11.1 平方根（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第11章 实数和二次根式 11.1 平方根 （第1课时）平方根的概念与性质 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 认识 从平方运算出发，理解平方根与开平方。 会求 依据平方检验，求整数、分数、小数的平方根。 辨别 说清正数、零、负数的平方根情况。 复习引入 面积问题中的未知边长 已知面积 正方形面积是边长的平方。面积为4时，边长为2。 新问题 面积为2时，设边长为，得到，还需寻找新的数。 随堂探究 探究　平方运算的反向思考 填空：____，____。哪些数的平方等于4？ 答：；和。 解 正数和它的相反数平方相同。 求平方根要寻找所有符合条件的数。 方法：把乘方问题反过来思考。 注意：面积的边长为正，纯数学问题须保留负根。 知识讲授 平方根 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫作的平方根。也就是，如果，那么叫作的平方根。 被开方的数是，平方根是。 检验一个数是不是平方根，只需把它平方。 知识讲授 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方。 运算名称是开平方。 运算结果叫平方根。 随堂探究 思考与交流　平方根的直接检验 如果下列等式成立，求未知数。 （1） （2） （3） 解第（1）题 ，。 解第（2）题 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 思考与交流　平方根的直接检验 如果下列等式成立，求未知数。 （1） （2） （3） 解第（3）题 只有零的平方等于零。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 例题讲解 例 1 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：寻找平方等于原数的数。 注意：正根、负根都要写。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 例题讲解 例 1 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 探究　例题变式：小数位置 求的平方根。 答： 解 。 正数有互为相反数的两个平方根。 方法：先确定小数位，再平方检验。 注意：平方根小数位不是被开方数原样保留。 知识讲授 平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 平方结果不可能是负数。 本课讨论实数范围内的平方根。 知识讲授 平方与开平方 正向 已知一个数，平方得到唯一结果，例如。 反向 已知平方结果36，开平方得到6和−6两个数。 检验 求出的每个数都应满足平方等于原数。 课堂练习 练习1 平方根判断 （1）1的平方根是1。 × 理由：1的平方根有1和−1。 （2）−1的平方根是−1。 × 理由：负数没有平方根。 （3）不是的平方根。 × 理由：。 （4）0.2是0.4的平方根。 × 理由：。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 课堂练习 练习2 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 课堂练习 练习2 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 先算。 169的平方根为±13。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 知识讲授 易错：平方根的个数 漏负根 “36的平方根是6”少写了−6，完整答案为±6。 误写两个零 零只有一个平方根，不把+0和−0看成两个不同数。 归纳总结 阶段整理：求平方根 看原数 先判断原数是正数、零还是负数。 找与验 正数先找正根，再写相反数，并用平方检查。 随堂探究 探究　从平方根反求原数 一个数的一个平方根是，求这个数及另一个平方根。 答：，另一个平方根为。 解 原数等于。 另一根与−11互为相反数。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 探究　已知两根求参数 某正数的两个平方根是和，求。 答： 解 正数的两平方根互为相反数。 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 探究　不可能的开平方 是否存在一个数，其平方等于？ 答：不存在。 解 任意实数的平方都不小于零。 −0.25小于零。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 探究　负号的位置 比较与，它们分别有没有平方根？ 答：前者−25无平方根，后者25的平方根为±5。 解 乘方优先于前面的负号。 括号把−5作为整体。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 探究　小数与分数互相检验 求的平方根，并写成小数。 答： 解 分子分母同时寻找平方来源。 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 随堂探究 探究　用平方比较答案 小明说的平方根是。请纠正并检验。 答： 解 ，不符合。 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 课堂总结 平方根的概念与性质 概念 时，是的平方根。 个数 正数2个，零1个，负数0个。 运算 开平方与平方互为逆运算。 应用 列平方关系，再筛选实际值。 特别提醒：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练1　选择：根的个数 下列数有两个平方根的是哪一个？A.−4　B.0　C.25　D.−25 答：C 解 正数有两个平方根。 只有25为正数。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练2　填空：平方检验 ，所以144的一个平方根是____。 答： 解 按平方根定义直接判定。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练3　基础计算 求的平方根。 答： 解 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练4　分数计算 求的平方根。 答： 解 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练5　小数计算 求的平方根。 答： 解 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练6　先算乘方 求的平方根。 答： 解 平方后的数为324。 324的平方根为±18。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练7　纠错：遗漏根 “的平方根只有。”错在哪里？ 答：还应有。 解 正数有两个互为相反数的平方根。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练8　分类讨论 、0、0.01各有几个平方根？ 答：依次0个、1个、2个。 解 依次是负数、零、正数。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练9　逆向求数 一个数的一个平方根为2.5，求原数。 答： 解 原数为。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练10　求另一根 某正数的一个平方根为，另一个平方根是多少？ 答： 解 两个平方根互为相反数。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练11　方程与根 求满足的所有。 答： 解 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练12　参数关系 某正数的平方根为与，求及原数。 答：，原数16。 解 ，得。 两根为−4和4。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练13　解释结论 为什么正数的两个平方根相加一定为0？ 答：因为它们互为相反数。 解 若一根为，另一根为。 。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练14　综合推理 某数的平方等于0.0625，这个数与4相乘可能得到什么？ 答：或 解 该数为±0.25。 分别乘4得到±1。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练15　应用：正方形地垫 一块正方形地垫面积为2.25平方米，边长是多少米？ 答：1.5米。 解 设边长为米，。 平方根为±1.5，长度取正值。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 针对训练 训练16　应用：方形展板 用36张面积均为0.04平方米的正方形小片拼成无缝正方形展板，展板边长是多少米？ 答：1.2米。 解 总面积平方米。 边长为正，且。 方法：把候选数平方，与原数核对。 注意：正数的平方根不要漏掉负根。 方法总结 本课解题方法 平方检验法 （1）把候选数平方，与原数核对。 （2）正数的两根都要保留。 分类与取舍 （1）按正、零、负判断平方根个数。 （2）长度问题结合实际取正值。 $