第5讲 随机事件与概率 讲义 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第5讲 随机事件与概率 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能区分必然事件、不可能事件与随机事件 · 理解概率的意义，会用概率公式求简单事件概率 · 会用列表法、树状图法求概率 · 会用频率估计概率并解决实际问题 · 能运用概率知识解决抽奖、转盘等生活问题 📚 知识梳理 ☆ 1.2.1 随机事件 必然事件：在一定条件下必然发生的事件 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 确定事件=必然事件+不可能事件；不确定事件=随机事件 概念辨析例题：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ 解析：根据事件发生的确定性分类判断：必然发生为必然事件，必然不发生为不可能事件，可能发生也可能不发生为随机事件． ☆ 2.2.2 简单随机事件的概率 概率P(A)表示事件A发生的可能性大小 等可能事件：P(A)=事件A包含的结果数÷所有等可能结果数 概率的范围：0≤P(A)≤1 必然事件概率为1，不可能事件概率为0 概念辨析例题：一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一个球，求摸到红球的概率． 解析：所有等可能结果共5个，摸到红球的结果有3个，P=3/5． ☆ 3.2.3 用频率估计概率 大量重复试验中，事件发生的频率稳定于某个常数，这个常数可估计概率 频率=试验中事件发生的次数÷试验总次数 试验次数越多，频率越接近概率 用频率估计概率适用于试验结果不易直接计算的情形 概念辨析例题：某品种郁金香开红色花的比例未知，通过大量抽样统计频率来估计概率． 解析：统计大量花朵中红色花的频率，当样本足够大时频率稳定值即为开红色花概率的估计值． ☆ 4.2.4 概率的简单应用 用列表法或树状图法列举所有等可能结果 通过列举结果数求概率 概率在抽奖、转盘、游戏公平性等实际情境中的应用 利用概率大小判断方案是否公平、是否合算 概念辨析例题：转动转盘（均分六份标1-6），求指针指向偶数的概率． 解析：所有等可能结果6个，偶数结果3个（2、4、6），P=3/6=1/2． 📋 知识总结表 类型 定义 概率 必然事件 一定发生 1 不可能事件 一定不发生 0 随机事件 可能发生也可能不发生 0<P<1 等可能事件 每个结果发生可能性相同 P=有利结果数/总结果数 频率估计 大量试验频率稳定值 估计概率 ⚠️ 核心考点 【考点1：随机事件】 · 必然事件：一定发生；不可能事件：一定不发生。 · 随机事件：可能发生也可能不发生 · 确定事件包含必然事件和不可能事件 · 结合实际生活情境判断事件类型 1．下列事件为必然事件的是（　　） A．明天会下雪 B．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 C．开电视机，央视第一套节目正在播放新闻 D．购买一张彩票中奖一百万元 【考点】随机事件． 【分析】根据必然事件的定义，即可解答． 【解答】解：A、明天会下雪是随机事件； B、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，故B为必然事件； C、开电视机，央视第一套节目正在播放新闻是随机事件； D、购买一张彩票中奖一百万元是随机事件； 故选：B． 【点评】本题主要考查了必然事件的定义，解题的关键是掌握一定会发生的事是必然事件． 2．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．投一次骰子，朝上面的点数是7 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【考点】随机事件． 【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．投一次骰子，朝上面的点数是7，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； B．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了随机事件的定义，掌握随机事件的定义是解题的关键． 3．已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（　　） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 【考点】随机事件． 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【解答】解：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯是随机事件， ②小明到达公交车站时，公交车正在驶来是随机事件， 则①②都是随机事件， 故选：D． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 4．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 D．用长度分别为6cm；7cm；13cm的三根小木棒摆成一个三角形 【考点】随机事件． 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意； D、用长度分别为6cm；7cm；13cm的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．下列事件：①如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a；②如果ab＞0，那么a、b都是正数；③一件商品以盈利率10%定价，再打九折出售后还能盈利；④连续掷两次骰子，两次的数字之积为素数．其中，属于确定事件的是　①③　 ．（填序号） 【考点】随机事件． 【分析】先明确确定事件的定义，确定事件包含一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，依次判断每个事件的类型即可得到结果． 【解答】解：①对任意实数a，b，加法交换律恒成立，即a+b＝b+a一定成立，该事件是必然事件，属于确定事件，符合题意； ②若ab＞0，则a，b同号，可能均为正数，也可能均为负数，故事件“a，b都是正数”可能发生也可能不发生，是随机事件，不属于确定事件，不符合题意； ③设商品成本为x，则定价为（1+10%）x＝1.1x，打九折后售价为1.1x×0.9＝0.99x，因为0.99x＜x，所以该商品最终亏损，故事件“还能盈利”一定不发生，是不可能事件，属于确定事件，符合题意； ④连续掷两次骰子，两次数字之积可能为素数，也可能不是素数，该事件是随机事件，不属于确定事件，不符合题意； 综上，属于确定事件的是①③． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是关键． 6．“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖．上述成语描述的场景为不可能事件的是　①　 ．（填序号） 【考点】随机事件． 【分析】根据不可能事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件． 【解答】解：①不可能捞到，为不可能事件； ②守株待兔描述兔子偶然撞树，虽概率小但可能发生； ③百步穿杨描述射箭技术高超，可能发生； ④瓮中捉鳖描述一定完成的事情，必然发生． 故答案为：①． 【点评】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 7．“一个有理数的绝对值是负数”是　不可能　 事件． 【考点】随机事件；有理数；绝对值． 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：“一个有理数的绝对值是负数”是不可能事件， 故答案为：不可能． 【点评】本题考查了随机事件，有理数，绝对值，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 8．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　随机　 （填“必然”或“随机”）事件． 【考点】随机事件． 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 9．下列事件中，是必然事件的是　③　 ． ①掷一枚硬币，正面朝上；②任意买一张电影票，座位号是单号；③三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分；④射击运动员射击一次，命中靶心 【考点】随机事件；三角形的面积． 【分析】根据事件的分类和定义逐一判断即可． 【解答】解：①掷一枚硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件； ②任意买一张电影票，座位号是单号，可能发生也可能不发生，是随机事件； ③三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分，分成的两个三角形等底同高，面积一定相等，是必然事件； ④射击运动员射击一次，命中靶心，可能发生也可能不发生，是随机事件． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10．下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）在一个装着白球和黑球的不透明的布袋中摸球，摸出红球； （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地； （3）在一个标准大气压下，气温为2℃时，冰融化成水； （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． 【考点】随机事件． 【分析】（1）事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可； （2）根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义进行判断即可； （3）根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义进行判断即可； （4）根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）在一个装着白球和黑球的不透明的布袋中摸球，摸出红球是不可能事件； （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地是随机事件； （3）在一个标准大气压下，气温为2℃时，冰融化成水是必然事件； （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交是随机事件． 【点评】本题考查随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 11．四只不透明的袋子中都装有4个球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件，并说明理由． （1）从第一只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球； （2）从第二只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球； （3）从第三只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球； （4）从第四只袋子中任意摸出1个球，该球不是黑球； （5）从这四只袋子中各摸出1个球，其中有2个灰球、1个白球、1个黑球． 【考点】随机事件． 【分析】（1）根据相关定义进行判断即可； （2）根据相关定义进行判断即可； （3）根据相关定义进行判断即可； （4）根据相关定义进行判断即可； （5）根据相关定义进行判断即可． 【解答】解：（1）从第一只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球是随机事件； （2）从第二只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球是不可能事件； （3）从第三只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球是随机事件； （4）从第四只袋子中任意摸出1个球，该球不是黑球是随机事件； （5）从这四只袋子中各摸出1个球，其中有2个灰球、1个白球、1个黑球是随机事件． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【考点2：简单随机事件的概率】 · P(A)=事件A包含的结果数÷所有等可能结果数。 · 等可能事件要求每个结果出现可能性相同 · 概率范围为0≤P(A)≤1 · 注意结果是否放回、有无顺序 12．如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品， ∴获得一等奖的概率为， 故选：A． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 13．在一个不透明的袋子中，装有红球、蓝球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（　　） A． B． C．1 D． 【考点】概率公式． 【分析】先确定所有等可能结果总数和取出红球的结果数，代入概率公式计算即可． 【解答】解：∵在一个不透明的袋子中，装有红球、蓝球、白球各1个， ∴随机取出一个球，共有3种等可能的结果，其中取出红球的结果只有1种， ∴从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 14．某班设立了一个可以自由转动的积分抽奖转盘（如图），转盘被等分成12个扇形．根据学生平时表现，可获得积分，每积累10个积分，就可以获得一次转动转盘的机会．转动转盘，转盘停止后，若指针正好对准红色、黄色、蓝色区域（指针停在分界线上，重新转动），则可以分别获得文具套装、书签、减压小玩具、小华决定用10个积分换取转动一次转盘，他获得文具套装的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】先判断文具套装对应红色区域的区域个数，再用文具套装的概率即可求解． 【解答】解：∵转盘被等分成12个扇形，指针停在红色区域可获得文具套装，且红色区域一共有3个扇形， ∴小华获得文具套装的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 15．不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】用红球的数量除以球的总数量即可得到结果． 【解答】解：∵不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球， ∴袋子中球的总数量为3+7＝10（个）， ∴从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查的是概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键， 16．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为　　 ． 【考点】概率公式． 【分析】利用概率公式即可得出答案． 【解答】解：∵不透明的袋子中装有2个红球和1个白球， ∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 17．现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是　　 ． 【考点】概率公式；中心对称图形． 【分析】先根据中心对称图形的定义确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率． 【解答】解：在“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”等图形中： 总共有5种等可能的抽取结果，其中菱形是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；正方形是中心对称图形； ∴符合条件的结果共3种， ∴从中任意抽取一张是中心对称图形的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查概率公式，中心对称图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 18．在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为　16　 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率公式列出关于n的方程，求解即可得到结果． 【解答】解：∵摸到红球的概率为， ∴， 4+n＝20， 解得n＝16， 经检验，n＝16是原方程的解且符合题意． 故答案为：16． 【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 19．如图，一个小球从杨辉三角的顶部★下落，每一步向左、向右的概率均为，则小球最终下落至最后一行左起第3个点A的概率为　　 ． 【考点】概率公式． 【分析】列出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：如图所示： 故小球最终下落至最后一行左起第3个点A的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的前提． 20．在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，a个黄球．任意从口袋中摸出一个球，摸到黄球的概率为，则a＝　5　 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率的计算公式，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值． 【解答】解：口袋中球的总个数为3+2+a＝5+a， 根据概率公式可得， 解得a＝5， 经检验a＝5是原方程的解． 故答案为：5． 【点评】本题考查概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是格点． （1）从A，C，D三点中随机取一点，选中点A的概率为　　 ； （2）从A，B，C三点中随机取两点，以这两点及点D，E为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【考点】概率公式；列表法与树状图法；平行四边形的判定． 【分析】（1）明确总结果数和符合条件的结果数，再用概率公式计算； （2）先列出所有取点的组合情况，再根据平行四边形的判定条件筛选出符合的组合，最后计算概率． 【解答】解：（1）∵从A，D，C三点中随机取一点，一共有3种等可能的结果， ∴选中点A的概率． 故答案为：； （2）从A，B，C三点中随机取两点，以这两点及点D，E为顶点画四边形， 画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中符合条件的结果有4种， ∴所画四边形是平行四边形的概率． 【点评】本题考查的概率公式，平行四边形的判定，列表法与树状图法，熟知以上知识是解题的关键． 22．某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 【考点】概率公式． 【分析】（1）摸到红球的概率为袋中红球的总数除以袋中所有球的总数； （2）由题意可得，从袋中取走白球的数量和又放入红球的数量相等，用概率计算出改变后袋中红球的数量，然后减去原来红球的数量，就可得出从袋中取走白球的数量． 【解答】解：（1）∵不透明的袋子中一共有12个球，其中红球有3个， ∴从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 答：从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是； （2）要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则袋中红球应有个， ∴红球增加了8﹣3＝5个， 由题意可得，取走白球的个数为红球增加的个数，故从袋中取走了5个白球． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 【考点3：用频率估计概率】 · 频率=发生次数÷试验总次数。 · 大量重复试验频率稳定于概率 · 试验次数越多估计越准确 · 适用于不易直接计算概率的问题 23．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，同学们获得的试验数据整理如下表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 “正面朝上”的频率mn 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.55 B．0.52 C．0.58 D．0.63 【考点】利用频率估计概率． 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55， 故选：A． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 24．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（　　） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【考点】利用频率估计概率． 【分析】利用频率估计概率即可得到答案． 【解答】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47， ∴可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.47． 故选：A． 【点评】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 25．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（　　） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【考点】利用频率估计概率． 【分析】用频率估计概率的方法计算即可． 【解答】解：随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.314附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.314；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为8000时，则“针与直线相交”的频数可能最接近2500， 故选：B． 【点评】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 26．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 560 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（　　） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69 【考点】利用频率估计概率． 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【解答】解：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，则： 估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是0.70． 故选：B． 【点评】本题考查利用频率估计概率，正确记忆相关知识点是解题关键． 27．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据，请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　 ．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 【考点】利用频率估计概率． 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率将会接近0.6． 【解答】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右， 所以摸一次，摸到白球的概率将会接近0.6． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 28．2025年6月5日是世界环境日，某校开展了“环保知识竞答”活动，在一个不透明的箱中装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有　32　 张． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】先根据题意估算出摸到蓝色卡片的概率，进而可得出结论． 【解答】解：∵通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近， ∴估计摸到蓝色卡片的概率为0.4， ∵箱子中共有80张卡片， ∴80×0.4＝32（张）． 故答案为：32． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 29．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 905 9012 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 　0.9　 （精确到0.1）． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解． 【解答】解：观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.9附近， 故投中的概率估计值为0.9； 故答案为：0.9． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 30．如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　10.4　 ． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【解答】解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为4×410.4． 故答案为：10.4． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 31．苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示．根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为　0.9　 （结果精确到0.1）． 移植总数n 400 750 1500 3500 6000 9000 成活数m 369 662 1335 3203 5430 8073 成活的频率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 【考点】利用频率估计概率． 【分析】大量反复试验下频率稳定值即概率．试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种花苗种植成活的频率左右摆动， ∴估计这种花苗移植的成活概率为0.9， 故答案为：0.9． 【点评】本题考查了由频率估计概率，熟记频率与概率的定义是解题的关键． 32．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球　32　 个． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】用黑球个数除以黑球频率求得球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，盒中球的总个数约为840（个）， 则白球个数约为40﹣8＝32（个）， 故答案为：32． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 33．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　100　 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　108°　 ； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【考点】利用频率估计概率；全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【解答】解：（1）由统计图可知，爱好运动的人数为40，所占百分比为40% ∴共调查人数为：40÷40%＝100（人）， 故答案为：100； （2）由条形统计图可知，爱好上网人数为：10人， ∴爱好上网的人数所占百分比为10÷100＝10%， ∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10＝30（人）， 补全条形统计图，如图所示， ， 阅读部分圆心角是， 故答案为：108°； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为30%， ∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 答：选出的恰好是爱好阅读的学生概率为． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，全面调查与抽样调查，扇形统计图与条形统计图，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． 【考点4：概率的简单应用】 · 用列表法、树状图法列举所有等可能结果。 · 求概率=有利结果数÷总结果数 · 解决抽奖、转盘、游戏公平等实际问题 · 根据概率大小判断公平性与最优方案 34．将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意列表得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：列表如下： 传 承 李 白 文 化 传 承，传 李，传 白，传 文，传 化，传 承 传，承 李，承 白，承 文，承 化，承 李 传，李 承，李 白，李 文，李 化，李 白 传，白 承，白 李，白 文，白 化，白 文 传，文 承，文 李，文 白，文 化，文 化 传，化 承，化 李，化 白，化 文，化 共有30种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数为2， ∴抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查利用列表法求概率，掌握其相关知识点是解题的关键． 35．我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：设“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为A，B，C，D，E，从这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，作树状图如下： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果数有2种， ∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率是， 故选：A． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 36．盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率． 【解答】解：树状图如下所示， ， 由上可得，一共有12种等可能性，其中从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的可能性有8种， ∴从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 37．班主任决定从两名男生和两名女生中随机抽取两人担任值周班长，那么抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】本题可通过画树状图的方法找出所有抽取情况及符合“一名男生和一名女生”的情况，再根据概率公式计算概率． 【解答】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， ∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 故选：C． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 38．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现在有三张试剂卡片（除所写试剂名称不同外其他完全相同），将其置于暗箱中摇匀后随机抽取两张，则两张卡片上的试剂会发生中和反应的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】记标有酸的卡片分别为A1、A2，标有碱的卡片为B，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率，即可求解． 【解答】解：记标有酸的卡片分别为A1、A2，标有碱的卡片为B， 根据题意，列表如下， A1 A2 B A1 A1A2 A1B A2 A2A1 A2B B BA1 BA2 根据表格，可知一共有6种等可能性结果，抽取到两张卡片上的试剂会发生中和反应，即一酸一碱的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的试剂会发生中和反应的概率为， 故选：D． 【点评】本题考查了列表法求概率以及概率公式，掌握根据题意正确列出表格是解题的关键． 39．在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到试验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是KOH溶液、Mg（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两瓶溶液只有一瓶变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将KOH溶液、Mg（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中这两瓶溶液只有一瓶变红色的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种， ∴这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 40．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果有1种，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果有1种，即ABC， ∴恰好排成“2026中考必胜”的概率是． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解答本题的关键． 41．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一正一反的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两枚硬币一正一反的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 共有4种等可能的结果，其中两枚硬币一正一反的结果有2种， ∴两枚硬币一正一反的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 42．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，2，3的卡片在甲手中，标有数字4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之积为偶数的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：画树状图，如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片的数字之积为偶数的结果有7种， ∴两张卡片的数字之积为偶数的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 43．从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是 　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出组成两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中组成两位数是奇数的结果数为9， 这个两位数是奇数的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 44．在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种， ∴A、B之间电流能够正常通过的概率为． 故答案为：． 【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 45．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【解答】解：由题意，列表如下： A B C D F A A，B A，C A，D A，F B B，A B，C B，D B，F C C，A C，B C，D C，F D D，A D，B D，C D，F E F，A F，B F，C F，D 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法求概率，掌握其相关知识点是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清事件类型：必然、不可能、随机 · 等可能事件概率=有利结果数÷总结果数 · 列表法、树状图法列举不漏不重 · 大量重复试验用频率估计概率 · 概率应用注意实际情境与公平性判断 【作业1】从1，2，3，4，5这五个数中随机选取三个数字构成一个三位数，判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： （1）三位数是奇数； （2）三位数大于600； （3）三位数大于120． 【考点】随机事件． 【分析】（1）根据相关定义进行判断即可； （2）根据相关定义进行判断即可； （3）根据相关定义进行判断即可． 【解答】解：（1）从1，2，3，4，5这五个数中随机选取三个数字构成一个三位数， 三位数是奇数是随机事件； （2）从1，2，3，4，5这五个数中随机选取三个数字构成一个三位数， 三位数大于600是不可能事件； （3）从1，2，3，4，5这五个数中随机选取三个数字构成一个三位数， 三位数大于120是必然事件． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业2】判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： （1）把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形； （2）一枚硬币连续抛掷十次，每次都正面朝上； （3）367人中至少有两人的生日相同； （4）小明与同桌玩“石头、剪刀、布”的游戏，第一局就赢了； （5）明年植树节不下雨； （6）在本市妇幼保健医院里，明天出生的女婴比男婴多； （7）在上一赛季表现最好的篮球队将夺得下一个赛季的冠军． 【考点】随机事件． 【分析】（1）根据相关定义进行判断即可； （2）根据相关定义进行判断即可； （3）根据相关定义进行判断即可； （4）根据相关定义进行判断即可； （5）根据相关定义进行判断即可； （6）根据相关定义进行判断即可； （7）根据相关定义进行判断即可． 【解答】解：（1）把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形是随机事件； （2）一枚硬币连续抛掷十次，每次都正面朝上是随机事件； （3）367人中至少有两人的生日相同是必然事件； （4）小明与同桌玩“石头、剪刀、布”的游戏，第一局就赢了是随机事件； （5）明年植树节不下雨是随机事件； （6）在本市妇幼保健医院里，明天出生的女婴比男婴多是随机事件； （7）在上一赛季表现最好的篮球队将夺得下一个赛季的冠军是随机事件． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业3】判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： （1）在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化； （2）一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出的1个球是红球； （3）转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在黄色区域； （4）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，其中有红球； （5）在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月． 【考点】随机事件． 【分析】（1）根据相关定义进行判断即可； （2）根据相关定义进行判断即可； （3）根据相关定义进行判断即可； （4）根据相关定义进行判断即可； （5）根据相关定义进行判断即可． 【解答】解：（1）在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件； （2）一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出的1个球是红球是随机事件； （3）转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在黄色区域是随机事件； （4）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，其中有红球是必然事件； （5）在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月是必然事件． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业4】值日组长从本组的6名同学（包括甲、乙）中，用抽签的方式选出2人负责擦桌子．求下列事件的概率： （1）甲、乙都入选； （2）甲、乙至少有1人入选； （3）甲、乙都没有入选． 【考点】概率公式；随机事件． 【分析】依据由题意，将6名同学分别记为甲、乙，A、B、C、D，抽签选出2人擦桌子，列举所有等可能结果．6个人选2人，全部等可能的结果一共有：甲乙、甲A、甲B、甲C、甲D、乙A、乙B、乙C、乙D、AB、AC、AD、BC、BD、CD一共15种等可能结果． （1）依据题意得，只有甲乙，共1种等可能情形，从而计算可以得解； （2）依据题意，由甲入选或者乙入选（包含甲乙同时入选），共有甲乙、甲A、甲B、甲C、甲D、乙A、乙B、乙C、乙D9种等可能情形，从而计算可以得解； （3）依据题意，甲、乙都没有入选也就是选中的2人只能从A、B、C、D里面选，从而共有AB、AC、AD、BC、BD、CD6种等可能情形，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，将6名同学分别记为甲、乙，A、B、C、D，抽签选出2人擦桌子， 列举所有等可能结果．6个人选2人，全部等可能的结果一共有：甲乙、甲A、甲B、甲C、甲D、乙A、乙B、乙C、乙D、AB、AC、AD、BC、BD、CD一共15种等可能结果． （1）甲、乙都入选满足条件的结果：只有甲乙，共1种等可能情形， ∴P（甲、乙都入选）； （2）甲、乙至少有1人入选“至少1人”：甲入选或者乙入选（包含甲乙同时入选）， ∴共有甲乙、甲A、甲B、甲C、甲D、乙A、乙B、乙C、乙D9种等可能情形， ∴P（甲、乙至少有1人入选）； （3）甲、乙都没有入选也就是选中的2人只能从A、B、C、D里面选， ∴共有AB、AC、AD、BC、BD、CD6种等可能情形， ∴P（甲、乙都没有入选）． 【点评】本题主要考查了概率公式、随机事件，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业5】如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转到数字8是　不可能事件　 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求转出的数字不大于2的概率； （3）现有两张分别写有2和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【考点】概率公式；随机事件． 【分析】（1）由转盘中没有标8的部分，可得转到数字8是不可能事件； （2）根据概率公式计算即可； （3）设转盘停止后转出的数字为x，可得3＜x＜7时，三条线段能构成三角形，根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）∵转盘中没有标8的部分， ∴转到数字8是不可能事件； 故答案为：不可能事件； （2）∵数字不大于2的有1，2共两个， ∴转动转盘，转出的数字不大于2的概率是； （3）设转盘停止后转出的数字为x， ∵三条线段能构成三角形， ∴5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7， ∴转盘停止后转出的数字为4，5，6时，三条线段能构成三角形， ∴概率是． 【点评】本题考查概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业6】盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，它是黑棋的概率是． （1）写出表示x和y关系的表达式； （2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值． 【考点】概率公式． 【分析】（1）根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）枚棋，再根据概率公式列出关系式即可； （2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x，y的值即可． 【解答】解：（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，共有（x+y）枚棋， ∵从盒中随机取出1枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴， 即yx； （2）∵往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为， ∴， ∵yx， ∴解得x＝15，y＝25． 【点评】本题考查了概率公式，概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键． 【作业7】某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s．小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，问： （1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ （2）他遇到红灯的概率是多少？ 【考点】概率公式． 【分析】（1）直接利用概率的意义得出遇到绿灯的概率大； （2）利用绿色灯亮的时间除以三种颜色灯的设置时间，进而得出遇到红灯的概率． 【解答】解：（1）每一时刻经过的可能性都相同，南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s ∵绿灯时间比红灯时间长， ∴他遇到绿灯的概率大； （2）∵在103s内，红灯的时间是40s， ∴他遇到红灯的概率是． 【点评】本题主要考查了概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键． 【作业8】某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． （1）估计摸到黄球的概率； （2）求袋子中白球的数量； （3）若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法；游戏公平性． 【分析】（1）利用大量重复试验的频率稳定值估计概率，计算摸到黄球的频率即可； （2）根据黄球的概率公式列分式方程求解白球数量； （3）分别计算摸出红球和黄球的概率，比较概率大小判断可能性与游戏公平性． 【解答】解：（1）∵重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为； （2）由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为10﹣4＝6（个）． （3）摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平． 理由：放入2个红球后，总球数为10+2＝12（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵， ∴摸出两种球的可能性不同，游戏不公平． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． 【作业9】某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 x 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 （1）如表中的x＝　0.28　 ； （2）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为　0.30　 （结果精确到0.01）； （3）若先从袋子中取出y个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则y＝　9　 ； （4）若先从袋子中取出b个红球，再放入b个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值． 【考点】利用频率估计概率；随机事件． 【分析】（1）根据表中的数据计算即可； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率； （3）根据盒子里有9个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出y＝12； （4）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）x0.28． 故答案为：0.28； （2）通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.30， 故答案为：0.30； （3）∵摸到红球的概率估计为0.3， ∴盒子里红球的数量为30×0.3＝9（个） ∵“摸出黑球”为必然事件， ∴y＝9． 故答案为：9； （4）由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得： ， 解得：b＝3， 经检验b＝3是原方程的解， 则b的值为3． 【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率． 【作业10】如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗发水”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“洗发水”的频率 0.74 0.69 0.68 （1）计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； （2）转动该转盘1次，获得洗发水的概率约是　0.7　 ．（结果保留小数点后一位） 【考点】利用频率估计概率． 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出相应的频率； （2）根据表格中的数据，可以写出获得洗发水的概率． 【解答】解：（1）由题意可得， 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗发水”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“洗发水”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.701 （2）由表格可得， 转动该转盘1次，获得洗发水的概率约为0.7， 故答案为：0.7． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以根据频率写出相应的概率． 【作业11】为了美化校园，某校初一年级在各班教室门前种植了郁金香，花色多样．为了解校园中郁金香开红色花的比例，生物课上，老师带领同学们准备随机采集一些郁金香植株进行试验研究．五个小组的成员分别随机选取部分班级的郁金香，统计其花色，最后汇总各组数据．数据记录如下表所示： 项目 一组 二组 三组 四组 五组 开红色花的植株数量 39 1 82 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 118 93 129 出现红色花的频率 0.39 a 0.41 0.4 b （1）表中a＝　0.1　 ，b＝　0.4　 ； （2）在上述五个小组的数据中，你认为第　二　 组的数据不适合用频率估计概率．你认为一棵郁金香开出红色花的概率是　0.4　 （结果精确到0.1）； （3）为进一步美化校园，学校在校园各处种植郁金香，经统计其中开红色花的郁金香有524株，请你估计该校郁金香植株的总数量． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】（1）用频数除以总数，进行求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率求数量即可． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知，；， 故答案为：0.1，0.4； （2）第二组的数据样本量过小，不适合用频率估计概率，由表格可知一棵郁金香开出红色花的概率大约是0.4． 故答案为：二，0.4； （3）由（2）可知，一棵郁金香开出红色花的概率是0.4， ∴524÷0.4＝1310（株）； 答：估计该校郁金香植株的总数量为1310株． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 【作业12】有6张看上去无差别的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次抽取的数字能够整除第一次抽取的数字的概率是多少？ 【考点】列表法与树状图法；数的整除；概率公式． 【分析】根据题意可以列出相应的表格，然后即可计算出第二次抽取的数字能够整除第一次抽取的数字的概率． 【解答】解：列表如下， ， 由上可得，一共有36种等可能性，其中第二次抽取的数字能够整除第一次抽取的数字的可能性有14种， ∴第二次抽取的数字能够整除第一次抽取的数字的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格． 【作业13】同时抛三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （1）三枚硬币全部正面朝上； （2）三枚硬币全部反面朝上； （3）一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上； （4）两枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上． 【考点】列表法与树状图法；随机事件． 【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果． （1）找出三枚硬币全部正面朝上的结果数，然后根据概率公式求解； （2）找出三枚硬币全部反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解； （3）找出一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解； （4）找出两枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有8种等可能的结果； （1）三枚硬币全部正面朝上的结果数为1， 所以三枚硬币全部正面朝上的概率； （2）三枚硬币全部反面朝上的结果数为1， 所以三枚硬币全部反面朝上的概率； （3）一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上的结果数为3， 所以一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上的概率； （4）两枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上的结果数为3， 所以两枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 【作业14】某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为 　　 ． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案． 【解答】解：（1）直接根据概率公式求解可得： 抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：； （2）根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ∴． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为． 【点评】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率是关键． 【作业15】中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是我国古代数学的重要文献．某班准备从这4部数学名著中随机选择2部进行数学文化拓展学习，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是多少？ 【考点】列表法与树状图法． 【分析】此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【解答】解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD， 所以恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 随机事件与概率 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能区分必然事件、不可能事件与随机事件 · 理解概率的意义，会用概率公式求简单事件概率 · 会用列表法、树状图法求概率 · 会用频率估计概率并解决实际问题 · 能运用概率知识解决抽奖、转盘等生活问题 📚 知识梳理 ☆ 1.2.1 随机事件 必然事件：在一定条件下必然发生的事件 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 确定事件=必然事件+不可能事件；不确定事件=随机事件 概念辨析例题：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ 解析：根据事件发生的确定性分类判断：必然发生为必然事件，必然不发生为不可能事件，可能发生也可能不发生为随机事件． ☆ 2.2.2 简单随机事件的概率 概率P(A)表示事件A发生的可能性大小 等可能事件：P(A)=事件A包含的结果数÷所有等可能结果数 概率的范围：0≤P(A)≤1 必然事件概率为1，不可能事件概率为0 概念辨析例题：一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一个球，求摸到红球的概率． 解析：所有等可能结果共5个，摸到红球的结果有3个，P=3/5． ☆ 3.2.3 用频率估计概率 大量重复试验中，事件发生的频率稳定于某个常数，这个常数可估计概率 频率=试验中事件发生的次数÷试验总次数 试验次数越多，频率越接近概率 用频率估计概率适用于试验结果不易直接计算的情形 概念辨析例题：某品种郁金香开红色花的比例未知，通过大量抽样统计频率来估计概率． 解析：统计大量花朵中红色花的频率，当样本足够大时频率稳定值即为开红色花概率的估计值． ☆ 4.2.4 概率的简单应用 用列表法或树状图法列举所有等可能结果 通过列举结果数求概率 概率在抽奖、转盘、游戏公平性等实际情境中的应用 利用概率大小判断方案是否公平、是否合算 概念辨析例题：转动转盘（均分六份标1-6），求指针指向偶数的概率． 解析：所有等可能结果6个，偶数结果3个（2、4、6），P=3/6=1/2． 📋 知识总结表 类型 定义 概率 必然事件 一定发生 1 不可能事件 一定不发生 0 随机事件 可能发生也可能不发生 0<P<1 等可能事件 每个结果发生可能性相同 P=有利结果数/总结果数 频率估计 大量试验频率稳定值 估计概率 ⚠️ 核心考点 【考点1：随机事件】 · 必然事件：一定发生；不可能事件：一定不发生。 · 随机事件：可能发生也可能不发生 · 确定事件包含必然事件和不可能事件 · 结合实际生活情境判断事件类型 1．下列事件为必然事件的是（　　） A．明天会下雪 B．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 C．开电视机，央视第一套节目正在播放新闻 D．购买一张彩票中奖一百万元 2．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．投一次骰子，朝上面的点数是7 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 3．已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（　　） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 4．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 D．用长度分别为6cm；7cm；13cm的三根小木棒摆成一个三角形 5．下列事件：①如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a；②如果ab＞0，那么a、b都是正数；③一件商品以盈利率10%定价，再打九折出售后还能盈利；④连续掷两次骰子，两次的数字之积为素数．其中，属于确定事件的是_______ ．（填序号） 6．“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖．上述成语描述的场景为不可能事件的是_____ ．（填序号） 7．“一个有理数的绝对值是负数”是________ 事件． 8．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 _______ （填“必然”或“随机”）事件． 9．下列事件中，是必然事件的是_____ ． ①掷一枚硬币，正面朝上；②任意买一张电影票，座位号是单号；③三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分；④射击运动员射击一次，命中靶心 10．下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）在一个装着白球和黑球的不透明的布袋中摸球，摸出红球； （2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地； （3）在一个标准大气压下，气温为2℃时，冰融化成水； （4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． 11．四只不透明的袋子中都装有4个球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件，并说明理由． （1）从第一只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球； （2）从第二只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球； （3）从第三只袋子中任意摸出1个球，该球是灰球； （4）从第四只袋子中任意摸出1个球，该球不是黑球； （5）从这四只袋子中各摸出1个球，其中有2个灰球、1个白球、1个黑球． 【考点2：简单随机事件的概率】 · P(A)=事件A包含的结果数÷所有等可能结果数。 · 等可能事件要求每个结果出现可能性相同 · 概率范围为0≤P(A)≤1 · 注意结果是否放回、有无顺序 12．如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（　　） A． B． C． D． 13．在一个不透明的袋子中，装有红球、蓝球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（　　） A． B． C．1 D． 14．某班设立了一个可以自由转动的积分抽奖转盘（如图），转盘被等分成12个扇形．根据学生平时表现，可获得积分，每积累10个积分，就可以获得一次转动转盘的机会．转动转盘，转盘停止后，若指针正好对准红色、黄色、蓝色区域（指针停在分界线上，重新转动），则可以分别获得文具套装、书签、减压小玩具、小华决定用10个积分换取转动一次转盘，他获得文具套装的概率为（　　） A． B． C． D． 15．不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 16．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________________ ． 17．现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是__________________ ． 18．在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______ ． 19．如图，一个小球从杨辉三角的顶部★下落，每一步向左、向右的概率均为，则小球最终下落至最后一行左起第3个点A的概率为___________________ ． 20．在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，a个黄球．任意从口袋中摸出一个球，摸到黄球的概率为，则a＝_____ ． 21．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是格点． （1）从A，C，D三点中随机取一点，选中点A的概率为__________________ ； （2）从A，B，C三点中随机取两点，以这两点及点D，E为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 22．某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 【考点3：用频率估计概率】 · 频率=发生次数÷试验总次数。 · 大量重复试验频率稳定于概率 · 试验次数越多估计越准确 · 适用于不易直接计算概率的问题 23．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，同学们获得的试验数据整理如下表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 “正面朝上”的频率mn 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.55 B．0.52 C．0.58 D．0.63 24．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（　　） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 25．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（　　） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 26．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 560 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（　　） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69 27．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据，请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ________ ．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 28．2025年6月5日是世界环境日，某校开展了“环保知识竞答”活动，在一个不透明的箱中装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有_______ 张． 29．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 905 9012 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 ________ （精确到0.1）． 30．如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为_________ ． 31．苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示．根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为________ （结果精确到0.1）． 移植总数n 400 750 1500 3500 6000 9000 成活数m 369 662 1335 3203 5430 8073 成活的频率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 32．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球_______ 个． 33．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了________ 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_________ ； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【考点4：概率的简单应用】 · 用列表法、树状图法列举所有等可能结果。 · 求概率=有利结果数÷总结果数 · 解决抽奖、转盘、游戏公平等实际问题 · 根据概率大小判断公平性与最优方案 34．将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A． B． C． D． 35．我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（　　） A． B． C． D． 36．盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（　　） A． B． C． D． 37．班主任决定从两名男生和两名女生中随机抽取两人担任值周班长，那么抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 38．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现在有三张试剂卡片（除所写试剂名称不同外其他完全相同），将其置于暗箱中摇匀后随机抽取两张，则两张卡片上的试剂会发生中和反应的概率为（　　） A． B． C． D． 39．在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到试验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是KOH溶液、Mg（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（　　） A． B． C． D． 40．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是__________________ ． 41．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一正一反的概率为__________________ ． 42．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，2，3的卡片在甲手中，标有数字4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之积为偶数的概率是__________________ ． 43．从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是 __________________ ． 44．在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是__________________ ． 45．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为___________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清事件类型：必然、不可能、随机 · 等可能事件概率=有利结果数÷总结果数 · 列表法、树状图法列举不漏不重 · 大量重复试验用频率估计概率 · 概率应用注意实际情境与公平性判断 【作业1】从1，2，3，4，5这五个数中随机选取三个数字构成一个三位数，判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： （1）三位数是奇数； （2）三位数大于600； （3）三位数大于120． 【作业2】判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： （1）把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形； （2）一枚硬币连续抛掷十次，每次都正面朝上； （3）367人中至少有两人的生日相同； （4）小明与同桌玩“石头、剪刀、布”的游戏，第一局就赢了； （5）明年植树节不下雨； （6）在本市妇幼保健医院里，明天出生的女婴比男婴多； （7）在上一赛季表现最好的篮球队将夺得下一个赛季的冠军． 【作业3】判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： （1）在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化； （2）一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出的1个球是红球； （3）转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在黄色区域； （4）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，其中有红球； （5）在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月． 【作业4】值日组长从本组的6名同学（包括甲、乙）中，用抽签的方式选出2人负责擦桌子．求下列事件的概率： （1）甲、乙都入选； （2）甲、乙至少有1人入选； （3）甲、乙都没有入选． 【作业5】如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转到数字8是__________ （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求转出的数字不大于2的概率； （3）现有两张分别写有2和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【作业6】盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，它是黑棋的概率是． （1）写出表示x和y关系的表达式； （2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值． 【作业7】某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s．小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，问： （1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ （2）他遇到红灯的概率是多少？ 【作业8】某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． （1）估计摸到黄球的概率； （2）求袋子中白球的数量； （3）若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【作业9】某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 x 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 （1）如表中的x＝_________ ； （2）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_________ （结果精确到0.01）； （3）若先从袋子中取出y个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则y＝_____ ； （4）若先从袋子中取出b个红球，再放入b个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值． 【作业10】如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗发水”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“洗发水”的频率 0.74 0.69 0.68 （1）计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； （2）转动该转盘1次，获得洗发水的概率约是________ ．（结果保留小数点后一位） 【作业11】为了美化校园，某校初一年级在各班教室门前种植了郁金香，花色多样．为了解校园中郁金香开红色花的比例，生物课上，老师带领同学们准备随机采集一些郁金香植株进行试验研究．五个小组的成员分别随机选取部分班级的郁金香，统计其花色，最后汇总各组数据．数据记录如下表所示： 项目 一组 二组 三组 四组 五组 开红色花的植株数量 39 1 82 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 118 93 129 出现红色花的频率 0.39 a 0.41 0.4 b （1）表中a＝________ ，b＝________ ； （2）在上述五个小组的数据中，你认为第_____ 组的数据不适合用频率估计概率．你认为一棵郁金香开出红色花的概率是________ （结果精确到0.1）； （3）为进一步美化校园，学校在校园各处种植郁金香，经统计其中开红色花的郁金香有524株，请你估计该校郁金香植株的总数量． 【作业12】有6张看上去无差别的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次抽取的数字能够整除第一次抽取的数字的概率是多少？ 【作业13】同时抛三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （1）三枚硬币全部正面朝上； （2）三枚硬币全部反面朝上； （3）一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上； （4）两枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上． 【作业14】某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为 __________________ ． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 【作业15】中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是我国古代数学的重要文献．某班准备从这4部数学名著中随机选择2部进行数学文化拓展学习，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $