12.2 三角形的性质（第2课时） 课件 2026--2027学年北京版八年级数学上册

第12章 三角形 12.2 三角形的性质 （第2课时）外角与三角形分类 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 理解外角定义及外角定理。 运用 用外角求角、按角分类，并探索多边形内角和。 复习引入 问题引入 观察 延长三角形的一条边，新出现的角与原内角有什么关系？ 思考 三角形三个内角和已知，能否把一个外角写成另外两个角的和？ 知识讲授 三角形的外角 三角形的每一个内角的邻补角为外角。 延长至，是的邻补角。 与同一内角相邻的外角，都与该内角的和为。 随堂探究 探究　外角定理的推导 在图中，BC延长到D，证明∠ACD=∠A+∠B。 答：。 解 ∠ACD=180°−∠ACB。 ∠A+∠B=180°−∠ACB，因此二者相等。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 知识讲授 内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ，其中与该外角不相邻。 外角大于每个不相邻的内角，但不一定大于相邻内角。 例题讲解 例 3 如图，B、C、D、E是同一直线上的四点，∠B=∠BAC=30°，∠CAD=60°。求∠ADE等于多少度。 答：。 解 在△ABC中，∠ACD=30°+30°=60°。 在△ACD中，∠ADE=60°+60°=120°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 随堂探究 变式　外角变式 三角形一个外角为125°，与它不相邻的一个内角为48°，求另一个内角。 答：77°。 解 125°−48°=77°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 随堂探究 探究　六个角的和 线段AB、CD、EF两两交于G、P、H。求∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F。 答：360°。 解 每个外围小三角形的两个外端角之和等于180°减去中心三角形对应角。 三个结果相加为540°−180°=360°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 课堂练习 练习　三个外角的和 如图，∠CAD、∠ABE、∠BCF是△ABC的三个外角，求它们的和等于多少度。 答：360°。 解 每个外角与相邻内角的和是180°。 外角和为3×180°−180°=360°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 知识讲授 最多一个直角或钝角 直角 两个直角之和已是180°，第三角不能为0°。 钝角 两个钝角之和大于180°，与内角和矛盾。 知识讲授 按角分类 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 分类依据是最大内角：小于、等于或大于。 每个三角形都至少有两个锐角，不能只看其中一个锐角。 随堂探究 探究　四边形内角和 连接四边形ABCD的对角线AC，可把四边形分成两个三角形。求四边形内角和。 答：360°。 解 两个三角形的内角和为2×180°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 随堂探究 探究　多边形内角和表 填写三角形、四边形、五边形、六边形、n边形的内角和。 答：180°、360°、540°、720°、(n−2)×180°。 解 从凸多边形一个顶点连对角线，可分成n−2个三角形。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 知识讲授 外角法与内角法 外角法 出现边的延长线时，先找外角与两个不相邻内角。 内角法 已知同一三角形两个内角时，直接利用180°求第三角。 课堂总结 外角与三角形分类 外角 内角的邻补角 推论 等于不相邻两内角和 分类 锐角、直角、钝角 推广 n边形内角和 特别提醒：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练1　外角与内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个不相邻内角为35°、65°，外角多少度？ （2） 外角为100°，相邻内角多少度？ 解第（1）题 100°。 外角等于两个不相邻内角之和。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练1　外角与内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个不相邻内角为35°、65°，外角多少度？ （2） 外角为100°，相邻内角多少度？ 解第（2）题 80°。 相邻内角与外角互补。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练2　外角与内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个不相邻内角为42°、73°，外角多少度？ （2） 外角为115°，相邻内角多少度？ 解第（1）题 115°。 外角等于两个不相邻内角之和。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练2　外角与内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个不相邻内角为42°、73°，外角多少度？ （2） 外角为115°，相邻内角多少度？ 解第（2）题 65°。 相邻内角与外角互补。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练3　外角与内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个不相邻内角为28°、86°，外角多少度？ （2） 外角为114°，相邻内角多少度？ 解第（1）题 114°。 外角等于两个不相邻内角之和。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练3　外角与内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个不相邻内角为28°、86°，外角多少度？ （2） 外角为114°，相邻内角多少度？ 解第（2）题 66°。 相邻内角与外角互补。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练4　缺少的内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 外角118°，不相邻内角为49°，求另一内角。 （2） 外角143°，不相邻两内角相等，各多少度？ 解第（1）题 69°。 118°−49°=69°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练4　缺少的内角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 外角118°，不相邻内角为49°，求另一内角。 （2） 外角143°，不相邻两内角相等，各多少度？ 解第（2）题 71.5°。 143°÷2=71.5°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练5　角形分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形内角为35°、65°、80°，是什么三角形？ （2） 三角形内角为25°、65°、90°，是什么三角形？ 解第（1）题 锐角三角形。 三个角均小于90°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练5　角形分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形内角为35°、65°、80°，是什么三角形？ （2） 三角形内角为25°、65°、90°，是什么三角形？ 解第（2）题 直角三角形。 有一个角等于90°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练6　由外角分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形一个外角为75°，三角形是什么类型？ （2） 三角形一个外角为90°，三角形是什么类型？ 解第（1）题 钝角三角形。 相邻内角105°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练6　由外角分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形一个外角为75°，三角形是什么类型？ （2） 三角形一个外角为90°，三角形是什么类型？ 解第（2）题 直角三角形。 相邻内角也是90°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练7　外角总和 完成下列问题，并说明理由。 （1） 一个三角形每个顶点选一个外角，两个为100°、130°，第三个多少度？ （2） 三个所选外角相等，每个多少度？ 解第（1）题 130°。 360°−100°−130°=130°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练7　外角总和 完成下列问题，并说明理由。 （1） 一个三角形每个顶点选一个外角，两个为100°、130°，第三个多少度？ （2） 三个所选外角相等，每个多少度？ 解第（2）题 120°。 360°÷3=120°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练8　多边形内角和 完成下列问题，并说明理由。 （1） 七边形内角和多少度？ （2） 九边形内角和多少度？ 解第（1）题 900°。 (7−2)×180°=900°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练8　多边形内角和 完成下列问题，并说明理由。 （1） 七边形内角和多少度？ （2） 九边形内角和多少度？ 解第（2）题 1260°。 (9−2)×180°=1260°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练9　由内角和求边数 完成下列问题，并说明理由。 （1） 内角和1080°的多边形有几条边？ （2） 内角和1440°的多边形有几条边？ 解第（1）题 8条。 n−2=1080÷180=6。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练9　由内角和求边数 完成下列问题，并说明理由。 （1） 内角和1080°的多边形有几条边？ （2） 内角和1440°的多边形有几条边？ 解第（2）题 10条。 n−2=8。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练10　外角方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） 外角为120°，不相邻两内角比1∶2，求两内角。 （2） 外角为135°，不相邻两内角差15°，求两内角。 解第（1）题 40°、80°。 120°按3份分。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练10　外角方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） 外角为120°，不相邻两内角比1∶2，求两内角。 （2） 外角为135°，不相邻两内角差15°，求两内角。 解第（2）题 60°、75°。 和135°、差15°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练11　易错辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形一个外角一定大于每个内角吗？ （2） 一个外角能与它相邻的内角相等吗？ 解第（1）题 不一定。 它只一定大于两个不相邻内角。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练11　易错辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形一个外角一定大于每个内角吗？ （2） 一个外角能与它相邻的内角相等吗？ 解第（2）题 能。 二者各90°时相等。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练12　最大角分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形最大内角是89°，是什么三角形？ （2） 三角形有两个锐角，就一定是锐角三角形吗？ 解第（1）题 锐角三角形。 其他角不超过89°。 解第（2）题 不一定。 第三角可为直角或钝角。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练13　角平分线与外角 △ABC中∠B=46°，∠C=64°。A处外角的平分线把该外角分成多大的角？ 答：55°。 解 A处外角为46°+64°=110°，再平分。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练14　连续外角计算 B、C、D、E依次共线，∠B=25°，∠BAC=35°，∠CAD=50°，求∠ADE。 答：110°。 解 ∠ACD=25°+35°=60°，∠ADE=60°+50°=110°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练15　应用：三角形道路转弯 沿三角形步道走一圈，每个拐角转向外角方向。前两次转向115°、125°，第三次转向多少度？ 答：120°。 解 同向转一圈共360°，360°−115°−125°=120°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 针对训练 训练16　应用：五边形花坛 凸五边形花坛有四个内角分别为100°、110°、120°、95°，最后一个内角多少度？ 答：115°。 解 五边形内角和540°，减去已知四角之和425°。 方法：区分相邻内角与不相邻内角。 注意：外角只等于两个不相邻内角之和。 方法总结 外角与三角形分类 追踪外角 （1）先找出与外角不相邻的两内角 （2）连续外角逐级计算 分割多边形 （1）从同一顶点连对角线 （2）先数三角形再计算内角和 $