3.1.1椭圆及其标准方程（分层作业，16大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 3.1.1椭圆及其标准方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 椭圆定义及辨析 题型02 利用椭圆定义求方程 题型03 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型04 根据椭圆过的点求标准方程 题型05 根据椭圆方程求a、b、c 题型06 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 题型07 椭圆中焦点三角形的周长问题 题型08 轨迹问题——椭圆 B组 能力进阶 题型01 求椭圆上点的坐标 题型02 判断方程是否表示椭圆 题型03 根据方程表示椭圆求参数的范围 题型04 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型05 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型06 椭圆上点到焦点的距离及最值 题型07 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 C组 思维拔高 题型 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 椭圆定义及辨析题型01 1．已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则    ） A．4 B． C．8 D． 4．已知点，有，则点的轨迹是______. 5．（25-26高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 利用椭圆定义求方程题型02 1．（25-26高二上·黑龙江·期中）若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·广东湛江·期末）方程等价于（    ） A． B． C． D． 3．已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 根据a、b、c求椭圆标准方程题型03 1．（25-26高二下·重庆·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃·月考）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 4．（24-25高二上·辽宁大连·期中）分别求适合下列条件的曲线方程 (1)已知圆经过三点，，，求圆的方程； (2)经过点，两点的椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程； 5．已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点. 根据椭圆过的点求标准方程题型04 1．（25-26高二上·江苏·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为 A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西上饶·期末）已知由椭圆：与椭圆：的交点连线可构成矩形在轴下方），且，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 5．经过点，的椭圆的标准方程是______． 根据椭圆方程求a、b、c题型05 1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦距为（    ） A．10 B．5 C． D． 3．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 4．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则    ） A． B． C． D． 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征题型06 1．（26-27高三上·广东湛江·联考）若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．椭圆的焦距为，则m的值为（　　） A．9 B．23 C．9或23 D．或 4．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 椭圆中焦点三角形的周长问题题型07 1．设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 4．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点. （1）的周长为__________. （2）若，且的内切圆半径为，则椭圆焦距为__________. 轨迹问题——椭圆题型08 1．（25-26高二上·安徽·质检）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 3．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南·期中）已知圆：和圆： (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 求椭圆上点的坐标题型01 1．若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 2．（24-25高二下·河北泊头·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则   ） A． B． C． D．1 3．设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是______. 4．（24-25高二上·陕西渭南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，为正半轴上的动点. (1)若在第一象限，且，求的坐标. (2)设，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求的横坐标. (3)若，直线与交于另一点，且，，求直线的方程. 判断方程是否表示椭圆题型02 1．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·浙江·质检）已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 4．方程表示椭圆的充要条件是__________． 5．（24-25高二上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，我们可以采用公式为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换． (1)将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程； (2)将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程； (3)若点满足，证明：点的轨迹是椭圆． 根据方程表示椭圆求参数的范围题型03 1．已知焦点在轴上的椭圆方程为，则的范围为 A．（4,7） B．（5.5,7） C． D． 2．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．“”是“椭圆的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为______； 5．（1）已知曲线.若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，. 椭圆中焦点三角形的面积问题题型04 1．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 2．椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为 A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西吉安·质检）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 4．（24-25高二上·云南·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 5．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 椭圆中焦点三角形的其他问题题型05 1．（24-25高三上·江西·联考）已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则    ） A． B．3 C． D．2 2．设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 椭圆上点到焦点的距离及最值题型06 1．