析】略 5．已知，如图，，则______．    【答案】##180度 【分析】根据平行线的性质求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 两直线平行，内错角相等题型09 1．如图，AB∥CD，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC的度数为___． 【答案】40° 【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠BEF＝∠ABE，由两直线平行，同旁内角互补求出∠CEF，再根据∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF计算即可得解． 【详解】如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝∠ABE，∠CEF+∠ECD＝180°， ∵∠ABE＝70°，∠ECD＝150°， ∴∠BEF＝70°，∠CEF＝180°﹣∠ECD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF＝70°﹣30°＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的加减运算，关键和难点过点E是作平行线这条辅助线． 2．（24-25七年级·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 两直线平行，同旁内角互补题型10 1．已知和是同旁内角，则（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的相关知识，关键在于理解同旁内角不一定具有固定的大小关系． 同旁内角是指两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角．根据定义即可知同旁内角只有位置关系，没有大小关系． 【详解】同旁内角只有在两直线平行的条件下才会互补，其他条件下同旁内角只具有位置关系，没有大小关系，故而、、均有可能． 故选：D． 2．（24-25七年级·期中）下列说法正确的是（    ） A．两个相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．两直线平行，同旁内角相等 D．过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线的距离 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，平行公理的推论，平行线的性质，点到直线的距离，根据相关定义，性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，原说法正确，符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不符合题意； D、过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长叫作这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； 故选B． 3．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角____．简述为：两直线平行，同旁内角____． 【答案】 互补 互补 【解析】略 4．如图所示，，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2的度数为_____． 【答案】122° 【详解】∵ ∴ ∵AE平分∠BAC交BD于点E， ∴ ∵AC∥BD， ∴ ∴ 故答案为 根据平行线的性质求角度题型11 1．已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（     ） A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内 【答案】C 【分析】根据“平行线的传递性”即可求解． 【详解】解：①若， ， ， 可得； ②若直线a和c重合， 则由得：， 可得， 综上：直线a和c平行或重合， 故选：C． 【点睛】本题考查“平行线的传递性”．熟记相关结论是解题关键． 2．（24-25七年级上·北京·期末）直线与平行可记作：______． 【答案】 【分析】本题考查平行的符号表示，解题的关键是掌握平行的符号表示方法．根据平行线的表示方法求解即可． 【详解】解：直线与平行可记作：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，点Q在的内部，以点Q为顶点作，使和的两边分别平行，若，则________． 【答案】或125 【分析】本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ，； 如图，，， ∵， ，； 综上，的度数为或， 故答案为：55或125． 立体图形中平行的棱题型01 1．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 2．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，根据相关知识进行判断即可. 【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，选项说法正确； （2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故选项说法错误； （3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项说法正确； （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项说法错误； （5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故说法错误． 综上可知，（1）（3）正确， 故选：B 3．将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【答案】8 【分析】本题考查长方体的棱的分组特征，解题关键是明确与水面平行的棱为长方体上、下底面的所有棱． 长方体有12条棱，分为三组互相平行的棱，每组4条．当长方体放置使一个面与水面平行时，水平方向的棱最多． 【详解】长方体共有12条棱，分为3组，每组4条棱互相平行且长度相等，这3组棱分别对应长、宽、高三个方向． 要使与水面平行的棱最多，应使长方体的一个面与水面平行，此时，构成上、下底面的棱均与水面平行． 因为因为上底面有4条棱，下底面也有4条棱， 因此与水面平行的棱最多有条． 故答案为：8． 4．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有_________条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条． 故答案为：3． 平行公理及推论题型02 1．在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 【答案】A 【分析】本题考查了平行线公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行．根据此性质即可判断． 【详解】解：若，则或b，c重合； 故选：A． 2．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 3．下列说法中不正确的有（    ） ①过任意一点可作已知直线的一条平行线 ②同一平面内两条不相交的直线是平行线 ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 ④平行于同一直线的两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的定义及平行公理，根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【详解】解：①过直线外任意一点可作已知直线的一条平行线，故①不正确， ②同一平面内两条不相交的直线是平行线，故②正确； ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行，故③正确； ④平行于同一直线的两直线平行，故④正确． 不正确的有①，共1个， 故选：B． 4．（25-26七年级·上海·期末）如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【详解】解：是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 5．如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 添加条件使两直线平行题型03 1．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a、b平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∠1=∠4可以判定a，b平行，故本选项不符合题意； B．∠2=∠3，可以判定a，b平行，故本选项不符合题意； C．∠1+∠4=180°，不能判断直线a、b平行，故本选项符合题意； D．∠1+∠3=180°，可以判定a，b平行，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握判定两直线平行的条件是解题关键． 3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 4．如图，经过直线a外一点P的4条直线中，与直线a平行的直线是__________． 【答案】直线##直线 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；判断时需将各直线向两端无限延伸，观察其是否与直线相交． 【详解】解：观察图形，直线向右上方倾斜， 直线向右上方倾斜，但其倾斜程度大于直线，向两端延伸后必与直线相交，故不平行； 直线向右上方倾斜，其倾斜程度与直线一致，向两端无限延伸后均无交点，故与直线平行； 直线近似水平，与直线的倾斜方向不同，延伸后必与直线相交，故不平行； 直线向右下方倾斜，与直线的倾斜方向不同，延伸后必与直线相交，故不平行； 故图中满足该条件的直线唯一，即为直线． 5．如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是______    【答案】①③④ 【分析】根据证得，结合每一个选项中的条件证得，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； ②∵，，∴，∴不平行，∴不能判定，故错误，故不符合题意； ③∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； ④∵，∴，∵，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，平行公理的应用，正确掌握平行线的判定定理是解题的关键． 直接证明两直线平行题型04 1．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题关键是明确反证法的步骤． 反证法证明命题时，应假设结论的反面成立．结论是，其反面是 与 不平行． 【详解】∵ 反证法需假设结论不成立，结论的反面是与 不平行， ∴ 应假设 与 不平行， 故选 B． 2．（2025·浙江衢州·联考）如图，直线被直线所截形成的角中，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平角的定义，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 根据题意证明，再结合平角的定义，以及平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， ， ； 故选：B． 3．已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 _____． 【答案】## 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 旋转使两直线平行题型05 1．如图，固定木条，，使，旋转木条，要使得，则应调整为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C 2．（25-26七年级下·山东潍坊·质检）如图，直线，被直线所截，，，经过下列操作可以使的是（    ） A．将绕点顺时针转动 B．将绕点顺时针转动 C．将绕点顺时针转动 D．将绕点逆时针转动 【答案】A 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，再根据同位角相等两直线平行，分析需要旋转的角度和方向即可． 【详解】解： 要使，根据同位角相等两直线平行，需 即需增大或减小 ∴需将绕点顺时针转动，或将绕点逆时针转动． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转_____度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角，求出旋转前的度数，再根据时，，求出旋转的角度即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ， ∴将直线绕点逆时针旋转度，可以得到； 故答案为：17． 5．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当_________度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 作辅助线证平行题型06 1．如图，直线，为直角，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线和熟悉平行线的性质是解题的关键． 过作，可得，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，为直角， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，将量角器置入一组平行线a，b之间，A，B分别是量角器上两点，连接并延长交直线a于点C，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 如图，过点B作，得出，根据平行线的性质得出，根据题意可得出，从而算出，，，，即可求解． 【详解】如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， 根据题意可得出， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，，，，则________． 【答案】115 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：115． 4．如图，，若，，则的度数是_______． 【答案】##70度 【分析】本题考查平行线的性质，关键在于作辅助线平行已知直线，再根据平行线的性质即可求解．先过点作的平行线，然后根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图：过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 根据平行线的性质探究角的关系题型07 1．课间小丽和小王利用直尺和三角板进行探究活动，如图，将直角三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若量得，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质以及图形中角的和差关系进行解答即可． 【详解】解：如图，    ， ， ，即， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是正确解答的前提． 2．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________． 【答案】a1∥a100； 【分析】从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1∥a4，a1∥a5；a1⊥a2，a1 ⊥a3；且a1与an的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1∥a100． 【详解】解：在同一平面内有直线两直线的位置， 关系是相交或平行，如图所示： ∵a1⊥a2，a2∥a3， ∴a1 ⊥a3， 又∵a3⊥a4， ∴a1∥a4， 又∵a4∥as， ∴a1∥a5， 又∵a5⊥a6， ∴a1⊥a6， 又∵a6∥a7， ∴a1⊥a7， … 从以上的规律可知：a1与an的位置关系是4为周期进行循环， 若下角标的余数为0或1时与a1平行；若下角标的余数为2或3时与a1垂直． ∵100=4×25， ∴a1∥a100， 故答案为：a1∥a100． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，同一平面内图形的变化规律，倍数和余数的运用等相关知识点，重点是掌握平行线的性质，难点是掌握由特殊到一般图形变化规律在几何中的运用． 平行线的性质在生活中的应用题型08 1．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题重点考查方向角的理解与应用，理解“在与原来相反的方向上行驶”意味着方向改变180度，并正确计算两次拐弯的角度和或差是解题的关键． 汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度，根据这个判断即可． 【详解】汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度， 选项A，先向左转，再向左转，总改变量为，满足条件； 选项B，先向左转，再向右转，总改变量为，方向不变，不符合； 选项C，先向左转，再向右转，总改变量为，不符合； 选项D，先向左转，再向左转，总改变量为，不符合． 故选：A． 2．（25-26七年级·山东德州·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．下列生活实例中，属于平行线的有（    ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队所在直线；④百米跑道线；⑤火车的水平铁轨直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】根据平行线的定义可知①③④⑤是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有4个， 故选D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·月考）小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 【答案】 北偏西 【详解】解：如图，酒店位于大唐芙蓉园的北偏西. 5．使用直尺、量角器和三角板，在如图所示的某平面图上找出互相平行的道路和互相垂直的道路． 【答案】互相平行的道路： 新民大街新疆街长庆路百汇路； 清华路桂林路； 互相垂直的道路： 新民大街清华路，新民大街桂林路； 新疆街清华路，新疆街桂林路； 长庆路清华路，长庆路桂林路； 百汇路清华路，百汇路桂林路． 【详解】略． 平行线的判定与性质题型09 1．如图，已知，，若，则等于（） A．65° B．90° C．25° D．70° 【答案】A 【分析】先根据a⊥c，b⊥c，可得a∥b，根据平行线的性质可得∠1=∠3，再根据对顶角的性质即可得出答案． 【详解】解：因为a⊥c，b⊥c， 所以a∥b， 所以∠1=∠3=65°， 所以∠2=∠3=65°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行计算是解决本题的关键． 2．下面的说法：①过一点有且只有一条直线与这条直线平行；②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四个角都相等；③方程的解是；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行，其中正确的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的解，平行公理及推论，根据平行线的判定与性质，一元一次方程的解，平行公理及推论，即可解答． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故①错误； ②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等，都是直角，故②正确； ③方程当时的解是，故③错误； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行故④错误． ∴正确的是②有1个， 故选：A． 3．下列说法错误的有（    ） ①有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行于同一条直线的两条直线平行 A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】A 【分析】依据平行公理进行判断，即可得到正确结论． 【详解】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴①②错误，③正确， ∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， ∴④正确， 故选A. 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理的运用，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 4．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 根据平行线判定与性质求角度题型10 1．（2025·陕西汉中·模拟）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，得到，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级下·广西柳州·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的判定和性质进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·北京·期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知，，平分交于点，，，当时，则的度数______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先证得出，即可求出的度数，于是得出的度数，根据角平分线的定义得出，即可得出的度数，再证，得出，然后根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，若，则________． 【答案】##75度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，易得，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 根据平行线的判定与性质证明题型11 1．如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角性质，熟知平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，点D，E，F分别在三角形的边，，上，连接，．若，，则的度数为（           ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，，，则的度数是________． 【答案】117 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先证明，得到，求出的度数，再根据对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：117． 平行线与翻折题型12 1．如图，将一张长方形纸对折两次，则这两条折痕的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据平行公理和垂直的定义解答． 【详解】∵长方形对边平行， ∴第一次折叠的折痕与长方形的宽平行， 又∵第二次折叠的折痕与长方形的宽平行， ∴两次折痕也互相平行(如果两条直线都与第三边直线平行，那么这两条直线也互相平行). 故选A. 【点睛】考查翻折的性质，主要利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握． 2．生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，如图，由于垂直于地面，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 【详解】解：∵垂直于地面， ∴， 过点B作， ∵平行于地面， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 3．如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，标注角度， 由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4， ∴∠3=∠4=(180°-∠1-∠5)=35°， ∵长方形的对边平行， ∴∠2=∠3=35°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记各性质定理是解题的关键． 4．如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为______． 【答案】74 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵长方形纸片的对边平行， ∴， 故答案为：． 5．如图，一条较长的长方形纸带，纸带上有四个点，将纸带沿折叠成图2，沿折成图3，交于点，再沿折成图4．在图4中，若，则____．（请用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，根据折叠的性质以及平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 利用平行线间距离解决问题题型01 1．操场中的相交线与平行线． （1）举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子； （2）如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢？不妨在纸上试一试． 【答案】 （1）操场角的相交线，篮球场角的垂线，相邻跑道线的平行线； （2）直角三角板保证相应的线垂直；两平行线间的距离相等保证相应的线平行． 【分析】（1）根据相交线、垂线、平行线的定义即可求解； （2）根据垂直或平行的判定即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相交线，垂线、平行线在解决实际问题中的灵活应用． 猪蹄模型题型02 1．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1) ， 证明：过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； (2)， 如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.4 平行线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 平面内两直线的位置关系 题型02 平行线的概念 题型03 利用直尺、三角板画平行线 题型04 同位角、内错角、同旁内角 题型05 同位角相等，两直线平行 题型06 内错角相等，两直线平行 题型07 同旁内角互补，两直线平行 题型08 两直线平行，同位角相等 题型09 两直线平行，内错角相等 题型10 两直线平行，同旁内角互补 题型11 根据平行线的性质求角度 B组 能力进阶 题型01 立体图形中平行的棱 题型02 平行公理及推论 题型03 添加条件使两直线平行 题型04 直接证明两直线平行 题型05 旋转使两直线平行 题型06 作辅助线证平行 题型07 根据平行线的性质探究角的关系 题型08 平行线的性质在生活中的应用 题型09 平行线的判定与性质 题型10 根据平行线判定与性质求角度 题型11 根据平行线的判定与性质证明 题型12 平行线与翻折 C组 思维拔高 题型01 利用平行线间距离解决问题 题型02 猪蹄模型 平面内两直线的位置关系题型01 1．在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，若则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东淄博·学情自测）如图，已知，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则______． 5．（2026·广西柳州·二模）如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________． 平行线的概念题型02 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西·期中）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级·期末）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．如图所示，能相交的是_________，一定平行的是_________．（填图形序号） 5．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示） 利用直尺、三角板画平行线题型03 1．下列关于画图的语句正确的是（    ）． A．画直线 B．画射线 C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线 D．过直线AB外一点画一直线与AB平行 2．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，则与的数量关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作： ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ②用三角板的斜边靠上直线； ③沿三角板斜边画直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边． 正确的操作顺序是（    ） A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②① 4．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 5．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）如图，小言将一块直角三角板摆放在直尺上，若，则____． 同位角、内错角、同旁内角题型04 1．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建南平·期中）如图，小明设计的“年年有余”图案中，的内错角是（  ） A． B． C． D． 3．如图的四个图中，∠1与∠2是同位角的有（    ） A．②③ B．①②③ C．① D．①②④ 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 5．如图，在不改变图形的情况下图中共有内错角________对． 同位角相等，两直线平行题型05 1．如果，，那么，这个推理的依据是（    ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一直线的两条直线平行 2．（2025·河南周口·二模）如图，直线c，d被直线a，b所截，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，这是我们学过的用直尺和三角板画平行线，画图的原理是________________． 5．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是________．（结果用含的式子表示）    内错角相等，两直线平行题型06 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西·月考）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（  ） ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，则有．    A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 4．如图，若，则、、之间的关系为______. 5．（24-25七年级下·贵州·期中）将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，若，则的度数为_______． 同旁内角互补，两直线平行题型07 1．下列说法正确的有（　　） A．若直线，，则直线 B． 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．同一平面内，不相交的两条直线是平行线 2．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 4．如图一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据______． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 两直线平行，同位角相等题型08 1．如图，,的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，在上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，，当，此时的大小是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 4．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角____．简述为：两直线平行，同位角____． 5．已知，如图，，则______．    两直线平行，内错角相等题型09 1．如图，AB∥CD，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC的度数为___． 2．（24-25七年级·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 两直线平行，同旁内角互补题型10 1．已知和是同旁内角，则（   ） A． B． C． D．以上均有可能 2．