山东省淄博市淄川区九年级数学上学期课时作业（鲁教版五四制九年级上册2.5二次函数的应用）

《二次函数的应用》分层作业设计 鲁教版（五四制）九年级上册 一、作品基础信息 作品名称 《二次函数的应用》分层作业设计 学段学科 初中·数学 适用年级 九年级（五四制） 教材版本 鲁教版（五四制） 对应内容 第二章《二次函数》——二次函数的应用 作业类型 课后作业（分层） 完成时长 总时长约35分钟（A组约12分钟、B组约13分钟、C组约10分钟） 题量与分层 共14题：A组6题（基础必做）、B组6题（提升必做）、C组2题（拓展选做）；A/B/C已构成完整梯度，情感态度(D)以过程性证据评价，不单独设D组试题 设计者 王清波 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是“建模观念与应用意识”，需达成“能根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型，并运用配方法、图象法求最值与相应的取值范围”的学业质量标准。 教材地位：本课是二次函数学习的落脚点，承载“实际问题—数学建模—函数求解—回到实际”的核心方法，是把图象与性质、确定表达式等知识综合运用于面积、利润、拱桥与抛体等真实情境的枢纽课。 教学重难点：重点是从实际情境中抽象出二次函数模型并用配方法求最值；难点是确定自变量的实际取值范围、在受限定义域上讨论最值，以及把拱桥、通行等几何情境转化为坐标运算。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 已掌握二次函数的图象与性质、顶点式与配方法、待定系数法求表达式，会用一次函数、方程与不等式解决简单实际问题。 现有困惑 面对真实情境不易找出变量关系、漏定自变量实际范围；面积、利润问题中易把最值算错；拱桥等问题中不会合理建系、数形结合意识弱。 差异分析 基础层学生能套用现成解析式求最值，但建模环节薄弱；中等生建模基本正确，受限最值与几何转化易错；优等生可挑战含定义域讨论、通行判断与售价范围探究。 3. 设计意图 本作业围绕“二次函数的应用”，按“基础建模—综合提升—拓展探究”设置A、B、C三组共14题，全卷知识点互不重复：A组以面积、利润、抛体、拱桥的最简单建模与直接求最值，夯实“把实际问题写成二次函数并配方求最值”的基本功；B组引入靠墙围篱笆、销售降价最值、拱桥水位与车辆通行判断、利润不低于某值求范围，强化在真实约束下建模、建系与数形结合；C组聚焦墙长受限时的最值讨论、车辆能否通行的通行宽度判断、含售价的利润综合最值与不低于值范围三类探究，落实模型观念与综合素养。三档已覆盖“套用—转化—探究”完整梯度，故不再单独设D组试题，情感态度通过反思语、错题订正等过程性证据评价。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能识别实际问题中的二次函数关系，写出解析式并确定自变量实际取值范围；会用顶点式、配方法读出最值 数学建模、运算能力 解析式正确率、范围完整性 能力运用 B 会用配方法求面积、利润最值，能在靠墙、降价等约束下建模求解；能对拱桥问题合理建系 数学建模、运算能力 建模过程、方法选用 思维发展 C 能在受限取值范围上讨论最值，能把拱桥通行转化为比较高度的数形结合，能结合图象求利润不低于值的范围 几何直观、推理能力 论证思路、分类与数形结合 情感态度 D 体会二次函数建模在生产经营、工程测量中的价值，形成主动检验结果合理性的意识 应用意识 反思语、错题订正、主动选做 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 目标 设计意图 参考答案要点 1 选择题 篱笆长 16 m 围成矩形，求矩形 ABCD 最大面积 A 矩形面积建模，确定自变量范围，配方法求实际最值 C.64m2 2 选择题 8 m 铝合金制作矩形窗框，求窗户最大透光面积 A 多竖边窗框面积建模，识别变量，顶点式求最值 C.m2 3 选择题 动点P、Q运动，求面积最大值 A 几何动点，以时间为参数表示边长，构建二次函数求面积最值 B.9cm2 4 填空题 进价 30 元，售价 40 元周销 200 件，涨价x元，写出周利润W函数式 A 基础销售利润建模：利润 = 单件利润 × 销售量 5 解答题 ，求最大周利润及涨价 A 读懂顶点式，理解顶点横纵坐标对应的实际意义 涨价5元，最大周利润2250元 6 解答题 小若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式是. A 坐标系平移，利用平移变换改写抛物线解析式 y＝－(x－6)2＋4 7 解答题 以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为 ． B 工程情境建系，待定系数法求抛物线解析式 8 解答题 在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图)，则他与篮底的水平距离是( ) B 实际情境代入函数值求横坐标，换算实际水平距离 m 9 解答题 已知篱笆的总长为900 m当AB＝ m时，矩形土地ABCD的面积最大． B 带内部隔断矩形面积建模，配方求面积最大值 150 10 解答题 进价40元，售价60元日销300件，每降1元多售30件，降元求最大日利润 B 降价销售建模，分析单件利润、销量变化，配方法求利润最值 降元，最大元 11 解答题 标枪高度h与水平距离x关系式，求投掷成绩（落地水平距离） B 抛体落地条件h=0，解方程得到实际投掷距离 48 m 12 解答题 40 m 篱笆一面靠墙，墙长 18 m，垂直墙边长x，求苗圃园最大面积 B 受限取值范围入门；墙长约束自变量，利用增减性求实际最值 x=11m最大面积198m2 13 解答题 隧道截面（长方形+抛物线），①求抛物线解析式、拱顶D距地面高度；②双向车道，高6 m宽4 m货车能否通过 C 复杂工程综合；待定系数求解析式；数形结合比较宽度，通行判断 ①，拱顶距地面；②可以安全通过 14 解答题 进价40元，售价，销量。①求利润最大时售价与最大利润；②利润不低于6000元求售价范围 C 综合销售探究；构建利润模型求顶点最值；结合图像解不等式，确定售价取值 ①售价元，最大利润元；② 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，建模与范围准确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，配方求最值过程清晰 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 受限最值/通行判断论证充分、数形结合到位 表达清楚、欠缺深度 思路混乱、缺乏依据 30% 情感态度 主动投入、乐于选做、能反思改进 态度端正、按要求完成 态度消极、合作意识弱 20% 试题详情 A组（基础必做，1~6题） 1. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 2. 用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( ) A．m2 B．m2　 C．m2 D．4 m2 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，△PCQ的面积的最大值为( ) A．6 cm2 B．9 cm2 C．12 cm2 D．15 cm2 4. 某商品进价每件30元。当售价为每件40元时每周售出200件；售价每上涨1元周销量就减少10件。设售价上涨 元，周销售利润为 元，写出 与 的函数表达式。 5. 某商品周销售利润（元）与涨价（元）满足。涨价多少元时周利润最大？最大周利润是多少？ 6. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式是. B组（能力提升，7~12题） 7.某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为 ． 8. 在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图)，则他与篮底的水平距离是. 9.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝ m时，矩形土地ABCD的面积最大． 10. 某商品进价每件40元，按每件60元销售每天售出300件；售价每降低1元日销量增加30件。设每件降价 元，日利润为 元，求 最大值及此时 的值。 11. 王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h＝－x2＋x＋2，则王大力同学投掷标枪的成绩是 m. 12. 用长40 m的篱笆围一个一面靠墙的矩形苗圃园，可用墙长只有18 m（靠墙一边不超过墙长）。设垂直于墙的边长为 m，求面积最大值及此时 的值。 C组（拓展选做，13~14题） 13.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为m. (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离 (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 14.某商品进价每件40元，售价为每件 元（），日销量件满足。设日销售利润为 元。 （1） 售价定为多少时日利润最大？最大日利润是多少？ （2）要使日利润不低于6000元，求售价 的取值范围。 答案与解析 1. 答案：C. 解析：设矩形一边长为，另一边长，面积。 ，顶点在取值范围内，最大面积。 1. 答案：C. 解析：设窗框竖直边长为，水平总长，单条水平边， 透光面积。 当时，最大透光面积。 1. 答案：B. 解析：，，，由勾股定理。 运动时间，，，，。 。 在定义域内，面积最大值。 1. 答案： 解析：涨价元，单件利润元；周销量件。 。 1. 答案：涨价5元，最大周利润2250元 解析：，，抛物线开口向下。 顶点，涨价元时，取得最大周利润2250元。 1. 答案： 解析：以A为原点顶点；以B为原点，整体图像向左平移12个单位。 。 1. 答案： 解析：顶点在坐标原点，设；结合隧道图像，抛物线过点，代入求得，即。 1. 答案： 解析：篮圈高度，代入，解得；结合图像，篮底水平距离：。 1. 答案： 解析：设，三条竖直篱笆总长度，水平边长； 面积，，面积最大。 1. 答案：降价5元，最大日利润6750元 解析：降价元，单件利润元；日销量件。 。 ，时，最大日利润6750元。 1. 答案： 解析：投掷成绩为落地时水平距离，令，解方程，舍去负根，得到。 1. 答案：，最大面积 解析：垂直墙边长，平行墙边长； 由墙长限制：，解得定义域。 面积，对称轴，在定义域左侧； 函数在单调递减，取最大值，。 1. 解析 (1)长方形宽4，，代入，； 将点代入：，解得。 抛物线：；配方，拱顶D纵坐标，拱顶距离地面：。 (2)隧道双向通行，隧道总宽12 m，左右各6 m单向；货车宽4 m，代入验算，货车高6m，可以安全通过。 1. 解析 (1)日利润 展开配方： ，，在可取范围内。 售价70元，最大日利润9000元。 (2)令， ，解得：根据图像开口向下可得取值范围，在与取交集，即为售价取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $