第二章 特殊三角形【易错复盘卷】2026-2027学年浙教版数学八年级上册（浙江专用）

第二章 特殊三角形【易错复盘卷】 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） —— 参考答案与解析 —— （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母填在题后括号内） 1．【答案】B 【解析】分两种情况讨论： ① 若 3 是腰长，则三边为 3、3、7。因为 3＋3＝6＜7，不满足「三角形任意两边之和大于第三边」，所以这种情况不能构成三角形，必须舍去。 ② 若 7 是腰长，则三边为 7、7、3。因为 7＋3＞7，任意两边之和都大于第三边，所以这种情况成立，周长为 7＋7＋3＝17。 所以这个等腰三角形的周长是 17。故选 B。 【易错卡点】列出「3 作腰」「7 作腰」两种情形后就急着作答，忘记用三边关系检验，于是误选 C（13 或 17）。分类讨论题的最后一步一定是「检验」，把不能构成三角形的组合舍去，答案才唯一。 2．【答案】A 【解析】A 项：由 ∠A＝∠B＝2∠C 得 2∠C＋2∠C＋∠C＝180°，所以 ∠C＝36°，∠A＝∠B＝72°，这是锐角三角形，不能确定它是直角三角形。A 项符合题意。 B 项：由 ∠A－∠B＝∠C 得 ∠A＝∠B＋∠C，结合 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 得 2∠A＝180°，∠A＝90°，能确定。 C 项：由 a²＝b²－c² 得 b²＝a²＋c²，所以 b 是最长边，∠B＝90°，能确定。 D 项：设 ∠A＝x，则 ∠B＝2x，∠C＝3x，x＋2x＋3x＝180°，x＝30°，∠C＝90°，能确定。 故选 A。 【易错卡点】① A 项里「两个角相等」极易被当成「有一个角是直角」——两角相等只说明是等腰三角形；② C 项看到 a²＝b²－c² 就下意识认定 a 是斜边，忘记先看哪个字母的平方最大，把勾股定理中的「斜边」张冠李戴；③ 判断时要养成「先算最大角（或最长边），再下结论」的习惯。 3．【答案】B 【解析】判断一组数能否作为直角三角形的三边长，先找出最长边，再检验「两条较短边的平方和是否等于最长边的平方」。 A：4²＋5²＝41，6²＝36，41≠36，不能； B：5²＋12²＝25＋144＝169，13²＝169，相等，能； C：2²＋3²＝13，4²＝16，13≠16，不能； D：1²＋2²＝5，3²＝9，5≠9，不能（并且 1＋2＝3，这三条线段本身就无法构成三角形）。 故选 B。 【易错卡点】① 「4，5，6」只是 3、4、5 的「像」，凭对勾股数的印象就误选 A；② 「1，2，3」连三角形都构不成，却仍有人去比平方和 —— 必须先检验能否构成三角形，再谈是不是直角三角形；③ 检验时要固定用「两短边的平方和」与「最长边的平方」比较，随意配对会得出错误结论。 4．【答案】C 【解析】逐项写出逆命题再判断真假： A：「若 a²＝b²，则 a＝b」。取 a＝1，b＝－1，a²＝b² 但 a≠b，是假命题。 B：「面积相等的两个三角形全等」。面积相等只说明大小相同，形状可以不同，是假命题。 C：「有两个角互余的三角形是直角三角形」。三角形中两个角互余说明第三个角为 90°，确实得到直角三角形，是真命题，而且它就是「直角三角形两个锐角互余」的逆定理。 D：「相等的两个角是对顶角」。相等的两个角不一定有公共顶点、两边也不一定互为反向延长线，是假命题。 故选 C。 【易错卡点】① 认为「原命题是真的，逆命题就一定真」，于是看到 A、B、D 都是真命题就随意作答；② 写逆命题时不把条件与结论完整互换，只调换个别词；③ 混用「逆命题」与「逆定理」——逆命题人人都有，只有逆命题为真时才叫原定理的逆定理。 5．【答案】D 【解析】由对折可知 △BDA 与 △BDE 关于直线 BD 成轴对称，所以 △BDA≌△BDE，于是 DA＝DE，∠ABD＝∠EBD，∠BDA＝∠BDE，A 正确。 因为 BE 经过点 C，所以 B、C、E 三点共线，∠EBD＝∠CBD，从而 ∠ABD＝∠CBD。 又 ∠ACB＝90°，所以 AC⊥BC；而 B、C、E 共线，故 AC⊥BE，即 CD⊥CE，∠DCE＝90°。 设 ∠CDB＝β，则在 Rt△BCD 中 ∠CBD＝90°－β，所以 ∠ABD＝90°－β。 又 ∠BDA＝180°－∠CDB＝180°－β，所以 ∠BDE＝180°－β，于是 ∠BDE－∠ABD＝(180°－β)－(90°－β)＝90°，C 正确。 在 Rt△CDE 中，∠CDE＝90°－∠CED；由 B、C、E 共线知 ∠CED＝∠BED，而 ∠BED＝∠BAD＝180°－∠ABD－∠BDA＝180°－(90°－β)－(180°－β)＝2β－90°， 所以 ∠CDE＝90°－(2β－90°)＝180°－2β＝2(90°－β)＝2∠ABD，B 正确。 