已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 3．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（    ） A．2 B．4 C．7 D． 4．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值题型07 1．（24-25高二上·山东东营·月考）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高三上·山西部分学校(太原·月考）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高二上·天津·期中）椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P为Γ上一点，则△APF的周长的取值范围为_____ 4．（24-25高二上·河北保定·期中）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 5．如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,． (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值题型 1．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 3．已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（    ） A．12 B．6 C．8 D．10 4．已知点P在椭圆上，点Q在圆上，，则的最大值是______. 5．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是__________.    试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.1椭圆及其标准方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 椭圆定义及辨析 题型02 利用椭圆定义求方程 题型03 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型04 根据椭圆过的点求标准方程 题型05 根据椭圆方程求a、b、c 题型06 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 题型07 椭圆中焦点三角形的周长问题 题型08 轨迹问题——椭圆 B组 能力进阶 题型01 求椭圆上点的坐标 题型02 判断方程是否表示椭圆 题型03 根据方程表示椭圆求参数的范围 题型04 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型05 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型06 椭圆上点到焦点的距离及最值 题型07 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 C组 思维拔高 题型 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 椭圆定义及辨析题型01 1．已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案. 【详解】由椭圆的定义可知，. 故选：A. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】连接，，依题意可得，分别是和的中位线，即可得到，，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】如图所示，连接，，，， ，分别为线段，的中点， 为的中点， ，分别是和的中位线， ，， 在上，， . 故选：D. 4．已知点，有，则点的轨迹是______. 【答案】线段 【分析】根据，得到轨迹. 【详解】由于，故点的轨迹为线段. 故答案为：线段 5．（25-26高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 利用椭圆定义求方程题型02 1．（25-26高二上·黑龙江·期中）若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义求出，利用即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：A. 2．（25-26高二·广东湛江·期末）方程等价于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点间的距离的几何意义以及椭圆的定义可得答案. 【详解】方程， 表示点到两个定点和的距离之和为常数， 这满足椭圆的定义，其中焦点为和， 得，， 因此椭圆方程为：. 故选：C 3．已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，找到点满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可. 【详解】根据题意，作图如下： 易知，则，即， 故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆， 设其方程为，则，则， 故，则椭圆方程为：. 故选：C. 4．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 【答案】 【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得圆和的圆心坐标和半径，根据题意，得到，，进而得到，结合椭圆的定义，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，转化为,结合三角形边的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，与圆相内切，则，， 两式相加，可得 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以椭圆的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的方程为，可得左焦点，且， 又由椭圆的定义，可得，即， 所以, 如图所示，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 根据a、b、c求椭圆标准方程题型03 1．（25-26高二下·重庆·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据焦点位置确定椭圆标准方程形式，再利用椭圆定义求，结合面积公式求，进而得到标准方程. 【详解】因为椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，故其标准方程为. 由椭圆定义，，得. 又椭圆面积为，由题知，即，解得， 故，， 因此椭圆的标准方程为. 故选：D 3．（25-26高二上·甘肃·月考）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 【答案】 【分析】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·辽宁大连·期中）分别求适合下列条件的曲线方程 (1)已知圆经过三点，，，求圆的方程； (2)经过点，两点的椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）设椭圆方程为代入点求解即可； （3）由题意求出即可得出标准方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 由圆经过三点，，， 得，解得， 所以圆的方程为. （2）设椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. （3）由得，又，故， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为或. 5．已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2) 证明：①当直线垂直于轴时，不妨设 此时， ， 故以直径的圆过定点； ②当直线不垂直于轴时， 设直线的方程为， 因为直线与圆相切， 所以到直线的距离， 即， 由可得， 所以， ， 所以， 即. 故以为直径的圆过定点， 综上所述：以为直径的圆过定点. 【分析】（1）由题意联立方程组解出即可；（2）当直线直线垂直于轴时， 求出，验证即可；当直线不垂直于轴时， 即直线斜率存在时，设直线的方程，求出到直线的距离， 联立方程组消元，韦达定理，写出化简即可. 【详解】（1）由题意可知， 解得 所以椭圆的标准方程. （2）略 根据椭圆过的点求标准方程题型04 1．（25-26高二上·江苏·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆所过的点，应用待定系数法求椭圆方程. 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 2．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 3．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得到，求出，再由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为： ，将代入方程，即可求出结果. 【详解】因为焦距为，所以，即； 又椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为： ， 又椭圆过点，所以，解得， 因此所求椭圆的方程为：. 故选D 【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型. 4．（25-26高二上·江西上饶·期末）已知由椭圆：与椭圆：的交点连线可构成矩形在轴下方），且，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】画出两椭圆的图象，由题意设，代入两椭圆方程即可求解. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴，椭圆的焦点在轴， 画出两椭圆的图象，如图所示： 因为，所以点的纵坐标为横坐标的倍， 设， 则，解得， 所以的值为. 故选：A. 5．经过点，的椭圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】先设椭圆方程为，将已知点代入，求解，即可得出结果. 【详解】设椭圆方程为， 因为该椭圆过点，， 所以，解得，因此所求椭圆方程为. 故答案为：. 根据椭圆方程求a、b、c题型05 1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的标准方程求出后再代入椭圆的面积公式可得. 【详解】因为，，所以，， 所以椭圆的面积为. 故选：A. 2．椭圆的焦距为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由即可求出 【详解】由题可知：，所以椭圆的焦距为 故选：D 【点睛】本题考查椭圆基本量的求解，属于基础题 3．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 4．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出与的关系，然后通过向量关系求出. 【详解】对于椭圆，可得，. 可求出，所以焦点，. 设，，在中，根据余弦定理. 已知，，则. 又因为点在椭圆上，根据椭圆的定义， 将展开得. 用减去可得： 即则. 代入中，可得. 因为，所以. . 则， 所以. 故选：A. 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征题型06 1．（26-27高三上·广东湛江·联考）若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】焦点在轴的椭圆，满足的下面分母大于下面的分母，选项A,B,D都是下面的分母大， 只有选项C满足条件. 2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得. 故选：A. 3．椭圆的焦距为，则m的值为（　　） A．9 B．23 C．9或23 D．或 【答案】C 【分析】利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可． 【详解】解：椭圆的焦距为，则： 当0<m<16时，焦点在x轴上时，，解得m=9， 当m>16时，焦点在y轴上时，，解得m=23． 则m的值为9或23. 故选C 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标所在的轴，属于基础题. 4．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足， 即，，满足，即必要性成立， 即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题. 5．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】B 【详解】由题意可得：， 据此可得，结合可得：， 则，所给方程化为标准型即：， 则方程表示焦点在轴上的椭圆. 本题选择B选项. 椭圆中焦点三角形的周长问题题型07 1．设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可知三角形的周长为，再由椭圆的方程可得. 【详解】    由得，， 所以，， 三角形的周长为， 故选：B 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合已知求解. 【详解】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，然后结合结合椭圆的性质，代入计算可得. 【详解】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此： 椭圆中满足，将代入可得： ，解得。 因此a的取值范围是(4,8). 故选：D. 4．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 5．已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点. （1）的周长为__________. （2）若，且的内切圆半径为，则椭圆焦距为__________. 【答案】 40 12 【分析】（1）根据椭圆的定义求出的周长； （2）根据三角形面积等于内切圆的半径与周长乘积的一般，列式计算即可. 【详解】（1）过左焦点， 的周长为， （2），设， 则根据椭圆的定义可得：， 在中，， 所以根据余弦定理可得， 即，即， 所以，， 所以由三角形面积公式可得：①， 又②， 由①②可知, 整理可得，即， 因为，则，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：40；12. 轨迹问题——椭圆题型08 1．（25-26高二上·安徽·质检）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 2．（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 3．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 4．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程. 【详解】由题可得圆心，半径为6， 是垂直平分线上的点，， ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， ，故点的轨迹方程为. 故选：B. 5．（24-25高二上·云南·期中）已知圆：和圆： (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）分切线斜率存在以及不存在讨论，结合点到直线的结论公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，结合椭圆的定义可知动圆M的圆心的轨迹为椭圆，求出，即可得到结果. 【详解】（1）圆心为，半径为， 当切线斜率不存在时，显然满足要求； 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为， 即：， 所以圆心到切线的距离等于半径2，即：， 则切线方程为，化简可得； 所以切线方程为：或 （2），，设，动圆的半径为， 所以， 所以M点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 所以，，，所以轨迹方程为． 求椭圆上点的坐标题型01 1．若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【分析】利用椭圆定义可判断C选项；利用余弦定理结合椭圆定义可判断B选项；利用三角形面积公式可判断D选项；利用三角形的面积公式可求出的值，结合椭圆方程可求出的值，可判断A选项. 【详解】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 2．（24-25高二下·河北泊头·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，由及数量积的坐标运算得，又得，即可得，再由得，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意，，设， 则， 因为，所以，即， 又，所以，所以， 两式联立求得（负根舍去），所以， 又，，所以， 所以，即， 代入椭圆方程化简得，解得或（负根舍去）. 故选：B 3．设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是______. 【答案】 【详解】椭圆+y2=1焦点在x轴上，a=，b=1，c= ∴焦点坐标F1（﹣，0）F2（，0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+，y1），=（x2﹣，y2）， ∵，，由点A，B在椭圆上，  解得：x1=0，y1=±1，∴点A的坐标是（0，±1，）． 故答案为（0，±1）． 4．（24-25高二上·陕西渭南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据椭圆的顶点及半焦距得出，即可求出椭圆方程； （2）利用点在椭圆上及，解方程组得解. 【详解】（1）因为椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点， 则，，故， 因此，椭圆的方程为. （2）设点，因为， 则，即， 联立，解得，. 当时，，当时，， 所以，点的坐标为或或或. 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，为正半轴上的动点. (1)若在第一象限，且，求的坐标. (2)设，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求的横坐标. (3)若，直线与交于另一点，且，，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，联立方程组，能求出点坐标. （2）设，根据，，，分别讨论求解，即可求出点的横坐标. （3）设，根据向量运算求出，代入椭圆的方程，求得，得到的坐标，即可得到直线的方程. 【详解】（1）设， 联立与，可得，解得. （2）设，，因为， 若，则或； 若，则； 若，则舍去， 综上，点的横坐标可为. （3）设，， 因为线段的中垂线方程为，所以其与轴的交点即. ∵， ∴，∵，∴，代入椭圆方程得，， ，又，解得，，∴，∴直线的方程为. 判断方程是否表示椭圆题型02 1．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案. 【详解】解：若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； 反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则 所以“”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件 故选：C 【点睛】此题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题. 2．设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二下·浙江·质检）已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】由圆、椭圆方程的结构特点判断即可. 【详解】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 4．方程表示椭圆的充要条件是__________． 【答案】答案不唯一 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 5．（24-25高二上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，我们可以采用公式为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换． (1)将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程； (2)将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程； (3)若点满足，证明：点的轨迹是椭圆． 【答案】(1)；. (2)；. (3)利用待定系数法或者猜测均可，得到． 先把点绕原点逆时针旋转，得到点， 此时 所以， 化简得． 利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位． 把点向右平移，向上平移，得到点，则 所以． 化简得，是焦点在轴上的椭圆． 所以点的轨迹是椭圆． 【分析】（1）根据坐标的平移可得坐标的变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程. （2）借助复数三角形式运算的几何意义，求坐标变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程. （3）利用（2）的结论，先把点的轨迹逆时针旋转，再配方，可证点的轨迹是椭圆. 【详解】（1）由题意：，所以该变换的坐标变换公式为：. 由， 所以椭圆经过变换后，所得新椭圆的方程为：. （2）设对应复数，将点绕原点逆时针旋转后，得到点， 对应复数：，则. 所以. 由. 所以椭圆绕原点逆时针旋转后， 所得新椭圆的方程为： . （3）略 【点睛】关键点点睛：处理第三问时，思路不好找，可先利用第二问的结论处理一下，就可以发现点的轨迹了. 根据方程表示椭圆求参数的范围题型03 1．已知焦点在轴上的椭圆方程为，则的范围为 A．（4,7） B．（5.5,7） C． D． 【答案】B 【详解】由题意知. 2．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的形式列不等式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以， 解得， 故选：D. 3．“”是“椭圆的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在轴时，即可根据必要充分条件的定义求解. 【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得， 故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件， 故选：B 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为______； 【答案】或 【分析】代入点求出，再由焦距得出，根据分类讨论求解. 【详解】将代入椭圆方程：，解得； 故椭圆方程为， 由焦距为4，得，. 由题意知，且，方程可化为， 若椭圆焦点在轴上，故，，则有，解得； 若椭圆焦点在轴上，，，则有，解得； 综上所述，或. 故答案为：或 5．（1）已知曲线.若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，. 【答案】（1）；（2）＋＝1. 【分析】（1）由题意，将曲线转化为，再根据曲线表示焦点在轴上的椭圆，列出关于的不等式，即可求出结果. （2）方法一：分别根据焦点在，轴上，设椭圆的标准方程，代入点，即可求出结果； 方法二：设椭圆的一般方程为，即可求出结果. 【详解】由，得. 因为椭圆的焦点在轴上， 所以 解得<m<5.所以m的取值范围是 （2）方法一：若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1； 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为. 由已知条件得解得则，与矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为. 方法二：设椭圆的一般方程为. 分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为. 椭圆中焦点三角形的面积问题题型04 1．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式并结合点在椭圆上建立方程组，求解参数即可. 【详解】由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 2．椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设有 本题选择D选项. 点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 3．（25-26高二上·江西吉安·质检）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 4．（24-25高二上·云南·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 5．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦点为，，离心率为 (2) (3)或或或 【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积； （3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果. 【详解】（1）由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率. （2）由椭圆定义知：， ，， 即，解得：，. （3）设，则，解得：， ，解得：； 点坐标为或或或. 椭圆中焦点三角形的其他问题题型05 1．（24-25高三上·江西·联考）已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义可得，结合已知即可得答案. 【详解】由椭圆的定义，知， 所以，即， 又，所以． 故选：B 2．设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆C：，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：C.    3．设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】分别讨论为腰或者底的情况. 【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故答案选：C.    4．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可得，在、中分别利用正弦定理即可求出，从而得到，利用诱导公式求出，再在利用余弦定理表示出，即可求出，从而得解. 【详解】因为焦距为，即， 因为，又，所以，， 在中由正弦定理，即， 在中由正弦定理，即， 因为，所以， 所以，又，所以， 又，所以， 所以， 在中， 解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆的方程为. 故选：A    【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理推导出，从而得到，再在中利用余弦定理求出. 5．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意先得动点的轨迹为以，为焦点的椭圆，进而根据椭圆的性质可得. 【详解】 由题意得，记点，则，即为线段的中点， 为线段的中点，则在中，，， 则，所以动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 其焦距为，长轴长为，短半轴长为， 可得的最小值为2． 故选：B. 椭圆上点到焦点的距离及最值题型06 1．已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据椭圆的定义，求得的范围. 【详解】由椭圆方程可知，长半轴长，短半轴长，则半焦距， 的取值范围为，即. 故选：C. 2．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 3．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（    ） A．2 B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图所示，设椭圆的另一焦点为，因为O、M分别是F1F2和PF1的中点，所以, 而由椭圆的方程得a=10，2a=20，所以, 所以=7， 故选：. 4．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 【详解】∵在椭圆上 ∴ ∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号. 故选：D. 5．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果. 【详解】如图，    延长与交于点，则是的角平分线， 由可得与垂直， 可得为等腰三角形，故为的中点， 由于为的中点， 则为的中位线，故， 由于，所以， 所以， 问题转化为求的最值， 而的最小值为，的最大值为，即的值域为， 故当或时，取得最大值为 ， 当时，在轴上，此时与重合， 取得最小值为0，又由题意，最值取不到， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目. 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值题型07 1．（24-25高二上·山东东营·月考）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 2．（25-26高三上·山西部分学校(太原·月考）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件求出点的轨迹方程为椭圆，再利用复数的几何意义结合椭圆的性质求出最小值. 【详解】设，则复数在复平面内对应点的坐标为， 由，得， 其表示点到两点的距离之和为， 因为， 所以点的轨迹是以两点为焦点的椭圆， 其中，所以， 所以点的轨迹方程为， 表示点与之间的距离， 而， 所以的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·天津·期中）椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P为Γ上一点，则△APF的周长的取值范围为_____ 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】因为椭圆方程为，所以 设椭圆的左焦点为，则，， 所以的周长， 因为，所以， 所以，即的周长的取值范围为， 故答案为：. 4．（24-25高二上·河北保定·期中）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 【答案】## 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为. 故答案为：    5．如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,． (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设出点坐标,代入椭圆方程,根据列出方程联立即可求出点坐标; (2)设出点坐标,根据M到直线的距离等于,列出方程,求出点坐标,设出椭圆上点的坐标,根据两点间距离公式列出式子,将点坐标满足的椭圆方程代入消,可得到关于的二次函数,配方即可求得距离平方的最小值,进而求得距离的最小值. 【详解】（1）解:由题知 , P在椭圆上,不妨设, ,, , 即, 两式联立可得: , 故点P的坐标为; （2）M是椭圆长轴上的一点, 不妨设, ,, , M到直线的距离等于, , 即,因为 所以 解得 设为椭圆任一点, 则满足,即, 则 , 故当时有最小值为. 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值题型 1．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值. 【详解】椭圆上的点P满足， 当点P为的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为． 故选：B 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值. 【详解】    设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 3．已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（    ） A．12 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义及三角形三边关系得，注意三点位置关系并确定的坐标，进而求三角形面积. 【详解】由题设，若是椭圆左焦点，如下图示， 的周长为，又， 而，结合图知：， 由，则， 所以，当且仅当共线且在之间取等号， 此时直线方程为，联立椭圆得，整理得， 所以或，由图知， 此时的面积为. 故选：B 4．已知点P在椭圆上，点Q在圆上，，则的最大值是______. 【答案】9 【分析】令椭圆右焦点为，由椭圆定义及圆的性质可知，然后利用几何知识求得的最大值即可. 【详解】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 当且仅当点C在线段上时取等号，而， 当且仅当在线段上时取等号， 所以当是线段的延长线与椭圆的交点、Q是线段的反向延长线与圆的交点时， 取得最大值.    故答案为：9 5．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是__________.    【答案】6 【分析】在椭圆上任取一点，连接交球于，交球于点，根据可知，则，由此可求得最小值. 【详解】解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，    连接，在与中有： ，（为圆的半径，为圆的半径，）， ， 为公共边，所以，所以， 设点沿圆锥表面到达的路线长为， 则， 当且仅当为直线与椭圆交点时取等号， ，所以最小值为6. 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $