第2章 特殊三角形【易错点专项训练卷】2026-2027 学年浙教版数学八年级上册（温州地区）

第2章 特殊三角形【易错点专项训练卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 题目类型 考查的知识点 等腰三角形的多解与漏解 已知一边长（或周长）求另外的边，要分「这条边是腰」与「这条边是底边」两种情形；已知一个外角，要分它在顶角处还是在底角处；每一种情形算完都必须用「三角形两边之和大于第三边」检验后才决定取舍；腰长的取值范围由底边为正与两边之和大于第三边共同确定 逆命题与逆定理 先把命题改写成「如果……那么……」的形式，再把题设与结论整体互换；逆命题的真假要单独判断，原命题真不等于逆命题也真；原命题与逆命题都是真命题时，它们才组成互逆定理 勾股定理的审题陷阱 先认准直角顶点，再决定谁是斜边；用逆定理判断直角三角形时，先找出最长边；已知两边求第三边要弄清斜边是否已经确定；已知一边和这边上的高求另一边时，高的位置可能在三角形内部也可能在外部；实际应用问题里，量出来的长度属于哪一条线段要交代清楚 全等判定的误用 「边边角」（两边及其中一边的对角）不能判定两个三角形全等；判定前先确认相等的角是不是两条相等边的夹角；全等的记法已经把对应顶点按顺序排好，求对应边、对应角时不要错位；判定定理与性质定理的方向不能颠倒 等腰三角形的性质与判定 「三线合一」的三条线都要以顶角顶点为起点、都指向底边；等边对等角与等角对等边；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；角平分线、平行线与等腰三角形联用时，要点出那一对内错角 角平分线的性质与判定 性质定理：点在角平分线上 → 到角两边的距离相等；判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点 → 在角平分线上；两个方向不要记反；配合全等可把角平分线上的点到两边的距离互相转化 思想方法 分类讨论（腰与底边不定、顶角与底角不定、高的位置不定）；方程与配方的思想；等面积法求线段；把「新问题」转化为「已经证过的结论」 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．若一个等腰三角形的周长是 30，其中一边的长是 8，则它的底边长是（　　） A．8　B．11　C．14　D．8 或 14 2．在 △ABC 中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，则 AC 的长是（　　） A．12　B．　C．18　D．8 3．△ABC≌△DEF，若 ∠A＝50°，∠B＝60°，则 ∠F 的度数是（　　） A．50°　B．60°　C．70°　D．120° 4．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补　B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．对顶角相等　D．等腰三角形的两个底角相等 5．下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4　B．1，2，　C．，，3　D．，， 6．若等腰三角形的一个外角是 100°，则它的底角的度数是（　　） A．50°　B．80°　C．50° 或 80°　D．50° 或 100° 7．关于等腰三角形，下列说法中正确的是（　　） A．等腰三角形底边上的中线与腰上的高互相重合　B．等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线互相重合 C．等腰三角形一腰上的高与底角的平分线互相重合　D．等腰三角形任意两边上的高都相等 8．不能判定 △ABC≌△DEF 的条件是（　　） A．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF　B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF C．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E　D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF 9．已知原命题「如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等」。关于这个原命题和它的逆命题，下列说法正确的是（　　） A．原命题和逆命题都是真命题　B．原命题是真命题，逆命题是假命题 C．原命题是假命题，逆命题是真命题　D．原命题和逆命题都是假命题 10．已知等腰三角形的周长是 20，若它的腰长为 x，则 x 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．命题「等腰三角形的两个底角相等」的逆命题是　　　　　，它是　　　　　命题（填「真」或「假」）。 12．一个等腰三角形的两条边长分别是 4 和 10，则它的周长是　　　　　。 13．已知 △ABC 中 AB＝13，AC＝15，BC 边上的高 AD＝12，则 BC 的长是　　　　　。 14．在 △ABC 中，点 P 在 △ABC 内部。若点 P 到边 AC、BC 的距离相等，则点 P 一定在　　　　　上。 15．如图，△ABC 中 AB＝AC，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E。若 ∠A＝40°，则 ∠DBC＝　　　　　°。 16．若 △ABC 的三边长分别是 a、b、c，且满足 ，则 △ABC 是　　　　　三角形。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）如图，在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E。 (1) 求证：△BDO 是等腰三角形； (2) 若 BD＝3，CE＝4，求 DE 的长。 18．（5 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。 (1) 求证：△ACD≌△AED； (2) 若 CD＝3，BD＝5，求 BE 的长。 19．（6 分）如图，一棵大树在离地面 3 m 的点 C 处折断，树顶 D 落在地面上，量得 D 到树根 B 的距离是 4 m。树原来是垂直于地面的。 (1) 求折断部分 CD 的长； (2) 求这棵大树折断前的高度。 20．（6 分）已知命题「等腰三角形底边上的中线与高线互相重合」。 (1) 写出这个命题的逆命题； (2) 证明 (1) 中的逆命题是真命题。 21．（6 分）如图，在等腰 △ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E。 (1) 求 AD 的长； (2) 求 BE 的长。 22．（6 分）如图，△ABC 中 AB＝AC，点 D 是边 BC 上一点，连接 AD。小明说：「因为 AB＝AC，AD＝AD，∠B＝∠C，所以 △ABD≌△ACD。」 (1) 小明的说法对吗？请说明理由； (2) 若要判定 △ABD≌△ACD，还需补充一个条件，请写出一个并说明判定依据。 23．（6 分）已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍。 (1) 分情形讨论，分别求出这个等腰三角形三个内角的度数； (2) 写出这个等腰三角形的顶角的度数。 24．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D 在边 AB 上（不与 A、B 重合），AD＝3，BD＝5。 (1) 求点 C 到边 AB 的距离； (2) 求 CD 的长。 答案与解析 一、选择题（每小题 3 分） 　　1．D　2．A　3．C　4．C　5．B　6．C　7．B　8．C　9．B　10．B 1．D 题目只说「一边的长是 8」，没说是腰还是底边，所以要分成两种情形算。 ① 8 是底边：两条腰各是 (30−8)÷2＝11，三边为 11、11、8，因为 11＋8＞11、11＋11＞8，能构成三角形； ② 8 是腰：另一条腰也是 8，底边＝30−8−8＝14，三边为 8、8、14，因为 8＋8＝16＞14，也能构成三角形。 两种情形都成立，所以底边长是 8 或 14，选 D。 易错提醒：只要题目没有说明这条边是腰还是底边，就必须分成两种情形算，而且每一种算完都要回到「三角形两边之和大于第三边」检验一遍。 本题的两个答案都能构成三角形，所以都要保留 —— 这与「3 和 7」「4 和 9」那类只有一种情形成立、必须舍弃另一个的题目不一样，做的时候要分清楚。 2．A ∠A＝90°，说明直角顶点是 A，直角所对的边 BC 是斜边，AB 与 AC 是两条直角边。 由勾股定理 ，所以 AC＝12。 选 A。 易错提醒：先认定直角在哪里，再决定谁是斜边。若把 ∠A＝90° 看成 ∠C＝90°，就会算成 ，错选 B —— 选项 B 的 就是为这个坑准备的。 顺带记住常用的勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；9、40、41。本题里的 5 与 13 正是把 5、12、13 这组数拆开来用。 3．C 在 △ABC 中，∠C＝180°−50°−60°＝70°。 因为 △ABC≌△DEF，对应顶点是按全等记法的顺序排好的：A 与 D、B 与 E、C 与 F 对应， 所以 ∠F＝∠C＝70°。 选 C。 易错提醒：不要凭图上的位置找对应角，要按字母顺序找。△ABC≌△DEF 这行写法本身就把「A 对 D、B 对 E、C 对 F」交代清楚了。 想一想：求角度之前，先把对应关系写成一行（A→D，B→E，C→F），再去取角，比在图上乱看可靠得多。若题目问的是 ∠E，答案就是 ∠B＝60°，也就是选项 B。 4．C 把一个定理的题设与结论互换，得到的新命题如果也是真命题，它才叫原定理的逆定理。逐项写出来判断： A 的逆命题是「同旁内角互补，两直线平行」，这是平行线的判定，真命题，有逆定理； B 的逆命题是「到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上」，2.5 学过，真命题，有逆定理； C 的逆命题是「如果两个角相等，那么这两个角是对顶角」，是假命题（例如两个 30° 的角相等，却不是对顶角），没有逆定理； D 的逆命题是「有两个角相等的三角形是等腰三角形」，这是 2.4 的判定定理，真命题，有逆定理。 选 C。 易错提醒：原命题是真的，逆命题不一定真。「对顶角相等」真、「相等的角是对顶角」假，这一对正是最常考的「有原命题、没有逆定理」的例子，要记牢。 5．B 用勾股定理的逆定理判断，口径是：先把三条线段按长短排好，找出最长边，再看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 A：最长边是 4，，而 ，两者不相等，不是直角三角形； B：最长边是 2，，而 ，两者相等，是直角三角形； C：最长边是 3，，而 ，两者不相等，不是直角三角形； D：最长边是 （也就是 2），，而 ，两者不相等，不是直角三角形。 选 B。 易错提醒：最长边一定要单独放在等号右边。本题 B 里最长的是 2 而不是 ，D 里最长的是 而不是 —— 拿错了最长边，后面全错。 另外 可以看成 2，比较之前先把它认出来，能少犯很多错。 6．C 题目只说「一个外角是 100°」，没有说这个外角在顶角处还是在底角处，所以要分成两种情形算。用到的性质是：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ① 100° 是底角处的外角：这个底角＝180°−100°＝80°，另一个底角也是 80°，顶角＝180°−80°−80°＝20°。三内角 80°、80°、20° 都是正角，成立，此时底角是 80°； ② 100° 是顶角处的外角：顶角＝180°−100°＝80°，两个底角各是 (180°−80°)÷2＝50°。成立，此时底角是 50°。 所以底角是 50° 或 80°，选 C。 易错提醒：「一个外角」没交代在哪个顶点上，就是本题的坑。只画一种图（例如默认锐角等腰三角形）就会漏掉一个答案。 注意区分：如果题目改成「一个内角是 100°」，那 100° 只能是顶角，底角就唯一确定是 40° —— 条件说的是内角还是外角，答案的个数完全不同。 7．B 等腰三角形的「三线合一」指的是：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三条线段互相重合。请注意这三条线的共同点 —— 都以顶角顶点为起点，都指向底边。逐项对照： A 把「底边上的中线」和「腰上的高」凑在一起，两条线的位置对不上，错； B 是「顶角的平分线」与「底边上的中线」，与三线合一完全一致，正确； C 一腰上的高与底角的平分线之间没有这种重合关系，错； D 只有两腰上的高相等（可用轴对称或面积法证明），底边上的高与腰上的高一般不相等，错。 选 B。 易错提醒：背「三线合一」时把「底边」写成「腰」、把「顶角」写成「底角」，是最常见的错法。判断时可以自己画一个等腰三角形，把每条线都画出来看一眼，不要凭记忆直接选。 8．C 逐项看条件的搭配方式： A 是「两边及其夹角」（SAS），能判定； B 是「两角及其中一个角的对边」（AAS），能判定； D 是「三边」（SSS），能判定； C 给出的是两边 AB、AC 与一个角 ∠B、∠E。其中相等的角 ∠B 是边 AC 的对角，并不是 AB 与 AC 这两条边的夹角，属于「边边角」，不能判定全等。 选 C。 易错提醒：「边边角」不能判定三角形全等，这是全等判定里的第一个大坑。看到「两边和一个角」时，先追问一句：这个角是这两条边夹出来的吗？ 想一想：把 C 里的 ∠B＝∠E 改成 ∠A＝∠D，条件立刻变成 SAS，就可以判定了。所以关键在于角的位置，而不在于条件的多少。 9．B 先看原命题：「同角的余角相等」是学过的真命题。 再写逆命题：把题设与结论整体互换，得到「如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角」。 最后判断它的真假：「两个角相等」并不能推出「它们是同一个角的余角」。举一个反例：100° 与 100° 相等，但一个角的余角一定小于 90°，所以 100° 不可能是任何角的余角。逆命题是假命题。 选 B。 易错提醒：写逆命题不是把「如果」「那么」两个词换个位置，而是把整个题设与整个结论互换。写完之后要单独判断真假，不要想当然地认为「原命题正确，逆命题也正确」。 顺带记住：举反例是判断逆命题为假最有力的办法，而反例最好挑极端的数据（例如此处的钝角）。 10．B 设腰长为 x，因为周长是 20，所以底边长为 20−2x。要确定 x 的范围，必须同时满足两个条件。 第一个条件，底边长必须是正数：20−2x＞0，解得 x＜10。 第二个条件，三条边要能构成三角形，即两条腰的和大于底边：x＋x＞20−2x，解得 4x＞20，即 x＞5。 两个条件同时成立，得 5＜x＜10，选 B。 易错提醒：只想到「底边长为正」是不够的，必须再补上「两边之和大于第三边」—— 这就是本题的坑，只算前半段就会错选 A。 再看两个端点：x＝5 时底边长正好是 10，三边 5、5、10 中两边之和等于第三边，围不成三角形，所以 5 取不到；x＝10 时底边长为 0，也取不到。两端都取不到，答案里要用「＜」而不是「≤」，所以 C 也是错的。 二、填空题（每小题 4 分） 　　11．有两个角相等的三角形是等腰三角形；真　12．24　13．14 或 4　14．∠ACB 的平分线　15．30　16．直角 11．有两个角相等的三角形是等腰三角形；真 第一步，把原命题改写成「如果……那么……」的形式：「如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。」 第二步，把题设与结论互换，得到逆命题：「如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形。」 第三步，判断真假：这正是 2.4 学过的判定定理「等角对等边」，是真命题。 答：有两个角相等的三角形是等腰三角形；真。 易错提醒：先老老实实改写成「如果……那么……」，再互换，不容易漏条件。直接口头交换前后半句，往往写成「两个底角相等的三角形是等腰三角形」，把本来不属于题设的「底角」留在里面 —— 而「底角」这个说法本身就预设了它是等腰三角形，句子就绕回去了。 12．24 边长 4 和 10 中有一条是腰、一条是底边，但题目没说是哪一条，分成两种情形算。 ① 4 是腰：三边为 4、4、10，因为 4＋4＝8＜10，两边之和小于第三边，围不成三角形，弃去； ② 10 是腰：三边为 10、10、4，因为 4＋10＞10、10＋4＞10，能构成三角形，周长＝10＋10＋4＝24。 答：24。 易错提醒：算出「4 是腰」这一种之后，一定要拿三边关系检验一遍，否则会因为「两种情况都写上」而给出 24 和 18 两个答案。本题的正确答案只有一个，就是 24。 顺带记住：遇到「两边长」型的等腰三角形问题，短的边想当腰，先算一算它的两倍是否大于长的那条边。 13．14 或 4 题目只说「BC 边上的高 AD＝12」，没有说高在三角形的内部还是外部，两种位置都要算。 先在两个直角三角形里分别求出 BD、CD： 在 Rt△ABD 中，； 在 Rt△ACD 中，。 ① 高 AD 在三角形内部（此时 △ABC 是锐角三角形）： BC＝BD＋CD＝5＋9＝14。 ② 高 AD 落在三角形外部（此时 △ABC 是钝角三角形，垂足 D 在 BC 的延长线上）： BC＝CD−BD＝9−5＝4。 答：14 或 4。 易错提醒：画图时习惯性画成锐角三角形，就会漏掉第二种情形。凡是题目里出现「某边上的高」而没有配图，就先把高在内部、外部两种图都画出来，再动手算。 顺带记住：判断标准就是 BD 与 CD 的大小关系，当 AB、AC 与高 AD 的差一长一短时，才会出现「相减」的那种情形。 14．∠ACB 的平分线 点 P 到 AC、BC 两边的距离相等，而 ∠ACB 的两条边正好是 AC 和 BC。 由「在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上」（这就是角平分线的判定定理），可知点 P 在 ∠ACB 的平分线上。 答：∠ACB 的平分线。 易错提醒：角平分线有两条方向相反的定理，千万别记混—— 性质定理：点在角平分线上 → 到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等 → 点在角平分线上。 本题给的是「距离相等」，用的是判定定理；方向反了就会答成「角平分线上的点到两边距离相等」，那是答非所问。 另外不要错答成「AC 与 BC 的垂直平分线」—— 垂直平分线管的是「到两个点距离相等」，跟「到两条线距离相等」是两回事。 15．30 因为 DE 垂直平分 AB，所以 DA＝DB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，出自 2.1）。 于是 △ABD 是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°。 又因为 AB＝AC，所以 ∠ABC＝∠C＝(180°−40°)÷2＝70°。 所以 ∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70°−40°＝30°。 答：30。 易错提醒：看到「垂直平分线」四个字，要立刻想到「到两端距离相等」。把 DA＝DB 这条隐藏条件挖出来，∠ABD 就能求，题就通了；只盯着 AB＝AC 去算 ∠ABC，就会在最后一步卡住。 另外注意最后是相减：∠DBC 是 ∠ABC 与 ∠ABD 的差，别顺手写成相加。 16．直角 先把右边的项全部移到左边，再按 a、b、c 分组配方： ， 也就是 。 三个非负数的和等于 0，所以每一项都等于 0，得 a＝3，b＝4，c＝5。 因为 ，由勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形。 答：直角。 易错提醒：看到「几个平方相加等于 0」，就要想到「每一项都是 0」，这是把式子拆成三个等式拿 a、b、c 的关键一步。 配方时右边的常数 50 正好拆成 9＋16＋25，它是由 、、 的平方得到的，所以遇到这种题，习惯做法是把一次项系数先除以 2 再平方。 三、解答题（共 46 分） 17．（4 分） (1) 因为 DE∥BC，所以 ∠DOB＝∠OBC（两直线平行，内错角相等）。 因为 BO 平分 ∠ABC，所以 ∠DBO＝∠OBC。 于是 ∠DOB＝∠DBO，由「等角对等边」得 DO＝DB，即 △BDO 是等腰三角形。 (2) 同 (1) 的道理：因为 DE∥BC，所以 ∠EOC＝∠OCB；又 CO 平分 ∠ACB，所以 ∠ECO＝∠OCB， 于是 ∠EOC＝∠ECO，由等角对等边得 EO＝EC＝4。 又由 (1) 已证 DO＝DB＝3， 所以 DE＝DO＋OE＝3＋4＝7。 答：DE＝7。 易错提醒：∠DOB 与 ∠OBC 这一对内错角是本题的钥匙。证明时要按「平行 → 内错角相等 → 角平分线 → 两个角相等 → 等角对等边」的顺序把理由一路摆出来，缺一步过程就不完整。 想一想：(2) 里 DO＝DB 是 (1) 已经证过的结论，可以直接引用，不必重新证一遍；这种「前一小问为后一小问搭桥」的写法，是几何解答题最常见的结构。 18．（5 分） (1) 因为 ∠C＝90°，DE⊥AB，所以 ∠C＝∠AED＝90°。 因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠CAD＝∠EAD。 在 △ACD 与 △AED 中：∠C＝∠AED（已证），∠CAD＝∠EAD（已证），AD＝AD（公共边）， 由「AAS」得 △ACD≌△AED。 (2) 由 (1) 的全等得 DE＝CD＝3（全等三角形的对应边相等）。 在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，BD 是斜边， 所以 。 答：BE＝4。 易错提醒：第 (2) 问的送分点，是把 CD 换成 DE——由全等得到 DE＝CD＝3，再把它放进 Rt△BDE 用勾股定理，一步就出来了。不少同学到这一步还在用 CD，就卡住了。 想一想：(1) 里判定全等用的是 AAS，而不是 HL —— 因为「CD＝DE」正是 (2) 要用的结论，不能拿它当条件来用。这就是「判定定理不能循环论证」的典型情形。 19．（6 分） (1) 树原来垂直于地面，所以 ∠CBD＝90°，△CBD 是直角三角形。 其中 BC＝3 m，BD＝4 m，由勾股定理 （m）。 答：折断部分 CD 的长是 5 m。 (2) 折断前，树从地面到树顶是一整条竖直的线段，它由两段拼成：没断的那一段 BC 和折断后倒下来的那一段 CD。 所以折断前的高度＝BC＋CD＝3＋5＝8（m）。 答：这棵大树折断前的高度是 8 m。 易错提醒：第 (2) 问是本题最大的坑——折断前的高度是「3 加 5」，不是「3 加 4」，更不是拿 3、4 直接套勾股定理。 要分清楚：BD＝4 m 是树顶落在地面上、离树根的距离，它贴在地面上，并不是树本身的一段；真正竖着的两段是 BC 与 CD。 顺带记住：3、4、5 是最常用的一组勾股数，看到 3 与 4 先想到 5，能省下不少计算时间。 20．（6 分） (1) 把原命题的题设与结论互换，得逆命题： 「如果一个三角形某一条边上的中线与高线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形。」 (2) 已知：在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC。 求证：AB＝AC。 证明：因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 BD＝CD。 因为 AD⊥BC，所以 ∠ADB＝∠ADC＝90°。 在 △ABD 与 △ACD 中：BD＝CD（已证），∠ADB＝∠ADC（已证），AD＝AD（公共边）， 由「SAS」得 △ABD≌△ACD， 所以 AB＝AC（全等三角形的对应边相等），即 △ABC 是等腰三角形。 因此这个逆命题是真命题。 易错提醒：写逆命题不能只把「中线」和「高线」两个词换个位置，要把整句话的条件与结论互换，还得补上「某一条边」这种可以指任意边的说法，否则就不是一个完整的命题。 另外，(2) 的证明要先写「已知」「求证」，再写证明过程。格式完整，是这类「证明某个命题为真」的题目的得分前提。 21．（6 分） (1) 因为 AB＝AC，AD⊥BC，由等腰三角形的「三线合一」知，AD 同时也是底边 BC 上的中线， 所以 。 在 Rt△ABD 中，。 答：AD＝8。 (2) 用面积法：△ABC 的面积既能用底边 BC 与高 AD 表示，也能用腰 AC 与腰上的高 BE 表示， 即 ，也就是 ， 解得 BE＝9.6。 答：BE＝9.6。 易错提醒：求腰上的高，最省力的办法是「面积法」——同一个三角形，换一组底和高重新算一遍面积，结果当然相等，直接列一个等式就能出答案，不用再作辅助线。 第 (1) 问里别忘了先用「三线合一」说明 BD 是 BC 的一半；若把 BD 直接当成 12 来用，AD 就必然算错。 22．（6 分） (1) 小明说的不对。 他列出的条件是 AB＝AC、AD＝AD、∠B＝∠C。其中相等的角 ∠B 是边 AD 的对角，并不是 AB 与 AD 这两条边的夹角，所以这组条件属于「边边角」，不能判定两个三角形全等。 更直接地说，「∠B＝∠C」本来就是由 AB＝AC 推出的结果（等边对等角），拿它当判定条件，等于在原地打转。 (2) 有两条常见的补充办法（写出一条即可）： 办法一：补充 BD＝CD。 此时 △ABD 与 △ACD 中，AB＝AC、AD＝AD、BD＝CD，由「SSS」得 △ABD≌△ACD。 办法二：补充 ∠BAD＝∠CAD（也就是 AD 平分 ∠BAC）。 此时 AB＝AC、∠BAD＝∠CAD、AD＝AD，「相等的角正好是两条相等边的夹角」，由「SAS」得 △ABD≌△ACD。 易错提醒：判断「边边角」的关键，是看相等的角夹不夹在两条相等边之间。办法二之所以成立，正是因为它把角换成了夹角。 想一想：如果补充的条件是「∠ADB＝∠ADC」呢？因为它们在 BC 这条直线上，两个角相等就意味着都等于 90°，于是 AD⊥BC，这其实与办法一的效果相同，仍由 SAS 判定。 23．（6 分） 设这个等腰三角形的顶角是 α，底角是 β。因为两个底角相等，所以三条内角之和为 2β＋α＝180°。 题目只说「一个内角是另一个内角的 2 倍」，没指明是谁的 2 倍，所以要分两种情形。 ① 顶角是底角的 2 倍，即 α＝2β： 代入得 2β＋2β＝180°，4β＝180°，β＝45°，α＝90°。三内角为 90°、45°、45°，成立，顶角是 90°。 ② 底角是顶角的 2 倍，即 β＝2α： 代入得 2×2α＋α＝180°，5α＝180°，α＝36°。三内角为 36°、72°、72°，成立，顶角是 36°。 答：(1) 三个内角为 90°、45°、45°，或 36°、72°、72°；(2) 顶角是 90° 或 36°。 易错提醒：「一个内角是另一个内角的 2 倍」这句话里没有主语，就是分类讨论的信号。等腰三角形里的角只有「顶角」和「底角」两种角色，只要把这两种情形都写出来，就不会漏。 注意条件措辞：若题目改成「顶角是一个底角的 2 倍」，就只剩 90° 这一种；若改成「一个底角是顶角的 2 倍」，就只剩 36° 这一种。条件里有没有指明身份，直接决定答案有几个。 24．（7 分） (1) 由 AD＝3、BD＝5 得 AB＝3＋5＝8。 因为 ∠ACB＝90°，AC＝BC，所以 △ABC 是等腰直角三角形。 取斜边 AB 的中点 M，则由 2.6 的「斜边上的中线等于斜边的一半」得。 又因为 AC＝BC，由等腰三角形的「三线合一」，斜边 AB 上的中线 CM 同时也是 AB 上的高，即 CM⊥AB。 所以点 C 到边 AB 的距离就是 CM＝4。 答：点 C 到边 AB 的距离是 4。 (2) 因为 M 是 AB 的中点，所以 。 又 AD＝3，所以 DM＝AM−AD＝4−3＝1。 在 Rt△CMD 中，CM⊥AB，所以 ∠CMD＝90°，由勾股定理 。 答：CD 的长是 。 易错提醒：第 (2) 问里 CD 不在任何一个现成的直角三角形中，必须自己作辅助线——取 AB 的中点 M，连接 CM，把 CD 放进 Rt△CMD 里再算。 很多同学一上来就盯着 △ACD 看，可 △ACD 既不是直角三角形、AC 的长度又没有直接给出，于是卡在那里。遇到「求一条悬着的线段」时，先想一想能不能把它放进某个直角三角形。 另外，(1) 求出的 CM 正是 (2) 需要的一条直角边，两问是连着的：先老老实实做完 (1)，(2) 就顺下来了。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形【易错点专项训练卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 题目类型 考查的知识点 等腰三角形的多解与漏解 已知一边长（或周长）求另外的边，要分「这条边是腰」与「这条边是底边」两种情形；已知一个外角，要分它在顶角处还是在底角处；每一种情形算完都必须用「三角形两边之和大于第三边」检验后才决定取舍；腰长的取值范围由底边为正与两边之和大于第三边共同确定 逆命题与逆定理 先把命题改写成「如果……那么……」的形式，再把题设与结论整体互换；逆命题的真假要单独判断，原命题真不等于逆命题也真；原命题与逆命题都是真命题时，它们才组成互逆定理 勾股定理的审题陷阱 先认准直角顶点，再决定谁是斜边；用逆定理判断直角三角形时，先找出最长边；已知两边求第三边要弄清斜边是否已经确定；已知一边和这边上的高求另一边时，高的位置可能在三角形内部也可能在外部；实际应用问题里，量出来的长度属于哪一条线段要交代清楚 全等判定的误用 「边边角」（两边及其中一边的对角）不能判定两个三角形全等；判定前先确认相等的角是不是两条相等边的夹角；全等的记法已经把对应顶点按顺序排好，求对应边、对应角时不要错位；判定定理与性质定理的方向不能颠倒 等腰三角形的性质与判定 「三线合一」的三条线都要以顶角顶点为起点、都指向底边；等边对等角与等角对等边；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；角平分线、平行线与等腰三角形联用时，要点出那一对内错角 角平分线的性质与判定 性质定理：点在角平分线上 → 到角两边的距离相等；判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点 → 在角平分线上；两个方向不要记反；配合全等可把角平分线上的点到两边的距离互相转化 思想方法 分类讨论（腰与底边不定、顶角与底角不定、高的位置不定）；方程与配方的思想；等面积法求线段；把「新问题」转化为「已经证过的结论」 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．若一个等腰三角形的周长是 30，其中一边的长是 8，则它的底边长是（　　） A．8　B．11　C．14　D．8 或 14 2．在 △ABC 中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，则 AC 的长是（　　） A．12　B．　C．18　D．8 3．△ABC≌△DEF，若 ∠A＝50°，∠B＝60°，则 ∠F 的度数是（　　） A．50°　B．60°　C．70°　D．120° 4．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补　B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．对顶角相等　D．等腰三角形的两个底角相等 5．下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4　B．1，2，　C．，，3　D．，， 6．若等腰三角形的一个外角是 100°，则它的底角的度数是（　　） A．50°　B．80°　C．50° 或 80°　D．50° 或 100° 7．关于等腰三角形，下列说法中正确的是（　　） A．等腰三角形底边上的中线与腰上的高互相重合　B．等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线互相重合 C．等腰三角形一腰上的高与底角的平分线互相重合　D．等腰三角形任意两边上的高都相等 8．不能判定 △ABC≌△DEF 的条件是（　　） A．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF　B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF C．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E　D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF 9．已知原命题「如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等」。关于这个原命题和它的逆命题，下列说法正确的是（　　） A．原命题和逆命题都是真命题　B．原命题是真命题，逆命题是假命题 C．原命题是假命题，逆命题是真命题　D．原命题和逆命题都是假命题 10．已知等腰三角形的周长是 20，若它的腰长为 x，则 x 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．命题「等腰三角形的两个底角相等」的逆命题是　　　　　，它是　　　　　命题（填「真」或「假」）。 12．一个等腰三角形的两条边长分别是 4 和 10，则它的周长是　　　　　。 13．已知 △ABC 中 AB＝13，AC＝15，BC 边上的高 AD＝12，则 BC 的长是　　　　　。 14．在 △ABC 中，点 P 在 △ABC 内部。若点 P 到边 AC、BC 的距离相等，则点 P 一定在　　　　　上。 15．如图，△ABC 中 AB＝AC，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E。若 ∠A＝40°，则 ∠DBC＝　　　　　°。 16．若 △ABC 的三边长分别是 a、b、c，且满足 ，则 △ABC 是　　　　　三角形。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）如图，在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E。 (1) 求证：△BDO 是等腰三角形； (2) 若 BD＝3，CE＝4，求 DE 的长。 18．（5 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。 (1) 求证：△ACD≌△AED； (2) 若 CD＝3，BD＝5，求 BE 的长。 19．（6 分）如图，一棵大树在离地面 3 m 的点 C 处折断，树顶 D 落在地面上，量得 D 到树根 B 的距离是 4 m。树原来是垂直于地面的。 (1) 求折断部分 CD 的长； (2) 求这棵大树折断前的高度。 20．（6 分）已知命题「等腰三角形底边上的中线与高线互相重合」。 (1) 写出这个命题的逆命题； (2) 证明 (1) 中的逆命题是真命题。 21．（6 分）如图，在等腰 △ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E。 (1) 求 AD 的长； (2) 求 BE 的长。 22．（6 分）如图，△ABC 中 AB＝AC，点 D 是边 BC 上一点，连接 AD。小明说：「因为 AB＝AC，AD＝AD，∠B＝∠C，所以 △ABD≌△ACD。」 (1) 小明的说法对吗？请说明理由； (2) 若要判定 △ABD≌△ACD，还需补充一个条件，请写出一个并说明判定依据。 23．（6 分）已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍。 (1) 分情形讨论，分别求出这个等腰三角形三个内角的度数； (2) 写出这个等腰三角形的顶角的度数。 24．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D 在边 AB 上（不与 A、B 重合），AD＝3，BD＝5。 (1) 求点 C 到边 AB 的距离； (2) 求 CD 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $