第1章 ☆ 问题解决策略：反思&综合与实践1 探寻“勾股数”-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级上 ☆问题解决策略：反思 1.某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点 A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50cm,底面边长为40cm,则这圈彩带的长度至少为（) A.50 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 40 cm 40 cm A 30cm 10cm /30cm 10cm 10cm ① ② B 单位：dm M (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.[2025晋中介休期中]包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图①，创意DIY小组的同学将一个 10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图②所示的简易书架.若 一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为 cm. 3.[2025西安期中]一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂 蚁想到，点B处去吃可口的食物.若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8dm,3dm和2dm,则 这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 () A.23 dm B.17 dm C.15 dm D.13 dm 4.如图所示为一块长方形空地ABCD,AB=10m,AD=5m,中间竖有一堵砖墙，高MN=1m.一 只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m的路程 5.如图①，圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈长度最短的 金属丝 (1)求该长度最短的金属丝的长， (2)如图②，圆柱形玻璃杯的高为14cm,底面圆周长为32cm,在玻璃杯内壁距离杯底5cm的 点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，距离玻璃杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A 处，求蚂蚁从外壁点A处爬到内壁点B处的最短路径的长（杯壁厚度不计） ① (第5题) 10 >“答案与解析”见P5 第一章勾股定理 综合与实践1探寻“勾股数” 课题：利用点图探寻勾股数的计算公式 通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探寻一类勾股数 的计算公式.如图，从点图的左上角构造正方形，把含有n个点的正方形称为n阶正方形 (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点；3阶正方形比2阶正方形多5个点；4阶正方形比3阶正方形 多 个点 ②(a+1)阶正方形比a阶正方形多 个点 (2)运用规律： 利用(a+1)阶正方形与a阶正方形探寻勾股数.若(a+l)阶正方形比a阶正方形多的，点数为平方 数，则可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到16十 9=25,即42+3=52，因此得到一组勾股数为a=4,b=3,c=5,请利用该方法再写出一组勾股数. (3)设(a+1)阶正方形比a阶正方形多n2个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出 n是奇数还是偶数. 》“答案与解析”见P6 1110.思路导引 (1)0 AC=600m BC=800m 作CD⊥AB, AB=1000m 垂足为D △ABC是直角三角形 由面积公式 计算CD的长，将最短距离与500m比较 得出结论 (2) CE=CF=500m 由勾股定理得 DE=DF=140m 在EF范围内可灭火 求灭火过程中的时间与13s比较 得出结论 (1)如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意，知AC= 600m,BC=800m,AB=1000m.所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.所以SAAx 号AC·BC=2CD·AB.所以CD=480m因为480< 500,所以着火点C受到洒水影响.(2)如图，在直线AB 上取点E,F,当EC=FC=500m时，着火点C正好受到 洒水影响.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED=EC2 CD2.因为EC=500m,CD=480m,所以ED=140m.所 以易得EF=280m.因为灭火飞机的速度为20m/s,所以 280÷20=14(s).因为14>13，所以着火点C能被扑灭. B 北 (第10题) 专题特训一运用勾股定理解决折叠问题 1.D因为∠C=90°，AC=8,BC=6,所以AB2=AC2+ BC2=82+62=100.所以AB=10.因为把Rt△ABC沿 BD折叠，使点C落在AB边的点E处，所以BC=BE=6, CD=ED,∠DEB=∠C=90°.所以AE=AB一BE=10一 6=4,DE⊥AB.设AD=x,则CD=ED=8-x.在 Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD,即4+ (8-x)2=x2,解得x=5.所以AD的长为5. 2.7.5由折叠的性质，可知∠B'=∠B,B'C=BC.因为 四边形ABCD是长方形，所以AD=BC=3,CD=AB=9, ∠D=∠B=90°.所以AD=CB',∠D=∠B'.又因为 ∠AFD=∠CFB',所以△AFD≌△CFB.所以AF=CF 设DF=x,则AF=CF=CD一DF=9-x.在Rt△AFD 中，由勾股定理，得AF2=DF2十AD,即(9一x)2=x2+ 1 3,解得x=4.所以CF=9-4=5.所以Saac=2CF· AD=号X5X3=1.5 3.(1)由折叠的性质，可知DE=BE.设DE=xcm,则 AE=(9一x)cm,BE=xcm.因为四边形ABCD是长方 形，所以∠A=90°.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5.所以 DE的长为5cm.(2)过点E作EG⊥BC于点G,则易得 四边形ABGE是长方形，∠EGF=90°.所以EG=AB= 3cm,BG=AE=AD一DE=4cm.设GF=ycm,则BF= (4+y)cm.由题意，易得BC=AD=9cm,C'B=CD= 3cm,C'F=CF,∠C'=∠C=90°.所以C'F=CF=BC- BF=(5-y)cm.在Rt△BC'F中，由勾股定理，得C'B2+ C'F2=BF2,即32+(5-y)2=(4+y)2,解得y=1.所以 GF=1cm.在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF2=EG2+ GF2=3+1=10(cm).所以以折痕EF为边的正方形的 面积为10cm2. ☆问题解决策略：反思 1.C如图，将三棱柱的侧面展开，连接AA'.由勾股定理， 得AA'2=502+(3×40)2=16900(cm).所以AA'= 130cm.所以这圈彩带的长度至少为130cm. A (第1题) 2.50如图所示为书架的侧面展开图，连接AB,则AB的 长即为爬行的最短距离，连接AC,交BD于点O,因为 OA=40cm,OB=30cm,所以AB=50cm.所以蜘蛛爬行 的最短距离为50cm. B ∠30cml A公----- 10cm 10cm 0.- D 30cm 10cm 30cm 10cm (第2题) 3.B如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为(3十2)× 3=15(dm),宽为8dm,则妈蚁沿台阶面爬行到B点最短 路程是此长方形的对角线，对角线的长为17dm 3 2 2 2单位：dm B (第3题) 4.13如图，AB=10+1+1=12(m),连接AC,则AC的 长即为这只蚂蚁至少要爬的路程.因为AB=12m,BC= AD=5m,∠B=90°，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2+BC2.所以AC=13m.所以它至少要爬13m 的路程。 D NM (第4题) 5.(1)如图①，把圆柱的侧面沿高展开，得到长方形，连接 AC,AC',则易得这圈金属丝最短为2AC的长度因为圆 柱的底面圆周长为12，高为8，所以AB=8,BC=BC'=6. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC,所以 AC=10.所以这圈金属丝最短为2AC=20.(2)如图②， 将杯子侧面的一半展开，作点A关于CE的对称点A',过 点A'作A'D⊥GE,交GE的延长线于点D,连接A'B,则 易得A'B的长即为最短路径的长.由题意，得AC=3cm, BG=5cm,EG=-14cm,HG=32:2=16(cm).所以易得 AC=DE=AC=3 cm,BE=14-5=9(cm),A'D=HG= 16cm.所以BD=3+9=12(cm).在Rt△A'DB中，由勾股 定理，得A'B2=A'D2+BD=16+122=400(cm).所以 A'B=20cm.所以蚂蚁从外壁点A处爬到内壁点B处的 最短路径长20cm. ② (第5题) 综合与实践1探寻“勾股数” (1)①7.②(2a+1).1阶正方形：1×1=1=1,1个 点：2阶正方形：2×2=2=4,4个点；3阶正方形：3×3= 32=9,9个点…n阶正方形：n·n=n2,n2个点.所以4阶 正方形比3阶正方形多4一32=16-9=7（个）.点.所以(a+ 1)阶正方形比a阶正方形多(a十1)2-a2=(2a十1)个点. (2)答案不唯一，如13阶正方形有132=169个点，12阶正 方形有122=144个点，则169-144=25，因为25是平方 数，所以144+25=169，即122+52=13，因此得到一组勾 股数为a=12,b=5,c=13.(3)根据题意，可知(a+ 1-。=n=2a十1，整理，得a=2己.所以a十1 ”分+1=号-专+1=”生所以这组勾脱数为 生园为”为整数所以矿-1为偶数所 以n2为奇数.所以n为奇数. 第一章拔尖自主测评 1.B由三角形的三边关系，可知a十b>c,故选项A成 立：由直角三角形的角度关系，可知∠A十∠B=∠C,故选 项C成立；由直角三角形的三边关系，可知a2十b2=c2,故 选项D成立.利用排除法可知，选项B不成立 2.A由勾股定理结合正方形的面积可知，S3一S,=S2, 因为S3+S2-S,=20,即2S2=20,所以S2=10.所以图 1 中涂色部分的面积=25，=5， 3.C连接AB,AD,AC,BD,BC,CD,由勾股定理，可得 AB2=1+22=5,BD2=1+22=5,AD2=12+32=10, AC2=4+22=20,CD2=1+32=10,BC2=52=25,因为 5+5=10,即AB2+BD=AD2=10,所以△ABD为直角 三角形：因为10十10=20，即AD2+CD2=AC2=20,所以 △ACD为直角三角形；因为5十20=25，即AB2+AC2 BC2=25,所以△ABC为直角三角形.所以直角三角形有 3个. 4.C将圆柱的侧面展开如图所示，其中AC的长为2π× 4=6cm,CD=2cm,BD=6cm,所以AD=6+2=8(cm). 根据勾股定理，可得AB2=AD2+BD,所以AB=10cm. 所以爬行的最短路程为10cm. C D (第4题) 5.B设BN=x,则AN=9一x.因为折叠，所以DN= AN=9-x.因为D是BC的中点，所以BD-BC=3 在Rt△NBD中，由勾股定理，得BD+BN=DN,即 32十x2=(9一x)2,解得x=4.所以BN=4. 6.B如图所示为长方体盒子的侧面展开图，连接AB',则