再看 D：△ABD 以 AD 为底、BC 为高（BC⊥AC），面积＝AD·BC；△CDE 中 CD⊥CE，面积＝CD·CE。 所以 △ABD 与 △CDE 的面积之比为 (AD·BC)∶(CD·CE)。若它等于 BC∶CE，就必须 AD＝CD。 但由对折 DA＝DE，而在 Rt△CDE 中 DE 是斜边，所以 DE＞CD，即 AD＞CD，矛盾。故 D 错误。 因此错误的是 D。 【易错卡点】① 审题误区：只把「沿 BD 对折」看成图形换了个位置，没有立刻写出 △BDA≌△BDE，因而拿不到 DA＝DE、∠ABD＝∠EBD 这两组关键结论，后面全部无从下手；② 漏用条件：「BE 恰好经过点 C」被当成一句废话，其实它同时给出两条信息——B、C、E 三点共线（得 ∠ABD＝∠CBD），以及由 ∠ACB＝90° 得 AC⊥BE（得 CD⊥CE、∠DCE＝90°），这是判断 B、C 两项的钥匙；③ 最易误判成「正确」的 D 项：以为「面积比就是对应边的比」，把 △ABD 与 △CDE 的面积比直接当成 BC∶CE 或 AB∶DE。实际上两个三角形的底和高都不同，面积比应为 (AD·BC)∶(CD·CE)；要它等于 BC∶CE 就要求 AD＝CD，而由 DA＝DE 且 DE 是 Rt△CDE 的斜边知 AD＞CD，矛盾。 6．【答案】C 【解析】分两种情况讨论。 ① 当顶角为锐角时，腰上的高落在三角形内部。如图①，在 △ABC 中 AB＝AC，BD⊥AC 于点 D，∠ABD＝25°，此时顶角 ∠A＝90°－25°＝65°。 ② 当顶角为钝角时，腰上的高落在三角形的外部。如图②，过点 B 作 BD⊥AC 所在直线于点 D，此时 ∠ABD＝25°，而 ∠BAC 与 ∠ABD 的关系变为 ∠BAC＝90°＋25°＝115°。 所以顶角为 65° 或 115°。故选 C。 【易错卡点】① 只在三角形内部画高，直接得 65°，漏掉顶角为钝角、高落在三角形外部的第二种情形；② 对「一腰上的高」与「底边上的高」不加区分——底边上的高一定在三角形内部，但腰上的高可以落在外部；③ 只要题目没有给出图形，就应当先按下「无图则多解」的警觉性分类画图。 7．【答案】B 【解析】在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝＝＝10。 因为 DE⊥AB，∠C＝90°，所以 ∠AED＝∠ACD＝90°；又 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠EAD＝∠CAD；而 AD＝AD， 所以 △ADE≌△ADC，得 AE＝AC＝6，DE＝DC。 所以 BE＝AB－AE＝10－6＝4， △BDE 的周长＝BE＋BD＋DE＝BE＋(BD＋DC)＝BE＋BC＝4＋8＝12。 故选 B。 【易错卡点】① 求 BE 时凭图形印象写成 BE＝BC＝8，忘记先用全等（或角平分线的性质）得到 AE＝AC＝6；② 分别去算 BD 与 DE 再相加，绕远路还容易算错 —— 看出 DE＝DC 后，BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝8 可以一步到位；③ 判定两个直角三角形全等时写「SSA」，必须写成「斜边、直角边」或改用「角角边」。 8．【答案】A 【解析】在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，所以 ∠B＝90°－40°＝50°。 因为 CD 是斜边 AB 上的中线，所以 CD＝AB＝AD＝BD。 由 CD＝BD 得 ∠BCD＝∠B＝50°。 又 CE⊥AB，所以 ∠CEB＝90°，在 Rt△CEB 中 ∠BCE＝90°－∠B＝90°－50°＝40°。 因为 CD 与 CE 都在 ∠BCA 内部，所以 ∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝50°－40°＝10°。 故选 A。 【易错卡点】① 只记住「斜边上的中线等于斜边的一半」是一条长度结论，想不到由 CD＝BD 可以导角得 ∠BCD＝∠B；② 把 ∠DCE 与 ∠DCA 混为一谈（由 CD＝AD 得 ∠DCA＝∠A＝40°，于是错选 C）；③ 把「斜边上的高」与「斜边上的中线」搞反，用 90°－∠A 直接当作答案得到 50°。遇「中点」想中线、遇「⊥斜边」想高，两条线要分清。 9．【答案】C 【解析】因为点 A 与点 E 关于直线 CD 对称，所以 CD 是线段 AE 的垂直平分线，从而 DE＝DA，CE＝CA＝5。 又点 E 在边 BC 上，所以 BE＝BC－CE＝11－5＝6。 所以 △DBE 的周长＝DB＋DE＋BE＝DB＋DA＋BE＝AB＋BE＝8＋6＝14。 故选 C。 【易错卡点】① 想不到由轴对称得 DE＝DA、CE＝CA，只能对着图干瞪眼；② 把 △DBE 的周长写成 DA＋DB＋DE，把 AB 算了两次；③ 忽略「点 E 在边 BC 上」这一隐含条件（必须 CA＜CB），随意取数会使图形不存在；④ 正确做法是把 DB＋DE 折算成 DB＋DA＝AB，一步完成。 10．【答案】B 【解析】因为正方形 AMEF 的面积为 25，所以 AM＝＝5。 又 M 是斜边 BC 的中点，所以 AM＝BC，从而 BC＝2AM＝10，且已知斜边为 BC，故 ∠A＝90°。 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC＝＝＝＝8。 所以 S△ABC＝·AB·AC＝×6×8＝24。 故选 B。 【易错卡点】① 看见「正方形面积为 25」没有先开方求边长，直接把 25 当作 AM；② 由 AM＝5 得 BC＝10 后，把 AB＝6 与 BC＝10 都当作直角边去算面积；③ 把 M（斜边中点）当作直角顶点，误以为 AM 就是直角边 AC；④ 最后求面积漏乘 （会得 48，恰好是选项 D）。「斜边上的中线等于斜边的一半」只有把 M 定为斜边中点时才可用。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】55°、40° 或 70° 【解析】题目没有指明哪两条边相等，所以要按「谁是顶角的顶点」分三种情况讨论： ① 若 AB＝AC，则 ∠A 是顶角，∠B＝∠C＝＝55°； ② 若 BA＝BC，则 ∠B 是顶角，∠A＝∠C＝70°，得 ∠B＝180°－70°－70°＝40°； ③ 若 CA＝CB，则 ∠C 是顶角，∠A＝∠B＝70°。 三种情况都满足三角形内角和定理，所以 ∠B＝55°、40° 或 70°。 【易错卡点】本题是全卷漏解率最高的题之一。绝大多数同学只想到「∠A 是顶角」这一种，算出 55° 就收笔，把「以 B 或以 C 为顶角」的另外两种情形（40° 与 70°）全部丢掉。只要题目给出的角没有指明身份（顶角还是底角），就必须把三种对应关系都写出来，并且逐一检验内角和是否成立。 12．【答案】40°、40° 【解析】先判断 100° 这个角能不能当底角。 若 100° 是底角，那么另一个底角也是 100°，两个底角之和已达 200°＞180°，与三角形内角和定理矛盾，所以 100° 不可能是底角，只能是顶角。 此时两个底角相等，各为 ＝40°。 所以另外两个内角分别是 40°、40°。 【易错卡点】① 不加检验地套用「已知角可能是顶角也可能是底角」，得出「40°、40°」与「100°、－20°」之类的荒谬结果，答案写了两组；② 得出顶角 100° 之后忘记两个底角相等，随手写成 40°、30°；③ 不记住这条规律 —— 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角一定是锐角，所以已知角是钝角（或直角）时它只能是顶角。 13．【答案】3.2 【解析】设折断处离地面的高度为 x 尺，则折断处以上的一段长为 (10－x) 尺。 竹梢触地后，折断处、竹根、触地点恰好构成一个直角三角形：折断处离地面的高度 x 尺是一条直角边，竹根到触地点的距离 6 尺是另一条直角边，折断处到竹梢的 (10－x) 尺是斜边。 由勾股定理得 x²＋6²＝(10－x)²， 即 x²＋36＝100－20x＋x²，解得 20x＝64，x＝3.2。 所以折断处离地面的高度是 3.2 尺。 【易错卡点】① 把「触地处离竹根 6 尺」当成折断处的水平距离，或把竹梢到竹根的距离当成竹高的一部分，画不出直角三角形；② 列方程时把斜边写成 x（折断处以上的长度其实是 10－x，不是 x）；③ 求出 x＝3.2 后不检验它是否小于竹高 10 尺、是否为「中部」折断，出现不合题意的负数解也不舍去。折竹问题的关键是把「折前折后长度不变」翻译成斜边。 14．【答案】6 或 7 【解析】题目没有指明 6 是腰还是底边，要分两种情况讨论。 ① 若 6 是腰长，则两腰都是 6，底边为 20－6－6＝8，三边为 6、6、8。因为 6＋6＞8，满足三边关系，成立，此时腰长为 6。 ② 若 6 是底边长，则两腰相等，各为 ＝7，三边为 7、7、6。因为 7＋6＞7，满足三边关系，成立，此时腰长为 7。 两种情况都成立，所以腰长是 6 或 7。 【易错卡点】① 直接把 6 当成底边，算出腰长 7 就交卷，漏掉「6 作腰」的情形；② 反过来只把 6 当腰，得底边 8 就写 6 —— 两种情形都要写出；③ 算出边长后不检验三边关系（本题两组都成立，但在别的数据下往往要舍去一组，所以检验这一步不能省）。「没有指明身份」就等于「必须分类讨论」。 15．【答案】6 【解析】因为 AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°（即 DC⊥AC），所以点 D 到 ∠BAC 两边的距离相等，得 DC＝DE＝2。 （也可由 ∠AED＝∠ACD＝90°、∠EAD＝∠CAD、AD＝AD 判定 △ADE≌△ADC，从而得到 DC＝DE。） 因为 ∠C＝90°，∠B＝30°，所以 ∠BAC＝60°，AD 平分后 ∠EAD＝30°。 在 Rt△BDE 中，∠B＝30°，∠B 所对的直角边是 DE＝2，所以 BD＝2DE＝4。 所以 BC＝BD＋DC＝4＋2＝6。 【易错卡点】① 没想到用「角平分线上的点到角两边的距离相等」得到 DC＝DE＝2，转而去设未知数算 AC、AB，把简单问题复杂化；② 在 Rt△BDE 中把 30° 角所对的直角边找错——∠B 所对的是 DE，不是 BE，于是错写成 BE＝2DE；③ 求出 BD＝4 就直接作答，忘记 BC＝BD＋DC（差一步，答案 4 而非 6）。「30° 角所对的直角边等于斜边的一半」用之前必须先说清是哪个角、哪条边。 16．【答案】20° 【解析】先由 AB＜BC 判断 ∠B 的身份。 若 ∠B 是顶角，则 ∠A＝∠C＝＝50°，此时 AB＝BC，与已知 AB＜BC 矛盾，所以 ∠B 不可能是顶角，只能是底角。 于是 ∠B 与 ∠C 中有一个是底角、另一个由内角和确定： ① 若 ∠A 与 ∠B 是两个底角，则 ∠A＝∠B＝80°，∠C＝180°－80°－80°＝20°。此时 AB 所对的角是 ∠C＝20°，BC 所对的角是 ∠A＝80°，由「大角对大边」得 AB＜BC，与已知相符，成立。 ② 若 ∠B 与 ∠C 是两个底角，则 ∠C＝∠B＝80°，∠A＝20°。此时 AB 所对的角是 ∠C＝80°，BC 所对的角是 ∠A＝20°，得 AB＞BC，与已知矛盾，舍去。 所以 ∠C＝20°。 【易错卡点】① 默认 ∠B＝80° 是顶角，直接答 ∠C＝50°（这会得到 AB＝BC，与 AB＜BC 矛盾）；② 完全忽略 AB＜BC 这个条件，得出 ∠C＝20° 或 80° 两个答案；③ 不会把「边的大小关系」翻译成「对角的大小关系」——同一个三角形中大边对大角，这是本题唯一的排除依据。题目给出的边的比较条件，往往就是用来筛掉多余解的。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．【答案】（1）逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题。（2）逆命题：若 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0，是假命题，反例：a＝5，b＝－2。 【解析】（1）原命题的条件是「一个三角形是直角三角形」，结论是「它的两个锐角互余」。把条件与结论互换，得逆命题： 「有两个角互余的三角形是直角三角形」。 判断：设 △ABC 中 ∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理得 ∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°， 所以 △ABC 是直角三角形。逆命题是真命题（它也是「直角三角形的两个锐角互余」的逆定理）。 （2）原命题的条件是「a＞0 且 b＞0」，结论是「a＋b＞0」。互换后得逆命题： 「若 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0」。 判断：取 a＝5，b＝－2，此时 a＋b＝3＞0，但 b＝－2＜0，即条件成立而结论不成立，所以逆命题是假命题。 【易错卡点】① 写逆命题时只挪动个别词语，没有把「条件」与「结论」完整互换 —— 第(1)题容易丢掉「在同一个三角形中」这类前提，第(2)题容易把「a＞0 且 b＞0」只写成「a＞0」；② 误认为「原命题真则逆命题必真」，于是把第(2)小题也判成真命题；③ 判假命题时只写「不一定成立」而不举反例 —— 断定一个命题为假必须给出具体的反例。 【给分点】（1）写出逆命题「有两个角互余的三角形是直角三角形」得 2 分，用内角和定理说明它是真命题得 1 分；（2）写出逆命题「若 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0」得 2 分，举出反例 a＝5、b＝－2 并说明它是假命题得 1 分。 18．【答案】（1）证明见解析（∠AEC＝90°）；（2）∠ACE＝65°。 【解析】（1）因为 AD 是 BC 边上的高，所以 AD⊥BC，即 ∠ADC＝90°。 在 Rt△CDM 中，∠DCM＋∠DMC＝90°。 因为 ∠DMC 与 ∠AME 是对顶角，所以 ∠DMC＝∠AME；又已知 ∠DCM＝∠MAE，所以 ∠MAE＋∠AME＝90°。 在 △AME 中，由内角和定理得 ∠AEM＝180°－(∠MAE＋∠AME)＝180°－90°＝90°，即 CE⊥AB。 所以 ∠AEC＝90°，△ACE 是直角三角形。 （2）由（1）知，在 Rt△ACE 中 ∠ACE＝90°－∠CAE。 因为点 E 在 AB 上，所以 ∠CAE＝∠CAB。 又 AD⊥BC，在 Rt△ABD 中 ∠CAB＝90°－∠B＝90°－65°＝25°。 所以 ∠ACE＝90°－25°＝65°。 【易错卡点】① 第(1)问的突破口是把 ∠DCM 换成 ∠MAE、把 ∠DMC 换成对顶角 ∠AME，不少同学写出「∠DCM＋∠DMC＝90°」后就卡住，不知道该往哪里代换；② 凭直觉认定 △AME 中有直角，却不说明这个直角是 ∠AEM（也就是 CE⊥AB）先证出来的，把结论当条件用；③ 第(2)问不用 AD⊥BC 得到的 Rt△ABD，而是凭感觉假设 △ABC 的某个角是特殊值。「见高想直角、见对顶角想找相等」是本题的两把钥匙。 【给分点】（1）由 AD⊥BC 得 ∠ADC＝90° 得 1 分，由对顶角得 ∠DMC＝∠AME、结合 ∠DCM＝∠MAE 推出 ∠MAE＋∠AME＝90° 得 2 分，在 △AME 中用内角和得 ∠AEM＝90°（即 CE⊥AB）并判定 △ACE 是直角三角形得 1 分；（2）用 ∠CAE＝∠CAB、∠CAB＝90°－∠B 求出 ∠CAB＝25° 得 1 分，求出 ∠ACE＝65° 得 1 分。 19．【答案】（1）证明见解析（AB＝CB）；（2）CF＝10。 【解析】（1）因为点 F 在 AB 的延长线上，所以 ∠CBF＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，即 ∠CBF＝∠ABE＝90°。 所以 △ABE 与 △CBF 都是直角三角形。 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中， AE＝CF（斜边对应相等），BE＝BF（一条直角边对应相等）， 所以 Rt△ABE≌Rt△CBF（斜边、直角边）。 所以 AB＝CB，即 △ABC 是等腰三角形。 （2）由（1）得 AB＝CB＝8。 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE＝＝＝＝10。 又由（1）中全等得 CF＝AE，所以 CF＝10。 【易错卡点】① 忘记先由「F 在 AB 的延长线上」说明 ∠CBF＝90°，于是两个直角三角形的前提缺失，全等判定就没有落脚点；② 有了 AE＝CF、BE＝BF 就想直接判全等，写成「两边及其中一边的对角对应相等」（即 SSA）—— 这个条件对一般三角形不成立，只有在两组都是直角三角形的前提下写成「斜边、直角边」才有效；③ 证出全等后不回到「AB＝CB ⇒ △ABC 是等腰三角形」，结论只写半步；④ 第(2)问忘记用全等把 CF 转化为 AE，另起炉灶去算。 【给分点】（1）由 F 在 AB 的延长线上得 ∠CBF＝90° 得 1 分，用「斜边、直角边」证 Rt△ABE≌Rt△CBF 得 2 分，由 AB＝CB 判定 △ABC 是等腰三角形得 1 分；（2）得 AB＝8 得 0.5 分，用勾股定理求 AE＝10 得 1 分，由全等得 CF＝AE＝10 得 0.5 分。 20．【答案】（1）证明见解析（CE＝CM）；（2）∠CME＝70°。 【解析】（1）因为 CD⊥AB，所以在 Rt△BCD 中 ∠BCD＋∠B＝90°； 又 ∠ACB＝90°，所以 ∠BCD＋∠ACD＝90°。 所以 ∠ACD＝∠B（同角的余角相等）。 因为 AE 平分 ∠CAB，所以 ∠CAE＝∠EAB。 因为 ∠CME 是 △ACM 的外角，所以 ∠CME＝∠CAE＋∠ACM＝∠EAB＋∠ACD。 又因为点 E 在 AB 上，∠CEM 是 △ABE 的外角，所以 ∠CEM＝∠EAB＋∠B。 由 ∠ACD＝∠B 得 ∠CME＝∠CEM。 所以 CE＝CM（等角对等边），△CME 是等腰三角形。 （2）由（1）得 ∠CME＝∠EAB＋∠B。 在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°，AE 平分后 ∠EAB＝＝20°。 所以 ∠CME＝20°＋50°＝70°。 【易错卡点】① 直接写下「∠ACD＝∠B」而不给理由 —— 这两个角相等要由「同角的余角相等」推得（它们都与 ∠BCD 互余），漏掉这步推理不完整，判卷要扣分；② 把 ∠CME 当成 △CME 的内角去套内角和，其实 ∠CME 是 △ACM 的外角，用它一步就能与 ∠CAE、∠ACM 挂钩；③ 想在证出等腰之前就用「三线合一」或「等边对等角」—— 循环论证；证等腰只能用「等角对等边」。 【给分点】（1）由同角的余角相等得 ∠ACD＝∠B 得 1 分，得 ∠CME＝∠EAB＋∠ACD、∠CEM＝∠EAB＋∠B 得 2 分，推出 ∠CME＝∠CEM、由等角对等边得 CE＝CM 得 1 分；（2）由 ∠CAB＝40°、AE 平分得 ∠EAB＝20° 得 1 分，求出 ∠CME＝70° 得 1 分。 21．【答案】（1）∠MON＝90°；（2）MN＝4。 【解析】（1）因为 M 是点 P 关于 OB 的对称点，所以 OM＝OP，∠MOB＝∠POB； 因为 N 是点 P 关于 OA 的对称点，所以 ON＝OP，∠NOA＝∠POA。 所以 ∠MON＝∠MOB＋∠BOA＋∠AON ＝∠POB＋∠AOB＋∠POA＝2∠AOB＝2×45°＝90°。 （2）由（1）得 OM＝ON＝OP＝4，且 ∠MON＝90°。 在 Rt△MON 中，由勾股定理得 MN＝＝＝＝4。 【易错卡点】① 求 ∠MON 时只算一次对称，误以为 ∠MON＝∠AOB＝45°（漏掉「两个对称角相加得 2∠AOB」这一步）；② 不会由轴对称写出 OM＝ON＝OP＝4，于是在 Rt△MON 中缺了一条边，勾股定理用不起来；③ 把 MN 当成落在 OA 或 OB 上的线段来求（其实 MN 是两个对称点之间的连线，与 ∠AOB 的两边都没有关系）；④ 求出 MN²＝32 后忘记把结果化简成 4。对称问题的起手式就是「把对称翻译成相等线段与相等角」。 【给分点】（1）由轴对称得 OM＝OP、∠MOB＝∠POB 得 1 分，同理得 ON＝OP、∠NOA＝∠POA 得 1 分，推出 ∠MON＝2∠AOB＝90° 得 2 分；（2）得 OM＝ON＝4 得 2 分，用勾股定理求出 MN＝4 得 1 分。 22．【答案】（1）证明见解析（DB＝DE）；（2）BE＝6。 【解析】（1）因为 BE 平分 ∠ABC，所以 ∠DBE＝∠EBC。 因为 DE∥BC，所以 ∠DEB＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）。 所以 ∠DBE＝∠DEB。 所以 DB＝DE（等角对等边），即 △BDE 是等腰三角形。 （2）由（1）得 DB＝DE＝4。 因为 △BDE 的周长为 DB＋DE＋BE＝14， 所以 BE＝14－4－4＝6。 【易错卡点】① 由 DE∥BC 找角时用错类型 —— 本题需要的是内错角 ∠DEB＝∠EBC，不少同学写成同位角或把 ∠ADE 扯进来，导致推不出等腰；② 只写出 ∠DBE＝∠EBC 就直接下结论，漏掉由平行线得到第二个角相等这一关键步骤；③ 反过来先假设等腰、再用「三线合一」去证等腰（循环论证）；④ 第(2)问把周长 14 只减去一次 DE，或把 DB 另设成未知数 —— 其实由第(1)问已得 DB＝DE＝4，直接代入即可。 【给分点】（1）由 BE 平分 ∠ABC 得 ∠DBE＝∠EBC 得 1 分，由 DE∥BC 得 ∠DEB＝∠EBC 得 1 分，推出 ∠DBE＝∠DEB、由等角对等边得 DB＝DE 得 2 分；（2）得 DB＝DE＝4 得 2 分，求出 BE＝14－4－4＝6 得 1 分。 23．【答案】（1）∠B＝30°；（2）DE＝DF，△DEF 是等边三角形；（3）BC＝12。 【解析】（1）因为 AB＝AC，所以 ∠B＝∠C。 由三角形内角和定理得 ∠B＝＝30°。 （2）因为 AB＝AC，D 是 BC 的中点，由等腰三角形「三线合一」得 AD⊥BC，且 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠EAD＝∠FAD＝＝60°。 因为 DE⊥AB、DF⊥AC，所以 ∠AED＝∠AFD＝90°；又 AD＝AD， 所以 Rt△ADE≌Rt△ADF，得 DE＝DF。 在 Rt△ADE 中，∠EAD＝60°，所以 ∠ADE＝90°－60°＝30°； 同理 ∠ADF＝30°，所以 ∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝60°。 又 DE＝DF，所以 △DEF 是等边三角形。 （3）在 Rt△ADE 中，DE＝AD·sin60°＝AD，所以 AD＝3，AD＝2。 由（1）得 ∠B＝30°。因为 AD⊥BC，所以在 Rt△ABD 中 ∠B 所对的直角边 AD 等于斜边 AB 的一半，即 AB＝2AD＝4。 所以 BD＝＝＝＝6。 所以 BC＝2BD＝12。 【易错卡点】① 第(1)问把 120° 当成底角去算（120° 显然不能作底角），或忘记等腰三角形两底角相等；② 第(2)问不先用「三线合一」得到「AD⊥BC 且 AD 平分 ∠BAC」，因而在 Rt△ADE 中缺了 60° 这个角度，全等与角度都推不下去；③ 判定 △DEF 的形状时只证出 DE＝DF 就答「等腰三角形」，漏掉 ∠EDF＝60° 这一条，结论不完整；④ 第(3)问在 Rt△ADE 中把 60° 角所对的边张冠李戴，误用 AD＝2DE（正确关系是 DE＝AD·sin 60°），一步错则 AD、AB、BC 全错。「三线合一」的使用前提是「等腰三角形底边上的中线」这两个条件同时具备。 【给分点】（1）由 AB＝AC 得 ∠B＝∠C，求出 ∠B＝30° 得 1 分；（2）由「三线合一」得 AD⊥BC 且 AD 平分 ∠BAC（∠EAD＝60°）得 1 分，证 Rt△ADE≌Rt△ADF 得 DE＝DF 得 1 分，求出 ∠ADE＝∠ADF＝30°、∠EDF＝60°，判定 △DEF 是等边三角形得 1 分；（3）由 DE＝AD·sin60° 求出 AD＝2 得 1 分，由 ∠B＝30° 得 AB＝2AD＝4 得 1 分，求出 BD＝6、BC＝12 得 1 分。 24．【答案】【探究】25。【拓展】① 2；② n＋1。【应用】99 次。 【解析】【探究】由勾股定理得 AC²＋BC²＝AB²。 正方形 ACNM 的面积是 AC²，正方形 BCPQ 的面积是 BC²，正方形 ABDE 的面积是 AB²＝25， 所以正方形 ACNM 与正方形 BCPQ 的面积之和为 AC²＋BC²＝AB²＝25。 【拓展】① 生长 1 次时，新作的直角三角形以原正方形的一边为斜边，由勾股定理知它两条直角边上的两个正方形面积之和恰好等于斜边上的正方形面积，也就是 1，所以此时图中所有正方形的面积之和为 1＋1＝2。 ② 每「生长」一次，新增的所有正方形的面积之和总是等于被「生长」的那些正方形的面积之和，而这一总量在每一轮中都等于最初那个正方形的面积 1，所以每生长一次总面积就增加 1。 因此生长 n 次后，图中所有正方形的面积之和为 n＋1。 【应用】由 n＋1＝100 得 n＝99，所以需要「生长」99 次。 【易错卡点】① 【探究】把「面积」当「边长」再平方一次，错写成 25²＝625（正方形 ABDE 的面积 25 就是 AB²，不必再平方）；② 【拓展】①只数新长出来的正方形，忘记把最初的那个正方形计入总面积，错答 1；③ 最典型的陷阱是把「正方形个数的翻倍」与「面积之和的翻倍」混为一谈，于是按 1、2、4、8、… 得出 2ⁿ 的结论 —— 正确结果是 1、2、3、4、…，即 n＋1（每轮新增的面积恰好等于上一轮新增的面积，并不递增）；④ 【应用】把「面积之和等于 100」直接当成「生长 100 次」，忽略了面积＝n＋1，实际需要 99 次。本题三次考查「面积＝边长的平方」与「斜边上的正方形面积＝两直角边上正方形面积之和」的互化。 【给分点】【探究】由勾股定理得两个小正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积，答出 25 得 1 分；【拓展】① 答出 2 得 1 分；② 说明每生长一次总面积增加 1，答出 n＋1 得 2 分；【应用】由 n＋1＝100 解出 n＝99 得 2 分，并说明理由得 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形【易错复盘卷】 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母填在题后括号内） 1．已知一个等腰三角形的一边长为 3，另一边长为 7，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．13　　B．17 C．13 或 17　　D．20 2．在 △ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c。下列条件中，不能确定 △ABC 是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A－∠B＝∠C C．a²＝b²－c² D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 3．下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是（　　） A．4，5，6　　B．5，12，13 C．2，3，4　　D．1，2，3 4．下列命题中，它的逆命题是真命题的是（　　） A．若 a＝b，则 a²＝b²　　B．全等三角形的面积相等 C．直角三角形的两个锐角互余　　D．对顶角相等 5．如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一点，连结 BD，将 △BDA 沿 BD 对折得到 △BDE，且 BE 恰好经过点 C。下列结论中错误的是（　　） A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE－∠ABD＝90° D．△ABD 与 △CDE 的面积之比为 BC∶CE 6．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 25°，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A．65°　　B．115° C．65° 或 115°　　D．130° 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，则 △BDE 的周长是（　　） A．10　　B．12　　C．14　　D．16 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，CE 是斜边 AB 上的高。若 ∠A＝40°，则 ∠DCE 的度数为（　　） A．10°　　B．20°　　C．40°　　D．50° 9．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，点 A 与点 E 关于直线 CD 对称。若 AB＝8，AC＝5，BC＝11，则 △DBE 的周长是（　　） A．8　　B．11　　C．14　　D．19 10．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝6，点 M 是斜边 BC 的中点，以 AM 为边作正方形 AMEF。若正方形 AMEF 的面积为 25，则 △ABC 的面积是（　　） A．18　　B．24　　C．30　　D．48 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．在 △ABC 中，∠A＝70°。当 ∠B＝＿＿＿＿＿时，△ABC 是等腰三角形。 12．若等腰三角形有一个内角为 100°，则它的另外两个内角分别是＿＿＿＿＿。 13．《九章算术》中记载了一道「折竹」问题。如图，一根竹子原高 1 丈（1 丈＝10 尺），中部有一处折断，竹梢触地，触地处离竹根 6 尺，则折断处离地面的高度是＿＿＿＿尺。 14．已知一个等腰三角形的周长为 20，其中有一条边长为 6，则它的腰长是＿＿＿＿＿。 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。若 DE＝2，则 BC 的长是＿＿＿＿。 16．在等腰三角形 ABC 中，∠B＝80°。若 AB＜BC，则 ∠C 的度数是＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（6分）写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：若为真命题，请说明理由；若为假命题，请举出一个反例。 （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）若 a＞0，b＞0，则 a＋b＞0。 18．（6分）如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E 是 AB 上一点，CE 交 AD 于点 M，且 ∠DCM＝∠MAE。 （1）求证：△ACE 是直角三角形； （2）若 ∠B＝65°，求 ∠ACE 的度数。 19．（6分）如图，在 △ABC 中，∠ABC＝90°，点 E 在边 BC 上，点 F 在 AB 的延长线上，连结 AE、CF，且 AE＝CF，BE＝BF。 （1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）若 BC＝8，BE＝6，求 CF 的长。 20．（6分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的高，AE 平分 ∠CAB 交 CD 于点 M，交 BC 于点 E。 （1）求证：△CME 是等腰三角形； （2）若 ∠B＝50°，求 ∠CME 的度数。 21．（7分）如图，∠AOB＝45°，P 是 ∠AOB 内一点，OP＝4。分别作点 P 关于 OB、OA 的对称点M、N，连结 OM、ON、MN。 （1）求 ∠MON 的度数； （2）求线段 MN 的长。 22．（7分）如图，在 △ABC 中，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，点 D 在边 AB 上，且 DE∥BC。 （1）求证：△BDE 是等腰三角形； （2）若 △BDE 的周长为 14，DE＝4，求 BE 的长。 23．（7分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。 （1）求 ∠B 的度数； （2）求证：DE＝DF，并判断 △DEF 的形状； （3）若 DE＝3，求 BC 的长。 24．（7分）【探究】如图①，以 Rt△ABC 的斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，再以两条直角边 AC、BC 为边分别向外作正方形 ACNM、BCPQ。若正方形 ABDE 的面积为 25，求正方形 ACNM 与正方形 BCPQ 的面积之和。 【拓展】如图②，从一个面积为 1 的正方形开始，以它的一边为斜边向外作直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边分别向外作正方形，这样叫作「生长」一次；对每个新得到的正方形继续按同样的方式「生长」。 　　① 生长 1 次后，图中所有正方形的面积之和是多少？ 　　② 生长 n 次后，图中所有正方形的面积之和是多少（用含 n 的式子表示）？ 【应用】要使图中所有正方形的面积之和恰好等于 100，需要「生长」多少次？ 学科网（北京）股份有限公司 $