（24-25七年级·期中）下列说法正确的是（    ） A．两个相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．两直线平行，同旁内角相等 D．过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线的距离 3．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角____．简述为：两直线平行，同旁内角____． 4．如图所示，，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2的度数为_____． 根据平行线的性质求角度题型11 1．已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（     ） A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内 2．（24-25七年级上·北京·期末）直线与平行可记作：______． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，点Q在的内部，以点Q为顶点作，使和的两边分别平行，若，则________． 立体图形中平行的棱题型01 1．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 2．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 4．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有_________条． 平行公理及推论题型02 1．在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 2．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 3．下列说法中不正确的有（    ） ①过任意一点可作已知直线的一条平行线 ②同一平面内两条不相交的直线是平行线 ③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 ④平行于同一直线的两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级·上海·期末）如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 5．如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 添加条件使两直线平行题型03 1．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a、b平行的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 4．如图，经过直线a外一点P的4条直线中，与直线a平行的直线是__________． 5．如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是______    直接证明两直线平行题型04 1．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 2．（2025·浙江衢州·联考）如图，直线被直线所截形成的角中，，，则 A． B． C． D． 3．已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 _____． 旋转使两直线平行题型05 1．如图，固定木条，，使，旋转木条，要使得，则应调整为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东潍坊·质检）如图，直线，被直线所截，，，经过下列操作可以使的是（    ） A．将绕点顺时针转动 B．将绕点顺时针转动 C．将绕点顺时针转动 D．将绕点逆时针转动 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转_____度． 5．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当_________度时，． 作辅助线证平行题型06 1．如图，直线，为直角，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，将量角器置入一组平行线a，b之间，A，B分别是量角器上两点，连接并延长交直线a于点C，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则________． 4．如图，，若，，则的度数是_______． 根据平行线的性质探究角的关系题型07 1．课间小丽和小王利用直尺和三角板进行探究活动，如图，将直角三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若量得，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________． 平行线的性质在生活中的应用题型08 1．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 2．（25-26七年级·山东德州·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．下列生活实例中，属于平行线的有（    ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队所在直线；④百米跑道线；⑤火车的水平铁轨直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·陕西西安·月考）小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 5．使用直尺、量角器和三角板，在如图所示的某平面图上找出互相平行的道路和互相垂直的道路． 平行线的判定与性质题型09 1．如图，已知，，若，则等于（） A．65° B．90° C．25° D．70° 2．下面的说法：①过一点有且只有一条直线与这条直线平行；②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四个角都相等；③方程的解是；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行，其中正确的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法错误的有（    ） ①有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行于同一条直线的两条直线平行 A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 4．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 根据平行线判定与性质求角度题型10 1．（2025·陕西汉中·模拟）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西柳州·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知，，平分交于点，，，当时，则的度数______． 5．如图，若，则________． 根据平行线的判定与性质证明题型11 1．如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，点D，E，F分别在三角形的边，，上，连接，．若，，则的度数为（           ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，，，则的度数是________． 平行线与翻折题型12 1．如图，将一张长方形纸对折两次，则这两条折痕的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 2．生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为______． 5．如图，一条较长的长方形纸带，纸带上有四个点，将纸带沿折叠成图2，沿折成图3，交于点，再沿折成图4．在图4中，若，则____．（请用含x的代数式表示） 利用平行线间距离解决问题题型01 1．操场中的相交线与平行线． （1）举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子； （2）如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢？不妨在纸上试一试． 猪蹄模型题型02 1．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $