第5章 二元一次方程组 高频考点突破（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

数学（北师版）八年级上 小；当6<x≤10时，y随x的增大而增大， (3)当y=3时，x的值为3或7. 12 11 10 9 7 6 432 01234567891011121314151617x (第6题) ⑦(1)设y=kx(k≠0,0≤x≤4).由题图，可知 点(4,20)在该段函数图象上，所以20=4k,解得 k=5.所以当0≤x≤4时，y关于x的函数表达式 为y=5.x.(2)根据题图，可得进水速度为20÷ 4=5(L/min),同时打开一根进水管和一根出水管 后的注水准度为设婴-子1，mm>,则出水注度 为5号-(1/m.所以-5 (3)因为在 l2min后关闭进水管，同时打开剩下的一根出水 管，所以此时的出水速度为×2-艺(1，/mim.放 完水需要的时间为30÷15 4(min).因为12十 4=16(min),所以16min时放完水.补全函数图 象如图所示 y/I 30 畅 10 0481216x/min (第7题) ⑧(1)300；2.由图象可知，A,B两地之间的距 离为180km,B,C两地之间的距离为120km, 180十120=300(km),所以a=300.轿车的速度为 180÷1.5=120(km/h),300÷120=2.5(h),根据 图象，得1.5十(3-b)=2.5,解得b=2. (2)3-3-号.所以N(,号÷2 号(，所以M(告，120，货车的速度为120÷号 4 58 90(km/h.y=120-90(x-号)=-90x+240.所 以在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发 地的距离y(单位：km)关于行驶时间x(单位：h) 的函数表达式为y=-90x+240(信<r≤）， (3轿车出发9或或h与货车相距0m 当0≤x≤号时，得(120+90yx十40=30.解得 祭当兮←≤18时，两车之间的能宵宜在 减小，且总是小于40km;当1.5<x≤2时，得 90(c-)=40,解得x-号：当2<≤号时，得 180+120(x-2)+40-90x+240=300,解得x= 号所以桥车出发票h或白小或h与货车相距 40km. 第五章二元一次方程组 高频考点突破] ①(1)方程组中含有3个未知数，故它不是二元一 次方程组.(2)方程组中含有2个未知数，且含 有未知数的项的次数都是1，故它是二元一次方程 组.(3)该方程组中一个方程的未知数的最高次 数是2，故它不是二元一次方程组.(4)该方程组 中的一个方程中含有未知数的项的次数不是1，故 它不是二元一次方程组.（⑤）方程组中含有2个 未知数，且含有未知数的项的次数都是1，故它是 二元一次方程组.(6)方程组中含有2个未知 数，且含有未知数的项的次数都是1，故它是二元 一次方程组. 自第四象限根据题意，把v二，代人ax十 3y=0,得3a-6=0,得a=2.所以点(a,a-3) 为点(2，一1)，则点(2，-1)所在的象限是第四 象限 ⊙(1)整理原方程组，得 {x十2y=50,①+②， -x+4y=7②. 得6y=12,解得y=2.将y=2代入①，得x十2× x=1, 2=5,解得x=1.所以原方程组的解为 y=2. x-2y=-3①， (2)整理，得 ①+②，得4x= 3.x+2y=-1②. -4,解得x=-1.把x=-1代入①，得-1 2y=一3，解得y=1.所以原方程组的解为 2x+3y-之=11①， x=一1， y=1. (3)记2x十y-5x=82, ①+③， -2x+7y十x=19③. 得10y=30,解得y=3.②+③，得8y-4z=27④. 将y=3代入@，得24-4k=27,解得=子将 y=3代人@，得2x+3+只-8，解得 3 5 x一8 5 x=8所以原方程组的解为y=3, 3 之=一4 ④(1)设纸箱装的有x箱，编织袋装的有y袋.由 8.x+18y=1000, 题意，得 解得 x=35, 所以纸 64x+126y=7280, y=40. 箱装的有35箱，编织袋装的有40袋.(2)设纸 箱装的有m箱，编织袋装的有n袋.由题意，得 8m+18m=100.所以m=125-号.由题意，得 64×(125-号1-b)+126n=7280.所以n=40 号6.因为mnb都是整数，且m>0,n>0b>0, 所以易得b=9,m=107,n=8.所以b的值为9. 6(1) x=一3， y=4. 根据图象，可知关于x,y的方 程组=kx十b,】 {x=一3， 的解为 y=mx+n y=4. (2)因为k<m,所以直线l1:y=kx十b经过 -3k+b=4, 点(-3,4)，(-5,6).所以 解得 {-5k+b=6, k=-1, 所以直线1对应的函数表达式为y b=1. -x十1.(3)①直线l2:y=mx十n经过点(-5， 附：答案与解析 -5m十n=0, 0),(-3,4),所以 解得 m=2,所 -3n+n=4, n=10. 以直线12对应的函数表达式为y=2x十10.所以 M(t,-t+1),N(t,21+10).当t<-3时， MN=-t+1-(21+10)=-3t-9;当t≥-3时， MN=21+10-(-t+1)=3t+9.所以S= -3-91<-3),②0≤s<12. 当-4≤ 3t+9(t≥-3). t<-3时，S=-3t-9,此时0<S≤3；当-3≤ t<1时，S=3t十9，此时0≤S<12.综上所述， 当-4≤1<1时，0≤S<12, 6(1)15;70.甲的工作效率为90÷6=15（个/时）： 乙更换设备前的工作效率为30÷3=10（个/时）， 所以更换设备后的工作效率为10×2=20（个/ 时)，则m=30十20×(6-4)=70.(2)设yz= 30=4块十b:解得 江十6.根据题意.得70=能，十0， k,=20.所以z=20x-50(x≥4， b=-50, (3)因为甲的工作效率是15个/时，所以甲加工零 件的数量y(单位：个)关于时间x(单位：时)的函 数表达式为y=15.x.由题意，得15.x十20x-50= 300,解得x=10,即当x=10时，甲、乙两人一共加 工零件300个. 综合素养提升] 10 ①C解方程组 m.x-2y=10, 得 m-3' 因 3.x-2y=0, 15 m-3 为方程组有正整数解，所以m-3=1或m一3=5. 所以m=4或m=8. 3x+2y+k=3①， ②B记 ①+②，得5(x十 2x+3y+3k=5②. y)+4k=8.因为x十y=-4,所以-20十4k=8, 解得k=7. ③25解方程组 +y=3得=2 因为方程组 x-y=1,y=1. +y=3与 (mx+ny=8, 的解相同，所以 x-y=1 (mx-ny=4 59第五章 二元一次方程组 ]高频考点突破 考点一二元一次方程组的概念 x-(a+b)xy=3, 典例1已知 x十ya-b=5 是关于x,y 的二元一次方程组. (1)a+b= (2)求2b-a的值. 分析 利用二元一次方程组的定义确定a,b的 值，代入原式计算即可得到结果. 解答：(1)因为方程组是二元一次方程组， 所以a十b=0. (2)因为方程组是二元一次方程组，所以 1 a十b=0, a2' 解得 所以2b-a=2× a-b=1, b=- 2 (》- -1=- 3 21 小结 本题考查二元一次方程组的定义，解决问题 的关键是明确方程组中含有两个未知数，并且未 知数的次数为“1”.特别注意：方程组中各个方程 不必都含有两个未知数， 对应练习 1.判断下列方程组是否为二元一次方程组！ (1) x一y=3, 2-y=5, (2) y+x=4. 30 聚焦高频考点，各个击破 1 (3) x-2+xy-5,(4x y=3, x=y. x+3y=1. 3x-2y=1, (5) x=5一y,(6) 3y-4x=1. x=3-2x. 考点二二元一次方程（组）的解 典例2[2025成都期末]小明解方程组 3x十)='得出正确的解为 x=3, 由于 2x-y=12, =□， 不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 ●和□，则□= 分析 根据题意，把x=3代入方程2x一y=12, 得出y的值，即可得出答案。 解答：把x=3代入方程2x一y=12,得2× 3-y=12,解得y=-6,即☐=一6.故答案 为-6. 小结 本题考查二元一次方程（组）的解，解决问题 的关键是理解二元一次方程（组）解的意义，再利 用一元一次方程进行解答」 对应练习， 2.[2025北京海淀期末]若 3g关T x,y的二元一次方程a.x十3y=0的解， 则点(a,a-3)所在的象限是 考点三二元一次方程组的解法 典例3解方程组： x-2y=-8, (1)一题多解 2x十y=9. 2(x-y)x+y1 (2) 3 12 3(x+y)-2(2x-y)=3. 2x-3y+4x=3①， (3)3x-2y+x=7②， x+2y-3z=1③. 分析 根据方程组的特点，选择代入消元法或加 减消元法解方程组， 解答：(1)解法整理，得 x-2y=-8①， x+2y=18②. ①+②，得2x=10,解得x=5.②-①，得 13 4y=26,解得y=2.所以方程组的解 x=5, 为13 y=2 解法三由①，得x=2y-8.将x=2y一8 代入②，得2y一8十2y=18,解得y=.所 以x=2y一8=5.所以方程组的解 x=5, 为13 y=2 (2)整理原方程组，得 5-11y=-一10·由 x-5y=-3②. ②，得x=5y一3③.将③代入①，得5(5y 3)-11y=-1,解得y=1.将y=1代入③， 得x=5×1一3=2.所以原方程组的解 x=2, 为 (y=1. (3)①-③X2,得-7y+10z=1④.② ③×3，得-8y+10z=4⑤.④-⑤，得 第五章二元一次方程组 y=-3.把y=-3代入⑤，得24+10z=4, 解得z=-2.把x=-2,y=一3代入③，得 x一6+6=1，解得x=1.所以原方程组的解 x=1, 为y=一3， x=-2. 小结 本题考查二元（三元）一次方程组的解法，解 决问题的关键是根据方程组中方程的系数特点 选择合适的解法，特别注意加减消元的策略： (1)两方程中若有一个未知数的系数的绝对值 相等，可直接加减消元；(2)若同一未知数的系 数绝对值不相等，则应选一个或两个方程进行变 形，使一个未知数的系数的绝对值相等，再用加 减消元法求解；(3)若方程组较复杂，则应先化 简整理，再求解， 对应练习 3.解方程组： 0.1x+0.2y=0.5, (1) -0.1x+0.4y=0.7. x+1=2(y-1), (2)3x1+y=-1. 2 2x+3y-x=11, (3)2x+y-5x=8, -2x+7y+之=19. 31 数学（北师版）八年级上 考点四二元一次方程（组）的实际应用 典例4某物流公司春节前想将一批蔬菜运 往外地销售.若租用2辆A型车和1辆B型 车载满蔬菜，则一次可运走10吨；若租用 1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜，则一次 可运走11吨.现有蔬菜31吨，计划同时租 用A型车x辆，B型车y辆，一次运完，且 恰好每辆车都载满蔬菜， (1)1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜 一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案。 (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆 B型车需租金120元/次，则如何租车费用 最少？请求出最少的租车费用. 分析 (1)设1辆A型车载满蔬菜一次可运送 a吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送b吨.根 据题意列出关于a,b的二元一次方程组，解之 即可得出结论；(2)根据一次运送31吨蔬菜，即 可得出关于x,y的二元一次方程，再根据x,y 均为正整数，即可得出各租车方案；(3)利用总 租金=每辆车的租金×租车数量，可分别求出 各种租车方案的租车费，比较后即可得出结论 解答：(1)设1辆A型车载满蔬菜一次可运 送a吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送 6吨由题意，得2a+6=10 解得2=3所 a+2b=11 6=4. 以1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨， 1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨： (2)由题意，得3x+4y=31.所以x= 14y.因为x,y均为正整数， 3 32 公司共有3种租车方案.方案1：租用9辆A型 车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆 B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车 (3)方案1所需租车费为100×9+120× 1=1020(元)；方案2所需租车费为100× 5+120×4=980(元)；方案3所需租车费为 100×1+120×7=940(元).因为1020> 980>940,所以租用1辆A型车，7辆B型 车的费用最少，最少的租车费用为940元. 小结 本题考查二元一次方程（组）的应用，先找准 等量关系，再用代数式表示等量关系，进而列出 二元一次方程（组）.求解方案选择问题时，可利 用列举法求出所有可能的方案，再分情况求解。 对应练习， 4.某经销商为了打开销路，对1000个金柚 进行打包优惠出售 打包方式一：纸箱装，每箱8个金柚，每 箱的售价为64元， 打包方式二：编织袋装，每袋18个金柚， 每袋的售价为126元. 用这两种打包方式恰好装完全部金柚 (1)若这些金柚全部售完，总收入为 7280元，则纸箱装的有多少箱？编织袋 装的有多少袋？ (2)若该经销商留下b箱(b>0)纸箱装 的送人，其余纸箱装的全部售出，且总收 入仍为7280元，求b的值 考点五 二元一次方程组与一次函数的 关系 典例5如图，点A(0,4),C(一2,0)在直线 l:y=kx十b上，直线l和函数y=一4x十a 的图象交于点B, (1)求直线1对应的函数表达式 (2)若点B的横坐标是1，求关于x,y的方 程组 y=kx十b,的解及a的值。 v=-4x+a (3)在(2)的条件下，若点A关于x轴的对 称点为P,求△PBC的面积. y=kx+b 64 5 4折A 1 C 上 -3f2-1,0123456x 1 y=-4xta (典例5图) 分析 (1)由于点A,C在直线l上，可用待定系 数法确定直线I对应的函数表达式；(2)先求出 点B的坐标，即得方程组的解，再代入y= -4x十a中求出a的值；(3)由于S△Pc S△PAB十S△PAC,分别求出△PAB和△PAC的 面积即可 解答：(1)因为点A(0,4),C(一2,0)在直线 b=4 l:y=kx十b上，所以 解得 -2k+b=0, k=2所以直线1对应的函数表达式为y一 b=4. 2x+4. (2)因为点B在直线l:y=2x+4上，且点 B的横坐标是1，所以将x=1代入，得y= 2十4=6.所以点B的坐标为(1,6).所以关 于x,y的方程组 y=kx十b, y=-4x+a 的解为 口=1因为B是直线1与直线y=一4x+a y=6. 第五章二元一次方程组 的交点，即点B在直线y=一4x+a上，所 以6=-4×1+a,解得a=10. (3)因为点A与点P关于x轴对称，A(0, 4),所以P(0,一4).所以AP=4+4=8.因 为C(-2,0),B(1,6),所以OC=2,点B到 AP所在直线的距离为1.所以S△Pc= 1 SAP+SAmc-2X8X1+2X8X2-4+ 8=12. 小结 本题考查二元一次方程组与一次函数的关 系，解决问题的关键是用待定系数法确定函数表 达式，方程组的解就是使方程组中两个方程同时 成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也 同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的 解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标」 对应练习 5.[2025淮安期末]直线11：y=k.x十b与直 线l2:y=mx十n如图所示. (1)关于x,y的方程组 =kx十b'的解 y=mx+n 为 (2)若k<m,求直线U1对应的函数表 达式 (3)在(2)的条件下，过点P(t,0)作x轴 的垂线，分别交直线l1,l2于点M,N,设 MN=S. ①求S关于t的函数表达式 ②当一4≤t<1时，S的取值范围是 (第5题) 33 数学（北师版）八年级上 考点六 二元一次方程组与一次函数的 综合应用 典例6[2025东台期末]在一条笔直的道路 上依次有A,B,C三地，男男从A地跑步到 C地，同时乐乐从B地跑步到A地，到达A 地休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男 早1分钟到达C地，两人均匀速运动.如图 所示为男男跑步时间t(单位：分)与两人距 A地路程s(单位：米)之间的函数图象， (1)a= ,乐乐去A地的速度 为 (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地的函 数表达式并写出自变量的取值范围 (3)求两人第二次相遇时距离C地的路程， ↑s/米 1200 400 、E /F a 3 78t/分 (典例6图) 分析 (1)由函数图象可知，B地到A地的路程 是400米；由乐乐从B地跑步到达A地后，休息 1分钟接到通知，可得a=3一1=2：根据路程和 时间，可得乐乐去A地的速度；(2)根据图象得 到相关点的坐标，利用待定系数法求FG对应 的函数表达式；(3)根据图象，得到两人第二次 相遇在图中的对应点，求出男男从A地到C地 的函数表达式；再由(2)，知乐乐从A地到C地 的函数表达式，联立表达式构成二元一次方程 组求解即可 解答：(1)由函数图象，得B地到A地的路程 是400米.因为乐乐从B地跑到A地后，休息 34 1分钟接到通知，所以a=3一1=2.所以乐乐 去A地的速度为400÷2=200（米/分）. (2)设FG对应的函数表达式为s=kt十b(k≠ 0).因为s=kt+b(k≠0)的图象过点F(3,0)和 7k+b=1200, 点G(7,1200),所以 解得 3k+b=0, k=300, 所以FG对应的函数表达式为s= b=一900. 300t一900(3≤t≤7)，即乐乐从A地到C地的 函数表达式为s=300t一900(3≤t≤7)， (3)设OH对应的函数表达式为s=mt (m≠0).因为s=mt(m≠0)的图象过点 H(8,1200),所以1200=8m,解得m= 150,即OH对应的函数表达式为s=150t (0≤t≤8).由(2)知，乐乐从A地到C地的 函数表达式为s=300t一900(3≤t≤7).联 s=150t, t=6, 立 解得 所以两人第 (s=300t-900, s=900, 二次相遇时距离C地的路程为1200一 900=300(米). 小结 本题考查二元一次方程组与一次函数的综 合应用，解决问题的关键是理解题意并设未知 数，结合方程的知识解决问题，同时利用数形结 合的思想从图象中获取信息 对应练习， 6.[2025丹阳期末]某工厂的甲、乙两名工 人同时加工某种机器零件，乙在工作中 有一段时间停产更换设备，更换设备后， 乙的工作效率是原来的2倍，两人各自 加工零件的数量y(单位：个)与时间x 第五章二元一次方程组 (单位：时)之间的关系如图所示 零件300个？ (1)甲的工作效率是 个时；图 ↑y/个 甲 90----------- 乙 中m的值为 (2)求乙更换设备后加工零件的数量y 30 (单位：个)关于时间x(单位：时)的函数 0 34567x/时 表达式。 (第6题) (3)当x为何值时，甲、乙两人一共加工 習综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 m.x-2y=10, 1.已知关于x,y的二元一次方程组 有正整数解，则正整数m的值为() 3x-2y=0 A.4或5 B.5或6 C.4或8 D.6或8 3x+2y+k=3, 2.已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x十y=一4，则k的值为 2x+3y+3k=5 () A.6 B.7 C.8 D.9 x十y=3, 3.[2025安宁期末]若方程组 与mx+y=8, 的解相同，则(m十n)2 x-y=1 mx-ny=4 4.某公司到某超市采购A,B两种饮料.8月采购24瓶A饮料和32瓶B饮料共花费了 3480元；9月采购32瓶A饮料和24瓶B饮料共花费3240元；10月该超市A饮料和 B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，该公司根据实际需要购买了原价或打折 的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料瓶数是10月购买的A饮料和 B饮料总瓶数的该公司10月购买了A饮料和B饮料一共 瓶. 5.对于有理数x,y,定义新运算：x￥y=ax十by,x⑧y=ax一by,其中a,b是常数.已知 1×1=1,3☒2=8. (1)求a,b的值. (2)若关于x,y的方程组 工y=4m的解满足x十y=5,求m的值。 x☒y=5m 35