第5章 二元一次方程组 综合素养提升（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第五章 二元一次方程组 (单位：时)之间的关系如图所示 零件300个？ (1)甲的工作效率是 个/时；图 ↑y/个 甲 90----------- 乙 中m的值为 (2)求乙更换设备后加工零件的数量y 30 (单位：个)关于时间x(单位：时)的函数 0 34567x/时 表达式。 (第6题) (3)当x为何值时，甲、乙两人一共加工 習综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 m.x-2y=10, 1.已知关于x,y的二元一次方程组 有正整数解，则正整数m的值为() 3x-2y=0 A.4或5 B.5或6 C.4或8 D.6或8 3x+2y+k=3, 2.已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x十y=一4，则k的值为 2x+3y+3k=5 () A.6 B.7 C.8 D.9 3.[2025安宁期末]若方程组 +y=3与mr+w=8. 的解相同，则(m十n)2= x-y=1 mx-ny=4 4.某公司到某超市采购A,B两种饮料.8月采购24瓶A饮料和32瓶B饮料共花费了 3480元；9月采购32瓶A饮料和24瓶B饮料共花费3240元；10月该超市A饮料和 B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，该公司根据实际需要购买了原价或打折 的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料瓶数是10月购买的A饮料和 B饮料总瓶数的该公司10月购买了A饮料和B饮料一共 瓶. 5.对于有理数x,y,定义新运算：x￥y=ax十by,x⑧y=ax一by,其中a,b是常数.已知 1×1=1,3☒2=8. (1)求a,b的值 (2)若关于x,y的方程组 工y=4一m的解满足x十y=5,求m的值。 x☒y=5m 35 数学（北师版）八年级上 6.[2025娄星期未]关于xy的二元一次方程组，若方程组的解x,y满足|x一y|=1,则 说方程组的解x与y具有“邻好关系”. (1)请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组. x+2y=7, (2)方程组 的解是否具有“邻好关系”？并说明理由. x-y=1 (3)若方程组 2x一y=6:的解x与y具有“邻好关系”，求m的值。 4x+y=6m 7.如图，直线l1:y=kx+1与x轴交于点A(一2,0)，直线l2:y=一x十b与y轴交于点 B(0,4),与直线L1交于点C. (1)求k,b的值 (2)关于x,y的方程组 y=kx+1, 的解为 y=-x+b (3)若直线l3平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线l3被l1,l2所截得的线段长. A 0 (第7题) 36 第五章二元一次方程组 8.如图反映的是小温、小州两人从学校出发到某车站乘车的过程.两人同时从学校步行出 发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留 2min后乘出租车赶往车站，结果比小州早3min到达车站.求： (1)两人步行的速度！ (2)出租车行驶的路程s(单位：m)关于时间t(单位：min)的函数表达式. (3)学校到车站的路程. s/m 325 0 10 16 t/min (第8题) 9.玲玲家准备装修一套新住房.若甲、乙两家装修公司合作，则需要6周完成，共需装修费 5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，则还需9周才能完成，共需装 修费4.8万元.玲玲的爸爸妈妈商量后决定从中只选一家公司单独完成. (1)设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m,乙公司每周的工作效率为n,根据题 意列出关于m,n的二元一次方程组， (2)从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由. (3)从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由， 37 数学（北师版）八年级上 10.甲、乙、丙、丁四名志愿者参加义卖活动，负责帆布袋、冰箱贴、徽章三款商品的售卖.他 们售出商品的数量和总销售额的部分信息如下表： 志愿者 帆布袋/个 冰箱贴/个 徽章/个 总销售额/元 架 30 0 0 600 乙 18 7 0 465 丙 21 2 11 538 丁 12 443 (1)求帆布袋、冰箱贴、徽章的单价 (2)如果丁售出的徽章数量比他售出的冰箱贴数量的3倍还多1个，那么丁售出冰箱 贴和徽章各多少个？ 38x=1, 2=5,解得x=1.所以原方程组的解为 y=2. x-2y=-3①， (2)整理，得 ①+②，得4x= 3.x+2y=-1②. -4,解得x=-1.把x=-1代入①，得-1 2y=一3，解得y=1.所以原方程组的解为 2x+3y-之=11①， x=一1， y=1. (3)记2x十y-5x=82, ①+③， -2x+7y十x=19③. 得10y=30,解得y=3.②+③，得8y-4z=27④. 将y=3代入@，得24-4k=27,解得=子将 y=3代人@，得2x+3+只-8，解得 3 5 x一8 5 x=8所以原方程组的解为y=3, 3 之=一4 ④(1)设纸箱装的有x箱，编织袋装的有y袋.由 8.x+18y=1000, 题意，得 解得 x=35, 所以纸 64x+126y=7280, y=40. 箱装的有35箱，编织袋装的有40袋.(2)设纸 箱装的有m箱，编织袋装的有n袋.由题意，得 8m+18m=100.所以m=125-号.由题意，得 64×(125-号1-b)+126n=7280.所以n=40 号6.因为mnb都是整数，且m>0,n>0b>0, 所以易得b=9,m=107,n=8.所以b的值为9. 6(1) x=一3， y=4. 根据图象，可知关于x,y的方 程组=kx十b,】 {x=一3， 的解为 y=mx+n y=4. (2)因为k<m,所以直线l1:y=kx十b经过 -3k+b=4, 点(-3,4)，(-5,6).所以 解得 {-5k+b=6, k=-1, 所以直线1对应的函数表达式为y b=1. -x十1.(3)①直线l2:y=mx十n经过点(-5， 附：答案与解析 -5m十n=0, 0),(-3,4),所以 解得 m=2,所 -3n+n=4, n=10. 以直线12对应的函数表达式为y=2x十10.所以 M(t,-t+1),N(t,21+10).当t<-3时， MN=-t+1-(21+10)=-3t-9;当t≥-3时， MN=21+10-(-t+1)=3t+9.所以S= -3-91<-3),②0≤s<12. 当-4≤ 3t+9(t≥-3). t<-3时，S=-3t-9,此时0<S≤3；当-3≤ t<1时，S=3t十9，此时0≤S<12.综上所述， 当-4≤1<1时，0≤S<12, 6(1)15;70.甲的工作效率为90÷6=15（个/时）： 乙更换设备前的工作效率为30÷3=10（个/时）， 所以更换设备后的工作效率为10×2=20（个/ 时)，则m=30十20×(6-4)=70.(2)设yz= 30=4块十b:解得 江十6.根据题意.得70=能，十0， k,=20.所以z=20x-50(x≥4， b=-50, (3)因为甲的工作效率是15个/时，所以甲加工零 件的数量y(单位：个)关于时间x(单位：时)的函 数表达式为y=15.x.由题意，得15.x十20x-50= 300,解得x=10,即当x=10时，甲、乙两人一共加 工零件300个. 综合素养提升] 10 ①C解方程组 m.x-2y=10, 得 m-3' 因 3.x-2y=0, 15 m-3 为方程组有正整数解，所以m-3=1或m一3=5. 所以m=4或m=8. 3x+2y+k=3①， ②B记 ①+②，得5(x十 2x+3y+3k=5②. y)+4k=8.因为x十y=-4,所以-20十4k=8, 解得k=7. ③25解方程组 +y=3得=2 因为方程组 x-y=1,y=1. +y=3与 (mx+ny=8, 的解相同，所以 x-y=1 (mx-ny=4 59 数学（北师版）八年级上 =2是方程组 m.x十ny=8, 的解.所以 y=1 mx-ny=4 2m+n=8, m=3, 解得 ”所以(m十n)2=(3十 2m-n=4, n=2. 2)2=25. ④60设1瓶A饮料的原价为x元，1瓶B饮料 的原价为y元.由题意， 24x+32y=3480解 32x+24y=3240, 得工=5·即1瓶A饮料的原价为5元，1瓶 y=75, B饮料的原价为75元.设该公司10月购买A饮 料和B饮料的总瓶数为a,则购买的打折的A饮料 瓶数为a.打折的A饮料每瓶的价格为45× 0.6=27(元)，打折的B饮料每瓶的价格为75× 0.6=45(元).所以打折的B饮料的价格与A饮料 的原价相同.设购买的原价的B饮料为b瓶，则购 买的打折的B饮料与原价A饮料共有 (a-4-b)瓶由题意，得27×a+45×(a 4Q-b)+75b=2850.整理，得27a十206= 1 a=20, 1900.因为a,b均为正整数，所以 或 b=68 a=40, a=60, 或 因为a>b,所以a=60,b=14. b=41 b=14. 所以该公司10月购买了A饮料和B饮料一共 60瓶 0(1)由题意，得a+b=1, 3a-2b=8, 解得=2， b=-1. (2)因为a=2,b=-1,所以x*y=2x-y,x☒ y=2x十y.所以 2x一y=4-m·解得 2x十y=5m, x=m+1, 因为x+y=5,所以m+1+3m-2= y=3m-2. 6解得m多 ⑥(1)答案不唯一，如 x-y=1, x+y=5. (2)方程组 x+2y=7, 的解具有“邻好关系”.理由：解方程组 x-y=1 60 |x十2y=7,mx=3, 得且x-y|=|3-2|=1,所 x-y=1,y=2, 以方程组的解x与y具有“邻好关系”.(3)解方 2x一y=6,得 x=m十1， 程组 因为方程组的 4x+y=6m,y=2-4. 解x与y具有“邻好关系”，所以x一y=1.所以 |m+1-(2m-4)|=1,即|5-m|=1.所以5 m=1或5-m=-1,解得m=4或m=6. ⑦(1)因为直线11：y=kx+1与x轴交于点A(-2, 0),所以-2十1=0，解得k=2.因为直线2： y=一x十b与y轴交于点B(0,4),所以0十b=4, 解得b=4. 1 x=2, y= (2) 由题意及(1)，联立 2x+1, 解 y=2. y=-x+4, 得=2， 所以方程组 y=kx+1, y=2. y=-x+6 的解为=2， y=2. (3)因为直线13平行于x轴，且到x轴的距离为 1,所以令y=)x+1=1,解得x=0y=二x 4=1,得x=3.故直线13被l1,l2所截得的线段 长为3-0=3：令y=2x十1=-1，解得x=-4: y=-x十4=-1，解得x=5.故直线l3被l1,l2 所截得的线段长为5一（一4）=9.综上所述，直线 l3被l1,l2所截得的线段长为3或9. ⑧(1)两人步行的速度是325×2÷10=65(m/min). (2)10+2=12(min).16×65=1040(m).设出租 车行驶的路程s(单位：m)关于时间t(单位：min) 的函数表达式为s=kt+b.将(12,0)，(16,1040) 代人海十松aa k=260, 所以 b=-3120. 出租车行驶的路程s(单位：)关于时间t(单位： min)的函数表达式为s=260t-3120.(3)设出 发min时小温到达车站，则出发(m十3)min时 小州到达车站.由题意，得260m-3120=65(m+ 3),解得m=17.当m=17时，s=260×17 3120=1300,即学校到车站的路程是1300m 6(m+n)=1, ⑨(1)根据题意，得 (2)应选甲 (4m+9n=1. 1 6(m+n)=1, m=10 公司.理由：解 得 4m+9n=1, 因为10 n一15 ,即甲公司的工作效率比乙公司的高，所以应选 甲公司.(3)应选乙公司.理由：设甲公司每周的 费用为a万元，乙公司每周的费用为b万元.根据 3 a= 6a+6b=5.2, 5 题意，得 解得 所以甲公司 4a+9b=4.8, 4 b15 共需号×10=6（万元），乙公司共需号×15=4（万 元).因为4<6，所以应选乙公司. ⑩(1)帆布袋的单价为600÷30=20（元）.设冰箱 贴的单价为x元，徽章的单价为y元.根据题意， 20×18+7x=465, 得 所以帆 20×21+2.x+11y=538, 解得15， y=8. 布袋的单价为20元，冰箱贴的单价为15元，徽章 的单价为8元.(2)设丁售出m个冰箱贴，n个 n-3m=1, 徽章.根据题意，得 解得 20×12+15m+8n=443, m=5, 所以丁售出5个冰箱贴，16个徽章. n=16. 第六章 数据的分析 [高频考点突破 0(1)乙. 甲型号小汽车的平均分为子×(7十 8+6+9)=7.5(分)，乙型号小汽车的平均分为 X9+8+7+7)=7.75(分.因为7.75 所以小明家会选择乙型号的小汽车.(2)甲型号 小汽车的得分为7×20%十8×10%+6×30%+ 9×40%=7.6(分)，乙型号小汽车的得分为9× 20%+8×10%+7×30%+7×40%=7.5(分).因 为7.6>7.5，所以小明家会选择甲型号的小汽车.， 2(1)4:4.因为将甲公司10名营销员今年 12月份销量按从小到大进行排序后，第5,6个数 据分别是4,4，所以甲公司10名营销员今年12月 附：答案与解析 份销量的中位数是4辆；甲公司10名营销员今年 12月份销量为4辆出现的次数最多，则众数为 4辆.(2)乙公司营销员的销售能力更强理由： 甲公司10名营销员今年12月份销量的平均数为 0×(3X1+4X5+3×5+1X6)=4.4(辆)，乙公司 10名昔箱员今年12月份销量的平均数为0× (3×3+4×1+5×5+1×6)=4.4(辆)：乙公司 10名营销员今年12月份销量的中位数是5辆，众 数为5辆.因为甲、乙两家公司今年12月份销量的 平均数相同，乙公司的中位数和众数大于甲公司， 所以乙公司营销员的销售能力更强（合理即可）. ③C平均数的求法是用一组数据中所有数据之 和除以这组数据的个数，与被污染数有关；离差平 方和是每个数据与平均数之差的平方的和，与被污 染数有关；中位数是按顺序排列的一组数据中居于 中间位置的数据，与被污染数无关；方差是每个数 据与平均数之差的平方和的平均数，与被污染数 有关 ④B观察箱线图，可以看到甲队队员身高的最大 值与最小值的差大于乙队，所以乙队身高数据比甲 队更集中，故A选项错误；由箱线图可知，甲队身 高的下四分位数是180cm,故B选项正确；乙队身 高的中位数在180cm和190cm之间，即乙队身高 超过190cm的人数占比小于50%，故C选项错 误；观察箱线图，可以看出甲队队员身高的中位数 大于乙队，所以乙队身高的中位数比甲队小，故 D选项错误. [综合素养提升] ①D因为90分的人数最多，所以众数是90分. 因为按从小到大的顺序排列后排在第5和第6的 都是90分，所以中位数是90分.平均数是0× (1×100+2×85+2×95+5×90)=91(分)，方差 是6×[(85-912×2+(90-912×5+100 91)2+2×(95-91)2]=19.故选项D的说法错误 ②B由题意，可知6号盲盒和7号盲盒的质量应 该一个超过100克，另一个低于100克，所以可以 选甲、戊或乙、丁或丙、丁. 61