专题01 随机事件及单随机事件的概率重难点题型专训 讲义（1个知识点+9大题型+自我检测） 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题01 随机事件及单随机事件的概率重难点题型专训（1个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、事件的分类 1 题型二、判断事件发生的可能性的大小 2 题型三、判断几个事件概率的大小关系 3 题型四、根据概率公式计算概率 4 题型五、根据概率作判断 5 题型六、已知概率求数量 6 题型七、几何概率 7 题型八、列举法求概率 8 题型九、列表法或树状图法求概率 9 第二部分·练提高题型 题型一、多步试验树状图 1 第三部分・自我检测 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即时训练】 1．（2026·山东枣庄·一模）为深入贯彻落实“健康第一”教育理念，整体提升青少年学生身心健康水平，我市义务教育阶段学校将课间活动时间从原先的10分钟延长至15分钟．某学校在课间时间开展立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们都选择跳绳这一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】设立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动分别为，，， 共有种等可能结果，他们都选择跳绳这一项活动的结果有1种， 所以他们都选择跳绳这一项活动的概率是． 2．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得从中随机抽出两张卡片的所有等可能的结果，再找出使能被整除的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽出两张卡片共有种等可能的结果，其中，使能被整除的结果有4种， 则使能被整除的概率为． 【基础题型一 事件的分类】 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，正面朝上的次数可能为0次，1次，2次，3次，4次， ∴有两次正面朝上的情况可能发生,也可能不发生， ∴该事件是随机事件． 【例2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，即可得到结果． 【详解】解：必然事件的定义为：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件， ①明天是否为晴天不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件， ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，属于随机事件， ③标准大气压下，冰在温度高于时会熔化为水，高于，该事件一定发生，属于必然事件， ④根据有理数的大小比较法则，大于一切负数，该事件一定成立，属于必然事件． 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：①经过十字路口时，信号灯颜色不确定，正好是绿灯可能发生也可能不发生，是随机事件； ②到达公交车站时，公交车是否驶来不确定，正在驶来可能发生也可能不发生，是随机事件； 故①②都是随机事件 ． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出_______球是不可能事件，取出_______球是随机事件，取出_______球是必然事件； 【答案】 绿（答案不唯一） 红（或填黄） 红或黄 【分析】此题考查的是事件的分类，根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义结合题意，即可得出结论． 【详解】解：不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出绿（只要填1个红、黄以外的颜色即可）球是不可能事件，取出红（或填黄）球是随机事件，取出红或黄球是必然事件． 故答案为：绿（答案不唯一）；红（或填黄）；红或黄． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． (1)车辆随机到达一个路口遇到红灯； (2)两条线段可以组成一个三角形； (3)400人中至少有两人的生日在同一天． 【答案】(1)车辆随机到达一个路口遇到红灯，此事件有可能发生也有可能不发生，是随机事件． (2)两条线段可以组成一个三角形，此事件一定不发生，故是不可能事件． (3)400人中至少有两人的生日在同一天，此事件一定发生，故是必然事件． 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义作出判断并说明理由即可． 【详解】（1）略，理由见答案 （2）略，理由见答案 （3）略，理由见答案 【基础题型二 判断事件发生的可能性的大小】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【分析】根据必然事件的概念判断即可． 【详解】解：选项：买张中奖率为的彩票不一定中奖，为随机事件，不符合题意； 选项：正月十五晚上可能因天气等原因看不到圆月，为随机事件，不符合题意； 选项：打开电视机不一定在播放广告，为随机事件，不符合题意； 选项：口袋中装有个红球和个白球，白球仅有个，摸出个球时，最多有个白球，故必有红球，是必然事件，符合题意． 【例2】（25-26八年级下·江苏连云港·期末）将事件①水中捞月；②购买1张福利彩票中奖；③玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”时获胜；按发生的概率从小到大的顺序排列为______．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】先判断各事件的类型，得到各事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序． 【详解】解：①水中捞月是不可能事件，因此发生的概率； ②购买张福利彩票中奖是随机事件，发生的概率满足； ③玩“石头、剪刀、布”游戏，对方共有种等可能的出法，出“剪刀”时获胜只有种等可能情况，因此； 比较概率大小得 ， 因此按发生的概率从小到大的顺序排列为①②③． 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段练习）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【答案】D 【详解】解：A、可能摸出3，也可能摸不出3，原说法错误； B、可能摸出5，也可能摸不出5，原说法错误； C、5的数量最少，摸出5的可能性最小，原说法错误； D、1的数量最多，摸出1的可能性最大，原说法正确. 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）为探究商场转盘游戏中一等奖发生的可能性,某数学兴趣小组进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 300 400 500 600 一等奖出现的次数m 24 48 75 104 b 150 一等奖发生的频率 a    (1)表中 , ； (2)根据表格补全折线统计图； (3)请你举出一个事件,使它发生的可能性符合一等奖发生的可能性． 【答案】(1)， (2) (3)抛掷一枚均匀的正四面体骰子，掷出数字 【分析】（1）根据频率的定义计算； （2）根据数据补全统计图即可； （3）根据发生的可能性大小解题． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）略 【基础题型三 判断几个事件概率的大小关系】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各袋中摸到红球的概率，概率最大的即为可能性最大的． 【详解】解：A袋中红球有0个，总球数为10，摸到红球的概率为； B袋中红球有2个，总球数为10，摸到红球的概率为； C袋中红球有9个，总球数为10，摸到红球的概率为； D袋中红球有10个，总球数为10，摸到红球的概率为； ， ，摸到红球可能性最大的是D． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 【答案】③①② 【分析】先判断三个事件的类型，分别得到各事件发生的概率，再比较概率大小进行排序. 【详解】根据事件的分类，对三个事件逐一判断： ③“危楼高百尺，手可摘星辰”是不可能事件，不可能事件发生的概率为，即； ①“天有不测风云，人有旦夕祸福”是随机事件，随机事件发生的概率满足； ②“野火烧不尽，春风吹又生”是必然事件，必然事件发生的概率为，即； 比较概率大小可得 ，因此按发生的概率从小到大的顺序排列为③①②. 1．（2026九年级上·浙江·专题练习）口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性________指针指向标有“”所在区域的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 【答案】 大于 【分析】先统计出转盘上标有数字“”和“”的扇形区域个数，再根据几何概率的意义确定各区域的可能性大小，即可得解． 【详解】观察图形可知，转盘被等分成个扇形区域， 其中标有数字“”的扇形区域有个， 标有数字“”的扇形区域有个， 当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性为；指针指向标有“”所在区域的可能性为； ， 当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性大于指针指向标有“”所在区域的可能性． 3．（2026·江苏南京·三模）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】首先确定两次摸球是独立重复试验，用有放回摸球的概率计算规则，每次摸球的概率保持不变，计算时，先明确单次摸红球、白球的概率，因为两次颜色不同包含“先红后白”和“先白后红”两类事件，所以将两类事件的概率相加即可得到；计算时，先求出单次摸红球、白球的概率，同理将两类颜色不同的事件概率相加得到，再比较和的大小． 【详解】（1）解：根据题意，第一次摸球后放回，再摸第二次，所有等可能的结果共种：(红，红)、(红，白)、(白，红)、(白，白)， 其中两次摸球颜色不同的结果有种：(红，白)、(白，红)， ∴ ； （2）解：袋子总共有个球， 摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 两次颜色不同共有两种情况：（第一次红、第二次白）和（第一次白、第二次红）， ∴， ∵， ∴． 【基础题型四 根据概率公式计算概率】 【例1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段练习）佳佳同学在一个质地均匀的正方体盒子的六个面分别写了“我”“爱”“深”“圳”“实”“验”，则抛掷一次这个盒子，朝上一面显示“实”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵质地均匀的正方体抛掷后，每个面朝上的可能性相等，总共有种等可能的结果， 朝上一面显示“实”的结果有种， ∴抛掷一次这个盒子，朝上一面显示“实”的概率为． 【例2】（2026·江苏镇江·模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 【答案】 【分析】先计算袋子中球的总数量，确定红球的数量，再根据概率的定义计算结果． 【详解】解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，因此摸到红球的概率为． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】从四张卡片中，找到轴对称图形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵四张卡片中，轴对称图形有矩形、圆、等边三角形， ∴P（抽出的卡片是轴对称图形）． 2．（2026·山东淄博·模拟预测）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）人工智能（简称）技术有望为传统的教学方式带来新变化，某公司为测验其产品，利用最新高考试题进行九个科目的测试，按如下标准，将实际成绩换算为相对分数：以60分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数，测试完毕后将测试结果的相对分数记录如表． 科目 语文 数学 英语 政治 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 25 30 28 ■ 18 已知该产品的地理实际成绩为86分． (1)上表中“■”处应填的分数为 分； (2)将测试所得的九个科目的实际成绩组成一组数据． ①求实际成绩的平均数； ②实际成绩的中位数为 分，众数为 分； (3)若从九个科目中随机挑选一个进行能力评估，其中挑到实际成绩为80分以上的概率为 ． 【答案】(1)26 (2)①实际成绩的平均数为70分；②78；51 (3) 【分析】（1）用地理实际成绩减去基准分60，即可得到对应的相对分数； （2）①先算出九个科目实际总分，再除以9即可得实际成绩的平均数；②先算出各科对应的实际成绩，再把全部实际成绩从小到大排列，取中间数即为中位数，找出出现次数最多的数即为众数； （3）数出80分以上科目的数量，除以科目总数即可得到概率． 【详解】（1）解：，且， ∴表中“■”处应填的分数为26分； （2）解：①九个科目实际总分为（分）， 实际成绩的平均数为（分）； ②对应的实际成绩为： 语文：分；数学：（分）；英语：（分）；政治：（分）；地理：86分；历史：（分）；物理：（分）；化学：（分）；生物：（分）； 把实际成绩从小到大排序：47，51，51，54，78，85，86，88，90； 共9个，第5个是中位数，故中位数为78； 出现次数最多的是51，故众数为51； （3）解：80分以上：85，90，88，86，共4个，总共有九个科目， ∴其中挑到实际成绩为80分以上的概率为． 【基础题型五 根据概率作判断】 【例1】（2026·北京昌平·模拟预测）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷， 所以A必定有地雷， 所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 【答案】四/4 【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和7个黑球，这些球除颜色外其他都相同． (1)若从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是多少？ (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和摸到黑球的概率相等，那么应放入几个红球，几个黑球？请说明理由． 【答案】(1) (2) 应放入4个红球，2个黑球，理由如下： 设应放入个红球，则放入个黑球， ∵摸到红球和摸到黑球的概率相等， ∴袋子中的红球和黑球的数量相等， ∴，解得， 则． 答：应放入4个红球，2个黑球． 【分析】（1）根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数计算概率即可； （2）设应放入个红球，则放入个黑球，根据概率相等推出红球与黑球总数量相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：袋子中一共有（个）球， 从中任意摸出1个球，一共有12种情况，其中摸到红球的情况有5种， ∴摸到红球的概率是． （2）略 2．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)甲 (2) 小明的说法不正确， 理由：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． （2）略 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 【答案】(1) (2)选择A线路 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出A线路不超过40分钟的有个，B线路不超过40分钟的有249个，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有（个）， ∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为； （2）解：∵A线路不超过40分钟的有（个），B线路不超过40分钟的有（个）， 又∵， ∴选择A线路． 【基础题型六 已知概率求数量】 【例1】（25-26九年级上·甘肃酒泉·期末）一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 【详解】解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． 【例2】（2026·浙江温州·中考模拟）一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【分析】先根据红球个数和摸出红球的概率求出原有总球数，再计算出白球个数，根据摸出两种球概率相等得出红球个数需等于白球个数，结合白球个数不变，即可求出需要放入红球的个数． 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得 ，解得 ， 原有白球个数为 （个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为 （个）． 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，已知概率求数量；本题先判断摸到蓝球的概率为，分式方程的解法，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时， 因此摸到蓝球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此n最可能有6． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【答案】16 【分析】根据概率计算公式，摸到绿球的概率等于绿球个数除以袋中球的总个数，据此列出方程，即可求解的值． 【详解】解：袋中球的总个数为，由题意得， 整理得， 移项计算得． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）为了解对“公益捐献”活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次活动打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分）．若从中随机取一人，则P（抽中打3分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共调查了 名参加者，并补全条形统计图，打分的中位数是 ； (2)若从打分较低的四人中随机抽取2位进行详细了解，求选中“打分是2分或1分的参加者”的概率； (3)若再增补调查5位参加者，他们的打分分别为：4，4，4，3，3，则增加调查人数前后、本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说明理由． 【答案】(1)20，，4.5分； (2)； (3)众数没有发生改变．理由如下： 增加5位参加者的打分后，统计结果是：得5分的有10人，得4分的有9人，得3分的有4人，得2分的有1人，得1分的有1人，这组数据的众数是5，原数据的众数也是5， 由此可知，众数没有发生改变． 【分析】（1）由“3分”的人数及其所占百分比求出总人数，再求出“4分”的人数，即可补全图形；根据中位数的定义求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可； （3）根据众数的定义求解即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）， “4分”的人数为（人）， 补图见答案， 打分的中位数是（分）； （2）解：列表如下： 1 2 3 3 1 2 3 3 由表知，共有12种等可能结果，选中“打分是2分或1分的参加者”的有10种结果， 所以选中“打分是2分或1分的参加者”的概率为； （3）略 【基础题型七 几何概率】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 【例2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 1．（2026·山东济宁·模拟预测）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 3．（2026·陕西·模拟预测）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 【基础题型八 列举法求概率】 【例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 【例2】（25-26九年级上·山东济南·期末）在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 1．（2026·安徽·模拟预测）如图，点，，，，都在小正方形的顶点上．从，，三点中任取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键． 利用列举法得到共有3种可能，又当只有取，两点时，所画四边形是平行四边形，即可求出概率． 【详解】解：从，，三点中任取两点，共有、与、，以及，，3种可能， 只有取，两点时，所画四边形是平行四边形， 所画四边形是平行四边形的概率为． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）英国数学家弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie）1852年提出了四色猜想：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域的颜色不同．该猜想于1976年由美国数学家阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明；而在1959年，德国数学家格罗茨提出并证明了三色猜想：任何不含三角形的平面图，都可以用三种颜色进行正常着色（即相邻顶点颜色不同）如图，在平行四边形中，现要为其四个顶点着色，并使得在同一线段上的两顶点颜色不同，则至少需要两种颜色． (1)若连接，则至少需要____________种不同的颜色； (2)现有红、黄、蓝3种颜色可供选择，且点处未着蓝色，请用列表或画树状图的方法，计算点处着黄色的概率． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查求概率，正确分析几何图形和列表是解答本题的关键． （1）平行四边形中，连接后，A，B，D三个顶点两两相邻共有三种情况，这三个顶点中两顶点颜色不同，则至少需要三种颜色． （2）列出所有有效组合即可解答． 【详解】（1）解：平行四边形中，连接后，A，B，D三个顶点两两相邻共有三种情况，这三个顶点中两顶点颜色不同，则至少需要三种颜色． 故答案为：3； （2）解：列表如下： A B D C 黄 红 蓝 黄 黄 蓝 红 黄 红 蓝 黄 红 红 黄 蓝 红 从表中可得有效组合共有4种，点处着黄色有1种， 所以，点处着黄色的概率为． 【基础题型九 列表法或树状图法求概率】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，，列表得到所有的等可能的结果数，找出均为O型血的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，， 列表如下：             共有12种等可能的结果，其中两人均为O型血的有2种结果， ∴选到的两人均为O型血的概率为． 【例2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）现有四个自愿献血者，其中两人血型为A型、一人为B型、一人为O型，随机挑选一人献血，过一段时间又从这四人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型相同的概率是______． 【答案】 【分析】利用画树状图法求解即可； 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有种等可能性，其中两次献血的人血型相同的等可能性有6种， ∴两次献血的人血型相同的概率是：. 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 2．（2026·河南·模拟预测）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【答案】 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 【答案】取出的两张卡片图案相同的概率为 【分析】根据有放回的抽取规则列出所有等可能结果，进而求出取出的两张卡片图案相同的概率． 【详解】解：列表为： 第一次第二次 共有种等可能情况，其中，取出的两张卡片图案相同的情况有种，故取出的两张卡片图案相同的概率． 【提高题型一 多步试验树状图】 【例1】（2026·河南信阳·模拟预测）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 【例2】（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 2．（2026·湖南娄底·模拟预测）今年猪肉价格受疫情影响，有较大幅度的上升．为了解某地区养殖户受疫情影响的情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：影响非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有影响），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题： (1)本次抽样调查的养殖户的总户数是____________； (2)把图2条形统计图补充完整； (3)若该地区建档的养殖户有1500户，求影响非常严重与严重的养殖户一共有多少户？ (4)某调研单位想从4户建档养殖户（分别记为，，，，）中随机选取两户，进一步跟踪后续的情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中养殖户和的概率． 【答案】(1)60； (2)补充条形统计图如下： (3)750户； (4) 【分析】（1）利用B级的人数除以其所占百分比，即可得到本次抽样调查的养殖户的总户数； （2）先算出C级的人数，再将条形统计图补充完整即可； （3）用乘以样本中影响非常严重与严重的养殖户所占比，再计算求解即可； （4）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而即可求出概率． 【详解】（1）解：（户）， （2）解：（户），补充条形统计图见答案； （3）解：（户）， 答：影响非常严重与严重的养殖户一共有户； （4）解：根据题意列表如下： a b c d a a，b a，c a，d b b，a b，c b，d c c，a c，b c，d d d，a d，b d，c 由表格可知，共有12种不同的情况，其中恰好选中养殖户和的情况有2种， 恰好选中养殖户和的概率为． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共个，它们除颜色外完全相同，其中红球有个，黄球有个． (1)求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； (2)第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率（用列表法或树状图法解答）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法求概率，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）根据题意列表，得共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：蓝球的个数为（个） ∴从中随机摸出一个球是蓝球的概率为； （2）解：列表如下， 红1 红2 红3 红4 黄1 黄2 黄3 蓝1 蓝2 蓝3 红1 红2红1 红3红1 红4红1 黄1红1 黄2红1 黄3红1 蓝1红1 蓝2红1 蓝3红1 红2 红1红2 红3红2 红4红2 黄1红2 黄2红2 黄3红2 蓝1红2 蓝2红2 蓝3红2 红3 红1红3 红2红3 红4红3 黄1红3 黄2红3 黄3红3 蓝1红3 蓝2红3 蓝3红3 红4 红1红4 红2红4 红3红4 黄1红4 黄2红4 黄3红4 蓝1红4 蓝2红4 蓝3红4 黄1 红1黄1 红2黄1 红3黄1 红4黄1 黄2黄1 黄3黄1 蓝1黄1 蓝2黄1 蓝3黄1 黄2 红1黄2 红2黄2 红3黄2 红4黄2 黄1黄2 黄3黄2 蓝1黄2 蓝2黄2 蓝3黄2 黄3 红1黄3 红2黄3 红3黄3 红4黄3 黄1黄3 黄2黄3 蓝1黄3 蓝2黄3 蓝3黄3 蓝1 红1蓝1 红2蓝1 红3蓝1 红4蓝1 黄1蓝1 黄2蓝1 黄3蓝1 蓝2蓝1 蓝3蓝1 蓝2 红1蓝2 红2蓝2 红3蓝2 红4蓝2 黄1蓝2 黄2蓝2 黄3蓝2 蓝1蓝2 蓝3蓝2 蓝3 红1蓝3 红2蓝3 红3蓝3 红4蓝3 黄1蓝3 黄2蓝3 黄3蓝3 蓝1蓝3 蓝2蓝3 共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种， ∴ 两次都摸到红球的概率为． 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设需要向袋子里添加个红球，则红球个数为个，球的总数为个，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 5．（25-26九年级上·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 【详解】解：，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． 6．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段练习）袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【答案】9 【分析】根据要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球，再结合题目情境即可得答案． 【详解】解：要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球， ∴第一次摸到3个白球、1个绿球，摸了4个，第5个一定能摸到黑球，第二次先摸到2个黑球和1个绿球，摸了3个，第4个一定能摸到白球， ∴两回一共摸出的球最多为：（个）， ∴两回一共最多摸出9个球． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃”__张，“黑桃”__张，“方块”__张，“梅花”__张 【答案】 【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【详解】解：一共有张扑克牌， 满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同， 满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少， 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少， 因此黑色的牌要少于张，黑色的两种牌张数相同， 于是：①黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ②黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ③黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， 因此可能为：，，，或，，，或8，，，（不唯一）， 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键． 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 【答案】 【分析】设小方格的边长为，观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成，求出阴影部分总面积，再除以方格纸的总面积即可得出概率． 【详解】解：设小方格的边长为，则方格纸的总面积为． 观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成， 阴影部分的总面积为， 飞镖落在阴影部分的概率为． 10．（25-26九年级下·山东·期中）如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 【答案】 【分析】先求出最短路径一共有35种，再找出不经过点的路径有多少种，最后再由概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 故其中经过点的路径，即，一共有种， ∴不经过点的路径有种， ∴不经过点的概率为． 11．（2026·江苏泰州·一模）如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态． (1)“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】（1）只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光，据此解答即可； （2）先画出树状图，则可得随机闭合两个开关的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光， ∴当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡不会发光， ∴“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是不可能事件． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合两个开关，共有12种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有6种， 则事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为， 答：事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为． 12．（2026·江苏盐城·模拟预测）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． (1)若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． (2)若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图，再结合树状图求概率即可． 【详解】（1）解：小明点击一次“运行”按钮，有四种等可能结果，其中色块A发亮的情况只有1种，故色块A发亮的概率是． （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：共有16种等可能结果，其中两次都是色块A发亮的情况只有1种，故两次都是色块A发亮的概率是． 13．（2026·江苏镇江·模拟预测）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 14．（25-26八年级下·江苏南京·期中）抽签方法合理吗？小明认为先抽的人中签的可能性大一些，后抽的可能吃亏；小红认为先抽的人如果没有抽到，那么后抽的中签的可能性不就大了吗？我们一起来探究！有一个不透明的箱子，里面有若干个签（超过1个），其中有一个签画有记号，记为A． (1)小明抽取一次，抽中A签，该事件为______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． (2)若该箱子中共有2个签，除了A签，还有一个没有记号的B签，不妨让小明先抽，借助表格列出所有可能的情况，判断两人中签的可能性大小是否相同，如下表： 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B B ____________ 完成表格，小明抽中A签的可能性______小红抽中A签的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． (3)若该箱子中共有3个签，除了A签，还有两个没有记号的B签和C签，不妨让小明先抽，仿照（2）中的方法，列出所有可能的情况，并判断小明与小红谁抽中A签的可能性大？ 【答案】(1)随机事件 (2)A，等于 (3)所有可能的情况有：（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），小明与小红抽中A签的可能性一样大 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）利用表格列举所有的情况，再利用概率公式求解即可； （3）利用表格列举所有的情况，即可判断． 【详解】（1）解：因为箱子里的签超过1个，所以小明抽中A签的事件是可能发生也可能不发生的，故为随机事件； （2） 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B B _____A_______ 小明抽中A签的可能性等于小红抽中A签的可能性； （3） 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B A C B A B C C A C B 共有6种等可能情况，小明与小红抽中A签的可能性一样大． 15．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 随机事件及单随机事件的概率重难点题型专训（1个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、事件的分类 1 题型二、判断事件发生的可能性的大小 2 题型三、判断几个事件概率的大小关系 3 题型四、根据概率公式计算概率 4 题型五、根据概率作判断 5 题型六、已知概率求数量 6 题型七、几何概率 7 题型八、列举法求概率 8 题型九、列表法或树状图法求概率 9 第二部分·练提高题型 题型一、多步试验树状图 1 第三部分・自我检测 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即时训练】 1．（2026·山东枣庄·一模）为深入贯彻落实“健康第一”教育理念，整体提升青少年学生身心健康水平，我市义务教育阶段学校将课间活动时间从原先的10分钟延长至15分钟．某学校在课间时间开展立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们都选择跳绳这一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 【基础题型一 事件的分类】 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【例2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出_______球是不可能事件，取出_______球是随机事件，取出_______球是必然事件； 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． (1)车辆随机到达一个路口遇到红灯； (2)两条线段可以组成一个三角形； (3)400人中至少有两人的生日在同一天． 【基础题型二 判断事件发生的可能性的大小】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【例2】（25-26八年级下·江苏连云港·期末）将事件①水中捞月；②购买1张福利彩票中奖；③玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”时获胜；按发生的概率从小到大的顺序排列为______．（只填序号） 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段练习）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）为探究商场转盘游戏中一等奖发生的可能性,某数学兴趣小组进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 300 400 500 600 一等奖出现的次数m 24 48 75 104 b 150 一等奖发生的频率 a    (1)表中 , ； (2)根据表格补全折线统计图； (3)请你举出一个事件,使它发生的可能性符合一等奖发生的可能性． 【基础题型三 判断几个事件概率的大小关系】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 1．（2026九年级上·浙江·专题练习）口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性________指针指向标有“”所在区域的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 3．（2026·江苏南京·三模）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 【基础题型四 根据概率公式计算概率】 【例1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段练习）佳佳同学在一个质地均匀的正方体盒子的六个面分别写了“我”“爱”“深”“圳”“实”“验”，则抛掷一次这个盒子，朝上一面显示“实”的概率为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏镇江·模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 2．（2026·山东淄博·模拟预测）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）人工智能（简称）技术有望为传统的教学方式带来新变化，某公司为测验其产品，利用最新高考试题进行九个科目的测试，按如下标准，将实际成绩换算为相对分数：以60分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数，测试完毕后将测试结果的相对分数记录如表． 科目 语文 数学 英语 政治 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 25 30 28 ■ 18 已知该产品的地理实际成绩为86分． (1)上表中“■”处应填的分数为 分； (2)将测试所得的九个科目的实际成绩组成一组数据． ①求实际成绩的平均数； ②实际成绩的中位数为 分，众数为 分； (3)若从九个科目中随机挑选一个进行能力评估，其中挑到实际成绩为80分以上的概率为 ． 【基础题型五 根据概率作判断】 【例1】（2026·北京昌平·模拟预测）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和7个黑球，这些球除颜色外其他都相同． (1)若从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是多少？ (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和摸到黑球的概率相等，那么应放入几个红球，几个黑球？请说明理由． 2．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 【基础题型六 已知概率求数量】 【例1】（25-26九年级上·甘肃酒泉·期末）一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【例2】（2026·浙江温州·中考模拟）一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26九年级上·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）为了解对“公益捐献”活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次活动打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分）．若从中随机取一人，则P（抽中打3分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共调查了 名参加者，并补全条形统计图，打分的中位数是 ； (2)若从打分较低的四人中随机抽取2位进行详细了解，求选中“打分是2分或1分的参加者”的概率； (3)若再增补调查5位参加者，他们的打分分别为：4，4，4，3，3，则增加调查人数前后、本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说明理由． 【基础题型七 几何概率】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 1．（2026·山东济宁·模拟预测）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 3．（2026·陕西·模拟预测）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【基础题型八 列举法求概率】 【例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山东济南·期末）在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 1．（2026·安徽·模拟预测）如图，点，，，，都在小正方形的顶点上．从，，三点中任取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）英国数学家弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie）1852年提出了四色猜想：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域的颜色不同．该猜想于1976年由美国数学家阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明；而在1959年，德国数学家格罗茨提出并证明了三色猜想：任何不含三角形的平面图，都可以用三种颜色进行正常着色（即相邻顶点颜色不同）如图，在平行四边形中，现要为其四个顶点着色，并使得在同一线段上的两顶点颜色不同，则至少需要两种颜色． (1)若连接，则至少需要____________种不同的颜色； (2)现有红、黄、蓝3种颜色可供选择，且点处未着蓝色，请用列表或画树状图的方法，计算点处着黄色的概率． 【基础题型九 列表法或树状图法求概率】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）现有四个自愿献血者，其中两人血型为A型、一人为B型、一人为O型，随机挑选一人献血，过一段时间又从这四人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型相同的概率是______． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 【提高题型一 多步试验树状图】 【例1】（2026·河南信阳·模拟预测）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 2．（2026·湖南娄底·模拟预测）今年猪肉价格受疫情影响，有较大幅度的上升．为了解某地区养殖户受疫情影响的情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：影响非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有影响），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题： (1)本次抽样调查的养殖户的总户数是____________； (2)把图2条形统计图补充完整； (3)若该地区建档的养殖户有1500户，求影响非常严重与严重的养殖户一共有多少户？ (4)某调研单位想从4户建档养殖户（分别记为，，，，）中随机选取两户，进一步跟踪后续的情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中养殖户和的概率． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共个，它们除颜色外完全相同，其中红球有个，黄球有个． (1)求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； (2)第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率（用列表法或树状图法解答）． 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段练习）袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃”__张，“黑桃”__张，“方块”__张，“梅花”__张 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 10．（25-26九年级下·山东·期中）如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 11．（2026·江苏泰州·一模）如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态． (1)“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率． 12．（2026·江苏盐城·模拟预测）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． (1)若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． (2)若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 13．（2026·江苏镇江·模拟预测）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 14．（25-26八年级下·江苏南京·期中）抽签方法合理吗？小明认为先抽的人中签的可能性大一些，后抽的可能吃亏；小红认为先抽的人如果没有抽到，那么后抽的中签的可能性不就大了吗？我们一起来探究！有一个不透明的箱子，里面有若干个签（超过1个），其中有一个签画有记号，记为A． (1)小明抽取一次，抽中A签，该事件为______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． (2)若该箱子中共有2个签，除了A签，还有一个没有记号的B签，不妨让小明先抽，借助表格列出所有可能的情况，判断两人中签的可能性大小是否相同，如下表： 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B B ____________ 完成表格，小明抽中A签的可能性______小红抽中A签的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． (3)若该箱子中共有3个签，除了A签，还有两个没有记号的B签和C签，不妨让小明先抽，仿照（2）中的方法，列出所有可能的情况，并判断小明与小红谁抽中A签的可能性大？ 15．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $