11.5 二次根式及其性质（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第11章 实数和二次根式 11.5 二次根式及其性质 （第2课时）平方的算术平方根 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 性质 理解。 符号 结合条件正确去绝对值。 应用 先把被开方数写成完全平方，再化简。 随堂探究 探究　正负数的平方再开方 分别求和。 答：都等于2。 解 两个被开方数均为4。 算术平方根都取非负数。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 知识讲授 为什么不能直接去符号 当a非负 。 当a为负 ，结果仍为正数。 知识讲授 平方的算术平方根 。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 可以是任意实数。 结果必须非负。 知识讲授 两种运算次序 先开方后平方 ，要求。 先平方后开方 ，可以任取实数。 随堂探究 探究　代入反例检验 “总成立”，请用一个负数反驳。 答：取，左边3，右边−3，不相等。 解 平方消去原数正负信息。 开平方只取非负值。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （3） （4） （） 解第（1）题 原式。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （3） （4） （） 解第（2）题 。 原式等于。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （3） （4） （） 解第（3）题 。 取相反数，得。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （3） （4） （） 解第（4）题 原式。 ，所以。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 例题讲解 例 3 计算： （5） （） 解第（5）题 被开方数为。 ，取相反数。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 随堂探究 探究　例题变式：条件改变 计算后，说明若将π换为2会怎样。 答：原式为π−3；换为2后结果为1。 解 先判断括号中的数的正负。 条件改变时，去绝对值方式可能改变。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 随堂探究 探究　例题变式：完全平方 化简（）。 答： 解 被开方数为。 ，故结果为。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 课堂练习 练习1（1—3）　等式是否成立（一） （1）。 × 理由：左边为7。 （2）。 √ 理由：。 （3）。 × 理由：根号部分没有实数意义。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 课堂练习 练习1（4—6）　等式是否成立（二） （4）。 √ 理由：符合的性质。 （5）。 × 理由：左边只等于0.3。 （6）。 × 理由：左边，右边。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 课堂练习 练习2 计算： （1） （） （2） （） （3） （） 解第（1）题 ，绝对值可直接去掉。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 课堂练习 练习2 计算： （1） （） （2） （） （3） （） 解第（2）题 ，取相反数。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 课堂练习 练习2 计算： （1） （） （2） （） （3） （） 解第（3）题 原式。 ，所以结果。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 归纳总结 阶段整理：化简的三步 找平方 先将被开方数整理成完整的平方。 留绝对值 使用。 判正负 依据条件确定的符号，再去绝对值。 随堂探究 探究　没有符号条件时 化简，为任意实数。 答： 解 不能确定的符号。 应保留绝对值。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 随堂探究 探究　乘积的符号 若，化简。 答： 解 ，所以。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 随堂探究 探究　数轴距离解释 在数轴上表示什么？ 答：表示对应点到2对应点的距离。 解 原式为。 差的绝对值就是两点间距离。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 随堂探究 探究　边界处的取值 当时，是多少？ 答：0。 解 括号整体为零。 零的算术平方根仍为零。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 课堂总结 平方的算术平方根 性质 。 范围 字母可取所有实数。 符号 非负取本身，负数取相反数。 结构 完全平方式先因式分解。 特别提醒：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练1　选择：恒等式 恒等于？A.x　B.−x　C.　D.±x 答：C 解 必须保证结果非负。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练2　数值计算 求。 答： 解 。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练3　非负整体 化简。 答： 解 括号整体恒正。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练4　负数整体 化简。 答： 解 ，括号整体为负。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练5　给定条件 化简，其中。 答： 解 。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练6　完全平方 化简，其中。 答： 解 被开方数为。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练7　含系数 化简，其中。 答： 解 原式，而。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练8　两字母符号 化简，其中。 答： 解 ，故。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练9　保留绝对值 化简，无其他条件。 答： 解 整体符号未知。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练10　条件反求 若，求的范围。 答： 解 恰在非正时成立。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练11　分式条件 若，求的范围。 答： 解 分母排除0。 正数时。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练12　分段化简 若，求。 答： 解 两项分别为、。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练13　先化平方 化简，其中。 答： 解 被开方数为。 括号整体为负。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练14　辨析两式 与对所有实数都相等吗？ 答：不是，后者要求。 解 当时，前者有意义而后者无意义。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练15　应用：数轴路程 沿直线步道，甲在坐标−3处，乙在坐标处且。两者距离为，化简该距离。 答：个单位。 解 ，故绝对值可直接去掉。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 针对训练 训练16　应用：正方形边长 一块正方形板的面积为平方厘米，其中。边长是多少厘米？ 答：厘米。 解 边长为。 因，所以取。 方法：把被开方数写成整体的平方。 注意：去绝对值时，负号应作用于括号整体。 方法总结 本课解题方法 平方结构法 （1）把被开方数写成整体的平方。 （2）先化成绝对值再处理。 符号判断法 （1）依据取值条件判断整体正负。 （2）条件不足时保留绝对值。 $