北京市清华大学附属中学2026－2027学年九年级上学期10月练习数学（一）

初三第一学期十月练习 数学（一） 2026.10 学部__________班级__________姓名__________考号__________ 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如图，内接于，若，，则的长为（ ） A． B． C． D．4 5．从正方形的铁皮上，截去长与正方形边长相等，宽为的一条长方形，余下的面积为，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A． B． C． D． 6．若点，在反比例函数（）的图象上，则的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 7．已知反比例函数，下列判断正确的是（ ） A．函数图象分布在第二、四象限 B．图象经过点 C．若，则 D．在各自象限内，的值随的增大而减小 8．已知抛物线（）的对称轴为直线，其部分图象如图所示． ①； ②； ③； ④对于任意实数，有； ⑤若点在抛物线上，且方程的两个根为，（），则． 上述结论中正确的个数是（ ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9．如果是方程的一个根，那么代数式的值为__________． 10．如图，四边形内接于，是的直径，点是下方上一点．若，则的大小为__________． 11．若二次函数的顶点在轴上，那么__________． 12．设，是方程的两实数根，则__________． 13．在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，则的值是__________． 14．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到．当点在线段上时，的度数为__________．（用含有的式子表示） 15．点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 16．在平面直角坐标系中，抛物线与直线有两个交点，． （1）当，，时，线段的长度为__________； （2）当时，若对任意，线段长度大于，则的取值范围为__________． 三、解答题（共72分，第17题8分，第18～23题每题5分，第24～25题每题6分，第26～27题每题8分，第28题6分） 17．选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．如图，在四边形中，连接，，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 19．设二次函数． （1）先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … （2）点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． （3）当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 20．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 23．2026年5月1日，北京市正式实施《北京市非机动车管理条例》，驾驶、乘坐电动自行车必须规范佩戴符合国家标准的乘员头盔，某电动车用品批发店主营头盔等配件，决定在8月、9月分两次购进甲、乙两款头盔，8月购进第一批时，甲、乙两款头盔的购进单价分别为40元和60元，甲款头盔的进货数量为320个，乙款头盔的数量是150个，9月开学季需求上升，甲款头盔的购进单价上涨，涨幅不超过8月购进单价的20%，该店调整进货策略：甲款头盔单价每上涨1元，其购进数量就比第一批减少4个；乙款头盔单价不变，购进数量比第一批增加20%，9月这批头盔的总花费为24300元．求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 24．如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． （1）求证：平分； （2）若，，求半径． 25．投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中（）表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． （1）求关于的函数表达式； （2）箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； （3）本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线：（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 27．如图，在中，，，点在上（与点、不重合），过点作于点．连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接、． （1）①依题意补全图形；②求证： （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对平面内一点，若过点的直线与交于、两点，则称弦的中点为点关于的“中影点”；特别地，若、两点重合，也称点为点关于的“中影点”． （1）如图，若给定点，在点，，中，点关于的“中影点”有__________； （2）已知点在以为圆心，以1为半径的圆上， ①若内第二象限一点为点关于的“中影点”，它满足，，直接写出点的坐标； ②对于给定的点，它关于的两个“中影点”连线的最大长度为，当点在上移动时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $