12.5 全等三角形的判定（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.5 全等三角形的判定 （第1课时）角边角 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 掌握角边角判定及对应关系。 运用 从平行、公共角、公共边中找条件，书写全等证明。 复习引入 问题引入 观察 已知一条边以及它两端的角，能画出形状大小不同的三角形吗？ 思考 两角与所给边的位置关系为什么重要？ 随堂探究 探究　按两角及夹边作图 已知线段c、角α、角β，画△ABC，使AB=c、∠A=α、∠B=β。将三角形剪下与同学的叠放。 答：画出的三角形能够完全重合。 解 固定边AB后，两端的射线方向确定，其交点C也就确定。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 知识讲授 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简记为：角边角或ASA。 时，可判。 夹边连接两组已知等角的顶点，先定位夹边再套用判定。 知识讲授 夹边的含义 两个角 选定和。 夹边 它们的顶点分别是，所以夹边是，不是或。 例题讲解 例 1 已知：如图，AC∥BD，AB交CD于点O，且AC=BD。求证：△AOC≌△BOD。 答：。 解 AC∥BD，得∠A=∠B、∠C=∠D。 AC=BD是两组等角的夹边，因此由ASA得证。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 随堂探究 变式　全等后的结果 在上题条件下，还能得到哪两组线段相等？ 答：AO=BO，CO=DO。 解 对应顶点A↔B、O↔O、C↔D，故对应边相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 课堂练习 练习1 已知：如图，PC=PD，∠C=∠D。求证：△PCB≌△PDA。 答：。 解 射线PC与PA重合，PB与PD重合，故∠CPB=∠DPA。 结合∠C=∠D及夹边PC=PD，由ASA得证。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 课堂练习 练习2 已知：如图，∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB。求证：△ABC≌△DCB。 答：。 解 BC=CB为公共边。 已知两组等角分别夹着BC与CB，由ASA得证。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 知识讲授 证明的三行条件 同一顺序 按角、夹边、角排列三组相等关系，两边顶点保持对应。 理由来源 已知条件直接引用；平行产生等角；公共边写成与自身相等。 随堂探究 探究　补充条件 已知∠A=∠D、∠B=∠E，若只使用ASA，需补充哪条边相等才能证明△ABC≌△DEF？ 答：AB=DE。 解 AB与DE分别是两组等角的夹边。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 随堂探究 探究　错误证明诊断 有人用∠A=∠D、∠B=∠E、AC=DF直接写“ASA”。错在哪里？ 答：AC、DF不是已知两角的夹边，不能直接标ASA。 解 可先由内角和推出∠C=∠F，再用∠A、AC、∠C组成ASA。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 知识讲授 阶段整理 判定 两角夹一边，分别相等，推出全等。 性质 证出全等之后，再把对应边、对应角相等用于后续目标。 课堂总结 角边角 条件 两角及夹边 隐含 公共边与公共角 转化 平行线找等角 结论 全等后对应量相等 特别提醒：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练1　夹边识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A与∠C的夹边是什么？ （2） ∠B与∠C的夹边是什么？ 解第（1）题 AC。 连接两个角的顶点。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练1　夹边识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A与∠C的夹边是什么？ （2） ∠B与∠C的夹边是什么？ 解第（2）题 BC。 夹边必须是两个角的公共邻边。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练2　直接判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，可判△ABC≌△DEF吗？ （2） ∠A=∠D、AC=DF、∠C=∠F，可判全等吗？ 解第（1）题 可以，ASA。 两角及夹边分别相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练2　直接判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，可判△ABC≌△DEF吗？ （2） ∠A=∠D、AC=DF、∠C=∠F，可判全等吗？ 解第（2）题 可以，ASA。 AC与DF是所用两角的夹边。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练3　补充条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠B=∠E、∠C=∠F，用ASA还需什么？ （2） AB=DE、∠A=∠D，用ASA还可补什么？ 解第（1）题 BC=EF。 两角的夹边。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练3　补充条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠B=∠E、∠C=∠F，用ASA还需什么？ （2） AB=DE、∠A=∠D，用ASA还可补什么？ 解第（2）题 ∠B=∠E。 让AB、DE处于两组等角之间。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练4　平行线找角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 沿用例1图，AC∥BD，AB为截线，∠CAO对应哪个内错角？ （2） 沿用例1图，AC∥BD，CD为截线，∠ACO对应哪个内错角？ 解第（1）题 ∠DBO。 两角在截线AB两侧。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练4　平行线找角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 沿用例1图，AC∥BD，AB为截线，∠CAO对应哪个内错角？ （2） 沿用例1图，AC∥BD，CD为截线，∠ACO对应哪个内错角？ 解第（2）题 ∠BDO。 两角在截线CD两侧。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练5　对应量 完成下列问题，并说明理由。 （1） 已由ASA得△ABC≌△DEF，AC=11，求DF。 （2） 已由ASA得△ABC≌△DEF，∠C=64°，求∠F。 解第（1）题 11。 对应边相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练5　对应量 完成下列问题，并说明理由。 （1） 已由ASA得△ABC≌△DEF，AC=11，求DF。 （2） 已由ASA得△ABC≌△DEF，∠C=64°，求∠F。 解第（2）题 64°。 对应角相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练6　公共条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） 证明△ABC与△DCB全等，公共边应怎样写？ （2） 沿用例1图，证明△AOC与△BOD全等，∠AOC与∠BOD为何相等？ 解第（1）题 BC=CB。 保持B↔C、C↔B的对应顺序。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练6　公共条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） 证明△ABC与△DCB全等，公共边应怎样写？ （2） 沿用例1图，证明△AOC与△BOD全等，∠AOC与∠BOD为何相等？ 解第（2）题 对顶角相等。 它们由两条相交直线形成。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练7　先求第三角 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=45°、∠B=65°，求∠C。 （2） 另一个三角形∠D=45°、∠F=70°，求∠E。 解第（1）题 70°。 内角和为180°。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练7　先求第三角 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=45°、∠B=65°，求∠C。 （2） 另一个三角形∠D=45°、∠F=70°，求∠E。 解第（2）题 65°。 两角相等可推出第三角相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练8　边长方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） ASA证全等后，对应边2x+1=15，求x。 （2） 对应边3x−4=x+8，求x。 解第（1）题 7。 解一元一次方程。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练8　边长方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） ASA证全等后，对应边2x+1=15，求x。 （2） 对应边3x−4=x+8，求x。 解第（2）题 6。 移项得2x=12。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练9　条件是否足够 完成下列问题，并说明理由。 （1） 只有两角分别相等，两个三角形一定全等吗？ （2） 两角及夹边分别相等，夹边长变为两倍还全等吗？ 解第（1）题 不一定。 大小可以不同。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练9　条件是否足够 完成下列问题，并说明理由。 （1） 只有两角分别相等，两个三角形一定全等吗？ （2） 两角及夹边分别相等，夹边长变为两倍还全等吗？ 解第（2）题 不全等。 夹边相等条件已失效。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练10　表述纠错 完成下列问题，并说明理由。 （1） “两角和一边相等”中，“分别”能省略吗？ （2） 全等式中顶点可任意乱排吗？ 解第（1）题 不能。 需明确同一对应关系下成对相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练10　表述纠错 完成下列问题，并说明理由。 （1） “两角和一边相等”中，“分别”能省略吗？ （2） 全等式中顶点可任意乱排吗？ 解第（2）题 不能。 全等式必须保留对应顺序。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练11　由全等求角 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC≌△DEF，∠A=52°、∠E=61°，求∠C。 （2） △ABC≌△DEF，∠D=43°、∠F=79°，求∠B。 解第（1）题 67°。 ∠B=61°，内角和求∠C。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练11　由全等求角 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC≌△DEF，∠A=52°、∠E=61°，求∠C。 （2） △ABC≌△DEF，∠D=43°、∠F=79°，求∠B。 解第（2）题 58°。 ∠A=43°、∠C=79°。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练12　证明的先后 完成下列问题，并说明理由。 （1） 未证明全等前，能用“全等对应边相等”补条件吗？ （2） 公共边能直接作为一组相等条件吗？ 解第（1）题 不能。 这会循环论证。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练12　证明的先后 完成下列问题，并说明理由。 （1） 未证明全等前，能用“全等对应边相等”补条件吗？ （2） 公共边能直接作为一组相等条件吗？ 解第（2）题 能。 同一条线段长度当然相等。 方法：找两组等角及它们的夹边。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练13　角平分线与高 △ABC中∠B=∠C，AD⊥BC于D。用ASA证明BD=CD。 答：，所以BD=CD。 解 先由内角和得∠BAD=∠CAD，再用这两角、AD和直角构成ASA。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练14　交叉图形证明 AC∥BD，AC=BD，两直线AB、CD交于O。证明O为AB中点。 答：AO=BO，且O在AB上，故O为AB中点。 解 由两组内错角相等及AC=BD，用ASA证△AOC≌△BOD。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练15　应用：隔河测距 河岸两侧A、B无法直接测量。在陆地作△DEF，使∠D=∠A、DE=AC、∠E=∠C，对应A↔D、C↔E、B↔F。量得DF=36 m，AB长多少？ 答：36 m。 解 由ASA得△ACB≌△DEF，AB对应DF。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 针对训练 训练16　应用：三角形玻璃 三角形玻璃破损，但保留一条边及这条边两端的角。能否按这三个量制作唯一大小形状的替换玻璃？ 答：能。 解 两角及夹边确定一个三角形；替换件与原件由ASA全等。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：先证全等，后用对应边角相等。 方法总结 角边角 夹边定位 （1）圈出两角的顶点 （2）连接顶点确定夹边 证明再用性质 （1）列三组相等条件 （2）全等后提取所需边角 $