重庆市第八中学校2026-2027学年九年级 上学期数学第一次学情自测试卷

数学试题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧 正确答案所对应的方框涂黑 1。弓的相反数是 A.2 B.-2 2.在2026年第一季度，重庆市全市蔬菜（不含食用菌）的产量约为7530000吨，增长 率达4.2%，7530000用科学记数法表示为 A.0.753×107 B.7.53×106 C.75.3×103 D.753×104 3.如图，几何体由7个相同的小正方体搭成，从正面看到的平面图形是 正而3题图 4.如图，勘测队要测量A,B两地之间的距离，但两地被池塘隔开.于是勘测队在AB 外选一点C,连接AC,BC,点D,E分别是线段AC,BC的中点，现测得DE=8m, 则A,B两地之间的距离为 A.8m B.10m C.14m D.16m 5,下列事件中，为必然事件的是 E A.明天会下雨 4题图 B.钝角比直角大 C.过马路时，有消防车驶过 D.明天早上的太阳从西边升起 6.若点A(m,-3)与点B(-1,n)关于x轴对称，则m"的值为 A.1 B.0 C.-1 D.-3 7.我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足 四.”其译文为：几个人合伙买一件物品，每人出8钱，多3钱：每人出7钱，少4 钱.设人数为x,物品价格为y,则下列方程组正确的是 8x-y=3 8x-y=3 y-8x=3 y-8x=3 A. 7x-y=4 B. y-7x=4 C. y-7x=4 D. 7x-y=4 数学试题第1页共6页 8.如图，先作一个黑色正三角形，挖去1个“中心三角形”（即以黑色正三角形各边中点 为顶点的三角形)，再在剩下的每个小黑色正三角形中又挖去1个“中心三角形”，以此 类推.第①个图中有1个黑色正三角形：第②个图中有3个黑色正三角形：第③个图 中有9个黑色正三角形.以此规律，第⑥个图中黑色正三角形的个数有 A.81 B.243 C.351 D.702 ① ② ③ 8题图 9.如图所示，在正方形ABCD中，点F是边AB上靠近点B的三等 A 分点，将正方形沿CF翻折，点B落在点G处，连接DG并延长 交CF的延长线于点H,且与AB交于点E,则△HFG与△AED G 的面积之比为 E H< √5 B. 15 2 0. 9题图 10.已知整式M:a。+ax+a2x2+.+anx”,其中n,an为正整数，a,a1,…,am-2, an-1均为整数，且n+|a。+a+…+|an=7,下列说法正确的个数是 ①当n=1时，满足条件的整式M有12个： ②当n=2时，若函数y=M-2x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式有5个： ③当=2时，满足条件的所有整式M中，当x取任意实数时其值一定为非负数的整 式M共有8个， A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在 答题卡中对应的横线上. 11.中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所 有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率 为 2 12.如图，已知直线m∥n,将一块含60°角的直角三角尺ABC按如图所 示的方式放置，若∠1=66°，则∠2= 13.满足n<√5×√6<n+1的整数n的值为 12题图 14.若关于x的一元二次方程x2+6x-25=0的两个根为m和n,则2m-mn+2n的值 为 数学试题第2页共6页 15.一个两位数x,其十位与个位数字之和为8，且个位上的数字不为零，交换x十位与 个位上的数字得到的数与4作差得到一个两位数y,两位数x的中间多了一个1得到 一个三位数z.当y-x=z-y时，x的值为 当z-2(x+y)=m2(k与 m都为正整数，且m≠1)时，满足条件的所有x的和为 16.如图，E,F是矩形ABCD的对角线BD上的两点，BE=BC,A 连接CE并延长交AD于点G,连接FC,FG,FC=FG,设 ∠BCF=,∠DBC=B,则∠FGC= (用含x和B 的代数式表示)：若AB=6,BC=8,则F CE 16题图 三、解答题：（本大题共9小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请 将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 2x+5<5x-1,① 17.解不等式组： 1-2x +x≤2.② 18.先化简， 再求值 19.某校为落实劳动教育，开展了“劳动知识知多少”答题竞赛活动.现从该校八、九 年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均不低于60分）进行整 理分析，得分用x表示，共分为4组，A:60≤x<70,B:70≤x<80,C:80≤x<90, D:90≤x≤100.下面给出部分信息： 八年级抽取的20名学生在C组中竞赛成绩是：82,84,84,86,86,86,88 九年级抽取的20名学生的竞赛成绩是：65,67,70,71,72,75,78,80,81,83， 84,85,87,87,87,88,90,94,96,100 两个年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 年级 平均数 众数 中位数 10% 八年级 82 86 a m% 九年级 82 6 83.5 25% 19题图 数学试题第3页共6页 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出扇形统计图中m、八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数a以及九年 级抽取的学生竞赛成绩的众数b的值： (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明 理由（写出一条理由即可）： (3)该校八年级共有学生500人，九级共有学生450人，请估计该校八、九年级参 加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20.在学习矩形之后，某同学想要利用矩形的性质对图形中的角度大小进行探究 【动手操作】 在矩形ABCD中，连接对角线BD,取线段BD中点O,连接OC,用尺规完成基本 作图：过点A作BD的垂线交BD于点E 【问题提出】 当∠DAE=3∠BAE时，∠COD的度数是多少？ 【问题解决】 任务：(1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法)； (2)请你帮该同学求出∠COD的大小，并写出推理过程. A D B C 20题图 21.甲、乙两人加工生产同种零件.甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个 数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等. (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备，更换设备后，甲每小时生产 的零件个数比原米播长了品0。乙每小时生产的零件个数比原来多号个，甲、 乙两人同时工作(m+5)小时共生产1350个零件，求m的值. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5,BC=4.动点P从点A出发以每秒 1个单位的速度沿A→C→B运动，同时，动点Q以相同的速度从点C出发沿射线 BC运动.设运动时间为，x秒(0<x<”9),△ABP的面积为，且，=匹 CO (1)请直接写出，y,分别关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y，y,的图象，并结合函数图象，直接 写出当y≤y,时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· y 9 8 7 6 5 4 3 2 B 1 C 012345678910 22题图 23.项目式学习： 项目背景：甲、乙两人周末去景区游玩，调查公园景点位置与路线，测算景点间的相 关数据，形成如下报告 项目主题 景区的调查与测算 驱动任务 调查各景点的方位与距离，比较不同游览路线的远近 调查 图示 A,B,C,D,E分别是某公园五个景 活 点，景点C在景点A的正北方向，景 动 点B在景点A的西北方向且在景点C 过 的北偏西75°方向，景点D在景点A 程 的正西方向，景点E在景点B的正南 方向.经测量，D,E两景点间的距离 为100米，B到直线AD的距离为100 米. 活动反思 结合方位角，解直角三角形的知识，解决实际浏览路线问题 测算： (1)求景点A和景点C之间的距离（结果保留根号）： (2)甲、乙以相同的速度从景点A出发去景点B,甲选择的路线为：A-C-B,乙选 择的路线为：A-D-E-B,且乙在AD段上用时是BE段的2倍，请计算说明谁选 择的路线较近？（结果保留整数，参考数据：√2≈1.41，V3≈1.73，√6≈2.45） 数学试题第5页共6页 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2-x+c(a≠0)与x轴分别交于A(-2.0), B(4,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上的一动点，过P作PD∥x轴交BC于点D, 点Q是x轴上的动点，连接PQ,当PD的长度取得最大值时，求点P坐标及 PQ+号Ag的最小值： (3)如图2，取线段BC的中点为M,将抛物线沿射线BC方向平移后经过点M得到 新抛物线y，点C的对应点为点H,平移后的新抛物线y'的对称轴上有一点 N(n,-1),点G为新抛物线y'上一动点，若∠ABN+∠HCG=45°，请直接写出点 G的坐标，并写出求点G的坐标的其中一种情况的过程， D 24题图1 24题图2 25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC>AB,以BC为斜边在BC上方作等腰直 角三角形BCD,AC和BD交于点O. (1)如图1，若点O为BD中点，BC=2,求OC的长度； (2)如图2，连接AD,将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E向 左作EF/IBC,且EF=2AB,连接BF.点G,H分别是AC,BF的中点， 连接GH,用等式表示线段GH与AC的数量关系，并证明： (3)如图3，DC=12√2，AB=8V3,∠BCA=a,直线AB上有点K,连接CK, 将CK绕点C顺时针旋转3a得到CP.点M在直线AC上，连接DM,将△CDM 沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMQ,连接PQ,使PQ⊥BC.当 PQ取得最大值时，连接BQ,BP,请直接写出此时△BQP的面积. D G 25题图1 25题图2 25题图3 数学试题第6页共6页数学试题答题卡-答案 注意事项 姓名： 班级： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填 准考 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 证号 准考证号、座位号及科类名称。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综 合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域 贴条形码区 内作答，超出答题区域书写的答案无 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 6cm×3cm 4.保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 (正面朝上，切勿贴出方框) 破。 填涂 正确填涂 错误填涂 √×O 0● 样例 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 口 一、选择题（共40分，每题4分) 1ABC■ 5A口■☐D 9A□B□C■ 2A□■CD 6A□B□■D☐ 10A■CD 3■B]CD 7AC☐D口 4A四B口C四 8A□■C☑D 二、填空题（共24分，每小题4分） 1 11. 12. 36° 8 13 14. 13 15 17 123 16—90-a-2 √106 三、 解答题：（共86分） 2x+5<5x-1,① 17. 解不等式组： 1-2x +x≤2.② 3 解：解不等式①得x>2(2分) 解不等式②得x≤5(4分) 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： -101234567 所以原不等式组的解集为2<x≤5(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.先化简，再求值： x-31x2-9 解：原式=4-x.x+3Xx-3) x-3(x-4)2 =、x+3 x-4 1）1 =2 当x=2时，原式=-2+3=5 2-42 19. 解：(1)扇形统计图中m的值为30，八年级抽取学生的竞赛成绩中位数α 的值为85，九年级抽取学生的竞赛成绩的众数b的值为87： (2)八年级竞赛成绩更好，理由如下： 八年级抽取学生的竞赛成绩中位数85大于九年级抽取学生的竞赛成绩中 位数83.5 (3)500×30%+450×4=240人) 20 答：估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共 240人. 20.(1)作图如图： (2)解：，四边形ABCD为矩形 A D ∴.∠BAD=∠ABC=∠BCD=90 ,·∠DAE=3∠BAE 且∠DAE+∠BAE=90 .∠BAE=22.5 B C ,·AE⊥BD .∠AEB=90° 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABD 且∠CBD=90°-∠ABE .∠CBD=∠BAE=22.5° 又：在RIABCD中，O为BD中点 ∴.∠OCB=∠OBC=22.5 :∠DOC为三角形BOC外角 .∠D0C=2∠OBC=45 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. (1)解：设乙每小时生产x个零件 1500900 由题意得： 2x-10x 解得：x=30 2x-10=50 答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件 (2) 由题意得： 50x1+孤)+30+ ×(m+5)=1350 100 2 解得：m=10,2=-95 答：m的值为10 22. y 9 7 6 -L (6 x(0<x≤5) (1) 4 y1= 3 3 x+ 21 2 2 5<x<9) 2 012345678910x 6. =二(0<x<9) (2)函数巧，y,的图象如答图： 0<x<2.3,8.6<x<9 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23.(1)过点C作CM⊥AB交AB于点M延长BE,AD相交于点N 在Rt△ABN中，∠BAN=45°，BN=100 .AB=√2BN=100W2 设CM=a 在Rt△ACM中，∠CAB=45° .AM=CM=a 在Rt△BCM中，∠CBA=30° .BM=√3CM=V5a M .V3a+a=100W5 ∴.a=50W6-50√2 .AC=100W5-100 .BC=100W6-100W2 答：景点A和景点C之间的距离100√5-100 (2) 设BE=X,AD=2x 在RIADEN中， DN2+EN2=DE2 .100-x)2+(100-2x)2=1002 x2-120x+2000=0 .x1=20,x2=100(舍) 甲：AC+CB=100w6+100W5-100√2-100≈177 乙：AD+DE+BE=160 :177>160 乙选择的路线更近 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24.(1)y=x2-x-4 2 (2) .B(4,0),C(0,-4) .y8C=x-4 Pe-1-0.M4-0 .PD=PM=-+2 2 .P(2,-4) PO+A0的最小值为PW=2W3+2 3)G4-1042鸟 53 25 G(4-2W5,16-10W5) D 入 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1)解：：在等腰直角三角形BCD中，∠D=90°，BC=2 BD-CD-8C- 2 :O为BD中点 25.OD=BD 2 ·在t△ODC中，∠D=90 :OC=VOD+DC 图1 (2)解：GH=√2AC,理由如下： 连接BE,BG,延长BA交EF于M .·∠D=90°，∠EDA=909 :.∠EDB=90°+∠ADB=∠ADC F 在△EDB与△ADC中 ED-AD ∠EDB=∠ADC D BD=CD '.△EDB≡△ADC(SAS) ∴.BE=CA,∠DBE=∠DCA G ∠ABC=90°，∠DBC=∠DCB=45 ∴.∠ABD=45 图2 .∠MAE=45°-∠EBD=45°-∠DCA=∠BCA .EF //BC .∠EMB=180°-∠ABC=90° ·.∠ABC=∠EMB 在△ABC与△EMB中 「∠ABC=∠EMB ∠BCA=∠MBE AC=BE ∴.△ABC=△EMB(AAS) ..AB=EM .·EF=2AB B 、BM=MF=1EF 2 .:BM⊥EF .'EB=FB 图3 ∴.∠FBM=∠EBM,BF=AC :H,G为BF,AC中点 :BH-LBF,BG-LAC-GC 2 ∴.BH=BG,∠GBC=∠GCB .∴∠HBG=∠FBM+∠MBG=∠GBC+∠MBG=90° ·8cs GH 2 ∴.AC=2BG=V2GH (3)解：72√2+72