山东省淄博市淄川区九年级数学上学期课时作业（鲁教版五四制九年级上册2.6二次函数与一元二次方程）

《二次函数与一元二次方程》分层作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 《二次函数与一元二次方程》分层作业设计 学段学科 初中·数学 适用年级 九年级（五四制） 教材版本 鲁教版（五四制） 对应内容 第二章《二次函数》——二次函数与一元二次方程 作业类型 课后作业（分层） 完成时长 总时长约35分钟（A组约12分钟、B组约13分钟、C组约10分钟） 题量与分层 共16题：A组8题（基础必做）、B组5题（提升必做）、C组3题（拓展选做）；A/B/C已构成完整梯度，情感态度(D)以过程性证据评价，不单独设D组试题 设计者 王清波 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应学科核心素养“几何直观、运算能力与推理能力”，需达成“理解二次函数图象与x轴交点的横坐标即相应一元二次方程的实数根，会用判别式判断交点个数，能借助图象求方程的根及相应取值范围”的学业质量标准。 教材地位：本课是沟通“函数”与“方程”两大主线的枢纽课，承载“数形结合”核心思想——把一元二次方程的个数问题与二次函数图象同x轴交点个数统一于判别式 的符号，并为用图象解一元二次不等式奠基。 教学重难点：重点是交点个数与方程根的个数的对应及判别式判定；难点是把“值为0”“值为常数”“图象交点”等灵活转化为方程求解，并结合图象确定根的范围与取值区间。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 已学习二次函数图象与性质、一元二次方程解法及其根的判别式，会解方程、会画抛物线草图。 现有困惑 不易建立“交点横坐标=方程的根”的对应；混淆交点个数与交点坐标；不会把 y=0、y=k 转化为方程；数形结合意识弱。 差异分析 基础层能由判别式判断交点个数、由图象读根；中等生在交点式、两交点距离等转化中易错；优等生可挑战图象法解不等式与综合面积探究。 3. 设计意图 本作业围绕“二次函数与一元二次方程”，按“基础对应—综合转化—拓展探究”设置A、B、C三组共16题，知识点互不重复：A组以判别式判断交点个数、由图象求交点坐标与方程的根、“值为0或为常数”求自变量，夯实“交点—方程—根”对应的基本功；B组引入交点式求解析式、两交点间距离、由交点个数反求参数范围、抛物线与直线交点、由系数符号判断根的情况，强化方程与函数互化；C组聚焦图象法求一元二次不等式解集、实际问题中函数取定值对应区间与根的取舍、交点与三角形面积综合，落实数形结合与综合素养。三档已覆盖“对应—转化—探究”完整梯度，故不再单独设D组试题，情感态度以反思语、错题订正等过程性证据评价。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能说出二次函数图象与x轴交点横坐标即方程的根，会用判别式判断交点个数 几何直观、运算能力 交点个数判断正确率 能力运用 B 会用交点式求解析式、求两交点间距离、由交点个数反求参数范围、求抛物线与直线交点 数学运算、推理能力 求解过程与方法选用 思维发展 C 会用图象法求一元二次不等式解集，能把实际问题转化为方程并取舍根，能综合交点求图形面积 数形结合、推理能力 图象运用、分类与综合论证 情感态度 D 体会数形结合在沟通方程与函数中的价值，形成主动检验根合理性的意识 应用意识 反思语、错题订正、主动选做 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 目标 设计意图 参考答案要点 1 填空题 判断抛物线 与x轴的交点个数 A 用判别式判断交点个数 2 解答题 求抛物线 与x轴交点坐标 A 令 y=0 解方程得交点 3 填空题 已知 与x轴交于(-2,0)、(5,0)，写方程的根 A 交点横坐标即方程的根 4 填空题 判断抛物线 与x轴公共点个数 A Δ=0，图象与x轴相切 5 填空题 关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) D 图象与x轴2交点 D．x＝－1或x＝4 6 解答题 若 与x轴只有一个公共点，求 m B “一个公共点”转化为 Δ=0 7 解答题 当 x 为何值时， 的值为0 A 值为0即解相应方程 8 解答题 当 x 为何值时， 的值为-1 A 值为常数转化为方程求解 9 解答题 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ． B 结合图像，观察，求出另一个交点3 －1＜x＜3 10 解答题 一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( ) B ax2＋bx＝-m 根据图像的交点 B．3 11 解答题 若 与x轴有两个交点，求 m 范围 B “两个交点”即 Δ>0 12 解答题 一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解x2＝ ． B 根据对称性 x=5 13 解答题 已知 中 b<0、c<0，判断方程根的情况 B 由符号判 Δ 及韦达定号 14 解答题 (1)求证：抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)①求表达式；②抛物线与x轴只有一个公共点？ C 多问解答，根的判别式，有两个交点，有一个交点 （2） y＝x2－5x＋6. y＝x2－5x＋6. k＝. 15 解答题 水柱高 ，求 h≥6 的水平范围 C 函数取定值求区间并取舍 16 解答题 抛物线与x轴交A、B，对称轴x=1、与y轴交C(0,-3)，求式与△ABC面积 C 综合根与系数、交点与面积 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 交点个数判断准确，根与交点对应清晰 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 交点式、距离、参数范围等方法恰当、过程清晰 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 图象法解不等式、综合面积与符号判断论证充分 表达清楚、欠缺深度 思路混乱、缺乏依据 30% 情感态度 主动投入、乐于选做、能检验根的合理性 态度端正、按要求完成 态度消极、合作意识弱 20% 试题详情 A组（基础必做，1~8题） 1. 填空：抛物线 与 x 轴有______个交点。 2. 求抛物线 与 x 轴的交点坐标。 3. 填空：已知抛物线 与 x 轴交于点(-2,0)与(5,0)，则方程 的根为 x₁=______，x₂=______。 4. 填空：抛物线 与 x 轴的公共点有______个，交点坐标为______。 5. 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 6. 若抛物线 与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值。 7. 当 x 为何值时，二次函数 的值为 0？ 8. 当 x 为何值时，二次函数 的值为 -1？ B组（能力提升，9~13题） 9. 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ． 10. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( ) A．－3 B．3 C．－6 D．9 11. 若抛物线 与 x 轴有两个公共点，求 m 的取值范围。 12. 二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解x2＝ ． 13. 已知二次函数 中 b<0、c<0，不解方程，判断方程 根的情况，并说明理由。 C组（拓展选做，14~16题） 14. 已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x＝. ①求该抛物线的函数表达式； ②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？ 15. 某喷泉喷出的水柱轨迹可近似看作抛物线，水柱离喷水口所在水平面的高度 h（m）与水平距离 x（m）满足 。求水柱高度不低于 6 m 时所对应的水平距离范围。（其图象如图7所示） 图7 16. 已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C(0,-3)，且对称轴为直线 x=1。（1）求抛物线的函数表达式；（2）求 A、B 两点的坐标；（3）求 △ABC 的面积。 答案与解析 1. 【答案】 【解析】对 ，，故与 x 轴有 个交点。 2. 【答案】 【解析】令 y=0，得 ，即 ，解得 x=2 或 x=3，交点为 。 3. 【答案】 【解析】抛物线与 x 轴交点的横坐标即对应方程 的根，故 ，。 4. 【答案】 个，交点 【解析】对 ，，图象与 x 轴相切，仅 个公共点 。 5. 【答案】D．x＝－1或x＝4 【解析】根据图像，对称轴，利用二次函数的对称性，对称轴到交点的距离相等 6. 【答案】 【解析】与 x 轴只有一个公共点即 ，，由 得 。 7. 【答案】 【解析】令 ，即 ，，解得 。 8. 【答案】 【解析】令 ，即 ，，解得 。 9. 【答案】－1＜x＜3 【解析】根据二次函数的对称性，求出另一个交点为3，观察图像，x轴下方是y0，满足条件的x的取值范围是 10. 【答案】 【解析】令 ，，得 x=1 或 x=5，两交点 ，距离 。 11. 【答案】 【解析】有两个公共点即 ，，由 得 。 12. 【答案】X=5 【解析】将x1＝1一元二次方程x2－6x＋n＝0，求得n=-5，再求解一元二次方程，解的x2＝5，x1＝1 13. 【答案】，有两个不相等实根，且一正一负 【解析】， 且 ，故 ，从而 ，方程有两个不相等实根；又 ，，故两根一正一负。 14. 【答案】 【解析】解：(1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m.∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点． (2) ①∵对称轴x＝－＝，∴m＝2.∴抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6 ②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6＋k. ∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，∴Δ＝52－4(6＋k)＝0.∴k＝. 故把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 15. 【答案】 【解析】由 得 ，，得 x=2 或 x=6； 对应 （单位：m）。 16. 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【解析】(1) 对称轴 得 ，过 得 ，故 ；(2) 令 ，，得 ，；(3) ，高 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $